BAB 3 PEMBUKTIAN VALIDITAS KALIMAT LOGIKA ASUMSI SALAH Perlu pembuktian nilai True untuk semua interpretasi (2n) Membutuhkan langkah pembuktian yang panjangAkan lebih mudah membuktikan bahwa ada 1 interpretasi yang menyebabkan nilai kalimat salah Tidak valid Asumsi salah tidak mungkin terjadi ValidContoh Soal 3.1 Buktikan validitas kalimat A : if ((not x) or (not y)) then (not(x and y))Jawab :Bentuk kalimat implikasi A : A1 A2(~ x ~ y) ~ (x y)Misalkan A diasumsikan salah yang berarti :Antsenden/premis/hipotesis A1 benar (~ x ~ y) = Tkonklusi/konsekuen A2 salah ~ (x y) = F

Ada dua cara pembuktian valid/tidak valid A : (~ x ~ y) ~ (x y)a.) Dimulai dari konklusi dulu (A2 = F) periksa apakah hipotesisnya (A1 = T) ?b). Dimulai dari hipotesisnya dulu (A1 = T) periksa apakah konklusinya (A2 = F) ? a). Konklusi A2 : ~ (x y) = F (x y) = T x = T dan y =TPeriksa hipotesis A1 : (~ x ~ y) = F F = F seharusnya A1 = TAsumsi A = F tidak pernah terjadi kalimat A validb) Hipotesis A1 = (~ x ~ y) = T, ada beberapa kemungkinan :Asumsi A = F tidak pernah terjadi kalimat A valid

Hipotesis A1(~ x ~ y) = TAkibatnya pada konklusi A2~ (x y) Kondisi A2 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = F dan y = FTFYax = F dan y = TTFYax = T dan y = FTFYa

Contoh Soal 3.2 Buktikan validitas kalimat B : (if x then y) if and only if ((not x) or y)Jawab :Bentuk kalimat B biimplikasi B1 B2(x y) (~x y)Misalkan B diasumsikan salah, maka ada 2 kemungkinan :a). hipotesis B1 benar (x y) = T dan konklusi B2 salah (~x y) = Fb). hipotesis B1 salah (x y) = F dan konklusi B2 benar (~x y) = Ta1). Dimulai dari hipotesis dulu (x y) = T dan (~x y) = F

Hipotesis B1(x y) = TAkibatnya pada konklusi B2 (~x y) = FKondisi yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = T dan y = TTFYax = F dan y = TTFYax = F dan y = FTFYa

a2). Dimulai dari konklusi dulu (x y) = T dan (~x y) = Fb1). Dimulai dari hipotesis dulu(x y) = F dan (~x y) = T

Konklusi B2(~x y) = FAkibatnya pada hipotesis B1 (x y)Kondisi yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = T dan y = FFTYa

Hipotesis B1(x y) = FAkibatnya pada konklusi B2 (~x y) = FKondisi B2 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = T dan y = FFTYa

b2). Dimulai dari konklusi dulu (x y) = F dan (~x y) = T

Jadi asumsi B = F tidak pernah terjadi kalimat B valid

Konklusi B2(~x y) = TAkibatnya pada hipotesis B1 (x y) Kondisi B1 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = F dan y = TTFYax = T dan y = TTFYax = F dan y = TTFYa

Contoh Soal 3.3 Buktikan validitas kalimat C : if (if x then y) then (if (not x) then (not y))Bentuk kalimat C implikasi C1 C2(x y) (~x ~ y)Misalkan C diasumsikan salah yang berarti :hipotesis C1 benar (x y) = Tkonklusi C2 salah (~x ~ y) = FDimulai dari hipotesis dulu : (x y) = T dan (~x ~ y) = F

Hipotesis C1(x y) = TAkibatnya pada konklusi C2(~x ~ y)Kondisi C2 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = T dan y = TTFYax = F dan y = TFFTidakx = F dan y = FTFYa

Dimulai dari konklusi dulu :(x y) = T dan (~x ~ y) = FJadi asumsi C = F dapat terjadi kalimat C tidak valid

