1

BAB I

HIMPUNAN

PENDAHULUAN

Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai sesuatu yang mempunyai

konsep himpunan. Himpunan sangat bermanfaat dalam perbagai persoalan

matematika diantaranya untuk memahami sifat-sifat bilangan cacah, untuk

mendefinisikan kejadian dalam teori peluang dan dalam geometri ruang.

Himpunan sangat membantu untuk memahami banyak topik-topik matematika,

yang menjadi lebih mudah untuk mempelajarinya dari pada menggunakan teori-

teori yang lain.

A. Pengertian Himpunan

Suatu himpunan atau suatu kumpulan benda-benda terjadi, bila kita

mengelompokkan benda benda itu menjadi himpunan atau suatu kumpulan.

Misalnya himpun buku-buku di dalam suatu perpustakaan, suatu tim olah raga,

siswa-siswa dalam suatu kelas dan sebagainya. Dengan mengerti himpunan

seorang anak dengan mudah dapat menentukan apakah mainannya hilang dari

keranjang mainannya, dan iapun dapat menentukan berapa banyak mainannya.

Biasanya kita memerlukan suatu definisi dari suatu pengertian agar kita

dapat memastikan apa yang hendak kita maksud. Namun pengalaman

menunjukkan bahwa tidak semua pengertian dapat didefinisikan, sebab apabila

didefinisikan, mungkin pengertian yang mudah dipahami menjadi sangat panjang

dan mungkin juga kalimatnya menjadi berulang sehingga artinya menjadi kabur.

Karena itu dipergunakan himpunan sebagai suatu pengertian yang tidak

didefinisikan namun sudah diketahui maksudnya.

Walaupun himpunan tidak didefinisikan namun harus diketahui dengan

jelas bahwa yang dibicarakan adalah kumpulan objek-objek atau simbol-simbol

yang mempunvai sifat yang dapat menunjukkan apakah objek itu menjadi anggota

atau bukan anggta dari himpunan tersebut.

2

Dari pengertian himpunan yang dikemukakan tersebut dapat diartikan, bila

ditetapkan suatu obyek, maka dapat ditentukan keanggotaan obyek tersebut dalam

suatu himpunan yang rnaksud.

Untuk menyatakan suatu himpun dapat dengan cara menyebutkan semua

anggotanya. Cara ini disebut dengan tabulasi. Unsur-unsur himpunan tersebut

dinyatakan di antara dua kurung kurawal dan untuk memisahkan anggota yang

satu dengang yang lain digunakan tanda koma.

Contoh 1 : Himpunan enam bilangan cacah yang pertama ditulis {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Contoh 2 : Himpunan huruf hidup abjad latin ditulis {a, i, u, e, o}

Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf besar misalnya : A, B,

C, dan sebagainya.

Himpunan semua bilangan ganjil diberi nama misalnya A = {1, 3, 5, 7, 9,

... }. Tiga titik pada lambang ini digunakan untuk menunjukkan bahwa barisan

bilangan tersebut berarti tak terhingga, dapat dibaca dan seterusnya.

Tiga titik dipergunakan juga untuk menunjukkan himpunan yang

anggotanya terlalu banyak untuk ditulis semuanya.

Contoh 3 : Himpunan bilangan prima kurang dan 100 ditulis (2, 3, 5, 7, ... , 97).

Contoh 4 : Himpunan bilangan genap kurang dan 1000 ditulis (0, 2, 4, … , 998).

Penlu diperhatikan bahwa yang dapat ditulis dengan menggunakan tiga

titik adalah himpunan-himpunan yang anggota-anggotanya memiliki urutan

tertentu. Misalnya untuk menyatakan himpunan semua gunung berapi di

Indonesia, maka tidak dapat hanya dituliskan tiga gunung berapi di Sumatera,

kemudian tiga titik dan diakhiri dengan gunung berapi di Irian Jaya.

Cara lain untuk menyatakan suatu himunan ialah dengan menyebutkan

syarat keanggotaannya, sedangkan anggotanya dinyatakan dengan suatu variabel.

Contoh 5 : Hirnpunan semua bilangan cacah genap ditulis {x│x bilangan cacah

genap} atau {bilangan cacah genap}.

Contoh 6 : Himpunan semua bilangan asli mulai dari 10 sampai dengan 20

ditulis { x│x ≤ x ≤ 20, x bilangan asli} atau (bilangan asli 10 sampai dengan 20).

