BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG filebilangan persegi, bilangan kubik, ketrampilan menguadratkan,...

Marsudi R: Bilangan ACB Lanjut 2013 1

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Diklat instruktur/pengembang matematika SD tingkat lanjut adalah diklat yang dirancang

untuk para guru Sekolah Dasar peserta diklat tingkat dasar yang dipandang memiliki

kompetensi lebih dalam penguasaan materi pembelajaran, penguasaan metode, penguasaan

teknik evaluasi, maupun kemampuan mengim-baskan pengetahuan yang diperolehnya

kepada rekan-rekan guru lainnya. Pemilihan peserta diklat dilakukan oleh lembaga

PPPPTK Matematika didasarkan pada hasil evaluasi diklat tingkat dasar yang meliputi

nilai pretes, postes, kecakapan meng-komunikasikan gagasan, sikap kepemimpinan serta

kepribadiannya. Oleh sebab itu materi pengetahuan matematika yang diberikan cederung

ke wawasan keilmuan plus bagi guru SD dalam arti materi yang diberikan cenderung

diperuntukkan bagi pelayanan kepada siwa berbakat.

Materi bilangan Asli, Cacah, dan Bulat yang disajikan pada modul ini diperuntukkan bagi

peserta diklat instruktur/pengembang tingkat lanjut. Materi yang dibahas meliputi:

bilangan persegi, bilangan kubik, ketrampilan menguadratkan, penarikan akar kuadrat

bilangan persegi,`penarikan akar pangkat tiga bilangan kubik, tripel Pythagoras, pola dan

barisan bilangan, pembagian bersisa, serta keterbagian bilangan. Materi yang dibahas

mungkin tidak begitu bersentuhan langsung dengan kebutuhan (demand) guru di lapangan

yang diperuntukkan bagi siswa kebanyakan sebab materi-materi yang berkenaan dengan

itu sudah dibahas pada diklat tingkat dasar.

B. TUJUAN

Modul ini ditulis untuk para peserta Diklat Lanjut Matematika Sekolah Dasar agar seusai

mengikuti diklat ini dapat:

1. Memperoleh wawasan keilmuan mengenai bilangan persegi, bilangan kubik,

ketrampilan menguadratkan, penarikan akar kuadrat bilangan persegi,`penarikan akar

pangkat tiga bilangan kubik, tripel Pythagoras, pola dan barisan bilangan, pembagian

bersisa, serta keterbagian bilangan.

2. Menerapkan pengetahuan dan ketrampilan yang dimiliki untuk memberikan pelayanan

kepada siswa berbakat

3. Mengimbaskan pengetahuan yang diperolehnya kepada rekan seprofesi.

C. RUANG LINGKUP

Pokok-pokok materi yang dibahas melalui modul ini meliputi:

1. Bilangan kuadrat, bilangan kubik, penarikan akar kuadrat bilangan persegi, penarikan

akar pangkat tiga bilangan kubik, dan tripel Pythagoras



2. Pola dan barisan bilangan

3. Pembagian bersisa dan keterbagian bilangan

D. KOMPETENSI YANG DIHARAPKAN

Setelah selesai mengikuti diklat ini para peserta diharapkan memiliki kompetensi untuk:

1. memberikan penanaman konsep asal usul bilangan persegi (bilangan kuadrat)

2. memberikan penanaman konsep asal usul bilangan kubik (bilangan berpangkat tiga)

3. menguadratkan bilangan bulat secara cepat dan menarik akar bilangan tersebut

4. menentukan rumus suku ke-n suatu barisan bilangan baik secara intuisi maupun secara

matematika

5. menggunakan rumus suku ke-n untuk memecahkan masalah

6. menentukan sisa pembagian dari suatu bilangan oleh bilangan lain dan menerapkannya

dalampemecahan masalah

7. menurunkan sifat-sifat keterbagian bilangan dan menerapkannya untuk mennyeli-diki

apakah suatu bilangan terbagi oleh bilangan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan 13.



BAGIAN II

POLA DAN BARISAN BILANGAN

A. Bentuk-bentuk Pola Bilangan

Pada bagian ini akan diperkenalkan beberapa bentuk pola dan barisan bilangan yang

disajikan dalam bentuk gambar dan dalam bentuk pola bilangan yang sajiannya

dinyatakan dalam lambang-lambang dan angka-angka. Perhatikan pola-pola berikut.

Pola 1.

