LATEX : Notasi Matematika

HirwantoProgram Studi Matematika

Universitas Gadjah Mada

Edisi Ke -5

l-hirwanto.blogspot.com

hirwanto.iwan@yahoo.com

Buku ini hanya sebuah pengantar dalam menggunakan beamer disertai dengancontoh dan semoga dapat mempermudah pembaca memahaminya dari sekelumit yang adadidalam buku pengantar beamer.

Hak Cipta dilindungi oleh Undang -Undang © 2014 Lestin,Ltd

LATEX & EPUB PUBLISHING

Hirwanto

Jenis Tulisan : Palatino, 12 pt.Ukuran Kertas : A4(8.27" x 11.69" )

E-book ini dibuat oleh Hirwanto dengan menggunakan WinEdt 8.0 atau WinEdt 9.0 dan tem-plate asli yang digunakan adalah dari Walter Mora dan Alexánder Borbón A.

Template ini dipergunakan oleh penulis, Hirwanto untuk penggunaan pembuatan buku ten-tang beamer dan disediakan secara gratis, bebas digunakan. Jika dikemudian hari ada pihak ke-tiga yang menyebarkan tidak secara gratis maka saya sebagai penulis akan memberikan gugatanatas penyalahgunaan. Isi dalam e-book ini dapat disebarkan dan digunakan secara pribadi dantidak untuk diperjualbelikan. Syarat dan ketentuan ebook ini dapat berubah sewaktu -waktu dantidak memiliki batasan waktu sebatas tidak ada penyalahgunaan terhadap buku ini.

Edisi keke-1(29 September 2014), 2(11 Oktober 2014 ), 3(14 Oktober 2014),4(16 Oktober 2014),5(23 Ok-tober 2014)

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI 3

DAFTAR GAMBAR 4

DAFTAR TABEL 5

KATA PENGANTAR 6

TENTANG PENULIS 7

DAFTAR SERI BUKU LATEX 8

1 PENDAHULUAN 91.1 Dasar dasar dalam menulis rumus didalam LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Tampilan Rumus Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Subscripts dan Superscripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Contoh Lebih Lanjut Subscript dan Superscript . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Bracket and Parentheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Pengaturan ukuran dan jenis tanda kurung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Penggunaan Tanda Kurung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Binomial and Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.1 Penggunaan tanda Pembagi(fraction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.2 Penggunaan Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Aligning Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.1 Persamaan Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7.2 Menampilkan Persamaan yang Panjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.3 Membagi dan Meratakan Persamaan Matematika . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.4 Mengelompokkan dan Meratakan Persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Jarak teks pada mode Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9 Membuat Integral dan Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.9.1 Penulisan Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9.2 Penulisan Integral Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9.3 Sum and Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10 Pengaturan persamaan kuadrat dan akarnya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11 Mode Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.12 Ellipsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.13 Membuat Akar(roots) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.14 Membuat pembagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

DAFTAR ISI 3

1.15 Underbrace dan Overbrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.16 Aksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.17 Tulisan Indah/Kaligrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.18 Membuat Matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.19 Alinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.20 Case/Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.21 Simbol Matematikan Tingkat Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.21.1 Cancel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.21.2 bm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.21.3 braket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 AMS MATH 39

A DAFTAR NOTASI MATEMATIKA 40

DAFTAR GAMBAR

DAFTAR TABEL

1.1 Contoh dan Kode matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Ukuran dan Jenis Tanda Kurung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Perintah jarak teks dalam math mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 Integral beserta kode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Akar beserta kode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6 Aksen beserta kode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

KATA PENGANTAR

Buku ini berjudul "LATEX : Notasi Matematika" seri ke -3 dari buku yang saya buat yaitu perta-ma, berjudul "Membuat dokumen LATEX", yang kedua berjudul "Beamer" mencoba merangkumsegala perintah masukan notasi matematika di program LATEX. Notasi Matematika yang biasa kitagunakan adalah dengan menambahkan/menyisipkan tanda dollar($) diawal dan diakhir doku-men notasi yang kita ketik. Selain itu, juga kita terkadang menggunakan tanda \[ ...\] untukmenampilkan rata tengah notasi yang kita buat. Jarang sekali, menggunakan perintah \begindisplaymath dan dan diakhiri perintah \enddisplaymath. Tampilan pada dokumen.pdf dibedak-an dengan teks yang kita buat, mempunyai ciri bercetak miring dan diatur khusus untuk menam-pilkan notasi matematika.

Sedangkan untuk aturan lebih lanjut, kita menggunakan paket yang disebut American Ma-thematical Society(AMS). Paket AMS math meliputi pengaturan jenis tulisan, notasi, persama-an,teorema, dan lain sebagainya yang berhubungan dengan notasi matematika atau perintah ma-sukan. Tentunya, menjadi suatu pertanyaan bagaimana mengatur/mengganti jenis huruf yangdigunakan pada pengaturan huruf di notasi matematika, mengubah ukuran huruf,maupun pe-ngetahuan notasi matematika yang lebih banyak. Didalam buku ini berusaha untuk memberikanpanduan, daftar notasi matematika, pengaturan huruf, warna, hingga daftar huruf matematikayang lainnya.

Tak ada gading yang tak retak, begitu juga dengan buku yang ada di hadapan Anda. Sayamenerima saran dan kritik Anda dalam pengembangan buku ini lebih lanjut dan dapat dipergu-nakan secara luas bagi Anda yang membutuhkannya.

Penulis juga tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada pihak -pihak yang telah membantuterciptanya buku ini. Terima kasih telah berkesempatan membaca sekelumit isi didalam buku ini.Semoga bermanfaat bagi Anda.

Yogyakarta, 17 Oktober 2014

Hirwanto

TENTANG PENULIS

Perkenalkan nama saya Hirwanto,

Saya lahir di Palembang, 6 Oktober 1989 dan sekarang saya tinggal diKotabumi, Lampung Utara. Program LATEX sangat membantu sekali untukseorang akademisi dalam menghasilkan keluaran khususnya yang banyakmemuat notasi matematika. Inilah tujuan diciptakannya TEX oleh DonaldE. Knuth untuk menghasilkan keluaran notasi matematika yang cantik danberkualitas. Belajar LATEX itu tidak seperti belajar program yang lainnya ha-nya diketik dapat dan dapat dilihat hasilnya namun kita hanya masukanteks tidak tahu keluarannya seperti apa , sebelum kita kompilasi dokumenyang kita buat. Salah satu kesulitan dalam mempelajarinya adalah kita per-lu belajar bahasa pemrograman seperti mengatur paragraf, menulis notasimatematika, atau hanya sekedar membuat dokumen biasa seperti ini con-tohnya :

\documentclassarticle\begindocument" Hello World "\enddocument

" Hello World "

Perintah diatas hanya untuk menuliskan " Hello World ". Hello ? Ketertarikan penulis padaprogram LATEX adalah stabilitas, konsistensi teks yang dibuat, dan yang pasti kepraktisan dalammembuat dokumen yang berisi, padat, tanpa ada satu spasipun yang berlebih. Kini saatnya ki-ta beralih ke LATEX jika ingin menghasilkan teks yang berisi notasi matematika yang cantik danberkualitas. Let’s start TEX -ing.

DAFTAR SERI BUKU LATEX

Berikut daftar buku yang sudah dibuat :

(a) MusicTEX : Simpony LATEXdalam Musik

(b) Membuat Dokumen LATEX (c) Beamer : Media PresentasiLATEX

(d) LATEX : Notasi Matematika (e) ConTeXt 0.79.1 Beginner’sGuide

1 PENDAHULUAN

Salah satu motivasi terbesar untuk Donald Knuth ketika dia mulai mengembangkan sistemTEX adalah membuat sesuatu konstruksi sederhana untuk rumus matematika, yang terlihat pro-fessional ketika dicetak. Fakta ini menjadi berasal karena sistem TEX menjadi sangat terkenal di-gunakan oleh kalangan saintis. Pengaturan notasi matematikalaha yang merupakan salah satukekuatan terbesar di sistem LATEX. Itu juga menjadi topik yang luas berdasar pada keberadaanbegitu banyak notasi matematika. Jika kamu hanya memiliki dokumen dengan perintah rumusmatematika yang sederhana, plain LATEX adalah perangkat yang cocok buat kamu. Jika kamusedang mengetik dokumen saintis yang memuat beragam rumus yang kompleks, paket Ams-math memperkenalkan beberapa perintah baru yang lebih baik dan fleksibel. Sedangkan untukpaket terbaru dan memberikan beberapa kesalahan didalam paket Amsmath diperkenalkan pa-ket Mathtools. Mathtools merupakan paket yang memperbaikan beberapa pengaturan kegunaan,simbol, dan hal - hal yang didalamnya. Untuk menggunakannya kamu bisa gunakan, perintahberikut :

\usepackageamsmath

atau

\usepackagemathtools

Kita akan membahas kali ini bagaimana menggunakan notasi/simbol matematika. Fitur yangada di LATEX merupakan perangkat yang tepat dalam menuliskan dokumen saintis karena ke-mampuannya dalam melakukan kompilasi simbol matematika yang bagus, berikut contoh se-derhananya :

Teorema Pytagoras yang terkenal, \(x^2+y^2=z^2\) terbukti gagal untuk pangkat yang lain artinyapersama selanjutnya tidak mempunyai solusi bilangan bulat :

\[x^n+y^n=z^n\]

Teorema Pytagoras yang terkenal, x2 + y2 = z2 terbukti gagal untuk pangkat yang lain artinyapersama selanjutnya tidak mempunyai solusi bilangan bulat :

xn + yn = zn

10 PENDAHULUAN

1.1 Dasar dasar dalam menulis rumus didalam LATEX

LATEX memiliki 3 hal mode secara umum yaitu :

1 paragraph mode. Kita bisa memasukkan pengaturan teks sebagai barisan kata didalam ba-ris paragraf dan halaman dan ini yang kita gunakan sampai sekarang.