3

Suatu himpunan dimungkinkan tidak rnempunyai anggota, mempunyai

anggota terhingga atau tak terhingga. Hirnpunan kosong adalah himpunan yang

tidak mempunyai anggota dilambangkan dengan { } atau ɸ.

Gontoh 7 : Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2 adalah bimpunan

kosong.

Contoh 8 : Himpunan orang yang tingginya lebih dan 1000 m, adalah himpunan

kosong.

Untuk menyatakan keanggotaan dari suatu himpunan digunakan lambang

“€”. Misalnya a € {a, b, c} artinya a anggota himpunan {a, b, c}. Lambang €

dapat dibaca elemen, anggota atau termasuk di dalam. Sebaliknya untuk

menyatakan bukan anggota dituliskan dengan lambang “¢“. Misalnya p bukan

anggota dari {a, b, c} dituliskan p ¢ {a, b, c).

Untuk penulisan x € A berarti x anggota A, sedangkan x ¢ A dapat

diartikan x bukan anggota A.

LATIHAN

Kerjakan soal-soal latihan berikut ini!

1. Berilah tiga contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

2. Buatlah kalimat sendiri yang dapat menjelaskan arti himpunan.

3. Jika A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dan 16, nyatakan pernyataan

berikut benar atau salah.

(a) 11 € A (b) {5} € A (c) 14 € A

(d) 81 € A (e) A € A (f) 16 € A

(g) {1,2,3, … ,16} € A (h) 0 € A (i) { } € A

4. Tulislah dengan rnenggunakan notasi pembentuk himpunan.

a) Himpunan bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 16.

b) Himpunan bilangan genap.

c) Himpunan penari wanita dari Jawa.

5. Sebutkan bagian buku Matematika Sekolah Dasar (jilid dan Kelas) yang

menyajikan pengajaran topik himpunan pada bab ini, dan buatlah inti isi

pelajarannya.

4

B. Diagram Venn

Untuk menggambarkan himpunan kita dapat menggunakan diagram

yang disebut dengan diagram Venn. Perkataan Venn diambil dan nama John

Venn (1834-1923) ahli logika berkebangsaan Inggris.

Suatu himpunan digambarkan dengan daerah yang dibatasi kurva

tertutup, sedangkan untuk himpunan semesta biasanya digambarkan dengan

daerah persegi panjang. Untuk menggambarkan anggota-anggota himpunan

dapat digunakan noktah-noktah. Tetapi seandainya himpunan tersebut

mempunyai anggota yang cukup banyak, anggota-anggota himpunan tersebut

tidak usah digambarkan. (Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat

semua unsur yang dibicarakan).

Contoh 1 : S = {1, 2, 3, ... , 8}

A = {1, 2, 3, 4}

Gambar diagram vennnya berikut :

Contoh 2 : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

Gambar diagram vennnya berikut :

5

Contoh 3 : S = {bilangan bulat}

A = {fbilangan cacah}

B = {bilangan prima}

Karena himpunan-himpunan ini banyak anggotanya tidak terhingga,

anggota-anggota himpunan tersebut tidak digambarkan dengan noktah

sehingga gambarnya :

Contoh 4 : S = {bunga}

A = {bunga melati}

B = {bunga mawar}

6

Gambar diagram vennnya berikut :

C. Hubungan Antar - Himpunan

1. Himpunan Bagian (subset)

Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian B dilambangkan

dengan A C B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah

anggota B.

Contoh 1: Jika A {x,y} dan B {w,x,y,z) maka A C B, karena setiap

anggota A merupakan anggota B.

Contoh 2: Jika P = {4,7} dan Q = {4,7} maka P C Q, karena setiap

anggota P adalah anggota Q, dan juga Q C P, karena setiap

anggota Q adalah anggota P.

Contoh 3: A = Himpunan bilangan asli dan C = Himpunan bilangan

cacah, maka A C C karena setiap bilangan asli adalah bilangan

cacah.

Contoh 4: D = {12, 2

2, 3

2, 4

2} dan E = {1,4,9,16} maka D C E karena

setiap anggota D adalah anggota E dan E C D karena setiap

anggota E adalah anggota D.

Contoh 5: H = {1,3,5,7) dan I = {3,5,7,9). H bukan himpunan bagian I

karena ada anggota H yaitu 1 yang bukan anggota I.