1 4 9 16 25

1 1 + 3 1 + 3 + 5 1 + 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Pola 2.

1 3 6 10 15

1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Pola 3.

2 6 12 20

2 2 + 4 2 + 4 + 6 2 + 4 + 6 + 8



Dari pola-pola yang dicontohkan tersebut di atas, tampak adanya pola ditinjau menurut

bentuknya, pola ditinjau menurut dari banyaknya obyek yang diarsir dan tidak diarsir.

B. Menentukan Rumus Umum Suku dan Jumlah Suku

Untuk menentukan rumus umum suku ke n atau jumlah hingga n suku yang pertama

dapat disimak pada uraian berikut ini.

Pola 1.

a) Ditinjau menurut bentuk geometrinya pola persegi (bujur sangkar)

b) Ditinjau menurut banyaknya komponen-komponen pembentuknya (banyaknya

persegi pembentuk bangun iu) pola bilangan kuadrat

c) Ditinjau menurut pola komponen yang diarsir dan tidak diarsir polanya adalah

1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Dari ketiga sudut pandang itu selanjutnya diperoleh definisi bahwa barisan bilangan u1,

u2, u3, u4, u5, …, un dengan

u1 = 1 = 12

u2 = 4 = 22

u3 = 9 = 32

u4 = 16 = 42

u5 = 25 = 52

disebut barisan bilangan bujur sangkar atau barisan bilangan persegi dengan rumussuku ke n un = n2. Sementara s1, s2, s3, s4, s5, …, sn dengan

s1 = 1

s2 = 1 + 3

s3 = 1 + 3 + 5

s4 = 1 + 3 + 5 + 7

s5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

sn = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2n – 1)

disebut jumlah n suku bilangan ganjil yang pertama.

Perhatikan bahwa peragaan gambar pada pola 1 tersebut sekaligus menunjukkan

(memperagakan) bahwa



Jumlah n suku bilangan ganjil yang pertama sama dengan suku ke-n

barisan bilangan kuadrat yaitu 2

suku

)12(...97531 nn

n

Pola 2.

a) Ditinjau menurut bentuk geometrinya pola segitiga

b) Ditinjau menurut banyaknya komponen-komponen pembentuknya (banyaknya

lingkaran-lingkaran pembentuknya) pola bilangan segitiga

c) Ditinjau menurut pola komponen yang diarsir dan tidak diarsir pola adalah.

1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, …

Dari ketiga sudut pandang itu selanjutnya diperoleh definisi bahwa barisan bilangan u1,u2, u3, u4, u5, …, un dengan

u1 = 1

u2 = 3

u3 = 6

u4 = 10

u5 = 15

disebut barisan bilangan segitiga sedangkan s1, s2, s3, s4, s5, …, sn dengan

s1 = 1s2 = 1 + 2s3 = 1 + 2 + 3s4 = 1 + 2 + 3 + 4s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

sn = 1 + 2 + 3 + … + n

disebut jumlah n suku bilangan asli yang pertama.

Perhatikan bahwa peragaan gambar pada pola 2 tersebut sekaligus menunjukkan(memperagakan) bahwa

Jumlah n suku bilangan asli yang pertama sama dengan suku ke n dari barisan

bilangan segitiga, dan dapat dibuktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =2

)1( nn

Untuk membuktikannya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Beberapa cara di

antaranya adalah:



Cara 1.

Dengan membalik suku-sukunya. Perhatikan bahwa:

Bentuk (1) dapat ditulis secara urut maupun terbalik dalam bentuk sebagai berikut.

urut sn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n

terbalik sn = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + … + 4 + 3 + 2 + 1

2sn =

sukun

)1()1()1(...)1()1()1(

sebanyak

nnnnnn

2sn = n(n + 1) atau sn = )1(2

1nn atau

sn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n =2

)1()1(

2

1

nnnn

Cara 2.Dengan menyelidiki banyaknya tingkat penyelidikan hingga diperoleh selisih tetap.

Perhatikan bahwa:

Jumlah sampai dengan 1 suku = s1 = 1

2 suku = s2 = 1 + 2 = 3

3 suku = s3 = 1 + 2 + 3 = 6

4 suku = s4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

5 suku = s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

(i) 1 , 3 , 6 , 10 , 15

(ii) 2 , 3 , 4 , 5

(iii) 1 , 1 , 1

Tampak bahwa selisih tetapnya diperoleh hingga 2 tingkat penyelidikan. Itu artinya 1, 3,

6, 10, 15, … dan seterusnya adalah barisan bilangan berderajat dua, sehingga

pemisalannya adalah fungsi berderajat 2 dari n yakni sn = an2 + bn + c.

