BAB 7 OPTIMISATION - hogasaragih.files.wordpress.com · Contoh jaringan atau grafik yang terbatas...

Practical Math 2 [email protected] 1

BAB 7OPTIMISATION

• Yang termaksud dalam jaringan optimisation adalah:‐ Angka maksimum dari garis masalah‐ Cara singkat menyelesaikan masalah‐ Arus maksimum masalah‐ Jalur analisis kritis

• Program optimisation garis lurus adalah :– Area kemungkinan dan paksaan (bentuk sederhana)– Titik kemungkinan– Alogaritme sederhana– Solusi yang optimal


Pengenalan• Optimisation adalah sesuatu yang sangat familiar bagi kita. Kita sering

menggunakan kalimat:“Berapa jarak terdekat dari tempatku ke tempat mu?”“Berapa kelajuan maksimum yang dapat di capai dalam perjalanan

ini?”“Berapa harga terbaik yang bisa saya dapatkan saat ini?”“Bagaimana kita dapat memaksimalkan keuntungan kita dengan usaha yang paling sedikit? ”“Bagaimana kita dapat meminimalkan konsumsi air kita?”

• Dalam perindustrian dan perniagaan, pertanyaan yang sama juga yang sering ditanyakan, seperti:

“Apa yang kita butuhkan untuk memaksimalkan keuntungan kita?”“Rute apa yang paling cepat untuk mendapat produksi kita di pasaran?”“Strategi apa yang dapat digunakan untuk meminimalkan biaya yang di keluarkan?”“Kapan waktu yang paling tepat untuk melengkapi tugas kita?”


• Dalam pemerintahan, masalah yang sama dengan perindustrian juga yang sering dihadapi, seperti:

“Berapa jumlah orang yang paling sedikit yang harus keluar dari departemen mu?”

“Bagaimana kita dapat meminimalkan serangan dari para pemilih?”“Strategi apa yang harus digunakan oleh departemen transportasi untuk meminimalkan harga bahan bakar?”“Iklan yang mana yang dapat membawa dampak lebih besar?”

• Dalam bab ini kita akan memeriksa hasil dari masalah optimisation, yang mana dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik. Kita akanmelihat optimisation dalam tiap jaringan maupun programming situations garis lurus.


A. JARINGAN OPTIMISATION

Pikirkan masalah di bawah ini:

Dalam ilustrasi ini, A dan B adalah titik potong dari jalan di kota. Kamu berada di titik A dan kamu menginginkan perjalanan ke titik B dengan berjalan mundur (untuk memperlambat waktu). Berapa jumlah terbesar dari jalan kecil yang berbeda untuk sampai ke titik B? Satu jalan kecil ditunjukan dengan cara kerja yang jelas.


AktifitasJalan kecil maksimum

Cara yang dianjurkan untuk memecahkan masalah di atas yaitu, memfotokopi beberapa diagram dan menggambarkan salah satu kemungkinan setiap jalan kecil, yakinkan bahwa tidak ada pengulangan.

Bagaimana cara kamu dari aktifitas tersebut menguasai situasi dimana jumlah jalan antara A dan B bertambah? Seperti ilustrasi ini:Bagaimana kamu dapat mengendalikan situasi ketika:

• Titik potong di X harus dihindari karena terjadi kecelakaan utama.• Titik potong di Y harus dilewati karena kamu ingin bertemu dengan temanmu


PeristilahanContoh jaringan atau grafik yang terbatas adalah:

Setelah jaringannya dibuat, kita bisa belajar menemukan solusi yang optimal (maximum atau minimum) dengan menggunakan alogaritme (langkah perhitungan)


• Pada diagram pertama diatas pertanyaan tentang nilai optimumnya akan menjadi:

“Berapa angka maksimum dari jalan kecil yang berbeda dari A ke B (dengan tidak berjalan mundur)”

• Sedangkan pada diagram kedua,pertanyaannya menjadi:“Berapa jarak terpendek dari kota F ke pelabuhan udara?”

• Sebuah diagram jaringan dalah grafik yang terbatas yang mana harus menggunakan representasi (atau model) bagian dari situasi. Situasinya bisa menjadi jaringan jalan, rute pelabuhan udara, jaringan telepon, hubungan rel, terminal komputer, dll.

• Diagram tetap dari poin tersebut disebut node (atau vertices) dan itu semua dihubungkan oleh garis‐garis yang di sebut arcs, edges, atau links


• Sebagai contoh,

Bentuk Edges, Bentuk kuantitas edgescontoh: jalan atau telepon antara orang. contoh jarak, harga atau waktu

• Dua contoh di atas merupakan jaringan tidak langsung.


• Ikuti contoh jaringan yang telah ditunjukan (ditunjukan oleh anak panah). Contohnya, jika jaringan itu adalah sebuah jalan, jalan tersebut dapat menjadi indikasi yang ditunjukan.

• Proses pemecahan masalah dengan jaringan dapat di cari dengan dua cari yaitu:‐Mengidentifikasi hubungan dalam masalah yang nyata dan pembuatan model yang cocok.‐Mengaplikasikan alogaritme seperti menganalisis jalur terpendek dan jarak minimal untuk menemukan yang paling efisien atau solusi harga yang efektif.


DISKUSI JARINGAN MASALAH

Dengan masalah di bawah ini, kita memikirkan:

•Apa yang dapat kita harapkan dan tenaga optimalnya (paling pendek, paling cepat, paling murah, paling nyaman, dll.)

•Informasi apa yang kita butuhkan sehingga solusi yang optimum dapat kita temukan.

•Representasi apa yang dapat digunakan untuk menampilkan informasi tersebut.


• Masalah 1:Andaikan kamu ingin berjalan di antara dua pinggiran kota. Jalan

terbaik mana yang akan kau pilih? Mengapa kau memilihnya?

• Masalah 2:Jika pemerintah setempat merencanakan membuat tanjakan untuk

meningkatkan lau lintas di daerah ini. Jalan mana yang akan di beri tanjakan? Mengapa harus daerah ini yang diberi tanjakan? Kenapa

bukan daerah yang lain?

• Masalah 3:Kamu disuruh untuk membuat pizza yang akan di makan ketika acara

TV kesukaan kamu dimulai. Kapan wakktu terbaik untuk memulainya?

• Masalah 4:Para siswa menginginkan sumber air minum di buat sebagai bagian

dari lokasi sekolah. Jalan mana yang paling baik untuk menghubungkan mereka dengan penyuplai air itu?


Masalah pembuka 1Masalah Ami

1. a. Kakeknya Ami menawarkan untuk membayarnya $10 setiap hari yang dia lalui dengan jalan yang berbeda‐beda. Bagaimana pun, dia tidak bisa bersantai, karena berjalan mundur tidak diperbolehkan. Berapa banyak uang yang bisa diperoleh ami?

b. Jika ia harus pergi ke rumahnya Bill, berapa banyak uang yang bisa didapatnya?

c. Jika ia ingin pergi ke rumah menghindari rumahnya Connie, berapa banyak uang yang bisa ia dapat?

Catatan: Ini sangat penting. Kamu harus berusaha memecahkan masalah di atas, dengan percobaan dan kesalahan (jika di butuhkan). Cobalah menemukan jawabannya dengan pertanyaan‐pertanyaan yang kamu bisa. Bandingkan jawaban mu. Bagaimana kamu memutuskan mana yang merupakan jawaban yang benar dalam setiap kasus tersebut.


ANGKA DARI GARIS PERMASALAHAN

• Dalam masalah “number of paths” kita tertarik untuk menemukan jumlah angka dari garis yang mana beranjak dari satu node ke node yang lain tanpa berjalan mundur.

• Alogaritme yang dapat kita gunakan yaitu seperti jaringan yang telah diberikan sebelumnya, dimana hanya pergerakan ke kanan dan ke kiri yang dapat di terima.


• Langkah 1:Untuk pergi dari A ke node berikutnya, ada 2 pilihan dan hanya garis yang dimungkinkan yang ditulis dekat setiap bagian.

• Langkah 2:Kita butuh untuk melihat bagian selanjutnya dari perjalanan ini. Pada setiap node yang berturut‐turut, kita menambahkan angka dari nodesebelumnya sebagai petunjuk untuk poin ini.

• Langkah 3:Ulangi langkah ke 2 sampai berakhir di B. Sehingga ada 20 gariskemungkinan yang di dapat dari A ke B

• Langkah 4:Jika kita telah melewati bagian node yang kita dahulukan, dimana ada node yang harus dihindari dan meletakan nilai nol pada poin ini. Jikakita harus menghindari jalan yang telah dilewati dengan memberikan node, mulai dengan memberikan angka nol pada node itu.


Contoh 1

Alvin (A) ingin mengunjungi Barbara (B) di seberang kota. Temannya Alvin, Sally tinggal pada titik potong S. Temukan berapa jalan kecil berbeda yang memungkinkan dari tempat alivin ke tempat Barbara :

a. Jika tidak ada pembatas

b. Jika Alvin harus mengunjungi Sally sepanjang jalan.

c. Jika Alvin harus menghindari Sally di titik S.


Pada jalan dari A ke B, pada setiap puncak kita tuliskan nomor di atas diagram indikasi nomor jalan dari kedua puncak sebelumnya.Contoh, untuk pergi ke P kita harus datang dari S atau T. Jadi, 6 + 4 = 10.Total angka garis dari A ke B adalah 35.

a.

b. Kita harus melewati S, total angka garis dari A ke B adalah 18.

c. Karena S harus dihindari, maka total angka garis adalah 17.


Pemeriksaan 1

Apa yang kita lakukan????Dapatkan sebuah peta dari Pulau Kangaroo atau Tasmania kemudian klik di icon yang cocok.

1. Dari peta tersebut, buatlah sebuah directed network antara dua tempat yang telah diketahui. Ingat bahwa jaringannya tidak berskala; hanya hubungan yang dipentingkan. Jaringan ini harus berisi antara delapan dan sepuluh node(termaksud poin mulai dan berakhir). Node tersebut harus diidentifikasi dan garis yang ada harus berhubungan, walaupun tidak semua hubungan di peta dibutuhkan untuk dimasukkan dalam jaringanmu. Sketsa peta tersebut harus kau pakai dalam tugas mu.

2. Diatas diagram dari jaringan yang kamu buat, tunjukan berapa banyak garis yang ada antara awal dan akhir poin (asumsikan tidak ada jalan mundur)


3. Pilihlah sebuah node dekat pertengahan jaringan mu dan tunjukan bagaimana kamu menghitung garis dimana:i. Melewati node ini ii. Menghindari node ini

4. Dengan beberapa pencarian, letakkan di atas garis dari jaringan mu dan berikan alasan kenapa ini yang direpresentasikan (kamu punya bidang yang dapat diciptakan, tetapi angkanya harus nyata.)

5. Sekarang ubahlah sebuah cerita bermasalah tentang jaringan mu yang mana meminta pembaca menemukan setiap garis terpendek dan terpanjang lewat jaringan mu. Berikan solusi ata masalah mu, tunjukan cara kerjamu.