7

2. Himpunan Bagian Murni (Proper Subset)

Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian murni (proper subset) B

ditulis A C B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota

B dan sedikitnya ada satu anggota B yang buan anggota A.

Contoh 1 : Diberikan himpunan A = {m, n, o, p} dan B = {m, n, o, p, q},

maka A C B kaena setiap anggota A adalah anggota B dan ada

anggota B yiang bukan anggota A yaitu q.

Contoh 2 : P = {x, y, z) dan Q = {y, x, z} maka P C Q (P bukan himpunan

bagian murni Q) karena tidak ada anggota Q yang bukan anggota

P.

Contoh 3 : C = {0,2,4,6, … ) dan D = {n | n bilangan cacah genap}, C bukan

hmpunan bagian murni D karena tidak ada anggota D yang bukan

anggota C.

Contoh 4: P = himpunan segi tiga, dan Q himpunan segitiga siku-siku, maka

Q C P, karena setiap segitiga siku-siku adalah suatu segitiga dan

ada segitiga yang tidak siku-siku. misalnya segtiga lancip dan

segitiga tumpul.

Untuk penulisan lambang himpunan bagian dan himpunan bagian

murni sering kali tidak dibdakan, yaitu menggunakan lambang “C” yang

diartikan sebagai himpunan bagian.

3. Himpunan Sama

Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan sama ditulis A = B, jika dan

hanya jika A C B dan B C A.

Concoh 1: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4}. Dan kedua himpunan mi

jelas terlihat A C B dan B C A, sehingga dapat disimpulkan A =

B.

Contoh 2 : {l x 1, 2 x 2, 3 x 3} sama dengan {1, 4, 9}.

Dengan kata lain dapat dikatakan bahwa dua himpunan adalah sama

jika dan hanya jika mempunyai anggota yang sama.

4. Semesta Pembicaraan

8

Definisi : Semesta Pembicaraan atau himpunan Semesta adalah suatu

himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan. Pada

umumnya semesta pembicaraan dilambangkan dengan S atau U.

Contoh : Himpunan A = {1,3,5,7} Semesta pembicaraan yang mungkin

untuk himpunan A adalah himpunan bilangan ganjil, himpunan

bilangan cacah, himpunan bilangan asli dan sebagainya.

Himpunan ayam, semesta pembicaraan yang mungkin adalah

himpunan binatang, himpunan makhluk hidup dan sebagainya.

5. Himpunan yang Ekuivalen

Definisi : Jika A dan B himpunan yang terhingga (finite) maka himpunan A

dikatakan ekuivalen dengan himpunan B, bila setiap anggota A

dapat dipasangkan, (dikorespondensikan) satu-satu dengan setiap

anggota B. Atau dua himpunan yang terhingga dikatakan

ekuivalen jika kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang

sama banyak. A ekuivalen B ditulis A ~ B.

Contoh 1 : A = {a, b, c} dan B = {p, q, r}. Karena dapat dikorespondensikan

satu-satu sebagai berikut,

A = {a, b, c}

B = (p, q, r}

maka dapat dikatakan A ~ B

Contoh 2 : P = {a, i, u, e, o}, Q = {2, 4, 6, 8, 10}.

Karena,

P = {a, i, u, e, o}

Q = { 2, 4, 6, 8, 10}

maka dapat dikatakan P ~ Q

9

6. Himpuan-himpunan Terpisah (disjoint)

Definisi : Himpunan A dikatakan terpisah dengan himpunan B, jika tidak

ada anggota A yang menjadi anggota B dan tidak ada anggota B

yang menjadi anggota A.

Contoh 1 : A = {5, 6, 7} dan B = {1, 3}, maka A terpisah dengan B.

Contoh 2 : P = {tiga huruf pertama pada abjad} Q = {empat huruf terakhir

pada abjad}P terpisah dengan Q.

Untuk menunjukkan dua himpunan yang terpisah dapat dilihat pada

diagram Venn berikut :

A terpisah dengan B

LATIHAN

Kerjakan soal-soal latihan berikut ini!

1. Nyatakan pernyataan beriku benar atau salah

a) {z, r} C {x, y, z, r} b) {Santi, Dina, Mari} C {Santi}

c) {7, 2, 6,} C {2, 6, 7} d) 6 C {4, 5, 6, 7}

e) {2, 5, 6} C {7, 5, 2} f) {p, q, r) € {p, q, r, s}

2. Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, . . . ) A = {0, 2, 4, 6, . . .) C = {0, 3,6,9, . .