Dari sn = an2 + bn + c akan diperoleh

s1 = a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

s2 = a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

s3 = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

s4 = a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c

s5 = a(5)2 + b(5) + c = 25a + 5b + c.



Sehingga

(i) a + b + c , 4a + 2b + c , 9a + 3b + c , 16a + 4b + c , 25a + 5b + c

(ii) 3a + b 5a + b 7a + b 9a + b

(iii) 2a 2a 2a

Dengan menyamakan komponen-komponen yang ditandai dengan tanda petak

urut dari bawah ke atas akan diperoleh nilai tertentu untuk a, b, dan c

sehingga rumus umum untuk sn dapat ditentukan. Perhatikan

Dari (iii) 2a = 1

a =2

1 (ii) 3a + b = 2

22

13

b

22

11 b

b =2

1 (i) a + b + c = 1

12

1

2

1 c

c = 0.

a =2

1

b =2

1 sn = an2 + bn + c

c = 0 = 02

1

2

1 2 nn

= ).1(2

1)(

2

1

2

1

2

1 22 nnnnnn Terbukti.

Pola 3.

a) Ditinjau menurut bentuk geometrinya pola persegipanjang

b) Ditinjau menurut banyaknya komponen-komponen pembentuknya (banyaknya petak

persegi pembentuk bangun itu) pola bilangan persegipanjang (panjang lebar 1

2, 2 3, 3 4, 4 5, …) atau 2, 6, 12, 20, …

c) Ditinjau menurut pola komponen yang diarsir dan tidak diarsir pola adalah

2, 2 + 4, 2 + 4 + 6, 2 + 4 + 6 + 8, …



Dari ketiga sudut pandang itu selanjutnya diperoleh definisi bahwa barisan bilangan u1,u2, u3, u4, u5, …, un

u1 = 1 2 = 2

u2 = 2 3 = 6

u3 = 3 4 = 12

u4 = 4 5 = 20

u5 = 5 6 = 30

un = n (n + 1).

disebut barisan bilangan persegipanjang dengan rumus suku ke-n adalahun = n(n + 1). Sementara s1, s2, s3, s4, s5, …

s1 = 2 = 2

s2 = 2 + 4 = 6

s3 = 2 + 4 + 6 = 12

s4 = 2 +4 + 6 + 8 = 20

s5 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10… = 30

sn = 2 + 4 + 6 + … + 2n … = n (n + 1)

disebut jumlah n suku bilangan genap yang pertama.

Perhatikan bahwa peragaan gambar pada pola 3 tersebut sekaligus menunjukkan(memperagakan) bahwa

Jumlah n suku bilangan genap yang pertama sama dengan suku ke-n barisanbilangan persegipanjang yaitu )1(2...8642

suku

nnnn



LATIHAN 11. Jika untuk membuat pola segitiga-segitiga berikut diperlukan batang korek api. Berapa

batang korek api yang diperlukan untuk membentuk pola segitiga hingga 10 lapis, 20

lapis, dan 100 lapis.

Petunjuka. Carilah rumus umumnya dengan menyelidiki selisih tetapnya dicapai pada berapa

tingkat penyelidikan.

Berilah pemisalan un = an + b................................ jika un berderajat 1un = an2 + bn + c ..................... jika un berderajat 2un = an3 + bn2 + cn + d ............ jika un berderajat 3un = an4 + bn3 + cn2 + dn + e ... jika un berderajat 4

b. Setelah suku umumnya diketahui, barulah dimasukkan nilainya untuk n = 10, n =

20, dan n = 100. (kunci u10 = 165, u20 = 630, u100 = 15.150)

2. Tunjukkan bahwa

a) 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 =6

)12)(1( nnn

b) 13 + 23 + 33 + 43 + … + n3 =4

)1( 22 nn

c) 1 2 + 2 3 + 3 4 + … + n (n + 1) =3

)2)(1( nnn

3. Dengan menggunakan rumus pada soal no.2, hitunglah

a) 12 + 22 + 32 + 42 + … hingga 30 suku

b) 13 + 23 + 33 + 43 + … hingga 20 suku

c) 1 2 + 2 3 + 3 4 + … hingga 10 suku

d) 202 + 212 + 222 + . . . + 502 = . . .

e) 203 + 213 + 223 + . . . + 503 = . . .

f) 20 21 + 21 22 + 22 23 + . . . + 50 51 = . . .