Latihan 7A. 1

1. Hitunglah angka garis dari S ke F untuk setiap jaringan di bawah ini:


2. a. Berapa banyak dari garis edar yang terdapat dari A ke L padajaringanyang

ditunjukkan?b. Berapa banyak garis‐garis edar ini yang melalui G?

c. Berapa banyak dari garis‐garis edar ini yang tidak melalui F?d. Berapa banyak garis edar yang aka ada jika harus melewati G dan F? 3. a. Berapa banyak garis edar yang terdapat dari A ke B?b. Berapa banyak gari edar yang terdapat Melalui X?c. Berapa banyak garis edar yang tidak melalui X?

4. Lihat kembali masalah pembukaan 1 dan jawab pertanyaan 1 a, b, dan c.

Masalah Garis Edar Tersingkat

Masalah garis edar adalah suatu masalah dimana kita menemukan garis edar tersingkatdiantara satu puncak (atau tangkai) dengan yang lain dalam jaringan.

Garis edar tersingkat tidak perlu dinyatakan bahwa semua puncak harus dilihat. Hal itu tidakmesti. Sebuah contoh khusus yaitu masalah dari perpindahan dari Adelaide ke Sydney. Ada

beberapa rute yang dapat kita tempuh, masing‐masing dengan jarak yang berbeda. Salah satualasan ,kita mengharapkan untuk menempuh rute dengan jarak terpendek dan alas an lain, kita

dapat memilih rute dengan waktu tersingkat. (tidak perlu rute yang sama).Rute mana yang merupakan jarak tersingkat antara Adelaide dan Sydney?. Temukanlah

jawabannya dengan mencoba kemungkinannya.

Jika jaringan ini lebih rumit, bagaimana kita menemukan garis edar tersingkat tanpa mencoba‐coba?



INVESTIGASI 2 GARIS EDAR TERSINGKAT DENGAN “COBA‐COBA”Emilie mempunyai pilihan dari beberapa garis edaruntuk berangkat ke sekolah. Busar‐busar dari jaringanlangsung tidak hanya menunjjukkan arah yang harus diikutiuntuk mengantarnya ke sekolah, tapi juga waktu yang

dibutuhkan (dalam menit) untuk berjalan pada bagian perjalanan.Apa Yang harus Dilakukan1. Gambarkan garis edar tersingkat dalam jangka waktu yang dia dapat berjalan darirumah ke sekolah.2. Berapa waktu minimumnya dalam 1 gari edar yang dia tempuh?

INVESTIGASI 3 GARIS EDAR TERSINGKAT DENGAN ‘TALI TEGANG’Catatan : Kamu akan membutuhkan tali untuk memotong kedalam panjang yang bervariasi dari investigasi ini.


Apa yang harus dilakukanBangunlah sebuah jaringan yang ditunjukkan dengan menggunakan tali yang sesuaidan panjangnya ditandai di ujungnya, pada contoh nilai 5 harus 5 cm padapanjangnya, nilai 4 harus 4 cm.Pertalian antara tali pada tangkai‐tangkai dimana sudut bertemu.Ketika menangani jaringanmu pada sebuah knot yang menggambarkan puncak‐puncakpada setiap ujung dari garis edar (A dan E adalah masalah ini), hati‐hati menarik talitegang.Garis edar yang telah ditarik tegang adalah garis edar tersingkat.LATIHAN 7A.2Garis edar tersingkat dapat dihitung dengan metode “coba‐coba” atau dengan “TaliTegang”.1. Beberapa jaringan jalan untuk siswa berjalan dari rumah ke sekolah ditunjukka sbb. Pada setiap masalah, gambarkan garis edar tersingkat dalam selang waktu dan berikanwaktu perjalanan tersingkat.

2. Gambarkan gari edar tersingkat dari jaringan tidak


langsung di bawah ini, dari:a. B ke Gb. A ke FJumalah dari tiap hubungan didefinisikan dari panjanghubungan itu.3. Jaringan di bawah ini menunjukkan hubungan jalan antara beberapa kota‐kotaQuesland. Jarak dalam km. Pada masalah ini, jaringannya tidak langsung.

Temukanlah jarak terpendek dari:a. Townswille ke Emerald b. Charters Towers ke Barcaldine c. Longreach ke Mackay


4. Temukanlah garis edar tersingkat padajaringan tidak langsung yang ditunjukkan padadiagram sepanjang dari:a. B ke Gb. A ke Fc. H ke C

Walaupun metode Coba‐Coba dan Tali Tegang digunakan untuk menemukan garisedar tersingkat dari jaringan adalah cara yang benar untuk menemukan solusi, pengunaan mereka terbatas sebagai jaringan yang dipelajari ,emjadi lebih besar danrumit. Metode yang lebih canggih untuk menemukan garis edar tersingkat antara duapuncak dari jaringan yang ada, salah satunya adalah Algoritma GAris edar Tersingkat. Algoritma ini didasari pada proses yang disebut Pemprograman Dinamis.

ALGORITMA GARIS EDAR TERSINGKATBiasanya kita bekerja dari puncak permulaan, pada arah yang umum dari penyelesaianpuncak, pemberian label pada tiap puncak , jarak minimum dari awal kr puncak itu.Kita lalu bekerja kembali melalui jaringan dari penyelesaian puncak ke awal puncakpemberian label pada sudut‐sudut yang digunakan untuk mendapatkan setiap puncak.dalam cara ini solusi optimum dan panjangnya dapat ditemukan. Hal ini merupakanpenjelasan terbaik dalam senuah contoh.


Contoh 2Temukanlah garis edar tersingkat dari A ke O dalam jaringan yang ditunjukkan disamping.

Langkah 1 : Mulai dari titik A, catatlah nilai untukmendapatkan tangkai 1 langkah lagi dari A, ituadalah B = 2 dan F = 1. Tulislah nilai‐nilai ini kedalam tangkai yang sesuai.

Langkah 2 : Sekarang catatlah nilai untuk mendapatkan tangkai 2 langkah dari A. tulislah nilai terkecil di dalam tangkai. Sebagai sontaoh, tulislah nilai 3 pada G yaitu nilai untuk mencapai G lewat F, bukan 5 yang merupakan nilai melalui B.langkah 3 : Lanjutkanlah metode ini secara berulang sampai mencapai titik O,


langkah 4 : Mulailah dari titik O, jalan kembali sepanjang sudut yang menyediakan nilaiminimum dan karenanya garis edar tersingkat. Sangat berguna untuk mewarnai ataumenggaris bawahi sudut‐sudut yang menyediakan nilai terkecilGaris edar tersingkatantara A dan O pada jaringan ini digambarkan sebagai A‐F‐G‐H‐I‐N‐O dan mempunyainilai 12 satuan.

5. Temukanlah garis edar tersingkat dari A ke Z pada setiap masalah dan tentukannilainya:

6. Lihat kembali masalah pembukaan 1 dan jawablah bagian 2


CONTOH 3Pertimbangkanlah masalah Adelaide ke Sydney dari halaman 395. Temukanlah rutetersingkat dari Adelaide ke Sydney menggunakan rute yang diperlihhatkan.

Untuk sampai ke Balranald, kita harus menempuh 1 dari 2 rute. Yang tersingkat adalah533 km jadi label Barlanald dengan nomor 533.dari Barlanald ke Hay hanya ada 1 rute dengan jarak 132 km. Jadi jumlah minimum jarak dari Hay ke Adelaide adalah 665 (533 + 132). Label Hay dengan nomor 665. Jaraktersingkat dari Adelaide ke Wagga adalah 931 km (665 + 266). Jarak tersingkat dariAdelaide ke Cowra adalah 1078 km (665 + 413). Dengan demikian jarak tersingkat dariAdelaide ke Bathurst adalah 1185 km (1078 + 107) (melalui Cowra)Ini lebih singkat dari rute langsung dari Adelaide (1465)Dengan demikian jarak tersingkat dari Adelaide ke Sydney adalah 1390 km (1185 + 205) (melalui Bathurst)


Rute ini lebih singkat daripada rute dari Adelaide melalui Hay dan Wagga yaitu 1406 km (931 + 475)

Bekerja kembali, kita dapat melihat nahwa kita menggunakan‐ Bathurst ke Sydney ‐ Hay ke Bathurst (melewati Cowra)‐ Adelaide ke Hay (rute 533 km) Catatan : Sketsa ini tidak harus diskala untuk kita untuk menemukan garis edar terdingkat.Catatan : Pertimbangkanlah berangkat dari P ke Q‐ Jika kita ingin pergi dari P ke Q melalui A, temukanlah jarak minimum dari P ke A, dan jarakminimu dari A ke Q. Jarak minimum dari P ke Q akan dijumlahkan dari 2 jarak minimum.‐ Umumnya pada masalah‐masalah inikita mengasumsikan sebuah pergerakan melalui jaringandalam arah P ke Q, i.e, tidak ada jalan mundur yang diperbolehkan.‐ Kita juga dapat ,menemukan garis edar terpanjang dari P ke Q menggunakan algoritma yang serupa, tetapi label tiap puncak dengan jarak minimum dari awal ke puncak itu.

7. Waktu untuk melalui Jalan yang bervariasi dalamsebuah kejadian orientasi seperti yang ditunjukkan.waktu dalam menit.a. Temukanlah jalan tercepat untuk mencapai P ke Q.b. Yang manakah jalan tercepat jika jalan PS menjadi tergenagdengan banjir?

8. Temukanlah garis edar tersingkat dan tentukanlah panjangnyauntuk sepasang ranting pada jaringan yang ditunjukkan.a. B ke Hb. E ke Jc. A ke K

9. Sebuah perusahaan konstruksi mempunyai sebuah gudangpada W, seperti diagram ini. Sering beberapa perjalanan tiaphari dibuat dari gudang ke tiap sudut bangunan. Temukanlah rutetersingkat untuk tiap sudut konstruksi dari gudang. Jarak dalam km.



10. Seseorang yang tinggal di Melbourne berharapuntuk terbang ke London menggunakan Qantas dan/atau British Airways. (jarak dalam km)

a. Rute mana yang menciptakan jarak minimum.b. Jika Hanya British Airways terbang dari Hong Kong ke London, dan ongkos penerbangan padaBritish Airways adalah 0.9 kali dari harga Pada penerbangan Qantas, apakah akan menjadiperubahan solusi jika seseorang ingin pergi dengan harga terendah? Pertimbangkanlahjawabanmu.

11. Jaringan ini menunjukkan waktu dalam menit untuk pergidiantara interseksi pada sebuah jaringan jalanan.a. Hitunglah rute dari S ke M yang akan menempuhwaktu tersingkatb. Hitunglah rute dari S ke M Yang akanmenempuh waktu terlama.c. Hitungalh rute dari S ke M yang akan menempuhwaktu tersingkat jika jalan antara S dan A ditutup.