.) Isilah dengan tanda € atau ¢ sehinga terdapat pernyataan yang benar

a) 10 . . . A b) 5. . . B

c) 30 . . . C d) 0 . . . A

e) 172 . . . B f) 111 . . . C

10

3. Tulislah semua himpunan bagian {a, b, c}

4. Gambarlah diagram Venn untuk himpunan-himpunan berikut

a) S = {0,1,2,3,4} A = {0,1} B = {3,4}

b) S = {a,b,c,d,e} P = (a,b,c) Q = {a,b}

c) S = {bilangan cacah} C = {bilangan genap}

D = {bilangan ganjil}

d) S = {bilangan cacah} R = {bilangan kelipatan 4}

T = {bilangan kelipatan 3}

e) S = {bilangan cacah} E = {bilangan kelipatan 3}

F = {bilangan kelipatan 6}

5. Sebutkan anggota-anggota himpunan yang ditunjukkan gambar berikut :

a) Himpunan A

b) Himpunan B

c) Himpunan anggota S yang bukan anggota A atau bukan anggota B

6. Tentukanlah kompiemen himpunan berikut, jika diketahui Semesta

pembicaraan dan himpunannya.

a) S = {huruf dalam abjad latin}, A = {Vokal}

b) S = {bilangan cacah}, B = {bilangan genap}

c) S = {bilangan cacah}, C = {bilangan prima}

7. a) Apakah 2 himpunan yang sama tentu ekuivalen? Apa sebabnya? Berilah

sebuah contoh!

b) Apakah 2 himpunan yang ekuivalen tentu sama? Apa sebabnya? Berilah

sebuah contoh!

11

8. Tentukan himpunan-himpunan yang ekuivalen:

(bilangan genap antara 5 dan 8), (1,2,3,4)

{bilangan ganji antara 0 dan 8), {p}, {x,y,z}

{tiga bilangan genap yang pertama}, {10,11,12}

9. Tentukan apakah pasangan-pasangan himpunan berikut terpisah?

a) {bilangan ganjil} dan {bilangan genap}

b) {bilangan asli} dan {bilangan cacah}

c) {bilangan prima} dan {bilangan genap}

d) {a,b,c,d) dan {huruf hidup}.

D. Bilangan Kardinal dan Bilangan Ordinal

1. Bilangan Kardinal

Perhatikan himpunan A = {kuda, kerbau, kambing} dan himpunan B

= {mawar, melati, anggrek}. Anggota-anggota hirnpunan A dan B tidaklah

sama. Apabila diadakan pemasangan, misalnya sebagai berikut:

A = { kuda, kerbau, kambing }

B = {mawar, melati, anggrek }

maka terjadi korespondensi satu-satu antara anggota himpunan A dengan

anggota hiinpunan B. Antara kedua himpunan tersebut ada sesuatu yang sama

yaitu banyaknya anggota. Untuk menyatakan banyaknya anggota himpunan

itu digunakan bilangan. Untuk himpunan A dan B tersebut, bilangan yang

dimaksud disebut tiga. Demikian juga semua bilangan lain yang ekuivalen

dengan A dan B mempunyai bilangan yang sama. Bilangan yang menyatakan

banyaknya anggota suatu himpunan disebut bilangan Kardinal.

Bilangan kardinal himpunan P = {a, b, c, d} adalah empat. Pernyataan

mi ditulis dengan n(P) = 4.

Himpunan (1,2,3, .. .} disebut himpunan bilangan hitung atau

himpunan bilangan asli. Kita dapat mengadakan korespondensi satu-satu

antara himpunan yang terhingga dengan himpunan bagian dan hinipunan

12

bilangan asli. Bilangan asli yang terakhir menunjukkan bihangan kardinal dan

himpunan tersebut.

Khusus untuk himpunan kosong yang tidak ada anggotanya dikatakan

mempunyai bilangan kardinal nol, dinyatakan n (ɸ) = 0. Dengan kata lain 0

adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota himpunan kosong.

Contoh 1 : A = { a, b, c, d, e}

B = { 2, 4, 6, 8, 10) dapat dilihat bahwa A ekuivalen dengan B

dan dapat ditulis n(A) = n(B).