Marsudi R: Bilangan ACB Lanjut 2013


BAGIAN III

PEMBAGIAN BERSISA DAN KETERBAGIAN BILANGAN

A. PEMBAGIAN BERSISA

1. Pendekatan Kontekstual

Misalkan hari ini hari senin, hari apakah 3 hari lagi (mendatang), 10 hari lagi

(mendatang), 17 hari lagi, dan 24 hari lagi? Bagaimana jika yang ditanyakan adalah 100

hari lagi, 500 hari lagi, 1000 hari lagi, atau yang lainnya.

Untuk menjawab permasalahan tersebut, siswa dapat kita ajak melihat fakta dari tabel

hari-hari mendatang hingga hari ke-30 jika hari ini hari senin.

Dari tabel di atas secara faktual mudah dilihat bahwa3 hari lagi = 3 hari mendatang = hari ini + 3 hari lagi

= hari ke- 4= hari Kamis.

10 hari lagi = 10 hari mendatang = hari ini + 10 hari lagi= hari ke- 11= hari Kamis

17 hari lagi = 17 hari mendatang = hari ini + 17 hari lagi= hari ke- 18= hari Kamis

24 hari lagi = 24 hari mendatang = hari ini + 24 hari lagi= hari ke- 25= hari Kamis.

Ternyata berdasar fakta semuanya hari Kamis.

Bagaimanna seandainya tanpa ada tabel tetapi siswa tetap dapat menj

Untuk maksud tersebut guru dapat mengarahkan penalarannya meng

tujuh seperti berikut.

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

10.

11.

12.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. Sabtu

Senin

1. Selasa

2. Rabu

3. Kamis

4. Jumat

5. Sabtu

6. Minggu

7. Senin

8. Selasa

9. Rabu

minggu

. Senin

. Selasa

. Rabu

. Kamis

. Jumat

. Sabtu

. Minggu

. Senin

Kamis

Jumat

Sabtu

Minggu

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

10

awab dengan benar?

gunakan tabel tujuh-

. Selasa



0 Senin1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

Minggu

Senin

8 .

9 .

10.

11.

12.

13.

14.

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

Minngu

Senin

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

Minggu

Senin

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Kamis

Jumat

Sabtu

Dari tabel di atas, tampak bahwa 3 hari lagi, 10 hari lagi, 17 hari lagi, dan 24 hari lagisemuanya adalah hari Kamis. Sekarang siswa ditanya “ apa hubungannya antara bilangan-bilangan 3, 10, 17, 24, …?Siswa dapat diajak memperhatikan pola bilangannya itu, yakni

3, 10, 17, 24, …

Dari pola itu tampak bahwa

10 = 3 + 717 = 10 + 724 = 17 + 7…..dan seterusnya …

Pola itu sebenarnya juga dapat ditulis dalam bentuk

10 = 3 + 7 = 3 + (1 × 7) = 1 × 7 + 317 = 3 + 7 + 7 = 3 + (2 × 7) = 2 × 7 + 324 = 3 + 7 + 7 + 7 = 3 + (3 × 7) = 3 × 7 + 3

Kesimpulannya hari-hari yang sama adalah hari-hari yang merupakan kelipatan 7 ditambah3, atau

Hari yang sama = sisa pembagian bilangan itu oleh 7

Dengan begitu maka perhitungan untuk misalnya 100 hari lagi, 500 hari lagi, dan 1000hari lagi dapat dilakukan sebagai berikut

1. Dicari sisa pembagiannya dengan 7

7 7 7 7



2. Hari yang dimaksud = hari ini + sisa

Hasil perhitungan memperlihatkan bahwa 100 : 7 bersisa 2500 : 7 bersisa 3

1.000 : 7 bersisa 6.Dengan demikian jika hari ini hari Senin maka

100 hari lagi = Senin + 2 hari= Rabu

500 hari lagi = Senin + 3 hari= Kamis

1000 hari lagi = Senin + 6 hari= Minggu.

2. Pendekatan FormalPendekatan formal adalah pendekatan matematis, yakni diturunkan dari kebenaran-

kebenaran terdahulu yang telah diterima. Kebenaran yang dimaksud mulai dari kebenaran

berdasarkan definisi, kebenaran berdasar aksioma (kebenaran pangkal/kebenaran yang

diterima tanpa bukti), sifat-sifat terdahulu, atau teorema-teorema terdahulu yang telah

diterima.