2 left to right mode.Ini juga melakukan pengaturan teks sebagai barisan kata, tetapi didalamLATEX teks dimulai dari kiri ke kanan tanpa adanya baris kosong. Untuk itu diperlukan \mobx untuk mempertahankan teks yang ada.

3 math mode. Dengan adanya pengaturan ini teks yang berupa simbol matematika diaturmenggunakan pengaturan khusus sehingga berbeda dengan teks biasa seperti bercetak mi-ring.

1.2 Tampilan Rumus Matematika

Dalam menampilkan rumus matematika biasa kita lakukan dengan memulai dengan tanda $dan diakhiri dengan tanda $ yang disebut dengan mode inline. Selain itu, Anda dapat memulaidengan code seperti ini :

. Mode inline biasa digunakan dalam menyisipkan notasi matematika dengan menggunakan$ $ atau \( \), berikut contohnya :

The set $R[x]$ of all polynomial in an indeterminate $x$ with coefficient in a ring $R$ is a ringunder polynomial addition and multiplication. If $R$ is commutative, the so is $R[x]$, and

if $R$ has unit; $1$ then $1$ is also unity for $R[x]$.

The set R[x] of all polynomial in an indeterminate x with coefficient in a ring R is a ring underpolynomial addition and multiplication. If R is commutative, the so is R[x], and if R has unit;1 then 1 is also unity for R[x].

The set \(R[x]\) of all polynomial in an indeterminate \(x\) with coefficient in a ring \(R\) isa ring under polynomial addition and multiplication. If \(R\) is commutative, the so is \(R[x]\), and if \(R\) has unit; \(1\) then \(1\) is also unity for \(R[x]\).

The set R[x] of all polynomial in an indeterminate x with coefficient in a ring R is a ring underpolynomial addition and multiplication. If R is commutative, the so is R[x], and if R has unit;1 then 1 is also unity for R[x].

. $$ $$ sama dengan \[\] ini digunakan untuk menampilkan rumus matematika dengan per-ataan tengah.

Let $R$ be a ring. A polynomial $f(x)$ with coefficients in $R$ is an infinite formal sum\[\sum_i=0^\infty a_i x^i=a_0+a_1 x+\cdots+a_nx^n+\cdots\]

11

where $a_i \in R$ and $a_i=0$ for all but a finite number of values of $i$. The $a_i$ are \emphcoefficients of $f(x)$. If for some $i>0$ it is true $a_i\neq 0$, the largest suchvalues of $i$ is the \textbfdegree of $f(x)$. If no such $i>0$ exists , then $f(x)$ is of \emphdegree zero

Let R be a ring. A polynomial f (x) with coefficients in R is an infinite formal sum

∞

∑i=0

aixi = a0 +a1x+ · · ·+anxn + · · ·

where ai ∈ R and ai = 0 for all but a finite number of values of i. The ai are coefficients of f (x).If for some i > 0 it is true ai 6= 0, the largest such values of i is the degree of f (x). If no suchi > 0 exists, then f (x) is of degree zero

Let $R$ be a ring. A polynomial $f(x)$ with coefficients in $R$ is an infinite formal sum$$\sum_i=0^\infty a_i x^i=a_0+a_1 x+\cdots+a_nx^n+\cdots$$where $a_i \in R$ and $a_i=0$ for all but a finite number of values of $i$. The $a_i$ are \

emphcoefficients of $f(x)$. If for some $i>0$ it is true $a_i\neq 0$, the largest suchvalues of $i$ is the \textbfdegree of $f(x)$. If no such $i>0$ exists , then $f(x)$ is of \emphdegree zero

Let R be a ring. A polynomial f (x) with coefficients in R is an infinite formal sum

∞

∑i=0

aixi = a0 +a1x+ · · ·+anxn + · · ·

where ai ∈ R and ai = 0 for all but a finite number of values of i. The ai are coefficients of f (x).If for some i > 0 it is true ai 6= 0, the largest such values of i is the degree of f (x). If no suchi > 0 exists, then f (x) is of degree zero

. \beginequation dan diakhiri dengan \endequation ini digunakan untuk menampilkan sim-bol matematika dengan pengurutan nomor persamaan.

Let $F$ be subfield of a field $E$, let $\alpha$ be any element of $E$, and let $x$ be anindeterminate. The map $\Phi_\alpha:F[x]\rightarrow E$ defined by

\beginequation(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)\Phi_\alpha=a_0+a_1x+\cdots+a_n\alpha^n\endequationfor $(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)\in F[x]$ is a homomorphism of $F[x]$ into $E$. Also, $x\Phi_\

alpha=\alpha$, and $\Phi_\alpha$ maps $F$ isomorphically by identity map, that is, $a\Phi_\alpha=a$ for $a\in F$. The homomorphism $\Phi_\alpha$ is \textbfevaluation od$\alpha$.

Let F be subfield of a field E, let α be any element of E, and let x be an indeterminate. Themap Φα : F [x]→ E defined by

(a0 +a1x+ · · ·+anxn)Φα = a0 +a1x+ · · ·+anαn (1.1)

for (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) ∈ F [x] is a homomorphism of F [x] into E. Also, xΦα = α, and Φα

maps F isomorphically by identity map, that is, aΦα = a for a ∈ F . The homomorphism Φα

is evaluation od α.

12 PENDAHULUAN

. \begindisplaymath dan diakhiri dengan \enddisplaymath ini digunakan untuk menampilk-an simbol matematka sama seperti $$ $$ dan \[\].

Let $F$ be a field , and let $\alpha$ dan $\beta$ be algebraic over $F$ with $\text\, deg\,(\alpha,F)=n$. The map $\Psi_\alpha,\beta:F(\alpha)\rightarrow F(\beta)$ defined by

\begindisplaymath(c_0+c_1\alpha+\cdots+c_n−1\alpha^n−1)\Psi_\alpha,\beta=c_0+c_1\beta+\cdots+c_n

−1\beta^n−1\enddisplaymathfor $c_i\in F$ is an isomorphism of $F[\alpha]$ onto $f[\beta]$ if only if $\alpha$ and $\beta$

are \emphconjugate over $F$.

Let F be a field, and let α dan β be algebraic over F with deg (α,F) = n. The map Ψα,β :F(α)→ F(β) defined by

(c0 + c1α+ · · ·+ cn−1αn−1)Ψα,β = c0 + c1β+ · · ·+ cn−1β

n−1

for ci ∈ F is an isomorphism of F [α] onto f [β] if only if α and β are conjugate over F .

1.3 Subscripts dan Superscripts

Kita selanjutnya akan memperkenalkan bagaimana menampilkan Subscripts dan Superscriptsdidalam notasi matematika, berikut contohnya :

1 Subsripts merupakan tampilan huruf yang berada dibawah huruf/angka yang lebih besarbiasa menyatakan suatu simbol tertentu baik itu angka maupun huruf.

Let $f , f ^’, f ^’’$ be continuous on $[a,b]$ and let $M_n(f)$ be the $n$th, \emphMidpointApproximation, then there exists $\gamma \in [a,b]$ such that

\[\int_a^b f−M_n(f)=\frac(b−a)h_n^2(24). f^"\gamma.\]

Let f , f′, f′′

be continuous on [a,b] and let Mn( f ) be the nth, Midpoint Approximation, thenthere exists γ ∈ [a,b] such that ∫ b

af −Mn( f ) =

(b−a)h2n

(24). f′′γ.

Let $f , f ^’,\ text \, dan \,f ^’’$ be continuous, and let $|f ^’’( x)|\leq B_2$ for all $x\in[a,b]$, Then

\[\left|M_n(f)−\int_a^bf\right|\leq \frac(b−a)h_n^224.B_2=\frac(b−a)^324n^2.B_2.\]

Let f , f′, dan f

′′be continuous, and let ‖ f

′′(x)‖ ≤ B2 for all x ∈ [a,b], Then∣∣∣∣Mn( f )−

∫ b

af∣∣∣∣≤ (b−a)h2

n

24.B2 =

(b−a)3

24n2 .B2.