Contoh 2 : Tentukan bilangan Kardinal {p, q, r, s, t)

Penyelesaian : {p, q, r, s, t}

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .}

Bilangan kardinal {p, q, r, s, t) adalah 5.

2. Bilangan Ordinal

Untuk memahami pengertian bilangan ordinal, marilah kita perhatikan

contoh berikut: Pak Budi mempunyai 3 anak, anak pertama bernama Lusi,

kedua bernama Desi, dan ketiga bernama Andri.

Dari contoh ini dapat kita lihat adanya korespondensi satu-satu antara

himpunan bilangan asli yang menunjukkan urutan, dengan himpunan anak.

Bilangan yang menunjukkan urutan atau letak ini disebut dengan bilangan

ordinal.

Contóh : Di suatu pusat pertokoan mempunyai 4 lantai, toko pakaian

terletak pada lantai keempat toko elektronik tenletak pada lantai

ketiga.

Kesatu (pertama), kedua, ketiga, keempat, . . . disebut bilangan ordinal.

LATIHAN

Kerjakan tugas berikut sebagai latihan.

1. Tentukan mana yang menunukkan konsep bilangan Kardinal dan mana

yang menunjukkan konsep bilangan Ordinal?

13

a) Tujuh han dalam satu minggu

b) Satu dosin pensil

c) Halaman keseratus

d) Peniode kedua

e) Tingkat tiga

f) Bulan kesepuluh

g) 12 bulan dalam satu tahun.

2. Berilah contoh yang menunjukkan konsep bilangan kardinal dan konsep

bilangan ordinal masing-masing lima buah.

3. Tunjukkanlah pada SD kelas berapa, konsep bilangan kardinal dan ordinal

mi diajarkan buatlah inti pelajarannya.

E. Operasi Himpunan

1. Irisan Dua Himpunan

Definisi : Irisan himpunan A dan B (dilambangkan A ∩ B) adalah himpunan

semua anggota yang menjadi anggota A dan juga menjadi anggota

B.

Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan

A ∩ B = {x | x € A dan x € B}

A ∩ B dibaca A irisan B atau Irisan himpunan A dan B.

Contoh 1: Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {4, 5, 6, 7} maka A ∩ B {4, 5}

Contoh 2 : Jika P = {1, 2, 3, 4} dan Q ={(2, 3, 4} maka P ∩ Q = {2, 3, 4}

Contoh 3: Jika E = {1, 2, 3} dan F = {a, b, c}, maka E ∩ F = { }.

Diagram Venn contoh 1, 2, dan 3 adalah sebagal berikut:

14

Contoh 4 : Jika A = {a,b,c,d,e}, B = {c,d,e,f} dan C = {d, e, f, g} maka A ∩

B = (c, d, e}, (A ∩) ∩ C = {d, e}.

Contoh 5 : Daerah yang diarsir pada diagram Venn berikut menunjuk A ∩ B,

dengan relasinya antara A dan B.

Contoh 6 : Jika S = {bilangan cacah}

A = {kelipatan 2}

B = {kelipatan 3}

C = {kelipatan 5}

Daerah yang diarsir pada diagram Venn gambar 1.8.a menunjukkan A

∩ B dan diagram Venn gambar 1.8.b menunjukkan (A ∩ B) ∩ C

2. Gabungan Dua Himpunan

Definisi : Gabungan dua himpunan A dan B (dilambangkan AUB) adalah

himpunan semua elemen himpunan A atau B.

Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan ditulis A U B = {x

| x € A atau x € B). A U B dibaca A gabungan B atau gabungan A dan B

15

Contoh 1 : Jika A = {a, b, c} dan B = {d, e}, maka

A U B = {a, b, c, d, e}

Contoh 2 : Jika E = {2, 4, 6, 8} dan F = {2}, maka

E U F = {2, 4, 6, 8}

Contoh 3 : Jika G = {p, q, r) dan H = {q, r, s}, maka

G U H = {p, q, r, s),

Contoh 4: Daerah yang diarsir pada diagram Venn gambar 1.9 menunjukkan

gabungan antara dua himpunan dengan berbagai relasi sebagai

berikut :

Contoh 5 : Jika P = {1, 2, 3, 4}, Q = {4, 5, 6} dan R = {6, 7}

P U Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(P U Q) U R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Jika banyaknya elemen himpunan A dinyatakan dengan n(A),

banyaknya elemen himpunan B dinyatakan dengan n(B). Berapakah

banyaknya elemen AU B yang ditulis dengan n(A U B)? Untuk menjawab

pertanyaan mi perhatikan diagram Venn gambar 1.11.