Secara matematik hanya dikatakan bahwa bilangan yang bersifat periodik disebut sebagai

bilangan modulo. Sebagai contoh misalnya

100 : 7 bersisa 2 ditulis 100 2 (mod 7)

500 : 7 bersisa 3 ditulis 500 3 (mod 7)

1.000 : 7 bersisa 6 ditulis 1.000 6 (mod 7)

7 1 0 0

0 1 4

0

1

yang terbagi

sisa

=–

0

7

3 0

2 8

2

–

–

yang terbagi

Sisa terakhir

=

=

=

7 5 0 0

0 7 4

0

5

yang terbagi

sisa

=–

0

9

1 0

= 7

3

–

–

yang terbagi

Sisa terakhir

=

4

=

7 1 0 0 0

0 1

0

1

yang terbagi

sisa

=–

0

7

3 0

2 8

2

–

–

yang terbagi

Sisa terakhir

=

=

=sisa

yang terbagi =

0

4

6=

1–



Selanjutnya secara matematik didefinisikan bahwa

a b (mod m) ba = km, dengan k bilangan bulat.

Kita tidak akan membahas lebih dalam tentang bilangan modulo karena sudah di luar

wilayah yang dibahas, hanya saja dalam kehidupan sehari-hari terapannya seperti contoh

kontekstual tersebut di atas.

LATIHAN 2

Tentukan.

1. Jika hari ini hari Kamis, 100 hari lagi adalah hari …..

2. Jika hari ini hari Selasa, 300 hari lagi adalah hari …..

3. Jika hari ini hari Sabtu, 500 hari lagi adalah hari …..

4. Jika hari ini hari Rabu, 400 hari lagi adalah hari …..

5. Jika hari ini hari Senin, 700 hari lagi adalah hari …..

6. Jika hari ini hari Sabtu, 600 hari lagi adalah hari …..

7. Jika hari ini hari Rabu, 900 hari lagi adalah hari …..

8. Jika hari ini selasa kliwon, 22 hari lagi adalah hari ……

66 hari lagi adalah hari …..




B. KETERBAGIAN BILANGAN

1. Bilangan Habis Dibagi 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13

Untuk mengetahui secara cepat apakah suatu bilangan bulat habis dibagi oleh bilangan

bulat yang lain misal apakah bilangan itu habis dibagi oleh bilangan 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10,

11, 13 (Sukayati, 1998 : 4 - 12; Sukardjono, 1996 : 24 – 27) berikut akan diberikan

sedikit uraian berkenaan dengan ciri-cirinya. Uraian lebih lengkap dapat dilihat pada

Paket Pembinaan Penataran (PPP) yang asli yang telah diuraikan oleh kedua penulis

tersebut masing-masing di tahun 1998/1999 dan 1995/1996. Pada paket yang asli telah

disampaikan bukti-bukti matematisnya secara umum. Namun untuk memberikan warna

lain, pada makalah ini akan diberikan contoh bukti untuk bilangan-bilangan yang terdiri

dari 5 angka saja. Alasannya bilangan-bilangan yang lebih dari 5 angka dapat

dibayangkan dengan mudah sebagaimana bilangan yang terdiri dari 5 angka tersebut.

Demikian pula bilangan yang kurang dari 5 angka.



Secara umum bilangan yang terdiri dari 5 angka tersebut dimisalkan sebagai abcd.

Sebagai contoh misalnya untuk bilangan 25382, maka yang dimaksud adalah a = 2,

b = 5, c = 3, d = 8, e = 2.

Perhatikan bahwa

25382 = 2 104 + 5 103 + 3 102 + 8 101 + 2 100, atau

= 2 104 + 5 103 + 3 102 + 8 101 + 2, atau

= 2 10.000 + 5 1.000 + 3 100 + 8 10 + 2. Sehingga

abcde = a 10.000 + b 1.000 + c 100 + d 10 + e

Ciri-ciri bilangan yang habis dibagi:

Ciri 1 : Habis dibagi 2

Suatu bilangan habis 2 apabila angka terakhirnya habis dibagi oleh bilangan

0,2,4,6, atau 8 dengan kata lain apabila angka terakhirnya genap (habis dibagi 2).