2 Superscript merupakan huruf yang mempunya ukuran lebih kecil seperti perpangkatanbaik itu huruf maupun angka, berikut contohnya :

13

Where the Trapezoidal and Midpoint Rule were based on the approximation of $f$ by piecewiselinear function, Simpson’s Rule approximate the graph of $f$ by parabolic arcs. To helpmotivate the formula, the reader may show the if three points

\[(−h,y_0), \qquad (0,y_1) \qquad \text\, and\, \qquad (h,y_2)\]are give, then the quadratic function $q(x):=Ax^2+Bx+C$ that passes through these points has

property that\[\int_−h^h q =\frac13h (y_0+4y_1+y_2)\]Now let $f$ be a continuous function on $[a,b]$ and let $n\in N$ be \empheven, and let $h_n

:=(b−a)/n$. On each"double subinterval"\[[a,a+2h_n], \qquad [a+2h_n,a+4h_n], \qquad , \ldots, [b−2h_n,b]\]

Where the Trapezoidal and Midpoint Rule were based on the approximation of f by piece-wise linear function, Simpson’s Rule approximate the graph of f by parabolic arcs. To helpmotivate the formula, the reader may show the if three points

(−h,y0), (0,y1) and (h,y2)

are give, then the quadratic function q(x) := Ax2 +Bx+C that passes through these pointshas property that ∫ h

−hq =

13

h(y0 +4y1 + y2)

Now let f be a continuous function on [a,b] and let n ∈ N be even, and let hn := (b−a)/n. Oneach"double subinterval"

[a,a+2hn], [a+2hn,a+4hn], , . . . , [b−2hn,b]

1.3.1 Contoh Lebih Lanjut Subscript dan Superscript

Berikut ini contoh lebih lanjut untuk penggunaan Subsript dan Superscript:

Let $f , f ^’, f ^’’$ and $f^(4)$ be continuous on $[a,b]$ and let $n\in N$ be even. If $S_n(f)$ is $n$th Simpson Approximation, then there exists $c\in [a,b]$, such that

\[\int\limits_a^b f=\frac(b−a)h_n^4180.f^(4)(c)\]

Let f , f′, f′′

and f (4) be continuous on [a,b] and let n ∈ N be even. If Sn( f ) is nth Simpson Approxi-mation, then there exists c ∈ [a,b], such that

b∫a

f =(b−a)h4

n

180. f (4)(c)

Let $2^1/3$ be the real cube root of $2$ and $2^1/2$ be the positive square root of $2$. Then, aswe saw Example, $2^1/3\notin Q(2^1/2)$. Thus $[Q(2^1/2,2^1/3):Q(2^1/2)]=3$. Then$\1,2^1/2\$ is basis for $Q(2^1/2)$ over $Q$, and $\1,2^1/3,2^2/3\$ is a basis for $Q(2^1/2,2^1/3)$ over $Q^1/2$. Furthermore, by Theorem 38.2(see the comment following thetheorem)

\[\1,2^1/2, 2^1/3, 2^5/6,2^2/3, 2^7/6\\]

Let 21/3 be the real cube root of 2 and 21/2 be the positive square root of 2. Then, as we sawExample, 21/3 /∈ Q(21/2). Thus [Q(21/2,21/3) : Q(21/2)] = 3. Then 1,21/2 is basis for Q(21/2) overQ, and 1,21/3,22/3 is a basis for Q(21/2,21/3) over Q1/2. Furthermore, by Theorem 38.2(see thecomment following the theorem)

1,21/2,21/3,25/6,22/3,27/6

14 PENDAHULUAN

Penggunaan untuk notasi yang lainnya adalah sebagai berikut :

Let $F$ be a finite field of characteristic $p$. The the map $\sigma_p : F\rightarrow F$ defined by $a\sigma_p=a^p$ for $a\in F$ is automorphism, the \textbfFrobenius automorphism, of $F$. Also,$F_\\sigma,p\\simeq Z_p$

Let F be a finite field of characteristic p. The the map σp : F → F defined by aσp = ap for a ∈ F isautomorphism, the Frobenius automorphism, of F . Also, Fσ,p ' Zp

\beginlemaLet $F$ be an algebraic closure of $F$, and let\[f(x)=x^n+a_n−1x^n−1+\cdots+a_1x+a_0\]be any monic polynomial in $\barF[x]$. If $(f (x))^m\in F[x]$ and $m.1\neq \in F,$ then $f(x)\in F[x

],$ that is , all $a_i\in F$\endlema

Lemma 1.1 Let F be an algebraic closure of F , and let

f (x) = xn +an−1xn−1 + · · ·+a1x+a0

be any monic polynomial in F [x]. If ( f (x))m ∈ F [x] and m.1 6=∈ F, then f (x) ∈ F [x], that is, all ai ∈ F

\beginlemaLet $F$ be an algebraic closure of $F$, and let\[f(x)=x^n+a_n−1x^n−1+\cdots+a_1x+a_0\]be any monic polynomial in $\barF[x]$. If $(f (x))^m\in F[x]$ and $m.1\neq \in F,$ then $f(x)\in F[x

],$ that is , all $a_i\in F$\endlema

Definisi 1.1 A field is perfect if every finite extension is a separable

\begindefiA field is \textbfperfect if every finite extension is a separable\enddefi

Contoh Kode Contoh Kodexp x^p xn+1 x^n+1(22)n (2^2)^n 2(2n) 2^(2^n)sin2(x) \sin^2(x) xsin(x)+cos(x) x^\sin(x)+\cos(x)an a_n an+1 a_n+1UN+1 U_N+1 UUN+1 U_U_N+1

a ji a_i^j

∫ ba f (x)dx \int_a^b f(x) dx

∑Nn=1 U2 \sum_n=1^N U^2 U jk U_jk

Tabel 1.1: Contoh dan Kode matematika

Tabel diatas merupakan tabel yang menunjukkan penggunaan Subscripts dan Superscripts

Ada perbedaan dalam menampilkan simbol yaitu :Pertama : SN j akan menghasilkan SN j

Kedua : SNjakan menghasilkan SNj

15

1.4 Bracket and Parentheses

Bracket(tanda kurung) dan Parentheses(tanda pengelompokkan) merupakan suatu yang biasadigunakan didalam menulis notasi matematika, kita biasa mengenal tanda kurung siku, tandakurung, tanda kurawal, dan lain sebagainya.

1 5 80 2 43 3 -8

\[\left \

\begintabularccc1 & 5 & 8 \\0 & 2 & 4 \\3 & 3 & −8\endtabular

\right \\]

1.4.1 Pengaturan ukuran dan jenis tanda kurung

Tanda kurung bisa diatur ukuran, dapat dilihat contoh sederhana berikut ini :⟨3x+7

⟩

\[\Bigg \langle 3x+7 \Bigg \rangle

\]

Tabel berikut ini menunjukkan bagaimana penggunaan, ukuran dari tanda kurung :

1.5 Penggunaan Tanda Kurung

Penggunaan tanda kurung secara manual bisa dengan \left ( notasi matematika disini \right) Ber-ikut ini beberapa contoh dari penggunaan tanda kurung dalam notasi matematika :

Teorema 1.1 An Ideal 〈p[x]〉 6= 0 of F [x] is maximal if and only if p(x) is ireeducible over F .

16 PENDAHULUAN

Code Result

\big( \Big( \bigg( \Bigg(((((

\big] \Big] \bigg] \Bigg]]]]]

\big\ \Big\ \bigg\ \Bigg\

\big \langle \Big \langle \bigg \langle \Bigg \langle⟨⟨⟨⟨

\big \rangle \Big \rangle \bigg \rangle \Bigg \rangle⟩⟩⟩⟩

Tabel 1.2: Ukuran dan Jenis Tanda Kurung

\beginteoAn Ideal $\langle p[x]\rangle\neq \0\$ of $F[x]$ is maximal if and only if $p(x)$ is ireeducible over

$F$.\endteo

Bukti. Suppose that 〈p(x)〉 6= 0 is maximal ideal of F [x]. Then 〈p(x)〉 6= F [x], so p(x) /∈ F . Letp(x) = f (x)g(x) be factorization of p(x) in F [x],..... 2

\beginproofSuppose that $\langle p(x)\rangle\neq \0\$ is maximal ideal of $F[x]$. Then $\langle p(x)\rangle\

neq F[x]$, so $p(x)\notin F$. Let $p(x)=f(x)g(x)$ be factorization of $p(x)$ in $F[x ]$,.....\endproof

Example 31.4 shows that x3 + 3x+ 2 is irreducible in Z5[x], Thus Z5[x]/〈x3 + 3x+ 2〉 is a field. Si-milarly, Theorem 27.1 show that x2− 2 is irreducible in Q[x], so Q[x]/〈x2− 2〉 is a field. We shallexamine such fields in more detail later

