Bab 3 BioStat

Silabus dan TujuanIlustrasi

Peubah Acak DiskritDistribusi Diskrit

Peubah Acak dan Distribusi KontinuEkspektasi

MA2082 BIOSTATISTIKABab 3 Peubah Acak dan Distribusi

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Orang Biologi Tidak Anti Statistika”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi




Silabus

Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function),fungsi distribusi (cumulative distribution function), mean danvariansi, distribusi diskrit (binomial, Poisson, geometrik), distribusikontinu (normal, seragam/uniform, eksponensial).





Tujuan

1 Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a)

2 Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.pke f.d; f.d ke f.p

3 Menghitung mean dan variansi

4 Mempelajari distribusi diskrit (binomial, Poisson) dan kontinu(normal, eksponensial)

5 Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit ataukontinu





Ilustrasi

(Ilustrasi-1) Manajemen suatu klinik kesehatan mengetahui bahwalima persen penelepon yang mendaftar untuk periksa dokter tidakakan datang ke klinik. Dengan alasan ini, manajemen tidak raguuntuk menerima pendaftaran sebanyak 52 orang, walaupunkapasitas klinik sebenarnya hanya untuk 50 orang. Berapa peluangsetiap penelepon/pendaftar yang datang akan dilayani dokter?





(Ilustrasi-2) Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikutipraktikum di Lab adalah peubah acak dengan fungsi peluangtertentu. Tentukan peluang seorang mahasiswa mengikutipraktikum lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit?





0.050

0.025

10 20 30 40

Figure: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab.





Peubah Acak

Peubah Acak:

Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”

Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S kebilangan real R





P.A. Diskrit

Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitungdari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga

P(⋃

i

{X = ai})

=∑i

P(X = ai ) = 1

Catatan:Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampeldiskrit.





FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisanterhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan{pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikianhingga ∑

i

pi = 1

danFX (x) =

∑ai≤x

pi





Jika diberikan himpunan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilanganpositif {pi , i = 1, 2, . . . } sdh

∑i pi = 1, fungsi peluang pX (x)

adalahpX (x) = pi = P(X = ai ),

dengan x = ai





Fungsi distribusi (kumulatif):

F (x) = P(X ≤ x)

Sifat-sifat:

(a) F fungsi tidak turun(b) limx→∞ F (x) = 1(c) limx→−∞ F (x) = 0(d) F fungsi kontinu kanan





Catatan:

P(a < X ≤ b) = F (b)− F (a)

P(X ≤ b) 6= P(X < b)

P(X < b) = P(

limn→∞

{X ≤ b − 1

n

})= lim

n→∞P(X ≤ b − 1

n

)= lim

n→∞F(b − 1

n

)





Contoh/Latihan

1. Diketahui S = {00, 01, 10, 11}. Misalkan X peubah acak yangmenyatakan banyaknya “0”. Nilai yang mungkin dari Xadalah..., dengan fungsi peluang dan fungsi distribusi...





2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

F (x) =

0, x < −3.1

3/5, −3.1 ≤ x < 0

7/10, 0 ≤ x < 1

1, 1 ≤ x





3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut:

f (x) =

p, x = −1.9

0.1, x = −0.1

0.3, x = 20p

p, x = 3

4p, x = 4

0, yang lain

Hitung P(−1.9 ≤ |X | ≤ 3),F (2),F (F (3.1))





Ilustrasi

(Ilustrasi-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekatdengan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagimereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari harike hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiaporang memiliki peluang yang sama untuk dapat bertahan hidupsampai hari esok sebesar α. Jika jumlah pasien IGD pada suatuhari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orangsaja yang masih hidup?





(Ilustrasi-2) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hariberdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluangtidak ada kecelakaan pada hari ini?





(Ilustrasi-3) Tiga mahasiswi dokter yang sedang melakukanresidensi bertugas di kamar mayat. Untuk menentukan siapa yangakan masuk ke “ruangan idaman” tersebut pertama kali, merekasepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorangdengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain akanmenjadi orang pertama. Jika X menyatakan banyaknya lantunankoin yang harus dilakukan, tentukan P(X = 3).





Distribusi Binomial

Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yangmenotasikan ’sukses’ atau ’gagal’ dari suatu percobaan.Definisikan X (sukses) = 1 dan X (gagal) = 0 dan

pX (1) = P(X = 1) = p

pX (0) = P(X = 0) = 1− p

dimana 0 ≤ p ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakanpeubah acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan npercobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya suksesyang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomialdengan parameter (n, p), dimana

pX (k) = B(k ; n, p) = Cnk pk (1− p)n−k





Distribusi Poisson

Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang

pX (i) = e−λλi

i !

untuk i = 0, 1, 2, . . . dan λ > 0. X disebut peubah acak Poissondengan parameter λ.





Distribusi Geometrik

Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh suksesyang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas danmemiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknyapercobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertamatersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik denganparameter p. Fungsi peluangnya adalah

p(n) = P(X = n) = (1− p)n−1 p,

untuk n = 1, 2, . . . dan p > 0.





Ilustrasi

(Ilustrasi) Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku.Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu denganyang lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebutdapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umumpada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwakebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi disekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuranyang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan,akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebutDISTRIBUSI NORMAL.





P.A. Kontinu

Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapatditurunkan. Fungsi peluang fX adalah turunan dari fungsidistribusi,

fX (x) =d

dxFX (x)

atau dengan kata lain

FX (x) =

∫ x

−∞fX (t) dt





Definisi:Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnyaada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagaipeubah acak kontinu. Catatan:

1 = FX (∞) =

∫ ∞−∞

fX (t) dt

P(a ≤ X ≤ b) = FX (b)− FX (a) =

∫ b

afX (t) dt

P(X = a) =

∫ a

afX (t) dt = 0





Contoh/Latihan

1. Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang

f (x) = c (4x − 2x2), 0 < x < 2,

Tentukan c . Hitung P(X > 1).





2. Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang

f (x) = 10/x2, x > 10,

Hitung P(X > 20). Tentukan fungsi distribusi dari X .





Distribusi Normal

Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Normal atau GAUSSdengan parameter µ dan σ2 jika fungsi peluang fX nya sbb:

fX (x) =1√

2π σexp(−(x − µ)2 / 2σ2), −∞ ≤ x ≤ ∞





Teorema Limit DeMoivre-Laplace:Jika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada npercobaan independen, dengan peluang sukses adalah p, makauntuk setiap a < b,

P

(a ≤ Sn − np√

np(1− p)≤ b

)→ Φ(b)− Φ(a),

untuk n→∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’jika np(1− p) besar, np(1− p) ≥ 10)





Contoh/Latihan

1. Misalkan X p.a berdistribusi normal dengan µ = 3 danσ2 = 9, hitung:(a) P(2 < X < 5); (b) P(X > 0); (c) P(|X − 3| > 6)





2. Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas BioStat adalah 60orang. Namun demikian, PS Biologi ITB mencatat bahwabiasanya hanya 30 persen mahasiswa saja dari total yangterdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan. Jika PSBiologi ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untukkelas BioStat, berapa peluang bahwa lebih dari 60 orang hadirdi kelas?





Distribusi Uniform

Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam padaselang (a, b) jika fungsi peluang fX nya sbb:

fX (x) =1

b − a, a ≤ x ≤ b





Contoh/Latihan

Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikuti praktikum di Labadalah peubah acak dengan fungsi peluang tertentu. Tentukanpeluang seorang mahasiswa mengikuti praktikum lebih dari 15menit? antara 20 dan 35 menit?





0.050

0.025

10 20 30 40

Figure: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab.





Distribusi Gamma

Peubah acak Gamma: Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulangsebanyak n kali, maka banyaknya ‘sukses’ yang diperoleh adalahpeubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p,dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang banyaknyapercobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh (dantermasuk) sukses ke-r , maka kita dapatkan peubah acakberistribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubahacak Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubahacak Binomial negatif. Dalam hal ini kita pandang peubah acakBinomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukseske-r .





Definisi:Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memilikifungsi peluang

f (x) =λα

Γ(α)xα−1 e−λx , x > 0

dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan Xberdistribusi Gamma dengan parameter α dan λ;x ∼ Gamma(α, λ).





Definisi Fungsi Gamma:

Γ(t) =

∫ ∞0

x t−1 e−x dx

Catatan: Γ(t + 1) = t Γ(t), t > 0





Contoh/Latihan

1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

F (x) =

0, x < 013 + x

5 , 0 ≤ x < 135 , 1 ≤ x < 2910 , 2 ≤ x < 3

1, x ≥ 3





2. Pelajari distribusi eksponensial.





Definisi

Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atauekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah

E (X ) =∑x

x pX (x)

dan

E (X ) =

∫ ∞−∞

x fX (x) dx

dimana pX dan fX adalah fungsi peluang dari X .





Catatan:1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) darinilai yang mungkin dari X2. Ekspektasi = mean = momen pertama3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-runaverage value) dari percobaan bebas yang berulang3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!)





Contoh/Latihan

1 Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin−1, 0, 1 dan peluang:

p(−1) = 0.2, p(0) = 0.5, p(1) = 0.3

Hitung E (X 2).

2 Diketahui fungsi peluang:

f (x) = c (4x − 2x2), 0 < x < 2

Hitung E (X ) dan P(1/2 < X < 3/2)

3 Jika X ∼ Pois(λ), tentukan E (X ).





Sifat-sifat Ekspektasi

1 E (g(X )) =∫∞−∞ g(x) fX (x) dx

2 E (a X + b Y ) = a E (X ) + b E (Y )

3 E (XY ) = E (X )E (Y ), jika X dan Y saling bebas.

4 E (X r ) =∫∞−∞ x r fX (x) dx (momen ke-r)

5 E ((X − µX )r ) =∫∞−∞ (x − µX )r fX (x) dx (momen pusat ke-r)

6 E ((X − µX )2) = Var(X ) = E (X 2)− (E (X ))2

Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X .





Contoh/Latihan

1. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan olehseorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilihacak:

y 0 1 2 3 4 5 6

p(y) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05

Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorangpemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan banyakpertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol?





Solusi:P(Y ≥ 3) = 0.4 = P(’sukses’) = p

E (W ) = n p = 4 (0.4) = 1.6





2. Misalkan X menyatakan lama (jam) mhs belajar BioStat danfungsi peluang X adalah sbb:

f (x) =

{x − 2, 2 ≤ x < 314 , 4 < x < 6

1 Berapa persen mhs menghabiskan waktu lebih dari 150 menitutk belajar BioStat?

2 Berapa rata-rata lama waktu mhs belajar BioStat?3 Jika seorang mhs menghabiskan waktu lebih dari 130 menit,

berapa peluang mhs itu selesai belajar kurang dari 4.5 jam ?4 Hitung P(X = 2),P(X = 3),P(X = E (X )),P(X < E (X ))





Solusi:

1 P(X > 2.5) =∫ 32.5 (x − 2) dx +

∫ 64 1/4 dx

2 E (X ) = 10/3

3 P(X < 4.5|X > 13/6) = P(13/6 < X < 4.5)/P(X > 13/6)

4 P(X = E (X )) = 0,P(X < E (X )) = P(X < 10/3) = 1/2


Bab 3 BioStat

Documents

Transcript of Bab 3 BioStat