23

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

2.1 Fungsi

2.2 Grafik Fungsi

2.3 Barisan dan Deret

2.4 Irisan Kerucut

2.1 Fungsi

Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi. Sebagai

contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi 3

34

rV . Contoh yang lain, tempat

kedudukan titik-titik ),( yx yang jaraknya 1 satuan dari titik pangkal O adalah 122 yx . Ada hal

penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari

atau sama dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau

sama dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi

dengan satu atau lebih elemen pada Y. Selanjutnya, korespondensi 122 yx disebut relasi dari X ke Y.

Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B

didefinisikan sebagai himpunan tak kosong BAR .

A B Gambar 2.1.1 Relasi dari himpunan A ke B

a1

a2

a3

b1

b2

b3

b4

24

Jika R adalah relasi dari A ke B dan Ax berelasi R dengan By maka ditulis:

)(atauatau),( aRbaRbRba

Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang

mendasar. Pada contoh yang pertama setiap 0r menentukan tepat satu 0V . Sementara pada contoh

yang ke dua, setiap ]1,1[x berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai ]1,1[x yang berbeda.

Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.

Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap Ax terdapat tepat satu By sehingga

)(aRb .

Sebagai contoh, misalkan 6,3dan2,1 YX . Himpunan )3,2(),3,1( merupakan fungsi dari

X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan

)3,2(),6,1( merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan )3,2(),6,1(),3,1( bukan merupakan

fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.

Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Selanjutnya, apabila f merupakan fungsi

dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A B

Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan

himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi

Df, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di

dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:

)ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil

fungsi f, ditulis fR atau Im(f) (Perhatikan Gambar 2.1.2).

Definisi 2.1.1 Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap Ax berelasi R dengan

tepat satu By maka R disebut fungsi dari A ke B.

25

Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan

“y merupakan bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

A B

Gambar 2.1.3 f fungsi dari himpunan A ke B.

Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y

= f(x) disebut rumus fungsi f.

Contoh 2.1.2 Tentukan domainnya.

a. 2

1)(

xxf b.

1)(

2

x

xxf c. )6ln(

51

)( 2

xxx

xf

Penyelesaian:

a. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,

}2{02:ikanterdefinis2

1:

RRR xx

xxD f

b. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:

● ●

● ●

●

fR

Gambar 2.1.2

x

y f

A B

26

).,1(]0,1(1atau01:

01

:ada1

:22

xxx

x

xx

x

xxD f

R

RR

c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:

)3dan5:atau2dan5:

)3atau2(dan5:

0)6(dan05:

ada)6ln(danada5

1:

ada)6ln(5

1:

2

2

2

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxx

x

xxx

xD f

RR

R

R

R

R

= ),3()2,5()5,( .█

Contoh 2.1.3 Jika )1(3)( 2 xxxf , maka tentukan:

a. )1(f b. )2( xf c. )1( xf d. )( xxf

Penyelesaian:

a. 2)11()1.(3)1( 2 f .

b. )2(112123)2(1)2(3)2( 22 xxxxxxf .

c. xxx

xxf 22 311

)1.(3)1( .

d. )(1)(.63)(1).(3)( 222 xxxxxxxxxxxxf .█

2.1.1 Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi

BAf : .

(i). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut

fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).

27

Gambar 2.1.4 f fungsi surjektif dari himpunan A ke himpunan B

(ii). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut

fungsi injektif atau fungsi 1-1 (into function).

A B

(iii). Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau

korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus

injektif.

A B

a1●

a2●

a3●

a4●

●b1

●b2

●b3

a1●

a2●

a3●

●b1

●b2

●b3 ●b4 ●b5

a1●

a2●

a3● a4●

●b1

●b2

●b3 ●b4

A B

Gambar 2.1.5 Fungsi injektif dari A ke B

Gambar 2.1.6 Korespondensi 1 – 1.

28

2.1.2 Operasi Pada Fungsi

Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan gf , selisih gf , hasil kali skalar

f , hasil kali gf . , dan hasil bagi gf masing-masing didefinisikan sebagai berikut:

)()())(( xgxfxgf )()())(( xgxfxgf

)())(( xfxf )().())(.( xgxfxgf

0)(asalkan,)()(

))(( xgxg

xfx

g

f

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk gf ,

0)(: xgDDxD gfgf .