Contoh 1.1

\begincontohExample 31.4 shows that $x^3+3x+2$ is irreducible in $Z_5[x]$, Thus $Z_5[x]/\langle x^3+3x+2\rangle$

is a field. Similarly, Theorem 27.1 show that $x^2−2$ is irreducible in $Q[x]$, so $Q[x]/\langle x^2−2\rangle$ is a field. We shall examine such fields in more detail later

\endcontoh

Akibat 1.1 Let f (x)∈R[x]. If f (a+bi) = 0 for (a+bi)∈C, where a,b∈R, then f (a−b) = 0 also. Loosely,complex zeros of polynomials with real coefficients occur in conjugate pairs

17

\beginakibatLet $f(x)\in R[x]$. If $f(a+bi)=0$ for $(a+bi)\in C$, where $a,b\in R$, then $f(a−b)=0$ also. Loosely,

complex zeros of polynomials with real coefficients occur in conjugate pairs\endakibat

Bukti. We have seen that C = R(i), and , of course, C = R(−i) also. Now

irr (i,R) = x2 +1

so i and −i are conjugate over R. By theorem 40.1, the map Ψi,−i : C→C given by (a+ bi)Ψi,−i =

a−bi is an isomorphism. Thus, if for ai ∈ R,

f (a+bi) = a0 +a1(a+bi)+ · · ·+an(a+bi)n = 0,

Then,

0 = ( f (a+bi))Ψi,−i = a0 +a1(a−bi)+ · · ·+an(a−bi)n

= f (a−bi),

that is, f (a−bi) = 0 also. 2

\beginproofWe have seen that $C=R(i)$, and , of course, $C=R(−i)$ also. Now\[\text\, irr \,( i ,R)=x^2+1\]so $i$ and $−i$ are conjugate over $R$. By theorem 40.1, the map $\Psi_i,−i :C\rightarrow C$ given

by $(a+bi)\Psi_i,−i=a−bi$ is an isomorphism. Thus, if for $a_i\in R,$\[f(a+bi)=a_0+a_1(a+bi)+\cdots+a_n(a+bi)^n=0,\]Then,\begineqnarray*0=(f(a+bi))\Psi_i,−i&=&a_0+a_1(a−bi)+\cdots+a_n(a−bi)^n\\

&=&f(a−bi),\endeqnarray*that is , $f(a−bi)=0$ also.\endproof

1.6 Binomial and Fraction

Penggunaan tanda pembagi maupun binomial merupakan hal yang biasa digunakan dalamnotasi matematika, berikut ini contoh sederhana penggunaannya :

The binomial coefficient is defined by the next expression:\[

\binomnk = \fracn!k!(n−k)!\]

The binomial coefficient is defined by the next expression:(nk

)=

n!k!(n− k)!

18 PENDAHULUAN

Penggunaan notasi binomial diperlukan paket berikut :

\usepackageamsmath

1.6.1 Penggunaan tanda Pembagi(fraction)

Penggunaan tanda pembagi secara standar, seperti contoh berikut :

When displaying fractions in−line, for example \(\frac3x2\)you can set a different display style :\( \displaystyle \frac3x2 \).This is also true the other way around\[ f (x)=\fracP(x)Q(x) \ \ \textrmand\ \ f(x)=\textstyle\fracP(x) Q(x) \]

When displaying fractions in-line, for example 3x2 you can set a different display style:

3x2

. This isalso true the other way around

f (x) =P(x)Q(x)

and f (x) = P(x)Q(x)

Penggunaan pembagi berulang, Anda dapat melihat contoh seperti ini :

The fractions can be nested\[ \frac1+\fracab1+\frac11+\frac 1 a \]Now a wild example\[

a_0+\cfrac1a_1+\cfrac1a_2+\cfrac1a_3+\cdots\]

The fractions can be nested1+ a

b

1+ 11+ 1

a

Now a wild example

a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 + · · ·

1.6.2 Penggunaan Binomial

Berikut ini contoh penggunaan Binomial :

The binomial coefficient is defined by the next expression:\[

\binomnk = \fracn!k!(n−k)!\]And of course this command can be included in the normaltext flow \(\binomnk\).

19

The binomial coefficient is defined by the next expression:(nk

)=

n!k!(n− k)!

And of course this command can be included in the normal text flow(n

k

).

Lebih lanjut,

Final example\newcommand*\contfrac[2]%

\rlap$\dfrac1\phantom#1$%\genfrac 0pt 0#1+#2 %

\[

a_0 +\contfraca_1\contfraca_2\contfraca_3\genfrac 0pt 0\ ddots

\]

Final example

a0 +1a1 +

1a2 +

1a3 + . . .

1.7 Aligning Equations

Gunakan paket AMS, untuk melakukan perataan persamaan :

\usepackageamsmath

Didalam matematika sudah menjadi kepastian kita akan membuat rumus matematika dan halterkadang menjadi kendala adalah perataan rumus.

A =πr2

2

=12

πr2(1.2)

\beginequation \labeleq1\beginsplitA & = \frac\pi r^22 \\

20 PENDAHULUAN

& = \frac 12 \pi r^2\endsplit\endequation

Berikut diberikan salah satu cara yang dapat dilakukan :

Anda bisa menggunakan tabular

\begintabular lll $\Leftrightarrow$(1/y)dy &=& $\lambda dt$\\$\Leftrightarrow$ ln y &=& $\lambda t +c$\\$\Leftrightarrow$ y &=& $c.e^\lambda t$\\\endtabular

⇔(1/y)dy = λdt⇔ ln y = λt + c⇔ y = c.eλt

Anda bisa menggunakan perintah eqnarray dan eqnarray*

1 Anda bisa menampilkan nomor persamaan rumus dengan eqnarray.

\begineqnarray\Leftrightarrow (1/y)dy &=& \lambda dt\\

\Leftrightarrow ln y &=& \lambda t +c\\\Leftrightarrow y &=& c.e^\lambda t

\endeqnarray

⇔ (1/y)dy = λdt (1.3)

⇔ lny = λt + c (1.4)

⇔ y = c.eλt (1.5)

2 Anda bisa menggunakan eqnarray* untuk menghilangkan nomor persamaan pada ru-mus.

\begineqnarray*\Leftrightarrow(1/y)dy &=& \lambda dt\\

\Leftrightarrow ln y &=& \lambda t +c\\\Leftrightarrow y &=& c.e^\lambda t

\endeqnarray*

⇔ (1/y)dy = λdt

⇔ lny = λt + c

⇔ y = c.eλt

3 Meratakan tanda biimplikasi dengan mengubaha posisi tanda & dapat dilihat hasilnya

\begineqnarray*\Leftrightarrow &(1/y)dy &= \lambda dt\\\Leftrightarrow & ln y &= \lambda t +c\\\Leftrightarrow & y &= c.e^\lambda t\endeqnarray*

21

⇔ (1/y)dy = λdt

⇔ lny = λt + c

⇔ y = c.eλt

4 Menggunakan align untuk perataan rumus yaitu

\beginalign*\Leftrightarrow (1/y)dy &= \lambda dt\\\Leftrightarrow ln y &= \lambda t +c\\\Leftrightarrow y &= c.e^\lambda t\endalign*

⇔ (1/y)dy = λdt

⇔ lny = λt + c

⇔ y = c.eλt

1.7.1 Persamaan Tunggal

Anda bisa menggunakan contoh berikut untuk menampilkan persamaan matematika denganpenomorannya :

\beginequation \labeleu_eqne^\pi i − 1 = 0\endequationThe beautiful equation \refeu_eqn is known as the Euler equation

eπi−1 = 0 (1.6)

The beautiful equation 1.6 is known as the Euler equation

Untuk persamaan yang tidak menginginkan penomoran dapat dilakukan hal berikut ini :

\begincontohConsider $Q(\sqrt2)$ over $Q$. The zero of $\text\, irr \,(\sqrt 2, Q)=x^2−2$ are $\sqrt2$ and

$\sqrt−2$, so $\sqrt2$ and $\sqrt−2$ are conjugate over $Q$. According to Theorem 40.1, themap $\Psi_\sqrt2,\sqrt−2: Q(\sqrt2)\rightarrow Q(\sqrt2)$ defined by

\beginequation*(a+b\sqrt2)\Psi_\sqrt2,\sqrt−2 = a − b\sqrt2\endequation*\endcontoh

Consider Q(√

2) over Q. The zero of irr (√

2,Q) = x2− 2 are√

2 and√−2, so

√2 and

√−2 are

conjugate over Q. According to Theorem 40.1, the map Ψ√2,√−2 : Q(

√2)→ Q(

√2) defined by

(a+b√

2)Ψ√2,√−2 = a−b

√2

Contoh 1.2

22 PENDAHULUAN

1.7.2 Menampilkan Persamaan yang Panjang

Persamaan matematika yang panjang, dapat kita menggunakan perintah multiline, berikut con-toh sederhananya :

\beginproofLet $a,b\inF$. Applying the binomial theorem $(a+b)^p$, we have\beginmultline*(a+b)^p=a^p+(p.1)a^p−1b+\left(\fracp(p−1)2.1\right)a^p−2b^2\\+\cdots+(p.1)ab^p−1+b^p =\cdots\endmultline*\endproof

Bukti. Let a,b ∈ F . Applying the binomial theorem (a+b)p, we have

(a+b)p = ap +(p.1)ap−1b+(

p(p−1)2

.1)

ap−2b2

+ · · ·+(p.1)abp−1 +bp = · · ·

2

Untuk memberi penomoran pada persaaman dapat dilakukan dengan menambahka tanda *,berikut contohnya :

\beginproof\beginmultline\ldots = a^p+0a^p−1b+0a^p−2b+\cdots+\\+0ab^p−1+b^p \ldots\endmultline\endproof

Bukti.

