BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori – teori yang berhubungan dengan

pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan

mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Adapun teori

– teori tersebut mencakup pengertian dari pemrograman nonlinear, fungsi konveks,

metode Lagrange, metode Newton, metode Wolfe, kondisi Kuhn-Tucker,

pemrograman kuadratis, dan metode Sequential Quadratic Programming.

2.1 Pemrograman Nonlinear

Menurut Bradley dkk (1976), persoalan umum optimisasi adalah memilih n variabel

keputusan dari daerah fisibel yang diberikan untuk mengoptimasi

(maksimum atau minimum) fungsi tujuan yang diberikan

dari variabel keputusan. Persoalan ini disebut persoalan pemrograman nonlinear jika

fungsi tujuannya nonlinear dan atau daerah fisibelnya ditentukan oleh kendala

nonlinear. Jadi bentuk minimisasi persoalan pemrograman nonlinear ditulis sebagai:

subject to:

dimana masing-masing fungsi kendala sampai diberikan. Batasan nonnegatif

pada variabel dapat dengan menambahkan kendala tambahan:

Universitas Sumatera Utara

Masalah optimisasi di atas dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana sebagai

berikut:

subject to:

Untuk kendala persamaan dapat ditulis sebagai dua kendala pertidaksamaan

dan . Sebagai tambahan, jika menambahkan variabel slack,

masing-masing kendala pertidaksamaan ditransformasi ke kendala persamaan.

Fokus utama dari pemrograman nonlinear adalah terkait dengan eksistensi dari

solusi optimal, karakterisasi dari solusi optimal dan algoritma untuk menghitung

solusi optimal. Masalah pemrograman nonlinear mempunyai 2 jenis persoalan yaitu

masalah nonlinear berkendala dan nonlinear tidak berkendala. Untuk persoalan

nonlinear tidak berkendala dapat dipecahkan dengan metode Newton sedangkan untuk

persoalan nonlinear berkendala dapat dipecahkan dengan metode Penalty dan Barrier,

Sequential Quadratic Programming (SQP), ataupun Primal-Dual Interior Point

(PDIP). Metode Penalty dan Barrier merupakan cara tidak langsung karena prosedur

metodenya yaitu mendekati persoalan optimisasi berkendala dengan persoalan yang

tidak berkendala. Contoh metode yang menerapkan cara langsung yaitu SQP dan

PDIP. (Bertsekas, 2007).

2.2 Optimum Global dan Lokal

Sebuah fungsi tujuan f(x) memiliki sebuah minimum lokal di jika terdapat sebuah

selang (yang kecil) yang berpusat di sedemikian rupa sehingga

untuk semua x dalam selang ini pada mana fungsi ini dedefinisikan. Jika

untuk semua x pada mana fungsi ini didefinisikan, maka minimum di (di

samping adalah lokal) adalah suatu minimum global. Maksimum lokal dan global

didefinisikan dengan cara yang sama tetapi dengan tanda ketidaksamaan yang terbalik

(Bronson, 1996).

Universitas Sumatera Utara

Gambar 1.1 Maksimum-minimum lokal dan global

Fungsi yang digambarkan di atas secara grafik hanya didefiniskan pada [a,b]. Fungsi

ini memiliki minimum lokal di ; maksimum lokal di ; minimum global

di dan maksimum global di dan b.

Definisi 2.1:

Jika adalah solusi fisibel untuk persoalan maksimisasi dengan

fungsi tujuan f(x). Kita menyebut x:

1. Sebuah global maksimum jika untuk setiap titik fisibel

2. Sebuah lokal maksimum jika untuk setiap titik fisibel

cukup dekat dengan x yaitu jika ada sebuah bilangan

(sangat kecil) sehingga kapanpun masing-masing variabel dalam dari

yaitu, dan y fisibel maka .

Minimum lokal dan global analog dengan definisi di atas. Untuk beberapa

keadaan, maksimum dan minimum lokal disebut global. Gambar 1.2(a) di bawah

minimum lokal merupakan global. Fungsi ini disebut konveks. Gambar 1.2(b) di

bawah maksimum lokal merupakan maksimum global. Fungsi ini disebut konkaf.

Karena alasan ini fungsi konveks selalu diminimumkan sedangkan fungsi konkaf

selalu dimaksimumkan (Bradley dkk, 1976).

Universitas Sumatera Utara

Gambar 1.2 Fungsi konveks dan konkaf

2.3 Fungsi Konveks dan Konkaf

Menurut Luenberger (1984), fungsi konveks adalah dimana untuk setiap dua titik y

dan z, dapat ditarik garis yang menghubungkan f(y) dan f(z) pada fungsi tersebut.

Secara aljabar definisinya sebagai berikut:

Definisi 2.2:

Misalkan . Titik-titik dengan bentuk untuk disebut

konveks kombinasi dari y dan z.

Definisi 2.3:

Sebuah himpunan disebut himpunan konveks jika untuk setiap dan

maka berlaku .