Contoh 2.1.4 Jika f dan g masing-masing:

1)( xxf 5

1)(

xxg

maka tentukan: gf , gf , gf . , dan gf beserta domainnya.

Penyelesaian:

51

)(5

1.1)(.

51

1)(5

11)(

x

xxgf

xxxgf

xxxgf

xxxgf

Karena }5{dan),1[ Rgf DD , maka gf , gf , gf . , dan gf masing-masing mempunyai

domain: ),1[ .█

2.1.3 Fungsi Invers

Diberikan fungsi YXf : . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada

umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di

bawah ini.

29

Apabila YXf : merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga

merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi 1f . Perhatikan Gambar 2.1.8

berikut.

Jadi:

)()(1 xfyyfx dengan ffffDRRD 11 dan

Contoh 2.1.5 Tentukan 1f jika diketahui 231

1)(

x

xxf .

x ● ● y

X Y

1f

Gambar 2.1.8

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

f

A B

Gambar 2.1.7

f

30

Penyelesaian:

23

11

23

11)(

x

xy

x

xxfy

)(32

32

3232

12233

1)23)(1(

1 yfy

yx

yxyx

xyxyx

xxy

Jadi, x

xxf

3232

)(1

.█

Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:

0jika1

1

0jika1

0jika

)(

xx

x

xx

xf

Penyelesaian: (i). Untuk 0x , 0)( xxfy . Sehingga:

0)(1 yyfyx

(ii). Untuk 0x , 1)0( f . Sehingga, diperoleh: )1(0 1 f .

(iii).Untuk 0x ,

110

11

1)(

xxfy

atau:

1)(1

11 1

yyf

y

y

yx

Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

31

1jika1

1jika0

0jika

)(1

xx

x

x

xx

xf .█

2.1.4 Fungsi Komposisi

Perhatikan fungsi 12 xy . Apabila didefinisikan uufy )( dan

1)( 2 xxgu maka dengan substitusi diperoleh 1))(()( 2 xxgfufy , yaitu rumus fungsi

yang pertama disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi. Secara umum dapat diterangkan sebagai

berikut. Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang gDx . Apabila fDxg )( maka f dapat

dikerjakan pada )(xg dan diperoleh fungsi baru ))(()( xgfxh . Ini disebut fungsi komposisi dari f dan g,

ditulis gf .

x ● )(xgy

●

●

))(( xgfz

g f

gf

Gambar 2.1.9 Fungsi komposisi gf

Definisi 2.1.7 Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis gf , didefinisikan sebagai:

))(()( xgfxgf ,

dengan domain fggf DxgDxD )(: .

32

Contoh 2.1.7 Jika f(x) = x2 dan g(x) = x1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut beserta domainnya.

a. gf b. fg c. ff d. gg

Penyelesaian:

a. 2)1()1())(()( xxfxgfxgf , dengan domain RgfD .

b. 1)())(()( 22 xxgxfgxfg , dengan domain RfgD .

c. 42 )())(()( xxfxffxff , dengan domain RffD .

d. 21)1()1())(()( xxxgxggxgg , dengan domain RggD .█

Contoh 2.1.8 Jika 21)( xxf dan 22)( xxg maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta

domainnya.

a. gf b. fg

Penyelesaian:

a. 4222 41)2(1)2())(()( xxxfxgfxgf , dengan domain:

221

221

:210:

121:)(:

2

2

xxxx

xxDxgDxD fggf

RR

R

.

b. )1(2)1())(()( 22 xxgxfgxfg , dengan domain:

11:)(: xRxDxfDxD gffg .█

Contoh 2.1.9 Tentukan gf jika diketahui:

0jika1

0jika1

)(

xx

xx

xf

1jika12

1jika1

)(

xx

xx

x

xg

33

Penyelesaian:

(i). Untuk 1x , 011

11

111

1)(

xx

x

x

xxg . Sehingga:

1

1)(1))(())((

x

xxgxgfxgf

(ii).Untuk 1x , 111.212)( xxg . Karena 1)( xg , maka dapat dibedakan menjadi 1)(0 xg

dan 0)( xg . Selanjutnya,

(a). 1)(0 xg apabila 1120 x atau 121 x . Hal ini berakibat, untuk 121 x ,

xxxgxgfxgf 2)12(1)(1))(())((

(b). 0)( xg apabila 012 x atau 21x . Jadi, untuk 21x diperoleh:

)12(1)(1))(())(( xxgxgfxgf

Dari (i) dan (ii), diperoleh:

21jika12

1

121jika2

1jika1

1

))((

xx

xx

xx

x

xgf

2.2 Grafik Fungsi

Diberikan fungsi f. Himpunan fDxxfyyx ),(:),( disebut grafik fungsi f.