. . .= ap +0ap−1b+0ap−2b+ · · ·++0abp−1 +bp . . . (1.7)

2

1.7.3 Membagi dan Meratakan Persamaan Matematika

Membagi persamaan(Split)hampir sama dengan perintah Multline. Sedangkan untuk meratak-an persamaan, kita dapat menggunakan perintah align, berikut contohnya :

Thus, We have\beginalign*(a+b)\sigma_p &=& (a+b)^p \\

&=& a^p+b^p \\&=& a\sigma_p +b\sigma_p

\endalign*

23

Thus, We have

(a+b)σp = (a+b)p

= ap +bp

= aσp +bσp

Untuk menomoran persamaan pada perintah align adalah sama seperti perintah yang lain, ha-nya hilangkan tanda bintang(*)

Of course,\beginalign(ab)\sigma_p &=&(ab)^p \\

&=& a^p b^p\\&=&(a\sigma_p)(b\sigma_p)

\endalign

Of course,

(ab)σp = (ab)p (1.8)

= apbp (1.9)

= (aσp)(bσp) (1.10)

1.7.4 Mengelompokkan dan Meratakan Persamaan

Untuk mengelompokkan persamaan dapat digunakan perintah gather, berikut contohnya :

\beginproof\ldots, corresponding to the basic homorphism $\Phi_\alpha:K[x]\rightarrow K(\alpha)$. If\begingather*p(x)=a_0+a_1x + \cdots \\+ a_n x^n\endgather*consider\[q(x)=a_0\tau+(a_1\tau)+\cdots+(a_n\tau)x^n\]in $K^’[x]$. Obviously, since $\tau$ is an isomorphism, $q(x)$ is irreducible in $K^’[x]$. Since $

K^’\leq \barF ^’$, there is a zero $\alpha^’$ of $q(x)\in \barF ^’$. Let\[\Psi_\alpha^’:K^’[x]\langle q(x)\rangle \rightarrow K^’(\alpha^’)\]be the isomorphism analogous to $Psi_\alpha$. Finally, let\[\bar\tau: K[x]/\langle p(x)\rangle \rightarrow K^’[x]/\langle q(x)\rangle\]be the obvious isomorphism extending $\tau$ on $K$ and mapping $x+\langle p(x)\rangle$ on $x+\

langle q(x)\rangle$. The the composition of maps\[(\Psi)^−1\bar\tau\Psi_\alpha:K(\alpha)\rightarrow K^’(\alpha^’)\]is an isomorphism of $K(\alpha)$ into $\barF^’$. Clearly, $(K,\tau)<(K(\alpha),(\Psi_\alpha)

^−1\bar\tau\Psi_\alpha)$, which contradicts that $(K,\tau)$ is maximal. Therefore we musthave had $K=E$.

\endproof

Bukti. . . . , corresponding to the basic homorphism Φα : K[x]→ K(α). If

p(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn

24 PENDAHULUAN

considerq(x) = a0τ+(a1τ)+ · · ·+(anτ)xn

in K′[x]. Obviously, since τ is an isomorphism, q(x) is irreducible in K

′[x]. Since K

′ ≤ F′, there is a

zero α′

of q(x) ∈ F′. Let

Ψα′ : K

′[x]〈q(x)〉 → K

′(α′)

be the isomorphism analogous to Psiα. Finally, let

τ : K[x]/〈p(x)〉 → K′[x]/〈q(x)〉

be the obvious isomorphism extending τ on K and mapping x+ 〈p(x)〉 on x+ 〈q(x)〉. The the com-position of maps

(Ψ)−1τΨα : K(α)→ K

′(α′)

is an isomorphism of K(α) into F′. Clearly, (K,τ) < (K(α),(Ψα)

−1τΨα), which contradicts that(K,τ) is maximal. Therefore we must have had K = E. 2

1.8 Jarak teks pada mode Matematika

Terkadang didalam membuat rumus matematika, kita menyisipkan teks didalamnya dan ten-tunya kita memberikan jarak(space). Perintah ini bisa Anda gunakan untuk memberikan jarakantar teks didalam mode matematika :

Kode Nama Kode Contoh\, thinspace Biaya Totalkincir angin\; thickspace Biaya Total kincir angin\quad quadspace Biaya Total kincir angin\qquad qquadspace Biaya Total kincir angin

Tabel 1.3: Perintah jarak teks dalam math mode

\beginteoIf $D$ is a PID and $a$ and $b$ are nonzero elements of $D$, then there exists a $gcd$ of $a$ and $b$.

Furthermore, each $gcd$ of $a$ and $b$ can be expressed in the form $\lambda a+\mu b$ for some$\lambda, \mu \in D$

\endteo

Teorema 1.2 If D is a PID and a and b are nonzero elements of D, then there exists a gcd of a andb.Furthermore, each gcd of a and b can be expressed in the form λa+µb for some λ,µ ∈ D

\beginproofConsider the set\[N=\ra+sb|r,s\in D\\]Since, \\\quad $(r_1a+s_1b)\pm(r_2a+s_2b)$ \qquad = \qquad $(r_1\pm r_2)a+(s_1\pm s_2)b$

25

And,\[t(ra+sb)=(tr)a+(ts)b\]\endproof

Bukti. Consider the setN = ra+ sb|r,s ∈ D

Since,(r1a+ s1b)± (r2a+ s2b) = (r1± r2)a+(s1± s2)b And,

t(ra+ sb) = (tr)a+(ts)b

2

\beginteoThe function $v$ given by $v(\alpha)=N(\alpha)$ for nonzero $\alpha \in Z[i]$ is a Euclidean valuation

on $Z[i]$. Thus $Z[i]$ is a Euclidean domain.\endteo

Teorema 1.3 The function v given by v(α) = N(α) for nonzero α ∈ Z[i] is a Euclidean valuation on Z[i].Thus Z[i] is a Euclidean domain.

\beginproofNote that for $\beta=b_1+b_2i\neq 0, N(b_1+b_2i)=\quad b_1^2+b_2^2$,so...\endproof

Bukti. Note that for β = b1 +b2i 6= 0,N(b1 +b2i) = b21 +b2

2,so... 2

1.9 Membuat Integral dan Limit

\beginteo[Squeeze Theorem]Let $f :[ a,b]\rightarrow \mathbbR$. Then $f\in \mathbbR[a,b]$ if and only if for every $\varepsilon

>0$ there exist function $\alpha_\varepsilon$ and $\omega_\varepsilon$ in $\mathbbR[a,b]$with

\beginequation\alpha_\varepsilon(x)\leq f(x)\leq \omega_\varepsilon(x) \qquad \text\,for all\, x\in [a,b]\endequationand such that\beginequation\int_a^b (\omega_\varepsilon−\alpha_\varepsilon<\varepsilon).\endequation\endteo

Teorema 1.4 (Squeeze Theorem) Let f : [a,b]→ R. Then f ∈ R[a,b] if and only if for every ε > 0 thereexist function αε and ωε in R[a,b] with

αε(x)≤ f (x)≤ ωε(x) for all x ∈ [a,b] (1.11)

and such that ∫ b

a(ωε−αε < ε). (1.12)

26 PENDAHULUAN

Penulisan notasi integral mengunakan perintah \int, dengan penjelsan berikut :

\int_batas bawah^batas atas

Tampilan integral dalam LATEX mempunyai 2 tipe yaitu :

Integral $\int_a^b x^2 dx$ inside text$$\int_a^b x^2 dx$$

1 Tipe inline modeIntegral

∫ ba x2dx inside text

2 Tipe display math mode ∫ b

ax2dx

1.9.1 Penulisan Integral

Pengembangan integral ditandai dengan penambahan notasi menjadi integral ganda dan dapatAnda gunakan perintah

$$\iint_V \mu(u,v) \,du\,dv$$$$\iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw$$$$\ iiiint _V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw$$$$\idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k$$∫∫