16

Pada diagram Venn mi dapat dilihat banyaknya elemen padamasing-

masing daerah tertutup yang dinyatakan dengan (a), (b), (c), dan (d), jadi

n(A U B) = (a) + (b) + (c)

n(A) = (a) + (b)

n(B) = (b) + (c)

n(A ∩ B) = (b).

Dapat disimpulkan banyaknya elemen himpunan A atau B adalah

n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

Contoh 1 : Diketahui n(E) = 13

n(M) = 12

n(E ∩ M) = 7

Tentukan : n(E U M)

Penyelesaian : n(E U M) = n(E) + n(M) - n(E ∩ M)

= 13 + 12 - 7

= 18

Contoh 2 : Dalam suatu kelas terdapat 40 anak, 25 anak menyukai olah raga,

23 anak menyukai kesenian berapakah banyaknya anak yang

menyukai keduanya.

Penyelesaian : n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

40 = 25 + 23 - n(A ∩ B)

n(A ∩ B) = - 40 + 25 + 23

= 8

Banyaknya anak yang menyukai olahraga dan kesenian 8 anak.

Contoh 3 : Di dalam ruangan terdapat 10 anak berbaju putih dan 12 anak

bersepatu hitam. Jika banyaknya anak yang berbaju putih dan

17

bersepatu hitam ada 5. Berapakah banyaknya anak dalam ruangan

tersebut?

Penyelesaian : Jika A himpunan anak berbaju putih, B himpunan anak

bersepatu hitam, maka A U B himpunan anak dalam ruangan.

n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

= 10 + 12 - 5

= 17

Jadi. banyaknya anak di dalam ruangan tersebut ada 17 anak.

3. Komplemen Suatu Himpunan

Definisi : Komplemen himpunan A adalah himpunan semesta yang bukan

elemen A. elemen himpunan

Jika A adalah himpunan bagian S. maka komplemen A dapat ditulis

dengan notasi à = (x | x € S dan x ɇ A)

Contoh 1 : Jika S = {a, b, c, d} dan A = {b, c}, maka A = {a, d}

Contoh 2 : Jika S = {bilangan asli)

dan B = {bilangan asli ganjil)

maka B’ = (bilangan asli genap)

Contoh 3 : Jika S = {siswa kelas I}

dan P = {siswa kelas I yang berkaca mata}

maka P’ = {siswa kelas I yang tidak berkaca mata}.

Pada diagram Venn gambar 1.12 daerah yang diarsir menunjukkan

komplemen dari himpunan Q

18

Contoh 4 :Jika S = {1, 2, 3, . . . , 8}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

Karena A ∩ B = {3, 4} maka,

(A ∩ B)’ = {1, 2, 5, 6, 7, 8)

Karena A’ = {5, 6, 7, 8}

B’ = {1, 2, 7, 8},

maka. B’ ∩ A’ = {7, 8}

A’ U B’ = {1, 2, 5, 6, 7, 8}

4. Selisih Dua Himpunan

Definisi : Selisih himpunan B dan. himpunan A (dilambangkan B - A)

adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen B

yang bukan elemen A.

Jika dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan, maka

B - A = {x | x € B dan x ɇ A)

Contoh 1 :Jika A = {x, y, z, w} dan B = {u, v, x, y}

Mska B – A = {u, v}

A - B = {z, w}

B – B = { }

Contoh 2 : Daerah yang diarsir pada diagram Venn berikut menunjukkan A -

B dalam berbagai relasi antara A dan B.

19

Terdapat sifat-sifat khusus untuk operasi irisan dan gabungan pada

himpunan. Untuk memperoleh sifat-sifat operasi irisan dan gabungan pada

himpunan kerjakan tugas berikut.

LATIHAN

Kerjakanlah soal-soal berikut ini1

1. Tentukan irisan dan gabungan dan pasangan himpunan berikut.

a) R = {5, 10, 15} dan T = {15, 20}

b) N = {0, 1, 2, 3} dan N = {101, 102, 103}

c) A = {0, 10, 100, 1000} dan B = {10, 100}

d) G = (x | x adalah bilangan ganjil yang kurang dan 100)

H = (y | y adalah bilangan ganjil antara 1 dan 31)

e) P = {x, y, z, t}, Q = {x, y, r, s}.