12. Gunakan garis edar alogaritma untuk menemukan jarak terdekat dari star sampai finish mengikuti jaringan tersebut.

Catatan dua alternatif jalan kecil menuju ke titik X pada jaringan b. Walaupunawalan pinggirnya 4 yang adalah lebih kecil dari 5, ketika tepi pertama dankedua dipertimbangkan catatan bahwa 4+4=8 yang adalah ebih besar dari

5+1=6.

Contoh ini bertujuan untuk mempertunjukkan kemungkinan garisedar tekecil, dalam kenyataannya menjadi satu dari beberapa kelompok caradan tidak hanya kelompok yang memiliki langkah‐langkah dengan inisial angka

yang terkecil.


13.

Gunakan peta diatas memperlihatkan jarak dalamkilometer untuk menemukan jarak terdekat antara:

• Kota H dan Kota C• Kota A dan Kota F• Kota I dan Kota D


14. Waktu perjalanan antar kotapraja pada soal 13 terdapat dalam tabel di bawah ini.

a.Gunakan tabel untuk membuat jaringan dalam diagram ke dalam model waktu perjalan antar kotapraja.

b.Hitung waktu paling singkat yang dibutuhkan untukperjalanan dari:Kota H ke Kota CKota A ke Kota FKota I ke Kota D


CARA SINGKAT MENYALESAIKAN MASALAH (RENTANG POHON TERKECIL)

Sebuah cara singkat menyelesaikan masalah adalahsatu dalam yang kita punya untuk menemukan jalanterbaik mengikuti puncak dengan tepi sehingga garisedar terdapat dari satu puncak ke puncak lainnya.Seluruh puncak harus masuk kedalam solusi. Puncaktidak perlu dihubungkan langsung dengan yang lainnya; mereka akan terhubung oleh puncak lainnya.Solusi terbaik dibutuhkan unuk menghasilkan jumlahpanjang jalan yang terkecil. Hal ini kadang‐kadangdisebut rentang pohon terkecil.Contoh khusus adalah terletak pada kawat dalamsebuah kantor yang terhubung dengan semuakomputer dalam sebuah bisnis. Hal ini tidak tidakpenting untuk dihubungkan langsung dari komputersatu ke setiap komputer lainnya. Komputer dapatterhubung satu sama lain.


Masalah pembuka 2_Penyiram halaman belakang rumahDi sebuah halaman belakang rumah dibutuhkan penyiram untuk menyiram

beberapa pohon di halaman dari satu keran

Ada banyak kemungkinan jalan yang dipilih untuk ikutmenyetujui jaringan ini, baik secara langsung atau tidaklangsung untuk membuat sebuah rentang pohon. Salah satukemungkinan adalah yang diperlihatkan dibawah ini. Garisutuh menggambarkan pipa air yang menghubungkan pohon‐pohon. Total panjang pipa yang dibutuhkan adalah

6 + 4 + 4 + 5 + 7 + 6 = 32


Ini bukan jalan yang palin efisien untukmenghubungkan pohon dengan air. Bahan dantenaga dibutuhkan untuk meletakkan pipa adalahsejumlah uang, yang akan membuat pemiliknyatertarik untuk menemukan rentang pohonterkecil.Dengan percobaan dan kesalahan tentukanpanjang minimum pipa yang dibutuhkan.


Melalui contoh ini kita dapat melihat rentang pohonterkecil adalah penghubung pohon denganmenyetujui baik secara langsung atau tidak langsugtanpa mengelilingi (menutup garis edar), danmenggunakan jarak terpendek.

Rentang pohon terkecil memiliki banyakpangaplikasian. Contohnya adalah untuk menemukanrute pos terdekat melalui pinggiran kota, membuatjalan kecil antar gedung, atau mengurangi energy yang belebihan pada saluran AC.


Ada dua metode yang sering digunakan untukmenemukan rentang pohon terkecil:

Percobaan dan kesalahanAlogaritma rentang pohon terkecil.

Ada dua metode yang sering digunakan untukmenemukan rentang pohon terkecil:

• Percobaan dan kesalahan

• Alogaritma rentang pohon terkecil


Metode percobaan dan kesalahan, meskipun sah, itu tidakefektiv ketika rentang pohon semakin besar dan lebih

kompleks. Alogaritma rentang pohon terkecil meliputi step dasar

dalam Prims’ Alogaritma.

• Langkah 1 : Pilih salah satu node secara acak• Langkah 2 : Hubungkan node yang telah dipilihdengan tetangganya

• Langkah 3 : Hubungkan dengan lainnya node yang telah tehubung dengan node yang belumterhubung.

• Langkah 4 : Lanjutkan menghubungkan node yang telah terhubung dengan node terdekat yang tidak terhubung,sampai semua node terhubung.


ALOGARITMA RENTANG POHON TERKECILContoh 4

Tentukan rentang pohon terkecil berdasarkan jaringan ini.

Langkah 1 : Pilih salah satu node secara acak, kita anggap node E.Langkah 2 : Hubungkan E ke tetangga terdekatnya; D (garis edarED yang paling dekat dengan E)Langkah 3 : Hubungkan D atau E ke node terdekat yang belumterhubug, dalam hal ini D dihubungkan ke FLangkah 4 : Lanjutkan menghubungkan node yangtelah terhubung dengan node terdekatyang tidak terhubung,sampai semuanode terhubung. Kemdian yang terhubungberikutnya adalah: F ke G, D ke C, C ke B, dan C ke A


LATIHAN 7A. 31.Klasifikasikan berdasarkan jaringantersebut apakah merupakan rentangpohon atau tidak. Jika tidak termasukrentang pohon, jelaskan mengapa tidak.


i Hitunglah panjang minimum pada setiap pohon yang memutar (atau

hubungan tersingkat) pada setiap gambar dibawah. Gunakanalgoritma Prim.

ii. Tempatkanlah panjang dari hubungan terpendek.


3. Lihat kembali masalah pembuka 2 dan temukanlahpanjang minimum pipa yang dibutuhkan.

4.Diagram disamping menunjukkanjarak antara kota di daerahAlpine. Setelah bongkahansalju jatuh, ahli jalan berharapuntuk menghubungkanKota secepat mungkin denganmenjelaskan jarak terpendek dari jalan.temukanlah jalan yang akan dipilihuntuk menghubungkan kota danjarak jalan minimum dari jalan yang akan dipilih itu


5. Diagram ini adalah rencana sebuah taman, digambar untuk diukur. Posisidari dianjurkan untuk air mancur (F) dan keran (T) diindikasikan denganhuruf‐huruf.a. Temukanlah penjang minimum dari pipa yang dibutuhkan untukmenyediakan air pada setiap air mancur dan keran dari meteran M dangambarlah sebuah rencana untuk diikuti para pekerja untukmemasangnya.b. Bagaimanakah jawabanmu berubah jika tidak mungkin untuk menggalisebuah parit untuk pipa dari 5 ke 6 karena tanahnya sangat berbatu.c. Gunakanlah hasil dari b, dimana keran manayang paling tepat untuk dihilangkan untuk mengurangibiaya pemasangan pipa ? Jelaskan jawabanmu.


6.Temukanlah jalan tersingkat untukmenghubungkankota L,M,N,O,P,Q bersama dengan telefon. kabel‐kabel harusmengikuti jalan (Jarak dalam km)


• LAN dibuat antara 4 terminal computer, tiap‐tiapnya membutuhkan paling tidak 1 sambungan ke system .a. gunakan table yang ditunjukkan untukharga sambungan tiapterminal ke terminal yang lain untukmembuat diagram jaringan yang tepat.b. Temukanlah biaya minimum daripembuatan smbungan LAN.


• Lima buah perumahan dalam komplek yang didukung oleh atap yang menggunkan energy surya. Tidak semua rumah perlu untukdihubungkan ke paling sedikit 1 rumah yang lain. Jarak dalam meter diantara rumahditunjukkan disamping.Temukanlah panjang minimum kabel elektrikyang dibutuhkan untuk menghubungkan 5 rumah dalam komplek itu.


Keempat rute yang mungkin dari a ke e pada pemasalahanjalanan, ditunjukkan :


Masalah Aliran MaximumMasalah yang melibatkan aliran maximum yang melalui sebuah jaringanmempunyai penerapan yaitu sambungan pipa air, sambungan kabel dansambungan jalan.Pertimbangkanlah sambungan jalan yang diberikan:Ujung panah menunjukkan arah aliran.Jumlah busar menunjukkan jumlah mobil yang bergerak sepanjang jalan tiap menit.Kita berharap untuk menemukan jumlah maksimumdari mobil yang dapat berjalan dari A ke E tiap menit.


LatihanCobalah untuk menemukan solusi terhadap per. Bandingkanlah

jawabanmu. Berikan alasan bagaimana kamu menemukanjawabanmu.masalahan ini dengan metode coba‐coba

Kelemahan Penggunaan Algoritma Garis EdarPada kelemahan solusi metode garis edar, kitaLangkah 1 : Memilih rute yang mngkin dan menemukan busardengan kapasitas terkecil. Ingatlah angka ini. Jika angkan ini adalahx, kurangi x dari setiap bilangan pada garis edar. Ini adalahkapasitas baru pada setiap busar sepanjang garis edar.Langkah 2 : Pilihlah rute lain dan ulangi langkah 1 sekali lagimenggunakan kapasitas terkecilLangkah 3 : Pilihlah rute lain dan ulangi langkah 1. Hingga seluruhrute yang mungkin telah melelahkan.Langkah 4 : Tambahkan kapasitas terkecil untuk semua rute. Hal iniadalah pembawaan kapasitas maksimum dari jaringan.


Latihan 7A.4

1. Hitung aliran maksimum dari P sampaisesuai dengan gambar jaringan ini!

a.


b.


2. Di bawah adalah jaringan pipa air dimana air mengalir dari A ke B. Hitung aliran air maksimum dari A ke B! Bilangan pada diagram jaringan tersebut adalah bilangan liter per detikyang mengalir melalui pipa tersebut.


• 3. Diagram jaringan di bawah menunjukkanrute penerbangan antara Toronto dan Los Angeles. Bilangan pada jaringan menunjukkanseberapa banyak pesawat terbang per jam yang dapat dikemudikan dari bandara di setiappenerbangan.

• Berapa nilai maksimum dari jumlah pesawatterbang yang dapat dikontrol per jam melebihibatas ruang udara?

• Bila aliran dapat ditingkatkan denganmenaikkan pancaran bunga api listrik untukmeningkatkan kapasitas aliran, jelaskanbagaimana ini dapat terjadi?


ANALISIS JALAN KRITISJaringan dapat digunakan untuk menunjukkan langkah‐langkah yang termasuk dalam projek ini.

Bangunan rumah, contohnya, membutuhkan banyakbagian‐bagian untuk melengkapinya. Beberapa bagiantejadi pada saat yang bersamaan sementara yang lainnya bergantung pada penyelesaian bagian yang lain.

Analisis jalan kritis adalah proses menentukan jalanpraktis yang merupakan tugas individu kumpulan yang akan melengkapinya.