Vµ(u,v)dudv∫∫∫

Vµ(u,v,w)dudvdw∫∫∫∫

Vµ(t,u,v,w)dt dudvdw∫

· · ·∫

Vµ(u1, . . . ,uk)du1 . . .duk

1.9.2 Penulisan Integral Khusus

Ada beberapa contoh pennggunaan integral khusus yaitu :

$$\oint_V f(s) \,ds$$$$\oiint_V f(s , t ) \,ds\,dt$$ ∮

Vf (s)ds

Tabel berikut beberapa contoh penggunaan integral :

1.9.3 Sum and Product

Penulisan jumlahan pada LATEX, :

\sum_batas bawah^batas atas

27

Contoh Kode∫C

FFF · dr \displaystyle\int_C\boldsymbolF\cdot\, dr∮C

FFF · dr \displaystyle\oint_C\pmbF\cdot\, dr∫∫D

f (x,y)dA \displaystyle\ iint _D f(x,y)\,dA∫∫∫Q

f (x,y,z)dA \displaystyle\ iiint _Q f(x,y,z)\,dA

Tabel 1.4: Integral beserta kode

Selanjutnya, berikut penggunaannya

Jumlahan $\sum_n=1^\infty 2^−n = 1$ inside text$$\sum_n=1^\infty 2^−n = 1$$

Jumlahan ∑∞n=1 2−n = 1 inside text

∞

∑n=1

2−n = 1

Berikut ini contoh dari products

\prod_batas bawah^batas atas

Definisi 1.2 An element of F(y1, . . . ,yn) is a symetric function in y1, . . . ,yn over F , if it left fixed by allpermutation of y1, . . . ,yn in the sense just explained.

\begindefiAn element of $F(y_1,\ldots,y_n)$ is a \textbfsymetric function in $y_1,\ldots,y_n$ over $F$, if it

left fixed by all permutation of $y_1,\ldots, y_n$ in the sense just explained.\enddefi

Let Sn be the group of all the automorphisms σ for σ ∈ Sn. Obviously, Sn is naturally isomorphicto Sn. Let K be the subfield of F(y1, . . . ,yn) which is the field of Sn. Consider the polynomial

f (x) =n

∏i=1

(x− yi);

Let $\barS_n$ be the group of all the automorphisms $\bar\sigma$ for $\sigma \in S_n$.Obviously, $\barS_n$ is naturally isomorphic to $S_n$. Let $K$ be the subfield of $F(y_1,\ldots,y_n)$ which is the field of $\barS_n$. Consider the polynomial

\[f(x)=\prod_i=1^n(x−y_i);\]

Lebih lanjut, tentang penulisan tanda limit, lihat contoh berikut :\lim_x \to \infty f (x) limx→∞ f (x)

28 PENDAHULUAN

1.10 Pengaturan persamaan kuadrat dan akarnya

Pada bagian kita akan mendiskusikan menulis persamaan kuadrat dan akarnya, berikut con-tohnya :

1 Mulai dengan membuat dokumen baru dan mulai dengan menulis judul, misalkan persamaan

kuadrat dan tanda bintang(*)artinya bagian sesi ini tidak termuat dalam daftar isi.

\documentclassarticle\begindocument\section*Persamaan Kuadrat

2 Isilah pada bagian sesi dengan menuliskan rumus persamaan kuadrat.

\section*Persamaan Kuadrat\beginequation\labelquadax^2+bx+c=0\endequationdimana $a,b$ dan $c$ konstanta dan $a\neq 0$mempunyai dua solusi untuk variabel $x$

Pada bagian atas, code dimulai dengan \beginequation dan diakhiri \endequation, inibertujuan untuk membuat nomor persamaan pada persamaan kuadrat, selanjutnya untuk\labelquad bertujuan untuk memberikan link ke persamaan jika diperlukan.

3 Jika sudah selesai, pada bagian ini kita akan membuat akar persamaan beserta linknya.

\beginequation\labelrootx_12=\frac−b \pm \sqrtb^2−4ac2a\endequation

4 Dibagian ini misalkan kita ingin mendiskusikan persamaan kuadrat dengan kasus samadengan 0, maka dapat dilihat code nya disini :

Jika determinan $\Delta$ dengan\[\Delta =b^2 −4ac\]adalah nol, maka dari persamaan \refquad dan mempunyaidua penyelasain ganda, dan persamaan (\refroot) menjadi\[x=−\fracb2a\]

5 Dapat dilihat hasilnya disiniax2 +bx+ c = 0 (1.13)

29

dimana a,b dan c konstanta dan a 6= 0 mempunyai dua solusi untuk variabel x

x12 =−b±

√b2−4ac

2a(1.14)

Jika determinan ∆ dengan

∆ = b2−4ac

adalah nol, maka dari persamaan 1.13 dan mempunyai dua penyelasain ganda, dan persa-maan (1.14) menjadi

x =− b2a

1.11 Mode Matematika

Misalkan diberikan contoh seperti dibawah ini :Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan oleh f (x) = 3x+7 dan misalkan a bilangan real po-sitif.Seharusnya kita mengetikan didalam LATEXseperti ini :

Misalkan $f$ adalah fungsi yang didefinisikan oleh $f(x)=3x+7$dan misalkan $a$ bilangan real positif .

Tanda $ merupakan tanda untuk menempatkan notasi matematika, bisa juga menggunakantanda (\ dan \) dapat dilihat dibawah ini :Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan oleh f (x) = 3x+7 dan misalkan a bilangan real po-sitif.Seharusnya kita mengetikkan didalam LATEX seperti ini :

Misalkan \(f\) adalah fungsi yang didefinisikan oleh \(f(x)=3x+7\)dan misalkan \(a\) bilangan real positif .

Disamping itu juga kita bisa menempatkan notasi matematika berada ditengah dengan meng-gunakan tanda \[ sebelum rumus dan tanda \] sesudahnya atau tanda sebelum rumus dan tanda$$ sesudahnya dapat dilihat dibawah ini:

Jika f (x) = 3x+120 dan g(x) = x+4 maka

f (x) = f (g(x)) = x4 +12

dan

f (x)g(x) = 2x+3

30 PENDAHULUAN

Seharusnya kita mengetikkan didalam LATEX seperti ini:

Jika $f(x)=3x+120$ dan $g(x)=x+4$ maka\[f(x)=f(g(x))=x^4+12\]dan\[f(x)g(x)=2x+3\]

kita dapat juga melakukan seperti ini:

Jika $f(x)=3x+120$ dan $g(x)=x+4$ maka\BF$$f(x)=f(g(x))=x^4+12\BF$$dan$$f(x)g(x)=2x+3$$

Kita dapatkan hasil yang sama yaitu:

Jika f (x) = 3x+120 dan g(x) = x+4 maka

f (x) = f (g(x)) = x4 +12

danf (x)g(x) = 2x+3

Kita dapat juga mendeklarasikan perintah yaitu dimulai dengan mengetik \beginequation di-akhiri dengan \endequation maka secara langsung dapat dilihat dibawah ini :

Jika f (x) = 3x+7 dan g(x) = x+4 maka

f (x)+g(x) = 4x+1 (1.15)

Maka dapat dilihat diatas notasi matematika akan diberi nomor sesuai dengan urutan yangada, dan seharusnya Anda mengetik didalam LATEX yaitu :

Jika $f(x)=3x+7$ dan $g(x)=x+4$ maka\beginequationf (x)+g(x)=4x+1\endequation

1.12 Ellipsis

Ellipsis digunakan ketika membuat rumus matematika dengan bilangan berurutan.

\ldots . . . \cdots · · · \vdots... \ddots

. . .

31

1.13 Membuat Akar(roots)

Membuat akar dengan \sqrt sedangkan untuk membuat dengan banyak akar kamu bisa meng-gunakan \sqrt[order]value. Contoh :

Contoh Kode√x+1 \sqrtx+1

x n√

x+√

x x\displaystyle\sqrt[n]x+\sqrtxn√

x+√

x \sqrt[n]x+\sqrtx

64√

x =

√√√√√√√√√x \sqrt[64]x = \sqrt\sqrt\sqrt\sqrt\sqrt\sqrtx

Tabel 1.5: Akar beserta kode

1.14 Membuat pembagi

Dalam membuat pembagian dengan \( (a+b)/2 \) (a+ b)/2 sedangkan untuk yang memuatpembagi yang lebih dapat menggunakan \fracnumeratordenumerator. Contoh

n(n+1)2

,

√x+12 − x

y2

\[ \fracn(n+1) 2, \quad \frac\frac\sqrtx+12−xy^2 \]

1.15 Underbrace dan Overbrace

\[ \overbrace(x_i−1)^K_if(x)+\underbrace(x_i−1)_K_ig(x)= K_i(f(x)+g(x)) \]

Ki︷ ︸︸ ︷(xi−1) f (x)+(xi−1)︸ ︷︷ ︸

Ki

g(x) = Ki( f (x)+g(x))

\beginequation\left .\raisebox10pt[30pt]\smash$\beginarrayr@l@\,l& d_0+\cdots+d_i\rlap~variables&\\& $\downbracefill$&\\

32 PENDAHULUAN

F_1(&x_0, x_1) & =0 \\& \vdots \qquad\qquad \ddots & \\F_i(&x_0, x_1, \dots ,x_i) & =0 \\

\endarray$\right\ \quad d_1 + \cdots + d_i \mbox~equations

\endequation d0 + · · ·+di variables︷ ︸︸ ︷F1(x0,x1) = 0

.... . .