2.2.1 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius

Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:

(a). Fungsi Aljabar (b). Fungsi Transenden

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil

bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Sebagai contoh, fungsi f dengan rumus:

34

1

)1(3)(

2

322

x

xxxxf

merupakan fungsi aljabar. Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden. Beberapa contoh

fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb.

Fungsi Aljabar

Fungsi Aljabar meliputi :

(1). Fungsi rasional :

a. Fungsi bulat (fungsi suku banyak)

b. Fungsi pecah.

(2). Fungsi irasional.

Fungsi Suku Banyak

Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan

f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn

dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an 0.

(a). Fungsi konstan: cxf )( .

Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu X.

Y

0

a0

3

f(x) = 1

X

f(x) = a0

f(x) = 3

1

Gambar 2.2.1

35

(b). Fungsi linear: f(x)= mx + n

Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik ),0( n .

(c). Fungsi kuadrat: 0,)( 2 acbxaxxf .

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: acbD 42 . Secara umum, grafik fungsi

kuadrat ini dapat digambarkan sebagai berikut:

0

2

y = x + 2

y = x

y = x 3

y = x

2 3

3

Gambar 2.2.2

36

Perhatikan pula gambar berikut ini.

D>0 a<0

D>0 a>0

(a) (b)

D=0 a<0

(c) (d)

D=0 a>0

D<0 a<0

(e) (f)

D<0 a>0

Gambar 2.2.3

37

(d). Fungsi kubik: 0,)( 3012

23

3 aaxaxaxaxf .

Y

X 2

y = x2

y = 4x – x2

y = ¼ x2

Y y = x3 y = (x1)3

X

1

1

4

Gambar 2.2.4

Gambar 2.2.5

38

Fungsi Pecah

Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak

mm

nn

xbxbb

xaxaaxf

...

...)(

10

10

disebut fungsi pecah. Grafik beberapa fungsi pecah sederhana, seperti:

f(x) = 1

)(dan1

x

xxf

x

diperlihatkan dalam gambar berikut.

Fungsi Irasional

Beberapa contoh fungsi irasional beserta grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut ini.

y = 1x

x

x = 1

y = 1

y = 1/x

Gambar 2.2.6

39

Fungsi Transenden

Fungsi transenden meliputi: Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi

Logaritma.

(a). Fungsi trigonometri

Ditinjau titik sebarang P(x,y) pada bidang koordinat seperti terlihat dalam gambar berikut ini.

xy

a a

a a

a

a

2xay

2xay

Gambar 2.2.7

(a)

(b) (c)

40

Apabila r menyatakan jarak titik P ke O dan menyatakan besar sudut antara OP dengan sumbu X

(arah berlawanan dengan jarum jam), maka berturut-turut didefinisikan sebagai berikut:

sin = y/r cos = x/r

tan = y/x cot = x/y

sec = r/x csc = r/y

Dari definisi mudah ditunjukkan hubungan-hubungan berikut:

tan =

sincos

cos,cossin

sec =

sin

1csc,

cos1

dan:

sin2 + cos2 = 1 1 + tan2 = sec2 1 + cos2 = csc2

Berbeda halnya dengan geometri yang biasanya besar sudut diukur dalam derajat, maka dalam

kalkulus besar sudut dinyatakan dalam radian. Besar sudut satu radian sama dengan besar sudut pusat

juring lingkaran OPQ yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran (perhatikan Gambar 2.2.9).

P(x,y)

r y

x

Q

Gambar 2.2.8

41

Oleh karena itu,

2 radian = 360o atau 1 radian =

180 derajat.