Definisi 2.4:

Sebuah fungsi f(x) disebut konveks jika untuk setiap y dan z dan setiap

Disebut strictly konveks jika untuk setiap dua titik berbeda y dan z dan setiap

Definisi 2.5:

Sebuah fungsi f(x) disebut konkaf jika untuk setiap y dan z dan setiap

Universitas Sumatera Utara

Disebut strictly konkaf jika untuk setiap dua titik berbeda y dan z dan setiap

Mengalikan fungsi konveks dengan -1 akan menghasilkan fungsi konkaf.

Menjumlahkan beberapa fungsi konveks akan menghasilkan fungsi konveks juga.

Begitu juga dengan mengalikan dengan pengali nonnegatif akan menghasilkan fungsi

konveks.

Teorema 2.1:

Perhatikan masalah optimisasi (CP) berikut

Jika S adalah himpunan konveks, adalah fungsi konveks dan adalah titik

minimum lokal untuk masalah (CP) maka adalah titik minimum global dari

pada himpunan S.

Bukti:

Misalkan bukan titik minimum global, maka terdapat yang memenuhi

. Sebut yang merupakan kombinasi konveks dari

dan y, untuk . Hal ini mengakibatkan , untuk .

Karena adalah fungsi konveks maka berlaku

Untuk setiap . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah minimum

lokal. Dengan demikian haruslah merupakan titik minimum global.

Teorema 2.2:

Misalkan S adalah himpunan buka yang konveks dan adalah fungsi yang

diferensiabel. Maka adalah fungsi konveks jika dan hanya jika memenuhi

kondisi gradient berikut:

Bukti :

Misalkan merupakan fungsi konveks. Maka untuk sebarang . Berlaku

Universitas Sumatera Utara

Yang mengakibatkan

Selanjutnya ambil maka diperoleh

Ambil sembarang dan . Set maka diperoleh

dan

Ambil kombinasi konveks dari dua persamaan ini maka diperoleh

,

Ini menunjukkan bahwa f adalah fungsi konveks.

Teorema 2.3:

Misalkan S adalah himpunan buka yang konveks dan dapat diturunkan dua

kali. Misal H(x) adalah Hessian dari f. Jika f(x) konveks maka H(x) adalah positif

semidefit untuk semua

Bukti:

() Perhatikan jika H(z) positif semidefinit untuk semua , maka untuk setiap

, deret Taylor orde dua memberikan

Untuk suatu z yang merupakan kombinasi linear dari (dengan demikian jelas

bahwa ). Karena H(z) positif semidefinit maka

Dengan demikian pertidaksamaan gradien terpenuhi dan mengakibatkan f(x)

merupakan fungsi konveks.

() Jika f(x) konveks dengan dan d sebarang arah. Maka untuk yang

cukup kecil, . Dalam hal ini berlaku

dimana

Universitas Sumatera Utara

dengan menggunakan pertidaksamaan gradien maka diperoleh

Bagi pertidaksamaan ini dengan dan ambil , maka diperoleh

Maka H(x) adalah positif semidefinit untuk setiap .

Teorema 2.4:

Misalkan konveks dan dapat diturunkan di X. Jika minimum global

maka

Bukti:

Karena adalah minimum global maka x adalah minimum lokal, dengan demikian

jelas bahwa . Sebaliknya jika , maka berlaku

Maka jelas bahwa adalah titik minimum global.

2.4 Metode Newton

Persoalan nonlinear tidak berkendala mempunyai bentuk umum:

dimana dan X adalah himpunan terbuka. Jika maka x

dikatakan solusi fisibel. Jika dan meminimumkan maka x dikatakan solusi

optimal.

Perhatikan bahwa semua titik minimum lokal dari suatu fungsi yang

diferensiabel dan kontinu f memenuhi syarat perlu

Persamaan ini merepresentasikan sebuah himpunan dari n buah persamaan nonlinear

yang harus diselesaikan sehingga diperoleh .

Universitas Sumatera Utara

Salah satu pendekatan untuk masalah minimisasi f(x) adalah mencari solusi

untuk himpunan untuk persamaan dengan memasukkan suatu cara untuk

menjamin bahwa solusi yang diperoleh tentunya merupakan sebuah minimum lokal.

Metode tertua untuk menyelesaikan suatu himpunan persamaan nonlinear adalah

metode Newton.

Perhatikan masalah optimisasi tanpa kendala berikut

Pada titik , f(x) dapat dihampiri dengan

dimana hampiran ini dikenal sebagai ekspansi Taylor Kuadratik pada , dimana

dan H(x) adalah vektor gradien dan Hessian dari fungsi f.