Fi(x0,x1, . . . ,xi) = 0

d1 + · · ·+di equations (1.16)

$0$ for indetity , $+$ for the operation,\beginequation

\left .\raisebox10pt[30pt]\smash$\beginarrayr@l@\,l

\underbracea+a+\cdots+an \text\,summands\, & =na \\&\\&\\

\underbrace(−a)+(−a)+\cdots+(−a)n \text\, summands\, & =−na\\\endarray$\right\ \quad \text\, for\, n\in Z^+ \mbox$a\in G$

\endequation

0 for indetity, + for the operation,a+a+ · · ·+a︸ ︷︷ ︸n summands= na

(−a)+(−a)+ · · ·+(−a)︸ ︷︷ ︸n summands=−na

for n ∈ Z+a ∈ G (1.17)

1.16 Aksen

Kode Ekspresi Kode Ekspresiı \hat\imath a \acuteap \barp ~p \vecp

Tabel 1.6: Aksen beserta kode

1.17 Tulisan Indah/Kaligrafi

A ,B,C , . . . ,Z

\mathcalA, \mathcalB, \mathcalC, \ldots, \mathcalZ

33

1.18 Membuat Matrik

\beginpmatrix1 & 0 & 0 & & \cdots 0 \\h_0 & 2(h_0+h_1) & h_1 & & \cdots 0 \\0 & h_1 & 2(h_1+h_2) & h_2 & \cdots 0 \\& \ddots & \ddots & \ddots & \\0 & 0 \cdots & h_n−3 & 2(h_n−3+h_n−2) & h_n−2 \\0 & 0 & & & \cdots 1 \\\endpmatrix \cdot\beginpmatrixc_0\\c_1\\\vdots\\c_n−1\\c_n\\\endpmatrix

Akan menghasilkan :

1 0 0 · · ·0h0 2(h0 +h1) h1 · · ·00 h1 2(h1 +h2) h2 · · ·0

. . . . . . . . .0 0 · · · hn−3 2(hn−3 +hn−2) hn−2

0 0 · · ·1

·

c0

c1...

cn−1

cn

1.19 Alinea

Untuk suatu perataan dokumen/simbol di LATEX, kita memerlukan perataaan sehingga lebihenak dibaca, berikut ini yang biasa digunakan :

\begineqnarray....

\endeqnarray

Kode diatas dapat menampilkan perataan dalam persamaan matematika dengan ditandai no-mor persamaan, sedangkan untuk menghilangkan penomoran dapat di tambahkan seperti ini:

\begineqnarray*.......

\endeqnarray*

\begineqnarray*\mboxmcd(a,b) & = & \mboxmcd(a−r_0q,r_0) \\[0.2cm]

34 PENDAHULUAN

& = & \mboxmcd(r_1,r_0) \\[0.2cm]& = & \mboxmcd(r_1,r_0−r_1q_2)\\[0.2cm]& = & \mboxmcd(r_1,r_2) \\[0.2cm]& = & \mboxmcd(r_1−r_2q_2,r_2)\\[0.2cm]\endeqnarray*

Akan menghasilkan :

mcd(a,b) = mcd(a− r0q,r0)

= mcd(r1,r0)

= mcd(r1,r0− r1q2)

= mcd(r1,r2)

= mcd(r1− r2q2,r2)

\begineqnarray*y=\sqrt[n]x &\Longrightarrow & y^n=x \\&\Longrightarrow & n\log \,y=\log \,x,\;\mboxsi\;x,y>0\\& \Longrightarrow & \log \sqrt[n]x=1 \over n\log \,x\endeqnarray*

Akan menghasilkan :

y = n√

x =⇒ yn = x

=⇒ n log y = log x, si x,y > 0

=⇒ log n√

x =1n

log x

\begineqnarrayy=\sqrt[n]x &\Longrightarrow & y^n=x \\&\Longrightarrow & n\log \,y=\log \,x,\;\mboxsi\;x,y>0\\& \Longrightarrow & \log \sqrt[n]x=1 \over n\log \,x\endeqnarray

Akan menghasilkan :

y = n√

x =⇒ yn = x (1.18)

=⇒ n log y = log x, si x,y > 0 (1.19)

=⇒ log n√

x =1n

log x (1.20)

\begineqnarrayy=\sqrt[n]x &\Longrightarrow & y^n=x \nonumber\\[0.5cm]&\Longrightarrow & n\log \,y=\log \,x,\;\mboxsi\;x,y>0\\& \Longrightarrow & \log \sqrt[n]x=1 \over n\log \,x\endeqnarray

35

Akan menghasilkan :

y = n√

x =⇒ yn = x

=⇒ n log y = log x, si x,y > 0 (1.21)

=⇒ log n√

x =1n

log x (1.22)

1.20 Case/Kasus

In this section , we will solve a problem involving traffic entering a higway. If we assume a linearvelocity− density relationship , then traffic density satisfies

\beginequation\frac\partial\rho\partial t+u_\max\left(1−\frac2\rho\rho_\max\right)\frac\partial \rho

\partial x=\beta\endequationHowever, suppose case are entering the road(in some finite region $0<x<x_E$) at constant rate $\beta

_0$ per mile for all time,\[\beta(x,t )=\left\ \beginarrayrl 0 & x<0\\\beta_0 & 0<x<x_E\\0 & x>x_E,\\\endarray\right.\]

In this section, we will solve a problem involving traffic entering a higway. If we assume a linearvelocity- density relationship, then traffic density satisfies

∂ρ

∂t+umax

(1− 2ρ

ρmax

)∂ρ

∂x= β (1.23)

However, suppose case are entering the road(in some finite region 0 < x < xE ) at constant rate β0

per mile for all time,

β(x, t) =

0 x < 0

β0 0 < x < xE

0 x > xE ,

\[f(x)=\left\ \beginarrayrcl x^2+1 & \mboxsi & x\geq 0\\& & \\\ln|x| & \mboxsi & x< 0\\\endarray\right. \]

f (x) =

x2 +1 si x≥ 0

ln |x| si x < 0

36 PENDAHULUAN

\beginalign*\textfunction =\ left \\beginarray@l@\quadl@

\textcase_1 & \text if n = 0 \\\left\\beginarray@l@

\textcase_2 \\\left\\beginarray@l@

\textcase_3 \\\textcase_4

\endarray\right.\kern−\nulldelimiterspace \\\endarray\right.\kern−\nulldelimiterspace& \beginarray@l@

\text if n = 1 \\\text if n = 2 \\\text if n = 3

\endarray\endarray\right.

\endalign*

function =

case1 if n = 0

case2case3

case4

if n = 1if n = 2if n = 3

1.21 Simbol Matematikan Tingkat Lanjut

\[ f (x) = \int \frac\sin xx\,\mathrmdx\]Instead of $\frac\sin xx$now with $\frac\cos xx$:\[ g(x) = \int \frac\cos xx\,\mathrmdx \]

Dibawah ini akan diberikan dan dijelaskan paket tingkat lanjut untuk membuat notasi mate-matika.

1.21.1 Cancel

Cancel package adalah paket yang memudahkan segala hal di dalam mode matematika denganslash, backslash, atau tanda X. Untuk mendapatkan garis horizontal maka tambahkan macro de-ngan memanggil \hcancel dengan pilihan argumen untuk garis berwarna yaitu :

\newcommand\hcancel[2][black]\setbox0=\hbox#2%\rlap\raisebox.45\ht0\textcolor#1\rule\wd01pt#2

Dibawah diberikan contoh penggunaan Cancel package yaitu :

37

1 Penggunaan Slash

$f(x)=\dfrac\left(x^2+1\right)\cancel(x−1)\cancel(x−1)(x+1)$

f (x) =

(x2 +1

)(x−1)

(x−1)(x+1)

2 Penggunaan Backslash

$\bcancel3\qquad\bcancel1234567$

A3hhhh1234567

3 Penggunaan Tanda X

$\xcancel3\qquad\xcancel1234567$

A3 ((((hhhh1234567

4 Penggunaan Garis Horizontal Berwarna

$\hcancel3\qquad\hcancel[red]1234567$

3 1234567

1.21.2 bm

Secara standar \mathbf digunakan untuk membuat notasi matematika bercetak tebal dan modeke atas, misal y = f (x) ($\mathbf y=f(x)$) dan juga khususnya untuk membuat notasi matematikabercetak miring menggunakan paket bm yaitu yyy = f (x)($\bm y=f(x)$).