Pembahasan Masalah 3 : Pembuatan PizzaDi bawah ini, kamu akan menemukan daftar bagian‐bagian yang termasuk dalam pembuatan pizza untukmakan malam. Kamu dapat mengandaikan bahwakedua orang yang akan makan pizza itu sedang bekerjadi bagian dapur.

Tugasmu adalah mengerjakan bagaimana keseluruhanpekerjaan akan dilakukan di dalam waktu sesingkatmungkin. Ingatlah bahwa beberapa bagian tidak akanmungkin untuk dikerjakan sampai bagian tertentuselesai terlebih dahulu dan juga ada beberapa bagianyang terjadi pada saat bersamaan.


• Pembuatan Pizza– Panaskan oven terlebih dahulu hingga 230 derajadCelcius. (10 menit)

– Siapkan alat dan bahan yang dibutuhkan (3 menit)– Campur adonan (2 menit)– Mixer semua adonan (5 menit)– Biarkan adonan mengembang pada tempat yang hangat (20 menit)

– Buatlah saus tomat (2 menit)– Irislah bawang dan Bombay (4 menit)– Irislah daging ham, nanas, jamur (6 menit)– Parutlah keju (2 menit)


– Gulung‐gulung adonan dan tempatkan padanampan kue (1 menit)

– Taruhlah saus tomat, topping, dan keju di atasadonan (3 menit)

– Panggang pada oven sampai matang (25 menit)

– Bersihkan dan cucilah semua piring kotor (9 menit)

– Nikmati minuman sebelum makan malam danberistirahatlah (15 menit)


DISKUSI PEMBUATAN PIZZA

Diskusikan solusi masalah pada PembahasanMasalah 3. Bandingkan jawabanmu! Alasandibawah ini akan dilampirkan.

Berdasarkan petunjuk di bawah ini:

Bagian‐bagian yang termasuk dalampembuatan secangkir teh dibuat dalam waktuyang runtut.


AA SediakanSediakan cangkircangkir 1515

BB TaruhlahTaruhlah kantongkantong the the padapadacangkircangkir

1010

CC IsilahIsilah pancipanci dengandengan airair 2020

DD PanaskanPanaskan air air padapada pancipanci 100100

EE TuangkanTuangkan air air mendidihmendidihpadapada cangkircangkir

1010

FF TambahkanTambahkan susususu dandan gulagula 1515

GG AduklahAduklah tehteh 1010


Projek ini menunjukkan diagram jaringanseperti :


Diagram di atas adalah hubungan langsungyang menunjukkan bagian tiap langkah danterlihat bahwa penyelesaian salah satu bagiandan memulai bagian selanjutnya. Disinilah kitamengasumsikan bahwa tidak ada bagian yang dimulai sampai bagian yang sebelumnyaterselesaikan lebih dulu. Dalam contoh ini, dibutuhkan waktu 180 detik untukmenyelesaikan projek ini.


Tentu saja pembuatan secangkir teh lebihefisien jika beberapa bagian dilakukan secarabersamaan. Jika sementara kita memanaskanair, kita menyiapkan cangkir dan kantong teh, maka pembuatan teh akan lebih cepat. Rangkaian yang lebih baik ditunjukkan di bawahini:


Pada bagian ini waktu total yang diperlukan untukmenyelesaikan pembuatan secangkir the adalah 155 detik dan jalan kritisnya adalah C‐D‐E‐F‐G.

Pada bagian C, D, E, F, dan G dikatakan sebagai jalankritis, penundaan pada satu tahap penyelesaian akanmenyebabkan penundaan pada keseluruhnpembuatan secangkir teh.

Jalan kritis didefinisikan sebagai jalan terpanjangmelalui jaringan dari awal sampai akhir. Jalan kritismemuat keseluruhan langkah‐langkah.


MENEMUKAN JALAN KRITIS

Berdasarkan pembuatan pizza di atas, contoh dibawah merupakan langkah yang sederhana. ( Pembahasan Masalah 3 )

Contoh 5:

Langkah‐langkah di bawah adalah langkahpersiapan pembuatan pizza, dan waktu runtutdalam penyelesaian persiapan pembuatan pizza (dalam menit).


AA MenghilangkanMenghilangkan bekuanbekuan esespadapada alas pizzaalas pizza

55

BB SiapkanSiapkan toppingtopping 66

CC TempatkanTempatkan saussaus dandantopping topping padapada pizzapizza

44

DD PanaskanPanaskan ovenoven 88

EE MasaklahMasaklah pizzapizza 2222


a. Gambarkan diagram jaringan untuk projek ini, tunjukkanbagian mana yang terjadi pada saat bersamaan!

b. Gunakan diagram jaringan untuk menemukan waktuminimum yang dibutuhkan untuk pembuatan pizza!

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐a. Beberapa bagian pada projek ini dibuat pada waktu yang

bersamaan seperti bagian A, B, D, yakni alas pizza dapatdihilangkan endapan esnya dan oven dapat dipanaskansementara topping disiapkan.

Beberapa bagian bergantung pada penyelesaian bagian lain. Seperti bagian C tidak dapat dikerjakan sampai bagian B selesai. Bagian C merupakan pra‐syarat, bagian B yaknitopping tidak dapat ditempatkan pada pizza sampai topping disiapkan.


Seringkali ini berguna untuk menunjukkanwaktu dan pra‐langkah untuk setiap sub‐tugasdalam tabel seperti di bawah ini:

WaktuWaktu BagianBagian yang yang HarusHarus SelesaiSelesai

AA 55

BB 66

CC 44 BB

DD 88

EE 2222 A, B, C, DA, B, C, D


Diagram jaringan:

b. Jalan kritis, jalan terpanjang adalah B‐C‐E. Waktu minimum yang dibutuhkan untukmembuat pizza adalah jumlah waktu tiapbagian untuk jalan kritis pada bagian B, C, E, yakni 6 + 4 + 22 = 32 menit.


LATIHAN 7A.51. Langkah pada projek berikut adalah acak. Tuliskanlangkah‐langkah yang benar untuk setiap projek:– Menyiapkan makan malam :

1 Menyiapkan resep2 Membereskan3 Menyiapkan bahan4 Wadah makanan5 Menyiapkan meja makan 6 Menyiapkan makanan

– Menanam tanaman• 1 Galilah lubang• 2 Belilah tanaman• 3 Sirami tanaman• 4 Tanam tanamannya• 5 Tentukan tanaman yang akan ditanam


2. Pada bagian mana pada oertanyaan no. 1 yang dapat terjadi pada saat yang bersamaan?

3. Berikut adalah daftar bagian dalammenyiapkan sebuah pesta di rumah disertaidengan waktu yang berturutan (dalam hari).


SUBSUB--TUGASTUGAS WAKTUWAKTUAA TentukanTentukan harihari diadakandiadakan

pestapesta11

BB PersiapkanPersiapkan undanganundangan 11CC SebarkanSebarkan undanganundangan 22DD MenungguMenunggu RSVPsRSVPs 77EE MembersihkanMembersihkan dandan

merapikanmerapikan rumahrumah33

FF MengaturMengatur ,,makananmakanan dandanminumanminuman..

22

GG MengaturMengatur acaraacara hiburanhiburan 11


a. Gambarkan diagram jaringannya, tentukan jugabagian mana yang dapat terjadi pada waktu yang bersamaan dan beberapa bagian yang harusdiselesaikan terlebih dahulu!

b. Gunakan diagram jaringan yang telah dibuat untukmenentukan seberapa cepat persiapan sebuah pestaberlangsung setelah menentukan tanggalnya.

4. Berikut merupakan langkah‐langkah konstruksigudang taman belakang. Disertai juga waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan setiap bagiandihitung dalam hari.


TugasTugas WaktuWaktuAA MenyiapkanMenyiapkan area area gudanggudang

yang yang akanakan dibangundibangun11

BB MenyiapkanMenyiapkan fondasifondasi betonbeton 0.50.5

CC TempatkanTempatkan betonbeton 11DD BiarkanBiarkan fondasifondasi betonbeton

mengeringmengering22

EE BelilahBelilah kayukayu dandan besibesi 11FF BangunlahBangunlah bingkaibingkai kayukayu 22GG CampurkanCampurkan lembaranlembaran besibesi

padapada bingkaibingkai11

HH TambahkanTambahkan jendelajendela, , pintupintu 11


a. Gambarkan tabel untuk projek ini!

b. Pada bagian mana yang dapat dikerjakanbersamaan?

c. Berapa lama projek ini dapat diselesaikan jikatidak ada bagian yang dikerjakan secarabersamaan?

d. Gambarkan diagram jaringan untuk projek ini! (asumsikan bagian‐bagian kerja dapatdikerjakan secara bersamaan!

e. Berapa waktu yang dibutuhkan jika bagiankerja dilaksanakan secara bersamaan?


5. Bangunlah sebuah tabel aktivitas untukpersiapan sarapan meliputi buah, sereal, rotipanggang, jus, dan kopi!

6. Bangunlah diagram jaringan untuk tabelaktivitas di bawah ini!


BagianBagian WaktuWaktu BagianBagian TugasTugasAA 55 --BB 33 --CC 11 --DD 11 AAEE 22 C, DC, DFF 44 A, B, C, DA, B, C, DGG 11 EEHH 22 F, GF, G

Berapa waktu minimum untuk penyelesaian projek ini?


METODE JALAN KRITIS

Beberapa analisis mengenai jalan kritisdiselesaikan secara intuisi, banyak bagiandikerjakan berdasarkan pada metode ini. Metode Jalan Kritis, terdiri dari pengamatandepan dan pengamatan belakang, yang mungkin digunakan secara sistematis untukmenemukan jalan kritis melalui jaringan.


Pengamatan Depan

Diagram jaringan menunjukkan akhir dari satusub‐bagian dan awal dari sub‐bagianselanjutnya. Pada sisi kiri pada tiap langkah, kita boleh menuliskan nilai yang menunjukkanwaktu tercepat yang mungkin pada tiapbagian. Nilai pada saat langkah awal adalah 0. Jaringan di bawah merupakan langkah padapengamatan depan.


Ini merupakan catatan bahwa tiap langkahmeliputi waktu mulai tercepat untuk bagian E memiliki nilai 9 yang merupakan jumlah dari B, C, bukan A, dan D, sebagaimana B dan C merupakan jalan kritis. Ketika dua bagianmenyatu pada langkah yang sama dalampengamatan depan waktu terlama diberikan, seluruh bagian harus ditunjukkan dan nilaiterbesar diberikan.


Pengamatan Belakang

Setelah menyelesaikan pengamatan depan, pengematan belakang diberlakukan. Pada sisi kanantiap langkah menunjukkan waktu mulai terakhir padasub‐bagian sehingga tidak menunda penyelesaianprojek ini.Untuk menghitung nilai ini kitamengerjakan dari belakang melalui jaringan bagianakhir / finish. Untuk tiap langkah kita mengurangkanwaktu untuk menyelesaikan sub‐bagian dari waktuterakhir yang seharusnya dilengkapi. Diagram jaringan berikut merupakan pengamatan belakang.