Selanjutnya, dapat dibentuk fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa grafik fungsi trigonometri dapat

digambarkan sebagai berikut (lihat Gambar 2.2.10 dan Gambar 2.2.11):

Untuk – x 2, grafik y = sin x dan y = cos x berpotongan di x = /4 dan x = 5/4.

r

r

P O

Q

Gambar 2.2.9 Besar sudut POQ 1 radian

Gambar 2.2.10 (b) Grafik xy cos

Gambar 2.2.10 (a) Grafik xy sin

42

(b). Fungsi Siklometri

Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri juga merupakan fungsi. Invers fungsi

trigonometri dikenal dengan nama fungsi siklometri. Invers fungsi sinus ditulis dengan sin1 atau arcsin dan

didefinisikan sebagai berikut:

Gambar 2.2.11 (a) Grafik xy tan Gambar 2.2.11 (b) Grafik xy cot

Gambar 2.2.11 (c) Grafik xy sec Gambar 2.2.11 (d) Grafik xy csc

43

y = sin1 x = arcsin x x = sin y y [/2, /2]

Demikian pula untuk invers fungsi trigonometri yang lain.

y = cos1x = arccos x x = cos y y [0, ]

y = tan –1x = arctan x x = tan y y (/2, /2)

y = cot 1x = arccot x x = cot y y (0, )

y = sec 1x = arcsec x x = sec y y (/2, /2)

y = csc1 x = arccsc x x = csc y y (0, )

Selanjutnya, grafik fungsi siklometri dapat dilihat pada Gambar 2.2.12 di bawah ini.

Gambar 2.2.12 (a) xy arcsin Gambar 2.2.12 (b) xy arccos

Gambar 2.2.12 (a) xy arctan

44

(c) Fungsi Eksponensial

Untuk 1,0 aa , fungsi f dengan rumus:

f(x) = ax

disebut fungsi eksponensial. Grafik fungsi eksponensial diperlihatkan pada gambar berikut:

(d). Fungsi Logaritma

Untuk 1,0 aa , ya axxy log . Sebagai contoh:

2731karena327log

82karena38log331

32

Selanjutnya, fungsi f dengan rumus:

xxf a log)(

disebut fungsi logaritma. Dalam hal ini 0: xxD f R . Grafik fungsi logaritma diperlihatkan pada

gambar dibawah.

1, aay x

10, aay x

1

Gambar 2.2.13

45

2.2.2 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kutub

Seperti telah diterangkan di muka, dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik dapat

diekspresikan dengan tak hingga banyak cara. Oleh karena itu, untuk menggambarkan grafik fungsi dalam

sistem koordinat kutub, diperlukan kehati-hatian yang lebih dibanding ketika menggambar dalam sistem

koordinat Kartesius.

Contoh 2.2.1 Gambarlah grafik r = 2.

Penyelesaian: Titik-titik ),( r yang memenuhi persamaan r=2 adalah titik-titik yang berjarak 2 satuan

dari kutub (O). Jadi, kumpulan titik-titik ini akan membentuk lingkaran berjari-jari 2. Dengan cara lain,

karena 222 yxr maka 422 yx . Grafik diberikan pada Gambar 2.2.15.

1,log axy a

10,log axy a

1

Gambar 2.2.14

Grafik fungsi yang disajikan dalam sistem koordinat kutub )(fr adalah himpunan semua titik P

sehingga paling sedikit satu representasi titik P, yaitu ),( r , memenuhi persamaan tersebut.

46

Contoh 2.2.2 Gambarl grafik r = 2 sin dan r = 2 + 2 sin .

Penyelesaian: Tabel di bawah memberikan beberapa titik yang memenuhi kedua persamaan fungsi di atas

untuk 20

Tabel 2.2.1

r = 2 sin r = 2 + 2 sin 0 0 2 6 1 3

4 2 2 + 2 3 3 2 + 3 2 2 4

32 3 2 + 3 43 2 2 + 2 65 1 3

0 2 67 1 1

45 2 2 2 34 3 2 3 23 2 0

35 3 2 3 47 2 2 2

(2, /2)

(2, /4)

(2, 0) (2, ) (2, 2)

Gambar 2.2.15

47

Berdasarkan hasil pada Tabel 2.2.1, grafik dapat dilihat pada Gambar 2.2.16.

Contoh 2.2.3 Gambarlkan daerah yang berada di dalam kurva r = cos22 tetapi di luar lingkaran

r = sin2 .

Penyelesaian: Untuk beberapa nilai , maka titik-titik yang dilalui oleh kurva di atas dapat dilihat pada

tabel berikut:

Tabel 2.2.2

r = cos22 r = sin2 0 4 0 6 2+2 3 1

4 2+ 2 2 3 3 3 2 2 2

0 0 23 2 2

2 4 0

Selanjutnya, gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut:

Gambar 2.2.16 (a) sin2r Gambar 2.2.16 (a) sin22r

48

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 12, diberikan persamaan dalam x dan y. Tentukan persamaan yang mana y merupakan

fungsi x.