Contoh:

Bilangan 53210 dan 24136 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 2 sebab angka

terakhirnya masing-masing berupa bilangan genap. Sedangkan 34125 tidak habis dibagi

2 sebab angka terakhirnya 5 tidak habis dibagi 2.

Bukti :

abcde = a 104 + b 103 + c 102 + d 101 + e

= (10.000a + 1.000b + 100c + 10d) + e

Karena komponen I jelas habis dibagi 2, agar komponen seluruhnya habis dibagi 2

maka komponen II harus habis dibagi 2. Dengan kata lain e = 0,2,4,6,8 atau e berupa

bilangan genap .


Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dua angka terakhirnya merupakan bilangan yang

habis dibagi 4.

Contoh :

Bilangan 1702582 tidak habis dibagi 4 sebab dua angka terakhirnya yakni 82 tidak

habis dibagi 4. Sementara 1972 habis dibagi 4 sebab 72 habis dibagi 4.

III



Bukti :

abcde = a 104 + b 103 + c 102 + d 101 + e

= (a 10.000 + b 1.000 + c 100) + (d 10 + e)

Komponen I habis dibagi 4 sebab masing-masing sukunya habis dibagi 4. Sehingga

agar seluruh komponennya habis dibagi 4 maka komponen II haruslah habis dibagi 4,

yaitu bila (d 10 + e) habis dibagi 4. Yakni bilangan berbentuk de habis dibagi 4 .


Suatu bilangan habis dibagi 8 jika tiga angka terakhirnya merupakan bilangan yang

habis dibagi 8.

Contoh :

Bilangan 2701008 habis dibagi 8 sebab 3 angka terakhirnya yaitu 008 (bilangan ini

sama dengan 8 sebab dua angka nol di depan tidak bermakna/signifikan) habis dibagi 8.

Sementara bilangan 2810342 tidak habis dibagi 8 karena tiga angka terakhirnya yaitu

342 tidak habis dibagi 8.


Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka terakhir dari bilangan itu 0 atau 5.

Bukti :

abcde = a 104 + b 103 + c 102 + d 10 + e

= (10.000a + 1.000b + 100c + 10d) + e

Komponen I jelas habis dibagi 5 sebab masing-masing suku pada komponen I habis

dibagi 5 dengan demikian agar I dan II habis dibagi 5 maka II harus habis dibagi 5 yaitu

apabila e = 0 atau e = 5 .


Suatu bilangan habis dibagi 10 jika angka terakhir dari bilangan itu 0.


Suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah angka-angka penyusunnya habis dibagi 9.

Contoh :

III

III



Bilangan 217.683 habis dibagi 9 sebab jumlah angka-angka pembentuknya yaitu

2 + 1 + 7 + 6 + 8 + 3 = 27 habis dibagi 9

Bukti :

abcde = a 104 + b 103 + c 102 + d 10 + e

= 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e

= (9.999a + 999b + 99c + 9d) + (a + b + c + d + e)

Bagian I jelas habis dibagi 9. Agar I + II habis dibagi 9 maka II harus habis dibagi 9

yaitu apabila a + b + c + d + e habis dibagi 9 .

Ciri 7: habis dibagi 3

Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angka pembentuknya habis dibagi

3.

Contoh :

Bilangan 7423947 habis dibagi 3 sebab 7 + 4 + 2 + 3 + 9 + 4 + 7 = 36 habis dibagi 3.


Suatu bilangan habis dibagi 7 jika selisih antara dua kali angka satuan dengan

bilangan yang terbentuk oleh angka-angka sisanya habis dibagi 7.

Contoh :

Bilangan 3696 habis dibagi 7 sebab dua kali angka satuannya adalah 2 6 = 12

sementara angka sisanya 369. Selisihnya = 369 – 12 = 357 habis dibagi 7.

Bukti :

abcde = a 104 + b 103 + c 102 + d 10 + e

= 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e

= 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + 20e – 20e + e

= (10.000a + 1.000b + 100c + 10d – 20e) + 20e + e

= 10(1.000a + 100b +10c + d – 2e) + 21e

Karena II jelas habis dibagi 7, supaya I + II habis dibagi 7 haruslah I habis dibagi 7

yaitu apabila 1.000a + 100b + 10c + d – 2e habis dibagi 7. Dengan kata lain bila

bilangan berbentuk (abcd – 2e) habis dibagi 7 .