• Nilai 12 merupakan waktu total untuk penyelesaianprojek, ditempatkan pada sisi kanan dari langkahpaling akhir. Nilai 9 yang terdahulu didapat daripengurangan 3 dari 12.

• Bedanya dengan pengamatan depan, ketika duabagian menyatu pada langkah yang sama padapengamatan belakang, nilai terkecil diberikan.

• Berdasarkan bagian D, waktu mulai tercepat untukbagian D adalah 6, sementara waktu mulai terakhiradalah 7.

• Adanya ketidakcocokan pada 1 unit untuk bagian D adalah waktu dimulai dan waktu ketika harus dimulai. Ini disebut sebagai waktu kendur untuk bagian D.


• Waktu kendur = waktu selesai terakhir – waktumulai tercepat – waktu untuk menyelesaikan bagian

• Menerapkan rumus ini untuk bagian D, waktu kendur= 9‐6‐2 = 1 unit.

• Waktu kendur untuk sub‐bagian lainnya merupakanbgdian dari jalan kritis adalah 0. Ini ditunjukkan padalangkah B‐C‐E.

• Contoh 6

• Ulang tahun temanmu akan tiba dan kamumemutuskan untuk memanggang roti. Berikut adalahper sub‐bagian disertai waktu runtut penyelesaian(dalam menit).


AA CampurkanCampurkan bahanbahan 55BB PanaskanPanaskan ovenoven 1212CC TempatkanTempatkan adonanadonan padapada

nampannampan panggangpanggang22

DD PanggangPanggang rotiroti 4040EE CampurCampur adonanadonan 44FF DinginkanDinginkan kuekue 1515

GG MasukkanMasukkan kuekue padapada kulkaskulkas 77

Bangunlah diagram jaringan yang menunjukkan projek ini. Tentukan jalan ritisnya dan waktu terpendek untuk penyelesaian projek ini!


Urutan yang mana tugas seharusnyaditunjukkan dan persyaratan tugasbahwa seharusnya dicatat dalam table activitas. Kemudian diagaramdigambar. Setelah network diagram digambar, jadikan forward scan danbackward sebagai penentuan critical path dan slack time available.

The forward scan


Itu akan membutuhkan waktu 74 menit untuk melengkapi proyek ini. Task C dimulai setelah 5 menit sebaliknya task F tidak dapat dimulai sampai 52 menit. Catatan bahwa task D tidak dapat dimulai sampai 12 menit meskipun task A dan C selesai dalam 5 menit pertama. Task D harus menunggu sampai penyelesaian task B karena penyelesaian task B merupakan syarat untuk menyelesaikan task D.

Catatan bahwa critical path mengalir melalui critical steps, oleh karena itu, the steps tidak mempunyai waktu luang. The critical path adalah B‐D‐F‐G dan proyek akan selesai dalam 74 menit.


DUMMY ACTIVITYDummy activity kadang‐kadangdiperlukan untuk menyusun diaramkerja yang benar. Sesuai dengan proyekberikut ini

Network ini boleh atau tidak digambarkan seperti di bawah ini


Network ini tidak benar. Ini menyatakan bahwa kedua task A dan B keduanya merupakan syarat untuk C, yang mana mereka bukan. Untukmembenarkan kesalahan pada dummy activity perlu disisipkan, ditunjukkanseperti garis yang ditandai dengan titik, menjadi penampilan yang benarbahaw task A merupakan syarat untuk task C sementara A dan B syaratuntuk D. Dummy activity tidak mempunyai suatu nilai dan digunakan secaramurni untuk membenarkan aktivitas yang berkelanjutan. Oleh karenanya, network dapat digambarkan dengan benar seperti yang ditunjukkan sebagai berikut ini


1. Lengkapi forward dan backward sacns berikut ini untuk menentukan critical path.


2. Gambar network berikut ini, tunjukkan dan lengkapi forward dan backward scan. Gunakan network lengkap untuk menjawab pertanyaan berikut ini.

keadaan critical patha. berapa waktu terpendek jika proyek harus selesaib. berapa wktu terdekat jika task D harus dimulaic. temukan slack time pada task D


3. Bangun diagram network untuk masing‐masing proyek berikut ini menggunakaninformasi yang tersedia pada table activity. ( Catatan: anda harus menggunakandummy activity). Gunakan diagram untuk menentukan critical path.


4. Diagram network dan table activity berikut ini harus digunakan untukmenyatakan 10 sub‐task dari proyek.

a. Gambar tabel activity dan lengkapi bagian yang kosong denganmenggunakan diagram network.b. Tentukan critical path melalui networkc. Tentukan slack time pada task F


5. Bangun diagram network untukproyek renovasi ruang menggunakansub‐tasks berikut ini dan tentukancritical path‐nya.

6. Pabrik kursi menggunakan kerangka kayu dan cover kayu dengan busa danfabric. Ketika dua orang membuat kursi diperlukan waktu sebagai berikut


Setiap aktivitas dikerjakan oleh 1 pekerja dan berikut ini pesananQ harus selesai setelah RS harus selesai setelah Q dan RU mengikuti TP harus selesai setelah Q dan RT harus selesai setelah SV harus selesai terakhira. gambar diagram network yang menunjukkan informasi yang sesuaib. tentukan waktu minimum yang dibutuhkan untuk membuat kursi denganmenggunakan forward scanc. tentukan critical path dengan menggunakan backward scan

7. Gunakan analisis critical path untukmenentukan critical path di proyek berikut ini. Kamu harus menentukan sub‐task danmemberikan waktu yang tepat .

a.ubin kamar mandib.persiapan makan malam 3 kali untuk 4 orangc.perubahan flat tyre dari sepedad.Pembuatan cake coklat


1. Selidiki penggunaan dari analisis critical path di sosial. Kamu dapatmempertimbangkan pekerjaan‐pekerjaan seperti koki, arsitek, tukangbangunan dan tukang taman.

2. Tentukan waktu yang tepat dari diagram network untukmenggambarkan kemungkinan fungsi dari analisis critical path dalam pemilihan pekerjaan.3. Laporkan kembali di kelas dengan hasil temuanmu.


Program linier adalah metode penyelesaian yang pasti dari suatu masalah di manapaling sedikit 2 orang atau produk bersaing untuk sumber yang terbatas.

Jason dan Kate harus mengatur stan di pesta sekolahnya. Rencana mereka adalah menyediakan barbecue chop dan atausaus untuk pengunjung pada waktu makan siang. Tukang dagingmenjual saus masing‐masing 40 sen dan chop masing‐masing $1. Awalnya mereka telah berpikir mereka dapat embelanjakansebanyak $20. Jawablah pertanyaan‐pertanyaan berikut:


Dapatkah mereka menghabiskan uangmereka untuk membeli daging babi? Jika dapatberapa banyak yang mereka peroleh?

Dapatkah mereka menghabiskan uangmereka untuk membeli saus? Jika dapat, berapayang mereka peroleh?

Jika mereka memperoleh 10 daging, berapabanyak saus yang mereka peroleh?

Ada 3 penyelesaian untuk masalah ini, tapiapakah masih ada lagi penyelesaian yang lain? Jika ada, berapa solusi yang dapat dipakai danbagaimana caranya solusi tersebut?


Cara yang sederhana untuk menghitung semua kemungkinan kombinasipada masalah seperti satu yang diberikan di atas adalah tergantung padagrafik.Dari opening problem 4, kita tahu 3 solusi:

♥ Membeli 20 chops dan 0 saus♥Membeli 0 chops dan 50 saus♥Membeli 10 chops dan 25 saus


Pertanyaan: Dari grafik di atas ada penyelesaian lain,. Jelaskan bagaimanacaranya menemukan penyelesaian tersebut. Kita dapat menyatakanpenyelesaian itu pada tabel berikut:

Ini jelas bahwa solusi‐solusi tersebut harus bilangan bulat dan pada bentuk iniada 11 solusi yang berbeda. Jika mereka menghabiskan $100 untuk chops dansause, mereka akan mempunyai banyak solusi.


× ×

Cataatn bahwa informasi pada garis lurus dapat ditulis pada persamaan:

(harga saus) (jumlah saus) + (harga chops) (jumlah chops) = $20

Dan jika x menyatakan jumlah saus dan y menyatakan jumlah chop lalupersamaan sederhana menjadi

≥ ≥Dari x 0 dan y 0 dan poin mungkin ( hasildari case ini ) pada daerah bawah garis, bayanganregion disebut feasible region.


1. Perkiraan harga masing‐masing chops $2 dan masing‐masing saus $1 dan kamumemiliki $10 untuk membelanjakan chops dan saus.

a. Berapa banyak chops yang dapat dibeli?b. Berapa banyak saus yang dapat dibeli?c. Kombinasi lain apa yang mungkin jika semua $10 digunakan?d. Buat grafik yang mungkin untuk menggunakan semua $10.e. Persamaan garis apa yang melalui poin d?f. Arsir feasible region dari kemungkinan yang diperoleh.

2. Jika harga masing‐masing coklat $2 dan masing‐masing minkos $3 dan kamumempunyai $25 yang bisa dibelanjakan untuk coklat dan minkos:

a. Berapa banyak coklat yang dapat kamu beli?b. Berapa banyak minkos yang dapat kamu beli?c. Jika $25 digunakan semua kombinasi‐kombinasi apa yang mungkin untukmembelanjakan coklat dan minkos?d. Grafikkan kombinasi‐kombinasi yang mungkin ketika semua uang digunakan.e. Persamaan garis apa yang melalui poin d?f. Berapa banyak perbedaan kombinasi‐kombinasi yang mungkin untuk membelanjakancoklat dan minkos?


3. Garis x + y = 5 ditunjukkan pada grafik. A dan D terletak pada garis tersebut; B, C dan H terletak diatas garis tersebut; G, E dan F terletak di bawahgaris. Catatan bahwa C (5,4) dan x + y = 5 + 4 = 9.a. Buat dan lengkapi:

b. Poin mana yang digambarkan oleh aturan tersebut.

c. Tentukan daerah dari persamaan‐persamaan berikut ini:


4. Apakah batasan khusus :Potongan pembelian yang mungkin dan sausages dari Jason dan Kate

dalam Pembukaan Masalah 4Wilayah yang mungkin pada pertanyaan 1

Wilayah yang mungkin pada pertanyaan 2


TAMBAHAN PEMBATAS• Mari kita pertimbangkan kembali masalah barbeque Jason dan Kate. Dimana

mereka pergi kembali ke tukang daging untuk membuat pembelian mereka,diaberkata bahwa dia hanya dapat mensuplai potongan pada $1 dan sausages pada$0.40 jika mereka membeli paling sedikit 6 potongan dan paling sedikit 10 sausages.

• i.e., nomor dari potongan ≥ 6 atau y ≥6• dan nomor dari sausages ≥10 atau ≥10• Jadi, Semarang kita mempunyai 3 pembatas : • x ≥ 10, y ≥6 dan 0.4x + y ≤ 20• total harga ketika membeli• x potongan dan y sausages •


GRAFIK :

Wilayah bayangan diketahui dari wilayah yang mungkin. Ulasan dari semua titik potong/pertemuan baris jaring wilayah adalah mungkin kombinasi dari pemberian batasan yang memenuhi.Wilayah yang mungkin adlah yang diketahui simplex.