2. Pada diagram Venn berikut arsirlah daerah yang menunjukkan masing masing

himpunan yang diberikan.

a) A ∩ B b) A’ ∩ C

d) A ∩ B e) A ∩ (B ∩ C)

c) A U B f) A U (B U C)

g) A ∩ (B U C) h) AU (B ∩ C)

i) (AU B) ∩ (A ∩ C)

3. Jika semesta pembicaraan adalah himpunan semua mobil, C adalah

himpunan mobil berwarna merah, dan D himpunan mobil buatan 1980.

Nyatakan dengan kalimat tiap-tiap himpunan berikut.

a) C’ b) C ∩ D

20

c) C’ ∩ D d) C’ U D’

e) C U D f) (C ∩ D)’

4. Pada tiap-tiap soal, gambarlah himpunan A, B, C dalam satu diagram Venn.

a) A Ϲ B, C ∩ B ≠ ɸ, A ∩ C = ɸ

b) A ∩ B ≠ ɸ, C C(A ∩ B)

c) B ∩ C = ɸ, A’ ∩ C = C, A ∩ B ≠ ɸ

d) B C A, C C A, B ∩ C ≠ ɸ.

5. Nyatakan daerah yang diarsir pada bagian Venn berikut dengan. menggunakan

lambang himpunan

6. Arsirlah daerah himpunan berikut pada diagram Venn yang menu.njukkan

tiap-tiap

a) A ∩ (B U C) b) (A ∩ B) U (A ∩ C)

c) (A U B)’ d) A’ ∩ B’

e) (A ∩ B)’ f) A’ U B’

g) A U A’ h) A ∩ C

i) A U ɸ j) ɸ’

k) A’ l) A ∩ ɸ

21

7. Pada tiap-tiap kalimat berikut, tentukan C ∩ D dan C U D (petunjuk : tulis

beberapa anggota tiap-tiap himpunannya)

a) C = {4n + 1 | n adalah bilangan asli}

D = (2n + l | n adalah bilangan ganjil}

b) C = (2n + l | n adalah bilangan Ganil}

D = {2n – l | n adalah bilangan genap}

8. Tentukan A - B untuk pasangan himpunan A dan B berikut

a) A = {1, 2, 3, 4, 5) B = {1, 2, 3}

b) A = {3, 4, 5} B = {6, 7, 8}

c) A = {a, b, c, d) B = {a, i, u, e, o}

9. Arsirlah daerah yang menunjukkan A - B (jika mungkin).

10. Di suatu kelas terdapat 27 anak yang gemar memasak 23 gemar menjahit,

ada 10 anak yang gemar keduanya. Ada berapa anak dalam kelas tersebut?

22

5. Perkallan Silang Dua Himpunan

Sebelum membicarakan perkalian silang, terlebih dahulu didefinisikan

apa yang dimaksud dengan pasangan berurutan dari dua unsur. Yang dimaksud

pasangan berurutan dua unsur adalah pasangan yang urutannya diperhatikan;

dalam hal ini urutan mempunyai arti penting. Pasangan berurutan dua unsur, a

dan b, ditulis (a, b) dan (a, b) ≠ (b, a) karena urutannya berbeda; pasangan

berurutan dua unsur (5, 3) ≠ (3, 5).

Selanjutnya perkalian silang didefinisikan sebagai berikut :

Definisi : Perkalian silang dua himpunan A dan B adalah himpunan semua

pasangan berurutan yang unsur pertamanya adalah anggota A dan

unsur yang kedua adalah anggota B.

Dengan notasi himpunan ditulis A x B = {(a,b) | a € A dan b € B).

Contoh 1: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}), maka

A x B = {(1,1) , (l,2), (2,l), (2’,2), (3,l), (3,2)}

Dalam bidang koordinat digambarkan sebagai benikut:

Contoh 2: P = {a, b, c} Q = {1, 2} R = {3}

P x Q = {(a, 1), (a, 2) , (b, l), (b,2), (c,l), (c,2)}

(P x Q) x R = {((a,1) , 3), ((a,2) ,3) , ((b,1) ,3), ((b,2) ,3 ) , ((c,1) ,3)

((c,2) ,3))

Contoh 3: Perjalanan dari kota P ke kota Q dapat ditempuh dengan

menggunakan bis, kereta api, dan kapal terbang. Dan Q ke R

dapat tempuh dengan menggunakan bis dan taksi. Sebutkan

23

macam dan berapa cara yang dapat ditempuh jika seseorang pergi

dari kota P ke kota R?