1.21.3 braket

Paket didalam penulisan tanda kurung () , tanda kurung kurawal , tanda garis mendatar |,dan lain sebagainya. Banyak menggunakan beberapa jenis style, diantaranya yaitu :

\[ \left\ x\in\mathbfR | 0<|x|<\frac53\right\ \]

x ∈ R|0 < |x|< 5

3

Di hasil tampilan simbol diatas, tanda | tidak cukup benar dan untuk mendapatkan juga tidakbegitu mudah, salah satunya kamu bisa menggunaakan paket \vphantom untuk membuat ukurantanda | menjadi lebih besar dan terlihat perbedaannya.

x ∈ R∣∣∣∣ 0 < |x|< 5

3

Paket braket mempunyai macro yaitu :

\Bra<math expression>\Ket<math expression>\Braket<math expression>\Set<math expression>

38 PENDAHULUAN

Dengan tulisan bagian depan yang sama tidak benar -benar menarik buat kita, namun kita bisamengubahnya menjadi lebih menarik.

\[ \Ketx\in\mathbfR | 0<|x|<\frac53 \]\[ \Braketx\in\mathbfR | 0<|x|<\frac53 \]\[ \Braketx\in\mathbfR | 0<\vert x\vert <\frac53 \]\[ \Setx\in\mathbfR | 0<|x|<\frac53 \]

∣∣∣∣x ∈ R|0 < |x|< 53

⟩⟨

x ∈ R∣∣∣∣0 <

∣∣∣∣x ∣∣∣∣< 53

⟩⟨

x ∈ R∣∣∣∣0 < |x|< 5

3

⟩

x ∈ R∣∣∣∣ 0 < |x|< 5

3

Perbedaan antar \Braket dan \Set adalah terletak dalam meng-handle garis vertikal. Macro \Setadalah hanya meng-handle satu tanda sedangkan \Braket meng-handle semuanya. Dapat dilihatcontoh dibawah ini :

\[\Braket\phi | \frac\partial^2\partial t^2 | \psi\]\[\Set\phi | \frac\partial^2\partial t^2 | \psi\]

⟨φ

∣∣∣∣ ∂2

∂t2

∣∣∣∣ψ⟩φ

∣∣∣∣ ∂2

∂t2 |ψ

2 AMS MATH

A DAFTAR NOTASI MATEMATIKA

Dibawah ini ada banyak notasi matematika yang bisa digunakan disertai dengan kodenya diLATEX yaitu sebagai berikut :

Notasi MatematikaNotasi Kode Notasi Kode Notasi Kodeℵ \aleph ′ \prime ∀ \forall

~ \hbar /0 \emptyset ∃ \exists

ı \imath ∇ \nabla 6= \neq

\jmath ℘ \wp ℜ \Re

` \ell > \top \ \natural

℘ \wp ⊥ \bot ] \sharp

‖ \| † \dag ‡ \ddag

§ \S X \checkmark z \maltese

p \ulcorner q \urcorner \diamond

0 \mho . . . \ldots · · · \cdots

∞ \infty ∂ \partial ∇ \nabla

\ \backslash ♣ \clubsuit ♦ \diamondsuit

♥ \heartsuit ♠ \spadesuit ¶ \P

© \copyright £ \pounds r \circledR

U \yen x \llcorner y \lrcorner

2 \Box · \cdot... \vdots

. . . \ddots 4 \triangle

Operator Berukuran BesarNotasi Kode Notasi Kode Notasi Kode∑ \sum ∏ \prod \coprod∫

\int∮

\oint⋂

\bigcap⋃\bigcup

⊔\bigsqcup

∨\bigvee∧

\bigwedge⊙

\bigodot⊗

\bigotimes⊕\bigoplus

⊎\biguplus

41

ArrowsNotasi Kode Notasi Kode← \leftarrow → \rightarrow

−→ \longrightarrow −→ \longrightarrow

⇐ \Leftarrow ⇒ \Rightarrow

⇐= \Longleftarrow =⇒ \Longrightarrow

↔ \leftrightarrow ⇔ \Leftrightarrow

←→ \longleftrightarrow ⇐⇒ \Longleftrightarrow

← \hookleftarrow → \hookrightarrow

\leftharpoonup \rightharpoonup

\leftharpoondown \rightharpoondown

↑ \uparrow ↓ \downarrow

⇑ \Uparrow ⇓ \Downarrow

l \updownarrow m \Updownarrow

\nearrow \nwarrow

7→ \mapsto \swarrow

\rightleftharpoons \leftrightharpoons

⇔ \leftleftarrows ⇒ \rightrightarrows

\leftrightarrows \rightleftarrows

W \Lleftarrow V \Rrightarrow

\circlearrowleft \circlearrowright

L99 \dashleftarrow 99K \dashrightarrow

\Lsh \Rsh

\upuparrows \downdownarrows

8 \nleftarrow 9 \nrightarrow

: \nLeftarrow ; \nRightarrow

= \nleftrightarrow < \nLeftrightarrow

\twoheadleftarrow \twoheadrightarrow

\leftarrowtail \rightarrowtail

" \looparrowleft # \looparrowright

x \curvearrowleft y \curvearrowright

\upharpoonleft \upharpoonright

\downharpoonleft \downharpoonright

\rightsquigarrow ! \leftrightsquigarrow

( \multimap

NegasiNotasi Kode Notasi Kode Notasi Kode6< \not< 6> \not> 6= \not=

6≤ \not\leq 6≥ \not\geq 6≡ \not\equiv

6≺ \not\prec 6 \not\succ 6∼ \not\sim

6 \not\preceq 6 \not\succeq 6' \not\simeq

6⊂ \not\subset 6⊃ \not\supset 6≈ \not\approx

6⊆ \not\subseteq 6⊇ \not\supseteq 6∼= \not\cong

6v \not\sqsubseteq 6w \not\sqsupseteq 6 \not\asymp

42 DAFTAR NOTASI MATEMATIKA

Operasi BinerNotasi Kode Notasi Kode Notasi Kode± \pm ∩ \cap ∨ \vee

∓ \mp ∪ \cup ∧ \wedge

\ setminus ] \uplus ⊕ \oplus

· \cdot u \sqcap \ominus

× \times t \sqcup ⊗ \otimes

∗ \ast / \triangleleft \oslash

? \star . \triangleright \odot

\diamond o \wr † \dagger

\circ © \bigcirc ‡ \ddagger

• \bulleta

\bigtriangleup \amalg

÷ \div`

\bigtriangledown

RelasiNotasi Kode Notasi Kode Notasi Kode≤ \leq ≥ \geq ≡ \equiv

≺ \prec \succ ∼ \sim

\preceq \succeq ' \simeq

\ll \gg \asymp

⊂ \subset ⊃ \supset ≈ \approx

⊆ \subseteq ⊇ \supseteq ∼= \cong

v \sqsubseteq w \sqsupseteq ./ \bowtie

∈ \in 3 \ni ∝ \propto

` \vdash a \dashv |= \models

^ \smile | \mid.= \doteq

_ \frown ‖ \parallel ⊥ \perp

Operator tanpa LimitNotasi Kode Notasi Kode Notasi Kode Notasi Kodearccos \arccos cot \cot hom \hom sin \sin

arcsin \arcsin coth \coth ker \ker sinh \sinh

arctan \arctan csc \csc lg \lg tan \tan

arg \arg deg \deg ln \ln tanh \tanh

cos \cos dim \dim log \log

cosh \cosh exp \exp sec \sec

Operator dengan LimitNotasi Kode Notasi Kodedet \det limsup \limsup

gcd \gcd max max \max

inf \inf min min \min

lim \lim Pr Pr \Pr

liminf \liminf sup sup \sup

inj lim \injlim proj lim \projlim

lim \varliminf lim \varlimsup

lim−→ \varinjlim

lim←− \varprojlim

43

Alfabet YunaniNotasi dan Kode

α \alpha β \beta γ \gamma δ \delta ε \epsilon ε \varepsilon ζ \zeta

η \eta θ \theta ϑ \vartheta ι \iota κ \kappa λ \lambda µ \mu

ν \nu ξ \xi o o π \pi ϖ \varpi ρ \rho ρ \varrho

σ \sigma ς \varsigma τ \tau υ \upsilon φ \phi ϕ \varphi χ \chi

ψ \psi ω \omega

Huruf Kapital YunaniNotasi Kode Notasi Kode Notasi KodeΓ \Gamma Ξ \Xi Φ \Phi

∆ \Delta Π \Pi Ψ \Psi

Θ \Theta Σ \Sigma Ω \Omega

Λ \Lambda ϒ \Upsilon

Γ \varGamma Ξ \varXi Φ \varPhi

∆ \varDelta Π \varPi Ψ \varPsi

Θ \varTheta Σ \varSigma Ω \varOmega

Λ \varLambda ϒ \varUpsilon

Huruf HebrewNotasi Kodeℵ \aleph

i \beth

k \daleth

ג \gimel