LATIHAN 7B.21. Wilayah A dilukiskan menggunakan batasan x ≥ 5 dan y ≥0.Apakah batasan yang dapat dilukiskan pada wilayah B ?


2. Tunjukkan dalam satu sketsa atau gambar melalui batasan :x ≥ 6 dan y ≥ 5

x ≥ 6 dan 0 ≤ y ≤ 5

0 ≤ x dan 0 ≤ y ≤ 5

• GRAFIK :


3. Gambarkan lukisan simplex dari : x ≥ 0y ≥ 0

0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 7

x ≥ 2 dan y ≥ 3x ≥ 2 dan 1 ≤ y ≤ 3


WILAYAH YANG DIDEFENISIKAN DARI ax + by ≤ c ATAU ax + by ≥ c

Dalam masalah barbeque Jason dan Kate, kita menemukan batasan 0.4x + y ≤ 20.

Batasan ini dibangun dari fakta bahwa total harga dari x sausages dan y potongan adalah 0.4x + y dollars dan 0.4x + y ≤ dimana mereka hanya

mempunyai $ 20 untuk dihabiskan.Pada grafik 0.4x + y ≤ 20 pertama kita pertimbangkan batas garis yang ditemukan dari 0.4x + y = 20 dan kemudian memilih sisi yang tepat

untuk tiap 0.4x + y ≤ 20.Jadi pertimbangkan 0.4x + y = 20 , jika x = 0 , y = 20

• GRAFIK :


Jika y = 0 , 0.4x = 20

∴ x = 20 / 0.4 ( Bagi kedua sisi dengan 0.4 )∴ x = 50

Sebuah tes titik yang menyerupai x = 0 , y = 0 disubstitusikan dalam0.4x + y ≤ 20 ditunjukkan 0 ≤ 20 tiap‐tiap hádala benar.

Jadi pusat titik ( 0,0 ) memasukkan indikasi yang bayangan wilayah yaitu0.4x + y ≤ 20.

• CONTOH 8•• Saya membeli x nenas dan y semangka dimana harga semangka $2 tiap nenas dan • Semangka dengan harga $3 tiap semangka. Saya membutuhkan paling sedikit 2 dari tiap buah‐

buah itu dan dapat menghabiskan tidak lebih dari $30 pembelian buah‐buah itu. Gambarkan wilayah yang mungkin ( simplex ) dari informasi diatas.

• JAWAB : •• Pertama kita menotasikan x ≥ 2 dan y ≥ 2 ( paling sedikit 2 dari tiap buah )• Total harga dari nenas adalah $2 * x = $2x.• Total harga semangka yaitu $3 * y = $3y.• ∴ 2x + 3y ≤ 30 ( tidak dapat mengeluarkan lebih dari $30 )• Jadi kita membutuhkan grafik : x ≥ 2, y ≥ 2, 2x + 3y ≤ 30• Pertimbangkan batas garis dari 2x + 3y ≤ 30 tiap yaitu 2x + 3y = 30• Dimana x = 0, 3y =30 ∴ y = 10• Dimana y = 0, 2x = 30 ∴ x = 15


» LATIHAN 7B.3

1. Saya membeli x papan bread dan y balok keju dimana harga roti $2 satu loaf dan harga dari balok keju $5 tiap balok. Saya membutuhkanpaling sedikit 3 dari tiap roti dan keju dan dapat dibeli dengan harga

$40 untuk membeli mereka.– Temukan pembatas dari variabel x dan y– Gambarkan lukisan simples dari batas‐batasnya


2. Sarah membeli x jam dan y jam besar yang berdiri untuktokonya. Harga jam $25 tiap jam dan harga jam besar yang berdiri $40

tiap jam besar itu.sarah membutuhkan paling sedikit 4 jam dan 5 jam besar yang berdiri dan dia dapat membayar total harga $1000 dalam pembelian.

a. Temukan batasan dari variabel x dan yb. Gambarkan lukisan simples dari batas‐

batasnya

3. Cedric membeli x martil dan y obeng dimana harga tiap martil $8 dan harga tiap obeng $5. cedric membutuhkan paling sedikit 3 martildan harga paling sedikit $120 untuk pembelian martil dan obeng.

a. Temukan batasan variabel x dan yb. Gambarkan lukisan simplex dari batas‐batasnya

4. Gambarkan daerah plane define melalui :a. X + 3y ≤ 6b. 5x + 4y ≤ 6c. x + y ≥ 4d. 4x +3y ≤ 48e. 2x + 3y ≥ 15f. 8x + 15y ≤ 120

Cek jawabanmu menggunakan anggota wilayah ( klik pada icon ) atau gunakan grafik hitungan.


5. Garis x + y =8 dan x + 3y = 12 adalah diilustrasikan, tapi dimana adalah ditemukan wilayah melalui x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8 dan x + 3y =

12 ditemukan?

a.) Copy dan lengkapi

b.) Gambarkan lukisan singkat wilayah dari : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8, x + y ≤ 12.

c.) Sekarang pertimbangkan wilayah yang ditentukan melalui :x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≥ 8, x + 3y ≥ 12 melaluipengulangan a


CONTOH 8

Gambarkan daerah yang mungkin ( simplex ) ditemukan dari :x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12

JAWABAN

Batas garis yaitu : x = 0, y = 0, x + 2y = 12Untuk x + y = 8 : dimana x = 0, y = 8 dan dimana

y = 0, x = 8Untuk x + 2y = 12 : dimana x = 0, 2y = 12 ∴ y = 6

dimana y = 0, x = 12


6.) Gambarkan daerah yang mungkin ( simplex ) ditemukan melalui :a. x + 4y ≤ 12, x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0b. x + 2y ≤ 12, 3x + 2y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0c. x + y ≤ 10, 2x + y ≤ 10, x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0d. x + 2y ≤ 14, x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 13, x ≥ 0, y ≥ 0

CONTAH 9Gambarkan define singkat pembatas dan tanda koordinat pada tiap‐tiap puncakdan daerah : x ≥ 0, y ≥ 0, x + 4y ≥ 12, 5x + y ≥ 10, x + y ≥ 6.

JAWABANBatas garis adalah : x = 0, y = 0, x + 4y =12, 5x + y = 10, x + y = 6Untuk x + 4y = 12 : dimana x = 0, 4y = 12 ∴ y = 2

dimana y = 0, x = 12Untuk 5x + y = 10 : dimana x = 0, y = 10

dimana y = 0, 5x = 10 ∴ x = 2 Untuk x + y = 6 : dimana x = 0, y = 6 dan

dimana y = 0, x = 6

simplexnya yaitu :Titik puncak yaitu titik‐titik

sudut dari simplex.Titik itu adalah : ( 0, 10 ), ( 1, 5

), ( 4, 2 ) dan ( 12, 0 ).


7. Bandingkan contah 8 dimana daerah yang mungkin adalah grafik dari batas x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8, x + y ≤ 12. Apakah titik puncak dari simplex itu?

8. Gambarkan define simplex dari batasan yang diberikan dan temukan koordinat puncak dari simplex!

a. x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0b. 2x + y ≥ 8, 4x + y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0c. 3x + y ≥ 12, 3x + 2y ≥ 18, x + 4y ≥ 16, x ≥ 0, y ≥ 0d. 4x + 3y ≥ 48, 2x + 3y ≥ 30, x + 2y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0


MEMBUAT BATASAN.

• Kita telah mengkonstruksi dari pembuatan pemberian informasi tentang keterangan situasi. Kita sekarang memeriksa informasi yang lengkap dan menggunakan sebuah tabel untuk menolong kita memilih penyelesaiannya


CONTOH 10• Kita akan membuat model simplex untuk memecahkan sebuah masalah

mengenai pembuatan dari 2‐gambar dan 5‐gambar arsip lemari. Kita membuatnya adalah terbatas melalui fakta bahwa hanya 34 gambar, 8 kunci dan 42 m² dari helai logam yang tersedia. Karena model dari lemari, tiap 2‐gambar lemari membutuhkan 1 kunci dan 2 m² helai logam, dimana tiap 5‐gambar lemari mewakili 1 kunci dan 4m² helai ligam. Dimana x merupakan nomor 2‐gambar pembuatan lemari dan y merupakan nomor 5‐gambar pembuatan lemari.

Kita meletakkan data pada tabel seperti di atas!Sekarang x ≥ 0, y ≥ 0 ( tidak ada x ataupun y yang bernilai negatif )

Total nomor gambar = 2x + 5y, ∴ 2x + 5y ≤ 34Total nomor dari kunci = x + y, ∴ x + y ≤ 8

Total nomor m² dari logam = 2x + 4y, ∴ 2x + 4y ≤ 42


LATIHAN 7B.41. 4 liter kaleng dari dasar cat putih dimasukkan kedalam kapur hijau cemara hijau

melalui jumlah warna kuning warna biru dalam proporsi yang penting. Untukkapur biru kita menambahkan 5 unit warna kuning menjadi 1 dari warna biru. Untuk cemara hijau kita menambahkan 1 unit warna kuning ke dalam 4 unitwarna biru.

Jika 15 unit warna kuning dan 12 unit warna biru adalah warna biru yang didapat, keadaan ketidakrataan x, nomor kaleng dari cat kaput hijau dapat dibuat, dan y, nomor kaleng dari cat cemara hijau dapat dibuat.

2. Seorang importer membeli 2 tipe dari topi biasa: topi Standard harganya $80 tiaptopi dan topi mewah seharga $120 tiap topi. Importer itu akan berinvestasimaximum dari $4800 dan karena pemerintah melindungi industri local, dapatmengimpor tidak lebih dari 50 topi. Andaikan importer dapat mengimpor x stándar topi dan y topi mewah. Temukan batasan variable x dan y.

3. Seorang petani dalam seminggu menanam letup dan bunga cauli. Letup‐letup ditanam pada jarak 8 ha per hari dan bunga cauli pada jarak 6 ha per hari. 50 ha dapat ditanami. Andaikan petani menanam letup untuk x hari dan bunga cauli untuk y hari. Daftar, dengan alasan, batasan dalam x dan y.


4. 2 variasi dari makanan spesial untuk dimakan atlit super adalah pada daftar. Kerusakan pada setiap makanan kaleng sebagai berikut :

Tiap minggu seorang atlit harus mengkonsumsi paling sedikit 120 unit karbohidrat, 180 unit protein dan 1000 unit vitamin. Jika warna x dari

Makemfast dan y warna Makemstrong adalah pembelian tiap minggu, daftarkan ketidakrataan hubungan dari x dan y.

5. Keperluan diet Jhon untuk dikonsumsi adalah paling sedikit 20 unit vitamin A dan 18 unit vitamin B tiap hari. Vita Vim berisi 4 unit per gram

dari vitamin A dan 18 unit vitamin B. Sayuran berisi 3 unit per gram dari A dan 5 unit per gram dari B.