1. 632 yx 2. 1xy 3. 42 yx

4. 42 yx 5. 44 22 yx 6. 12 yx

7. 03 xy 8. 1y

x 9. xy

10. 012 xyx 11. 1)1( xxy 12. 99 22 yx

Untuk soal 13 – 21, tentukan domain dan range fungsi f.

13. 52)( xxf 14.2

1)(

xxf 15.

31

)(

x

xxxf

Gambar 2.2.17

49

16. 1)( 2 ttf 17.1

)(3

x

xxf 18.

11

)(

u

uuf

19. xxf 1ln)( 20.1

2)(

s

sssf 21.

2

122

ln)(x

xxf

22. Tentukan )(),2(),0( hxfdanff jika 15

)(

x

xxf .

23. Tentukan )(),16(),1( hxfdanff jika xxxf )(

24. Diberikan xxf )( . Jika 0h , tunjukkan:

xhxh

xfhxf

1)()(

25. Untuk sebarang bilangan real 0h , tentukan h

xfhxf )()( jika xxf sin)( .

Untuk soal 26 – 31, diberikan fungsi f dan g. Tentukan ,.,, gfgfgf dan gf beserta dengan

masing-masing domainnya.

26. xxgxxf )(,3)( 27. xxgxxf 2)(,1)(

28. xxgxxf 1)(,1)( 2 29. 31)(,1)( xxgxxf

30. 1)(,.23

)( 22

xxgxx

xxf 31.

21

)(,1

)(

x

xxg

x

xxf

Untuk soal 32 – 41, tentukan gf dan fg serta masing-masing domainnya.

32. xxgxxf )(,3)( 33. xxgxxf )(,)(

34. 21

)(,1

)(

x

xxg

x

xxf 35. 1)(,1)( xxgxxf

36. 1)(,.23

)( 22

xxgxx

xxf 37. xxgxxf 1)(,1)( 2

50

38. xxgxxf 2)(,1)( 39. xxgxxf 1)(,1)( 2

40.

0,5

0,2

)(,

0,3

0,

)(

xx

xx

xg

xx

xx

xf

41.

0,2

0,1

)(,1)(

xx

xx

x

xgxxf

Untuk 42 – 46, tentukan inversnya beserta domainnya.

42. 32)( xxf 43. 13

2)(

x

xxf 44.

21

1)(

x

xxg

45.

0,2

0,1

)(

xx

xx

x

xg 46.

0,1

1

0,12

)(

xx

xx

xf

2.3 Barisan dan Deret

Perhatikan himpunan tak hingga berikut ini.

...,811

,271

,91

,31

,1A

Apabila fungsi f didefinisikan sebagai:

N

nnfn 13

1)(

maka himpunan A dapat pula dinyatakan sebagai:

N nnfA :)(

Dalam hal ini, fungsi f disebut barisan. Secara umum, dapat didefinisikan pengertian barisan sebagai

berikut.

51

Pada bagian ini akan dibicarakan fungsi dengan domain sistem bilangan asli. yang

Jadi, barisan bilangan real adalah fungsi RN :f . Untuk seterusnya, barisan bilangan real cukup

disebut sebagai barisan. Suku ke-n suatu barisan, yaitu )(nf , biasa dinyatakan dengan an, n N.

Selanjutnya, barisan dengan suku-suku an, n N, ditulis dengan notasi na .

Contoh 2.3.2 Berikut adalah contoh-contoh barisan:

a. nan 1 b. nan c.

!

1n

an

d. nan sin e.

1n

nan f. n

na )1(

Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan:

S1 = a1 S2 = a1 + a2 … Sn = a1 + a2 + … + an

Sn, nN, disebut jumlahan parsial.

Contoh 2.3.4 Bilangan 31 dapat ditulis sebagai:

...10

3...

10003

1003

103

...003,003,03,0333333,031 n

Ruas terakhir pada persamaan di atas adalah suatu deret.

Definisi 2.3.1 Barisan bilangan real adalah fungsi bernilai real dengan domain sistem

bilangan asli. Nilai fungsi di n disebut suku ke-n.