Konklusi C2(~x ~ y) = FAkibatnya pada hipotesis C1(x y) Kondisi C2 yang diperoleh dari asumsi salahKontradiksi ?Ya/tidakx = F dan y = TTFYa

POHON SEMANTIK Misalkan suatu kalimat logika A terdiri dari 3 proposisi p, q dan r Pohon semantik dimulai dengan cabang tertinggi untuk proposisi pertama (p) Cabang tertinggi ini terdiri cabang kiri (T) dan cabang kanan (F)Perhatikan cabang kiri No. 2 :Bila dengan p = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 2 ini tidak bercabang, misalkan nilainya salahBila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi kedua q

Perhatikan cabang kiri No. 4 :Bila dengan p = T dan q = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 4 ini tidak bercabang, misalkan nilainya benarBila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi ketiga r p = Tp = FT35q = Tq = Fp = Tp = F35q = Tq = F67r = Tr = FLangkah-langkah tersebut di atas diulangi lagi untuk cabang-cabang lainKalimat logika dikatakan valid bila semua cabangnya bernilai benar, bila ada cabangnya yang bernilai salah, maka kalimat tsb dikatakan tidak valid

Bila semua cabang bercabang lagi, maka pohon semantiknya menjadi :Metoda pohon semantik dapat lebih efisien dari metoda tabel kebenaran

Contoh Soal 3.4 Tentukan validitas kalimat G : if (if x then y) then (if (not x) then not y)Jawab :Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2G : (p q) (~ p ~ q)Periksa cabang No. 2 :Bila p = T, maka ~ p = FG2 : (~ p ~ q) = T apapun nilai qBila (~ p ~ q) = T, maka G = T apapun nilai G1 : (p q) Nilai G sudah dapat ditentukan, yaitu bernilai T

Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2G : (p q) (~ p ~ q)Periksa cabang No. 3 :Bila p = F, maka G1: (p q) = T apapun nilai q~ p = T, nilai G2 : (~ p ~ q) tergantung pada nilai qBila ~ q = T, maka G2 = T dan bila ~ q = F, maka G2 = FBila G2 = T, maka G = T dan bila G2 = F, maka G = FJadi nilai G belum sudah dapat ditentukan, cabang No. 3 bercabang lagip = Tp = FT45q = Tq = F

Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2G : (p q) (~ p ~ q) Periksa cabang No. 4 :Bila p = F dan q = T, maka G1: (p q) = T dan G2 : (~ p ~ q) = FAkibatnya G : G1 G2 bernilai salah (F) Periksa cabang No. 5 :Bila p = F dan q = F, maka G1: (p q) = T dan G2 : (~ p ~ q) = TAkibatnya G : G1 G2 bernilai benar (T)Karena ada cabang yang bernilai salah, maka kalimat G tidak valid

Contoh Soal 3.5 Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q) r]Jawab :Bentuk kalimat B biimplikasi : B1 B2Karena semua cabang nilainya benar, maka kalimat B valid Lebih efisien dari tabel kebenaran

NopqrNilai B1, B2 dan BLangkah berikut2TB1 tergantung pada nilai q, rB belum dapat ditentukanBercabang 4 dan 53FB1 = T dan B2 = T apapun nilai q, r B = T4TTBila r = T, maka B1 = T dan B2 = TBila r = F, maka B1 = F dan B2 = FB = T5TFB1 = T dan B2 = T apapun nilai r B = T

Latihan Soal 3.1 Buktikan validitas kalimat D : if(if(not x) then y) then if(not y) then x) and (x or y)D : (~ x y) ( (~y x) (x y))Latihan Soal 3.2 Tentukan validitas kalimat (p q) (~p r) (q r) dengan menggunakan asumsi salah

Latihan Soal 3.3 Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q) r]Jawab :

Bentuk kalimat biimplikasi B1 B2B1 : [p (q r)] B2 : [(p q) r]

NopqrNilai B1, B2 dan BLangkah berikut2T3F

Latihan Soal 3.4Periksalah validitas kalimat p (p q) dengan menggunakan pohon semantikJawab : Bentuk kalimat OR Eksklusif A = A1 A2

pq p qTTFTFTFTTFFF