Jika x gram dari VitaVim dan y gram dari Sayuran dikonsumsi, daftar batas antara x dan y.


PROGRAM LINIER

Program linier adalah sebuah metode menemukan nilai optimum (maximum dan minimum ) dari sebuah pernyataan linier tiap variabelyang diisi dengan sebuah simplex.

Untuk mengerti pernyataan diatas pertimbangkan masalah berikut :

Dua variasi makanan spesial, Fight‐n‐fit dan Superlite, adalah digunakan atlit. Fight‐n‐fit berisi 30 unit karbohidrat, 30 unit berisi protein dan 100 unit vitamin.Superlite berisi 10 unit karbohidrat, 30 unit protein dan 200 vitamin. Tiap minggu seorang atlit mengkonsumsi paling sedikit 170 unit karbohidrat, paling sedikit 1400 unit vitamin dan 330 unit protein.


What to do1. Menyampaikan informasi pada bentuk tabel.2. Tuliskan pada lima penarikan yang diberikan dari informasi.3. Gambar sederhana pada kemungkinan kombinasi.4. Tunjukkan bahwa ada sepuluh kemungkinan poin dimana

mencocokkan penarikan‐penarikan.5. Jika Fight‐n‐fit seharga $5 setiap botol dan Superlite $3 setiap

botol temukan kombinasi setiap kaki dimana seharusnyadibeli denagn harga minimal.

6. Andaikan bahwa harga pada dua makanan berubah, denganFight‐n‐fit pada $4 setiap kaleng dan Superlite pada $8 setiapkaleng. Akan samakah kombinasi dari 5 tetap pada hargaminimal? Jika tidak, apa yang akan dikombinasikan?


• Sekarang kita memutuskan memulai masalah 5 padamakanan atlit lebih terinci.

• Tabel data

• Pada pembelian x kaleng dari Fight‐n‐fit dan y kaleng dariSuperlite: x ≥ 0 , dan y ≥ 0


• Kemungkinan batas garis adalah


Sehingga penyederhanaannya adalah

• Sepuluh poin mengilustrasikan kemungkinan mudah dalammempertimbangkan


• Harga yang dipertimbangkandolar, dan disebut fungsi tujuan


• Jika harga diubah dari $4 per setipa kaleng untuk Fight‐n‐fit dan $8 setipa kaleng untuk Superlite pada harga baru untukdipertimbangkan menjadi 4x+8y dolar

• Berapa kombinasi optimal sekarang ? Perubahan keadaansering terjadi akibat kombinasi optimum, tetapi tidak selalu.

DISKUSI• Sekarang bayangkan penyederhanaan dimana dapat menjadi

ratusan pada poin yang lebih mudah.apakah metode di atasmasih dapat diterima?

• Diskusi amu harus mebawa keempat realisasi bahwa metodelebih naik dari pada mencoba dan isi dari error.


PENYEDERHANAAN ALGORITMA

• Dari percobaan dengan masalah‐masalah seperti masalah makanan atlitkita melihat bahwa

• ` Nilai optimal pada gambaran linier pada peristiwa penyederhanaanpuncak atau batas‐batas garis pada penyederhanaan.

• Mempertimbangkan penyederhaan yang mengikuti:• Seandainya fungsi tujuan adalah x+y, bahwa kita ingin minimal x+y lebih

dari penyederhanaan.• Gambar pada grafik dari lima garis dari bentuk x+y=k dimana k=0,3,7,8,

dan 11.• Lihat garis‐garis seluruhnya parallel, tetapi x+y=0 dan x+y=3 tidak terdiri

dari beberapa poin pada penyerderhaan.


• Nilai terkecil dari k dimana fungsi tujuan dilewatimelalui satu poin pada grafik yaitu k=7 dan peristiwaini pada (4,3)


• Pada garis parallel dapat dilihat melalui mengeklik pada item berikut, kemudian tarik garis yang menggambarkan x ≥ 0, y ≥0, 5x + 4y ≥32 , dan 3x + 4y ≥ 24. Jenis ini memiliki fungsitujuan x+y.


INVESTIGATION 4Gunakan software yang disediakan untuk meraih nilai optimum darimasalah di bawah ini:Apa yang dilakukan:

1. Tentukan nilai maksimum dari 4x+3y pada wilayah yang disediakan melaluix ≥ 0, y ≥ 0, x+y≤ 8, 3x+2y ≤ 21.

2. Gambarkan grafik yang ditentukan melalui x ≥ 0, y ≥ 0, x+3y ≤ 15, 3x+y ≤ 12. Dari sini, tentukan nilai maksimum dari persamaan linier a. x+y b.2x+y c.4x+y d.x+6y

3. Gambarkan grafik yang ditentukan melalui x ≥ 0, y ≥ 0, 2x+3y ≤ 12, 4x+y ≤14.Tentukan nilai maksimum dari persamaan linier pada grafik dan tentukannilai x dan y pada peristiwa inia. x+5y b.4x+5y c.6x+y


PENYELESAIAN MASALAH MENGGUNAKAN PROGRAM LINIER

Sekarang kita seharusnya dilengkapi dengan masalah program linier termasuk dua variable x dan y. Model program linier pada variable tidak dapat menjadi negative sehingga x ≥ 0, y ≥ 0. Ikutilah daftar yang berupa pada syarat tiap langkah:

Langkah 1: jelaskan atau definisikan, bentuk kata, padadua variable yang dipertimbangkan.

Langkah 2: Siapkan table untuk menunjukkan informasiyang diberikan.

Langkah 3 : Tuliskan fungsi tujuan pada bentuk aljabardan tentukan maksimum dan minimum nilai itu.


Langkah 4: Tentukan bentuk aljabar yang ditarik

Langkah 5: Gambar grafik dari pernyederhanaanyang diberikan melalui penarikan.

Langkah 6: tentukan nilai solusi optimum dandimana ini terjadi. Berilah jawaban dengan bentukkata.Kamu didorong untuk menggunakan tekhnologikemanapun kemungkinan penyelesaian masalahyang mengikuti.


CONTOH 11

Dua kaleng makanan kuda balap A dan B dianalisa dan iniditemukan bahwa A terdiri dari 25 unit karbohidrat, 10 unit protein dan 15 unit lemak. B terdiri dari 50 unit karbohidat,10 unit protein dan 9 unit lemak.Suatu hari, kuda balab itu menerima sedikitnya 225 unit karbohidart,80 unit protein dan 90 unit lemak. Kaleng A seharga $6 dan B seharga $3.

a. Tentukan kombinasi A dan B yang menyediakan hargamakanan termurah.

b. Dari kombinasi optimum yang ditemukan, diskusikanmakanan baig kuda balab tersebut.Langkah 1: Misalkan x menjadi jumlah kaleng A yang digunakan setiap hari dan

Misalkan y menjadi jiumlah kaleng B yang digunakansetiap hari


Langkah 2:

Langkah 3: Kita minimize menjadi 6x + 3y dolar.Langkah 4: x ≥ 0 dan y ≥ 025x +50 y ≥ 225 menjadi x + 2y ≥ 9 (dibagi tiap istilah dengan25)10x +10 y ≥ 80 menjadi x + y ≥ 8 (dibagi tiap istilah dengan 10) 15x +9 y ≥ 90 menjadi 5x + 3y ≥ 30 (dibagi tiap istilah dengan3)Langkah 5: Penarikan dari


Jadi harga adalah minimal diman ketika kita menggunakan 0 kaleng padaA dan 10 kaleng pada B.

c. Jika kuda balap mamakan 10 kaleng dari B kemudian mendapat minimal 90 unit lemak, tetapi mendapat 500 unit karbohidart (nilai minimum ganda) dn 100 unit protein ( 20 unit lebih banyak dari nilai minimum).

Langkah 6:


LATIHAN 7B.5

1. Sebuah pabrik kimia membuat dua kimia yang berbeda A danB dan dapat dijual menjual seluruhnya yang dapatmemproduksinya. Permintaan paling sedikt 200 kg dari A dan100 kg dari B, tetapi dapat memproduksi paling banyak 700 kg tepat dari kimia karena keterbatasan sumber. Jika laba pada A $300 dan $400 setiap kg pada B, berapa kg masing‐masingyang harus diproduksi supaya mendapat keuntungan yang maksimal? ?


2. Suatu Vitamin terdiri dari dua makanan X dan Y yang ditunjukkan (dalam unit per kg) pada table. Campuran dariX dan Y dibuat dimana harus terdiri paling sedikit 8 unit dariA, 30 unit dari B dan 30 unit dari vitamin C.

• Jika harga $2per kg dan Y seharga $1.5 per kg,tentukanharga minimum makanan campuran dan rincilah vitamin yang menyusunnya.


3. Sebuah pabrik memproduksi dua jenis paket mejatennis.paket A terdiri dari 2 pemukul dan 3 bola, paket B terdiri dari 2 pemukul dan 1 net.

• Pada suatu waktu pabrik itu dapat memproduksi paling banyak 56 pemukul,108 bola,dan 18 net. Jika paket A mendapat keuntungan $3 dan paket B mendapatkeuntungan $5,tentukan jumlah masing‐masing paket yang harus dihasilkan oleh produsen setiap jam untukmendapatkan keuntungan yang maksimum. Komponenyang mana yang dibutuhkan?


4. Produsen roda membuat dua model,mewah danstandar.Pada model mewah dia memerlukan menggunakanmesin A untuk 2 menit dan mesin B untuk 2 menit. Padamodel standar dia memerlukan menggunakan mesin A untuk 3 ,menit dan mesin B unutk 1 menit. Mesin A tersediauntuk paling banyaj 48 menit dan meisn B untuk 20 menitsetiap jam.

• Dia tahu dari pengalamannya yang lalu bahwa dia akanmenjual sedikitnya dua kali dari model standar dan model mewah. Jika model mewah dia mendapat keuntungan $25 dan model standar dia mendapat keuntungan $20, berapajumlah yang harus diproduksi nya setiap jam supayamendapat keuntungan yang maksimum? Mesin yang manayang penuh digunakan?


5 Bahan‐bahan a,b dan c untuk membuat dua jenis penata rambut A dan B pada persedian yang pendek. Setiap minggu hanya 18 unit a,21 unit b dan 18 unit c yang tersedia.Satu botol A memerlukan : 2 unit a, 3 unit b,3 unit cSatu botol B memerlukan : 2 unit a, 2 unit b,1 unit ca. Jika A mendapat keuntungan $2 per botol dan B mendapat

keuntungan $1.25, berapa botol yang seharusnya diproduksi setiapminggi untuk mendapat keuntungan yang maksimal?

b. Jika keuntungan B naik menjadi $2 per botol, berapa jumlah masing‐masing yang diproduksi untuk mendapat keuntungan maksimal?