Definisi 2.3.3 Diberikan barisan na . Jumlahan tak hingga:

1

21 ......

k

nk aaaa

disebut deret tak hingga atau deret untuk singkatnya.

52

2.4 Irisan Kerucut

Diketahui luasan berbentuk kerucut tegak dengan setengah sudut puncak dan titik puncak P.

Apabila kerucut tersebut diiris dengan bidang W tidak melalui P dan membentuk sudut terhadap sumbu

kerucut maka irisannya akan berbentuk suatu kurva, yang selanjutnya disebut irisan kerucut. Bentuk irisan

kerucut ini tergantung pada besar sudut . Apabila:

(a). maka irisan kerucut berupa eilips. Perhatikan gambar di bawah.

(b.). maka irisan kerucut yang terjadi berbentuk parabola (lihat Gambar 2.4.2).

W P

W P

Gambar 2.4.1

Gambar 2.4.2

53

(c.). 0 maka terjadi kelas hiperbola

Irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang perbandingan jaraknya

ke suatu titik tertentu dan kesuatu garis tertentu tetap. Selanjutnya, titik tertentu tersebut dinamakan titik

fokus yang dinyatakan dengan F, garis tertentu tersebut dinamakan garis arah yang dinyatakan dengan d,

dan perbandingan yang tetap tersebut dinamakan eksentrisitas yang ditulis . Berdasarkan eksentrisitasnya

irisan kerucut dapat dibedakan menjadi:

a. Kelas ellips jika 10

b. Kelas parabola jika 1

c. Kelas hiperbola jika 1

Diambil fokus F berimpit dengan titik asal O dan garis arah d mempunyai persamaan x + p = 0

dengan p > 0.

W P

Gambar 2.4.3

54

Jika P(x,y) sebarang titik pada irisan kerucut maka perbandingan jarak P ke F dan P ke d sama

dengan , yaitu:

PD

PF

atau

px

yx 22

2222 pxyx

222222 21 ppxyx

(i). Untuk 1 diperoleh parabola dengan persamaan:

y2 = 2px + p2 = 2p (x + )2

p

Jika diambil substitusi 2

* pxx maka persamaan parabola menjadi y2 = 2px*. Selanjutnya, y2 = 2px

merupakan persamaan parabola dengan fokus F( )0,2

p, garis arah d: x + 0

2

p, titik puncak O (0,0), dan

sumbu simetris garis y = 0 atau sumbu X.

O F

x+ p=0

Gambar 2.4.4

55

(ii).Untuk 1 diperoleh elips atau hiperbola dengan persamaan:

2

22

2

2

2

22

111

2

pyx

px

22

24

2

22

2

22

2

2

1111

ppypx

22

24222

2

22

2

2

1

1

11

ppypx

= 22

22

1

p

Selanjutnya, dengan menggambil x** = x 2

22

1

p diperoleh:

(x**)2 + 22

22

2

2

11

py

1

1

1

1

**

22

222

2

22

22

2

p

y

p

x

O F

x+ p=0

Gambar 2.4.5

P(x,y) ●

56

1

11

**

2

22

2

22

22

2

p

y

p

x

(a). Untuk 10 diambil:2

222

1

pc dan

22

222

1

pa , maka diperoleh:

1

**2

2

2

2

b

y

a

x

Karena 2222

22

11

bap

, dan

a

c , maka: b2 + c2 = a2 . Secara umum, persamaan ellips

dengan pusat O(0,0), sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, fokus F( )0,c , dan garis arah d dengan

persamaan x = c

a2

diberikan oleh:

12

2

2

2

b

y

a

x

Jika a = b maka ellips mempunyai persamaan:

x2 + y2 = a2

Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari a. Jadi, lingkaran adalah ellips

dengan titik fokus dan titik pusat O.

a a

b

b

● ●

●P(x,y)

Gambar 2.4.6

57

(b). Untuk 1 , diambil 22

222

1

pa dan 22

2

22

11

a

p = b2 maka diperoleh c2 = a2 + b2

dan a

c dan:

1

**2

2

2

2

b

y

a

x

Jadi, persamaan hyperbola dengan pusat O(0,0) , sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, titik fokus

F( )0,c , dan garis arah d : x = c

a2

diberikan oleh:

12

2

2

2

b

y

a

x

●(0,b)

●(0,b)

●

(a,0) ●

(c,0) ●

(a,0) ●

(c,0)

xa

by x

a

by

Gambar 2.4.7