III

III




Suatu bilangan habis dibagi 11 jika jumlah angka-angka di posisi ganjil dikurangi

jumlah angka-angka di posisi genap habis dibagi 11.

Contoh :

Apakah 27346 habis dibagi 11?

Penyelesaian :

Jumlah angka-angka di posisi ganjil = 2 + 3 + 6 = 11

Jumlah angka-angka di posisi genap = 7 + 4 = 11

Selisih jumlahnya = 11 – 11 = 0.

Karena 0 habis dibagi 11, maka 27346 habis dibagi 11.

Bukti :

abcde = a 104 + b 103 + c 102 + d 10 + e

= 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e

= 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e

+ 10.000b – 10.000c + 10.000d – 10.000e

– 10.000b + 10.000c – 10.000d + 10.000e

= 10.000(a – b + c – d + e) + 11.000b – 9.900c + 10.010d – 9.999e

= 10.000(a – b + c – d + e) + 11(1.000b – 900c + 910d – 909e)

Karena bagian II habis dibagi 11, agar kesemuanya (I + II) habis dibagi 11 maka I harus

habis dibagi 11. Hal itu akan terjadi bila (a – b + c – d + e) habis dibagi 11 .


Suatu bilangan habis dibagi 13 jika jumlah dari 4 kali angka satuan dan bilangan

yang terbentuk oleh angka-angka sisanya habis dibagi 13.

Contoh :

Apakah 6318 habis dibagi 13?

jawab :

6318 Empat kali angka satuannya = 4 8 = 32

Angka-angka sisanya (yang lain) = 631

Jumlahnya = 663



Jumlahnya = 78

+

+

I II





Jumlahnya = 39

Karena hingga 3 langkah penyelesaian ternyata diperoleh bilangan 39 yang diketahui

habis dibagi 13 maka bilangan semula yang dimaksud yaitu 6318 pasti habis dibagi 13.

Bukti :

abcde = a 104 + b 103 + c 102 + d 10 + e

= 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e

= 10.000a + 1.000b + 100c + 10d + (e – 40e) + 40e

= 10(1.000a + 100b + 10c + d + 4e) – 39e

Karena bagian II habis dibagi 13, agar kesemuanya habis dibagi 13 haruslah I habis

dibagi 13. Hal itu akan terjadi bila (1.000a + 100b + 10c + d + 4e) habis dibagi 13 yakni

bila bilangan dengan susunan angka-angka (abcd + 4e) habis dibagi 13 .

2. Bilangan 1001

Bila kita ingat judul cerita “seribu satu malam”, kita membayangkan adanya suatu

misteri. Misteri apakah itu? Pernahkah terbetik pada pikiran dan perasaan Anda bahwa

bilangan 1001 itu ternyata adalah KPK (Kelipatan Persekutuan terkecil) dari bilangan-

bilangan 7, 11, dan 13. Dengan demikian maka setiap bilangan kelipatan dari 1001 pasti

habis dibagi 7, habis dibagi 11, dan habis dibagi 13 (Supinah, 1997 : 22). Beberapa

contohnya adalah bilangan-bilangan seperti 8008, 25025, dan 253253.

Latihan 3 :

1. Selidikilah apakah bilangan-bilangan berikut habis dibagi dengan bilangan yang

diketahui.

a. 291530 habis dibagi 2

b. 341297 habis dibagi 2

c. 254328 habis dibagi 2

d. 243518 habis dibagi 4

e. 421328 habis dibagi 4

f. 921984 habis dibagi 8

g. 214048 habis dibagi 8

h. 495244 habis dibagi 8

+

I II



2. Selidiki apakah







g. 410894 habis dibagi 6

h. 724932 habis dibagi 9

3. Selidi apakah







g. 53053 habis dibagi oleh bilangan-bilangan 7, 11, dan 13.

h. 556556 habis dibagi oleh bilangan-bilangan 7, 11, dan 13.

4. Buktikan

a. Suatu bilangan habis dibagi 8 jika tiga angka terakhirnya merupakan bilangan yang

habis dibagi 8.

b. Suatu bilangan habis dibagi 10 jika angka terakhir dari bilangan itu adalah nol.

c. Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angka penyusunnya habis dibagi

3.