6. Perusahaan General motor membuat dua model mobil, Zip dan Zap, dalam pembuatan Zip keuntungan yang diperoleh $2000, dan $1500 dari setiap Zap. Buruh yang diperlukan setiap model diperlihatkan padatabel di bawah ini:

Jika ada 29 000 orang‐jam menyediakan untuk pertemuan 3300 orang‐jam untuk mengecat dan 26 000 orang‐jam untuk mengakhirinya, berapa jumalh setiap model yang seharusnya perusahaan produksisupaya keuntungannya maksimal? Diskusikan penggunakan sumberdaya alam untuk solusi optimum


7. Dari analisa makanan yang tersedia.dengan dua kotakmakanan, Foode dan Petmix, dari binatangnya. Komposisipada satu sendok makanan dari setiap dua kotak yang ditunjukkan pada table berikut:


Dari analisi diketahui bahwa binatang membutuhkan paling sedikt 96 gram protein, 80 gr lemak,288 gr karbohidrat dan tidak lebih dari 100 g serat setiap harinya.Jika analisis dicampur x sendok Foodo dengan y sendok Permix,tuliskansystem pertidaksamaan dari x dan y. Sebab itu gambarkan grafik daerahyang mungkin .Jika satu sendok Foodo seharga $2 dan 1 sendok Petmix seharga S1, tentukan campuran yang disediakan makanan paling rendah.Dapatkah binatang puas makan dengani. Hanya makanan Foodo ii hanya makanan Petmix


HUBUNGAN DENGAN PUNCAK BUKAN BILANGAN BULAT

Dalam beberapa masalah. puncak penyederhanaan bukan bilangan bulat. Bagaiman kita menangani kasus tersebut?Pada program linier atau kalkulator grafik dapat digunakanNote: >= lebih dari ≥

LATIHAN 7B.6

1. Makanan sehari‐hari bagi Kangguru kurungan diberi: karbohidart(paling sedikit 180 unit).,protein (paling sedikit 70 unit), vitamin (paling sedikit15 unit),lemak (tidak lebih dari 420 unit)Tersedia dua jenis makanan yang tersedia (A dan B). Komposisimenyajikan setiap makananyang ditunjukkan:


a. Dapatkah kangguru mendapat makanan yang dibutuhkanhanya menggunakan makanan A saja? Jika tidak, berapakahjumlah minimum penyajian yang diperlukan?

b. Dapatkah kangguru mendapat makanan yang dibutuhkanhanya menggunakan makanan b saja? Jika tidak, berapakahjumlah minimum penyajian yang diperlukan?


c. Jika disajikan makaan seharga $10sen dan disajikanmakanan B seharga 20 sen, apakah campuran dari keduamakanan menyediakan harga yang termurah? Akanmenjadi berapakah harganya?

d. Sekarang kerjakan kombinasi A dan B dimana tersediamakanan termurah jika terjadi perubahan dalampembuatannya: Karbohidart (paling sedikit 170 unit),Protein (paling sedikit 660 unit), Vitamin (paling sedikit 14 unit), lemak (tidak lebih dari 460 unit)


2. Sebuah perusahaan membuat dua produk, Klegs dan Klogs, dari kayu, plastic, dan baja. Meraka menyediakan 227kg, 392 kg dan 184kg darikayu,plastic dan baja. Persyaratan dalam membuat setiap produk adalah

Jika keuntungan satu Kleg adalah $5.25 dan sebuah $7.8, berapa buahseharusnya diproduksi agar mendapatkan keuntungan yang maksimal? Diskusikan dalam menggunakan sumber daya alam pada solusi optimum dan rincilah keuntungan maksimalnya.


REVIEWMasalah Yang Berhubungan

1. Rel yang cepat untuk menghubungkan 7 kota terdekat ke bandaralocal.Temukan jaringan yang akan memungkinkan untukmenghubungkan ini dengan efisien. (catatan, jarak pada km)


2.) Usulan bahwa computer di semua ruangan staff, perpustakaan dan administrasi akan dihubungkan untuk meningkatkan akses yang berguna untuk diletakkan lebih maju. Dewan sekolah berharap untuk menyelidiki usul tersebut. Tabel memperlihatkan jarak secara detai (dalam meter) antar ruangan.Hitung jumlah harga kerugian pada dua factor, proses pemasangan kabel dengan harga $9.50 per meter dan ongkog tukang $60.00 per jam. Kantor ini mengambil kira‐kira satu jam untuk meletakkan 9 meter kabel. Hitung harga minimum untuk proyek itu!


• 3.) Sepeda K2 adalah peluncuran baru dari sepeda gunung yang akan dipersiapkan untuk Natal. Bagian secara garis besarnya, ditunjukkan pada diagram di samping. Pertemuan bannyak bagian sepeda menyebabkan kerusakan sepeda itu karena saling melakukan banyak tugas masing‐masing. Tugas masing‐masing bagian, waktu dan kegunaannya ditunjukkan pada table di bawah ini.


Hitunglah waktu minimum yang dibutuhkan untuk memasang satu sepeda. Berapa banyak staf yang seharusnya dibutuhkan untuk pekerjaan merakit sepeda K2? Sajikan penyelesaian dengan diagram dan jumlah yang benar.

4. Sebuah perusahaan merencanakan untuk meletakkan pusat penglihatan antar titik yang disajikan pada gambar. Rute yang mungkin untuk kabel dan panjang hubungan diperlihatkan di dalam kilometer. Pada umumnya, harganya adalah $1500 per km kecuali untuk kabel utama dari ataumenuju C. Harga ini adalah $2000 per km.


Gambar hubungan harga untuk kota‐kota yang diperlihatkan!Buat hubungan/jaringan yang menghubungkan harga minimum!Berapa harga minimum dari penghubungan jaringan itu?

Masalah Program Linear

5. Sebuah pabrik membuat meteran air dan meteran gas. Meteran gas membutuhkan 4 roda gigi, 1 tombol dan 8 menit waktu perakitan untuk mendapatkan keuntungan $20. Meteran air membutuhkan 12 roda gigi, 1tombol dan 4 menit waktu perakitan untuk mendapatkan untung $31. Ada 60 roda gigi, 9 tombol dan 64 menit waktu perakitan yang tersedia untuk melakukan produksi ini. Tentukan berapa banyak meter yang seharusnya diproduksi untuk mendapatkan keuntungan !


•


6. Pekerja manufaktur membuat 2‐ drawer filing cabinet dan meja‐meja dengan penggambar tunggal. 2‐drawer cabinet menggunakan 1 kunci dan 3 meter persegi logam dan menghasilkan keuntungan $34. Meja menggunakan 1 kunci dan 9 meter persegi logam dan menghasilkan keuntungan $47. Ada 14 drawer, 8 kunci dan 54 meter persegi logam yang tersedia. Hitung berapa banyak dari tiap‐tiap benda yang seharusnya diproduksi untuk memperoleh keuntungan maksimum yang mungkin!

7. Insinyur teknik sipil sedang mendesain pondasi dari sebuah jembatan dengan deretan dan dermaga persegi dari beton. Setiap deretan dermaga memerlukan 10 unit bahan yang keras, 12 beban yang berat, dan 6 penopang samping pada harga $63000. Struktur akhir membutuhkan 80 unit bahan yang keras, 144 beban yang berat dan 60 penopang samping. Susun seperti program(persamaan) linear dan selesaikan untuk mendapatkan berapa banyak dari tiap bahan untuk dermaga yang harus digunakan mendapatkan kemungkinan harga terkecil!


8. Sebuah perusahaan yang mengolah minyak pada Adelide dan Brisbane. Perusahaan Adelide memproduksi 3000 tong LRP, 26000 tong unleaded, dan 1000 tong tiap hari dengan harga $8000.Perusahaan Brisbane memproduksi 1000 tong LRP, 2000 tong unleaded dan 3000 tong diesel tiap hari dengan harga $5000. Perusahaan mempunyai order(persediaan) untuk 18000tong Lrp, 26000 tong unleaded, dan 30000 tong diesel. Berapa banyak hari yang seharusnyadioperasikan perusahaan tiap hari untuk menjaga harga serendah mungkin dan masih memenuhi order?


9. Tukang sol sepatu membuat sol dalam keras dan halus untuk pelanggannya. Sol dalam dibuat dari plastic yang sudah diset oleh asisten lab. Setiap sol dalam dibangun dan dipaskan juga. Jenis halus menggunakan 150 sentimeter kubik plastic, 3 jam pembuatan dan 30menit untuk mengepaskan. Dan memberi keuntungan $70. Jenis kasarmenggunakan 100 sentimeter kubik plastic, 8 jam pembuatan dan 40menit untuk mengepaskan, serta memberi keuntungan $110. Asisten mempunyai bahan mentah untuk 2400 sentimeter kubik plastic, 96 jam untuk pembuatan, dimana dia mempunyai 5 jam waktu yang tersedia untuk mengepaskan. Berapa banyak tipap sol dalam yang seharusnyadisediakan untuk pelanggannya supaya menghasilakan keuntungan maksimum?


10.Tukang masak pada stasiun melayani 2 pilihan yang sama setiap hari untuk sarapan, makan siang dan makan malam. Ayam dengan chips atau steak dan telur. Analisis matematika mengetahui bahwa

mereka memerlukan176 unit karbohidrat per minggu, 168 unit protein dan 250 unit lemak dengan level kerja mereka yang tinggi. Ayam dan chips mengandung 16 unit karbohidrat per daging, 8 unit

protein, 10 unit lemak dan berharga $5. Steak dan telur mengandung 8 unit karbohidrat, 12 unit protein, 25 unit lemak dan berharga $8. Berapa banyak tipe dari setiap makanan yang

seharusnya dimakan oleh tukang itu supaya memenuhi nutrisi yang dibutuhkan supaya menghasilkan kemungkinan harga terendah ?


11. Pembuat furniture memproduksi lemari dan rak buku. Kedua produk itu membutuhkan papan kayu, waktu penggergajian, waktu pengampelasan, dan perakitan. Lemari membutuhkan 20 meter papan, 40 menit waktu penggergajian, 69 menit waktu pengampelasan, 10 menit waktu perakitan dan dijual dengan mengharapkan keuntungan $14 per buah. Rak buku menggunakan 10 meter papan, 30 menit penggergajian, 90 menit pengampelasan, 30 menit perakitan dan dijual dengan mengharapkan keuntungan $17 tiap buah. Ada 220 meter papan, 480 menit waktu penggergajian, 1080 menit pengampelasan, dan 330 meni perakitan yang tersedia. a. Buat model persamaan linearb. Temukan nilai/penyelesaian maksimim!c. Jawab hasilnya! Berapa banyak tiap material yang seharusnya dibuat

untuk menghasilkan kemungkinan keuntungan tertinggi?d. Apakah penyelesaian itu berubah jika ada order untuk 7 lemari?(hlm 431‐433)

BAB 7 OPTIMISATION - hogasaragih.files.wordpress.com · Contoh jaringan atau grafik yang terbatas...

Documents

Transcript of BAB 7 OPTIMISATION - hogasaragih.files.wordpress.com · Contoh jaringan atau grafik yang terbatas...