Limit dan Kontinuan

Bab II : Limit dan Kontinuan

1.1 Pendahuluan

Misalkan adalah suatu titik pada bidang datar dan adalah bilangan nyata positif. Lingkungan r bagi (r-neigborhood of z0) didefinisikan sebagai seluruh titik-titik pada bidang datar sedemikian sehingga : , ditulis .Lingkungan r terhapus bagi (deleted r-neigborhood of ) didefinisikan sebagai seluruh titik-titik z pada bidang datar sedemikian sehingga : 0 < |z z0| < r, ditulis Mudah dilihat bahwa merupakan cakram yang berpusat di berjari-jari r tetapi tidak termasuk kelilingnya. merupakan cakram yang sama dengan dibuang titik pusatnya.

Contoh :Misalkan menyatakan lingkungan dengan pusat i dan jari-jari 1, yaitu bagian dalam lingkaran

Jika S suatu himpunan, komplemen S adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang tidak termasuk dalam S. Sebagai contoh;1. Misalkan S adalah himpunan semua z sedemikian sehingga . Komplemen S adalah himpunan semua z pada dan sebelah kiri garis x = 1, yakni semua sehingga 2. Misalkan adalah himpunan semua sedemikian hingga . Komplemen T terdiri dari semua z, sedemikian sehinngga atau

Misalkan S adalah titik-titik pada bidang datar, titik w dinamakan titik batas (boundary point of S) asal setiap ligkungan w paling sedikit memuat satu titik anggota S dan paling sedikit satu titik anggota komplemen S. Himpunan semua titik batas merupakan batas dari S (boundary of S). Contoh : Misalkan S asalah cakram |z| < 2. Batas S adalah lingkaran dengan jari-jari 2. Jika suatu himpunan tidak memuat batasnya, maka himpunan itu dinamakan himpunan terbuka (open set)

1.2 LimitSetiap fungsi kompleks dapat ditulis : , dengan u dan v masing-masing bernilai real. Sebelum membicarakan pengertian limit fungsi peubah kompleks, akan dibicarakan dulu limit fungsi real dari peubah real.Definisi:Bilangan L disebut limit fungsi untuk mendekati dan ditulis :

, apabila pada tiap > 0, > 0 untuk semua di mana Berlaku . Jika limit itu ada, maka limit itu adalah tunggal, artinya jikaJika limit

, maka .......

1.3 DerivativeMisalkan fungsi didefinisikan pada suatu sekitar titik dan jika ada, maka limit itu disebut derivative di titik , ditulis dan jika, maka Jika ada, maka kontinu di

Bukti:Syarat-syarat Cauchy RiemannDiketahui fungsi f(z) memiliki derivatif di dan , jadi Ambil lintasan:1. Untuk Menurut teorema limit berlaku: Ini berarti ,, ada di titik dengan harga masing-masing dan *)2. Untuk Menurut teorema limit berlaku: Ini berarti ,, ada di titik dengan harga masing-masing dan **)Dari *) dan **), diperoleh

Suatu fungsi yang tidak memenuhi syarat Cauchy-Riemann tidak mempunyai derivative. Jika derivative dari ada di titik , maka derivative-derivative parsial tingkat pertama terhadap x dan y, dari masing-masing komponen x dan y dari masing-masing komponen u dan v harus ada di titik dan di titik ini dipenuhi syarat-syarat Cauchy-Riemann, dan =Suatu fungsi yang mempunyai derivative di suatu titik, fungsi itu memenuhi syarat Cauchy-Riemann di titik itu, tetapi sebaliknya jika suatu fungsi di suatu titik tidak memenuhi syarat Cauchy Riemann, belum tentu fungsi itu memiliki derivative di titik tersebut. mempunyai derivative di maka memenuhi syarat-syarat Cauchy Riemann di .

Contoh :Selidiki apakah fungsi-fungsi berikut memiliki derivative atau tidak!1. 2. 3.

Fungsi AnalitikFungsi dikatakan analitik atau reguler di titik , apabila terdapat suatu sekitar dari , yaitu titik-titik , , ..., = , sedemikian sehingga ada untuk setiap titik-titik di dalam sekitar itu (atau memiliki derivative).Suatu fungsi dikatakan analitik di dalam suatu daerah D, jika fungsi itu analitik dalam setiap titik dalam daerah D.

Contoh : apakah fungsi itu analitik dan di mana analitiknya?Jawab: Sebagai latihan

Definisi:Jika setiap sekitar dari z0 terdapat terdapat suatu titik di mana analitik kecuali di titik z0 itu sendiri, maka z0 disebut titik singulir/singularitas dari .Apakah fungsi-fungsi berikut memiliki titik singulir.1. 2. Sifat-sifat fungsi analitikJika dan masing-masing analitik dalam daerah , maka :1. analitik dalam daerah 2. analitik dalam daerah 3. analitik dalam daerah , asal

Fungsi Harmonik SekawanJika fungsi yang analitik di dalam daerah , maka syarat-syarat Cauchy-Riemann yaitu dan Diturunkan masing-masing terhadap dan , didapat: diturunkan terhadap y Turunan-turunan ke dua tersebut berlaku di seluruh daerah D. Jadi di dalam daerah D berlaku diturunkan terhadap y diturunkan terhadap x

Turunan-turunan kedua tersebut berlaku di seluruh daerah D. Jadi, dalam daerah D berlaku Berlaku dalam DUmum : Persamaan ini disebut Persamaan Diferensial Laplace dalam dua peubah x dan y (persamaan diferensial laplace dalam dua dimensi). Fungsi yang mempunyai derivative parsial tingkat dua yang kontinu dan memenuhi persamaan differensial laplace dinamakan fungsi harmonik. Jadi, jika analitik, maka u dan v keduanya analitik. Dua fungsi harmonik u dan v, sedemikian sehingga fungsi analitik disebut fungsi-fungsi u dan v harmonik yang sekawan (conjugate harmonic function). Jika diberikan salah satu dari dua fungsi harmonik sekawan, maka yang lain dapat dicari dengan memperhatikan syarat-syarat Cauchy-Riemann.

Soal :Diketahui a. Buktikan bahwa u harmonikb. Tentukan fungsi harmonik sekawan vc. Tentukan fungsi analitik yang bersesuaian.

DieferensialMisalkan suatu pertambahan yang diberikan untuk z, maka dinamakan pertambahan dalam . Jika f(z) kontinu dan memiliki turunan pertama,yang kontinu dalam suatu daerah, maka , di mana untuk . Bentuk dinamakan diferensial dari w atau f(z), atau bagian utama dari .Aturan untuk pendiferensialan setara dengan kalkulus elementer. Jika dan fungsi analitik dari , maka

1. 2. 3. 4. 5. 6. Aturan rantai

Turunan fungsi elementer setara pula dengan kalkulus elementer :

Soal-soal:1. Diketahui a. Buktikan bahwa u harmonikb. Tentukan fungsi harmonik sekawan v, sehingga analitikc. Tentukan fungsi analitik yang bersesuaian.2. Find all points at which

is differentiable. At what points is f analytic? Explain.3. At what points is the function f given by

analytic? Explain.