BAB VIPENUTUP

A. KESIMPULAN

Bilangan asli, cacah, dan bulat yang kita kenal sebagai bilangan ACB pada Diklat

Matematika SD Jenjang Lanjut ini meliputi konsep bilangan dihubungkan dengan

banyaknya satuan (unit) benda dalam suatu kumpulan, operasi (penjumlahan, pengu-

rangan, perkalian, dan pembagian), kelipatan persekutuan terkecil (KPK), faktor

persekutuan terbesr (FPB), angka Romawi, penguadratan, pemangkatan tiga, dan penarikan

akar (pangkat dua dan tiga), serta bilangan bulat (positip, nol, negatip) dan operasinya.

Suatu lingkup bahasan yang cukup luas untuk dibahas dalam diklat guru Sekolah Dasar.

Namun semuanya ternyata dapat dilalui secara menarik dan menye-nangkan. Resep apa

sebenarnya sehingga yang membuat matematika yang dibahas pada kegiatan diklat dapat

menarik dan menyenangkan? Jawabnya tidak lain adalah karena sajian materinya diawali

secara kontekstual (berangkat dari konteks kehidupan siswa sehari-hari) dan mengikuti

teori Bruner, yakni pembelajaran berangkat dari kongkrit, ditindaklanjuti dengan gambar-

gambar (semi kongkrit), dan barulah dia-khiri dengan lambang yang sifatnya abstrak.

Menurut Bruner, jika pembelajaran berjalan seperti itu, maka siswa akan dapat

mengembangkan pengetahuannya jauh lebih luas dari apa yang pernah mereka terima dari

gurunya. Apabila itu semua dialami oleh peserta diklat (guru), mengapa siswa tidak

mengalaminya?. Semuanya tentu tergantung kepada komitmen (niat baik) dan realisasi

(pelaksanaan riil/ sesungguhnya) saat kembali ke tempat tugas masing-masing.

B. SARANBagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anak

didik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran

sebagai berikut.

1. Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama

menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan

2. Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera dite-

rapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk

diterapkan di kelas yang diampunya, kemudian kepada sesama guru di sekolahnya,

kemudian lagi pada kegiatan KKG dan terakhir barulah cita-cita ke lingkup yang lebih

luas

3. Ciptakan segera perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa

di masa depan

4. Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan

kepada pengawas

5. Bersemboyanlah “ Apa yang terbaik yang saya miliki dan dapat saya perbuat untuk

kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam rangka mencerdaskan bangsa”. Tuhan maha

mengetahui dan pasti akan memberikan ganjaran yang patut disyukuri berupa sesuatu

yang tak terduga di masa depan.

Amin.



DAFTAR PUSTAKA

Burton, David M. (1980). Elementary Number Theory. Boston : Allyn and Bacon, Inc.

Depdiknas. (2003). Kurikulum 2004 (Standar Kompetensi Mata pelajaran Matematika SD/MI).Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

-------------. (2006). Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional.

Estiningsih, Elly. (1994). KBM Matematika di Sekolah Dasar (Makalah Penataran).Yogyakarta: PPPG Matematika.

Edi Prayitno. (1997). KPK dan FPB (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPGMatematika.

Kamus Besar Bahasa Indonesia.

Niven, Ivan–Zuckerman, Hurbert S. (1978). An Introduction to the Theory of Numbers(Third Edition). New York : John Wiley & Sons, Inc.

Sukardjono. (1996). Berhitung Cepat di SD (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta :PPPG Matematika.

Wirasto. (1993). Matematika Untuk Orang Tua Murid Dan Guru (Jilid I). Jakarta : PT.Indira.

Webstar Dictionary.



KUNCI JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN

Latihan 1 (halaman 28)Kunci no. 3

a. 9.455 d. 40.455

b. 44.100 e. 1.589.525

c. 440 f. 41.540.

Latihan 2 (halaman 32)

1. Sabtu

2. Senin

3. Selasa

4. Kamis

5. Senin

7. Minggu

8. Rabu Pahing

Jumat Legi

Sabtu Pon

Selasa Pahing

Senin Wage

Latihan 3 (Halaman 37)

1. a. Ya 2. a. Ya 3. a. Tidak

b. Tidak b. Ya b. Ya

c. Ya c. Tidak c. Ya

d. Tidak d. Tidak d. Ya

e. Ya e. Ya e. Tidak

f. Ya f. Ya f. Ya

g. Ya g. Tidak g. Ya

h. Tidak h. Ya h. Ya

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG filebilangan persegi, bilangan kubik, ketrampilan menguadratkan,...

Documents

Transcript of BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG filebilangan persegi, bilangan kubik, ketrampilan menguadratkan,...