Penyelesaian:

Jika A = (bis, kereta api, kapal terbang) dan B = (bis, taksi), maka

himpunan pasangan berurutan yang menyatakan jenis kendaraan yang

berbeda yang dapat dinaiki dari kota P ke kota R, dinyatakan dengan A x B

yang disebut perkalian silang himpunan A dan B. Himpunan pasangan

berurutan tersebut dapat dilihat pada daftar yaitu:

{(bis, bis), (bis taksi), (kereta api, bis), (kerata api, taksi), (kapal terbang, bis),

(kapal terbang, taksi)}.

Jadi ada 6 macam cara untuk memperoleh perjalan dari P ke R.

Untuk menyelidiki sifat-sifat pada perkalian silang himpunan

himpunan, kerjakan soal-soal berikut:

a. Jika A = {1, 2}, B = (4, 5} maka

A x B = ………….

B x A = ………….

apakah A x B = B x A?

b. Jika A = {1, 3}, B = {2, 4} dan C = {6, 7}, maka

A x (B x C) = ………….

(A x B) x C = ………….

Apakah A x (B x C) = (A x B) x C?

c. Jika A = {1, 2}, B = {2, 3} dan C = {1,5}, maka

(A U B) x C = ………….

A x C =………….

B x C = ………….

(A x B) U ((B x C) = ………….

24

Apakah (A U B) x C = (A x C) U (B x C)?

C x (A U B) = ………….

C x A = ………….

C x B = ………….

(C x A) U (C x B) = ………….

Apakah C x (AUB) (C x A)U(C x B)?

d. Jika A = {a,b}

maka A x ɸ =………….

ɸ x A = ………….

apakah yang Anda simpulkan perkalian himpunan dengan ɸ?

Dari pengerjaan soal di atas dugaan apakah yang dapat anda peroleh sifat

operasi x?

LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut ini!

1. Jika A = {a, b, c) dan B = {r, s, t), tentukan

a) A x B b) A x A c) B x B

2. Tentukan B x C untuk tiap pasangan himpunan berikut :

a) B ={3} C = {O}

b) B = (3} C = { }

3. Jika E x F ditunjukkan pada himpunan berikut, tentukan himpunan E dan F

a) {(1,1), (1,2), (1,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

b) {(1,4), (1,5), (0,4), (0,5)}

c) {(6,6), (6,7), (6,8)}

d) {(x,x) , (x,y) , (x,z) , (y,x) , (y,y) , (y,z) , (z,x) , (z,y) , (z,z)}.

4. Di suatu perguruan tinggi terdapat 3 guru besar dan 3 asisten. Jika seorang

guru besar selalu dibantu dengan seorang asisten, tentukan semua

kemungkinan pasangan dan guru besar dan asistennya dengan

menggunakan P x R, jika himpunan guru besar P = (Mardi, Joni, Budi}

dan himpunan asisten Q = {Rani, Nisa, Rikha)

25

5. Jika A = (a1, a2,a3, a4) dan B = (b1,b2,b3}, tentukan pernyataan berikut

benar atau salah.

a) (a1,b2) € A x B b) {(a2,b1), (a2,b3), (a2, b3)) C B x A

c) (b3,a2) € B x A d) A x B = B x A

e) (b1,b2) € B x B f) (a1,(b1,a1)) € (A x B) x A

6. Jika A = {1, 2}, B = {3, 4, 5} dan C = {4, 5}, tentukan hasil perkalian

silang berikut.

a) B x (C x A) b) (A x B) x C

c) A x (B x C) d) (B x C) x C

7. Diberikan himpunan A = {1, 2, 3, 4), B = {3, 4, 5} dan C = {4, 5, 6},

tentukan himpunan berikut:

a) (A x A) U (B x B) b) (C x A) ∩ (C x B)

c) (A x A) ∩ (B x B) d) (A x B) U (B x A).

8. a) Jika A = B, apakah A x B = B x A

b) Jika A ≠ ɸ, dan B ≠ ɸ dan A x B = B x A, apakah A = B?

c) Jika A ≠ ɸ, dan B ≠ B dan A x B = C x D, apakah A = C dan B = D

d) Jika a < b gunakan definisi “<“ untuk menunjukkan a + c < b + c.