Perhatikan bahwa h(x) adalah sebuah fungsi yang kuadratik yang dapat

diminimisasi dengan menyelesaikan . Karena gradient dari h(x) adalah

Maka untuk memperoleh solusi cukup diselesaikan

Sehingga diperoleh

Perhatikan bahwa arah disebut sebagai arah Newton di

Algoritma metode Newton:

Step 1 : Diberikan x0, set k=0

Step 2 : Set . Jika maka STOP

Step 3 : Set step size

Step 4 : Set . Kembali ke step 1

Jika f(x) merupakan fungsi nonkuadratik, metode Newton dapat memberikan

solusi yang divergen dan mungkin saja konvergen menuju titik saddle dan titik

maksimum yang relatif. Bila hal tersebut terjadi maka metode Newton dapat

diimprovisasi dengan mengubah formulasi untuk titik baru

Universitas Sumatera Utara

dimana adalah panjangnya langkah tahapan yang minimum pada arah

.

Jika kemiringan berubah-ubah pada setiap iterasi sehingga

Gambar 1.3 Metode Newton

maka prosedur turunan kedua bisa didapatkan. Dari persamaan di atas kita

mendapatkan

Sehingga

Jadi, hasil prosedur iterasi sekarang adalah

dengan dan ada, karena

2.5 Kekonvergenan

Kekonvergenan untuk barisan bilangan riil (Dennis dan Schnabel, 1983):

Diberikan sebuah metode iterasi sehingga menghasilkan barisan titik dari

sebuah titik awal , ingin diketahui apakah iterasi konvergen ke solusi . Jika

diasumsikan bahwa menyatakan barisan bilangan riil , maka

definisi berikut menyatakan sifat yang dibutuhkan.

Universitas Sumatera Utara

Definisi 2.6

Jika maka barisan dikatakan

konvergen ke jika

Jika dalam tambahan, ada sebuah konstanta dan sebuah bilangan bulat

sehingga untuk setiap

Teorema Weierstrass untuk barisan

Misalkan adalah barisan tak terbatas (infinit) dari titik-titik dari suatu

himpunan compact F (yaitu himpunan yang tertutup dan terbatas). Maka sebagian

subbarisan infinit dati titik-titik konvergen ke suatu titik di F.

Teorema Weierstrass untuk fungsi

Misalkan f(x) adalah fungsi bernilai riil dan kontinu pada suatu himpunan compact

yang tidak kosong . Maka F memuat suatu titik yang dapat meminimumkan

(atau memaksimumkan) f(x) pada himpunan F.

2.6 Metode Pengali Lagrange

Persamaan Lagrange dari persoalan nonlinear seperti yang telah dipaparkan pada

bagian 2.1 yaitu sebagai berikut:

dimana adalah tetapan-tetapan (yang tidak diketahui) yang disebut

pengali Lagrange. Kemudian kita pecahkan sistem n+m persamaan

(Bronson, 1996)

Universitas Sumatera Utara

2.7 Kondisi Karush-Kuhn Tucker

Tabel 1.1 Kondisi Perlu dan Cukup untuk Optimalitas

Persoalan Kondisi perlu untuk

optimalitas

Juga cukup jika

Satu variabel tidak

berkendala

f(x) konkaf

Banyak variabel tidak

berkendala

f(x) konkaf

Berkendala, hanya kendala

nonnegatif

(atau jika )

f(x) konkaf

Persoalan umum

berkendala

Kondisi Karush-Kuhn

Tucker

f(x) konkaf dan

konveks

(i=1,2,…,m)

Dari tabel di atas terlihat bahwa untuk kondisi persoalan umum disebut kondisi

Karush-Kuhn Tucker (Hillier dan Lieberman,2005). Kondisi perlu dan cukup untuk

sebagai solusi optimal untuk persoalan nonlinear berikut

(Wallace,2004) :

subject to:

Untuk menggunakan hasil, semua kendala persoalan nonlinear harus kendala

. Kendala dalam bentuk harus ditulis sebagai

. Kendala dalam bentuk harus diganti

dengan dan (Winston dan

Venkataramanan, 2003). Teorema di bawah ini memberikan kondisi Kuhn-Tucker

yang cukup bagi titik untuk memecahkan persoalan nonlinear di

atas.

Universitas Sumatera Utara

Teorema 2.6:

Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan maksimisasi. Jika

adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka

harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali

yang memenuhi

Teorema 2.7:

Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan minimisasi. Jika

adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka

harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali

yang memenuhi

Skalar disebut pengali Lagrange. Kondisi

disebut kondisi complementary slackness yang menyatakan dua kemungkinan yaitu:

1. Jika maka

Jika maka kendala

2.8 Pemrograman Kuadratis

Menurut Rao (1977), pemrograman kuadratis merupakan persoalan optimasi nonlinear

dimana fungsi tujuannya adalah fungsi minimisasi yang konveks dan semua

Universitas Sumatera Utara

kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linear. Bentuk umum persoalan

pemrograman kuadaratis adalah sebagai berikut:

Min.

s.t

dimana

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

d d d

d d d

d d d

A =

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

Pada fungsi tujuan di atas yaitu suku

menyatakan bagian kuadratis dari fungsi

tujuan dengan D adalah matriks definit positif simetri. Jika D=0 maka menjadi

persoalan linear. Karena D adalah matriks definit positif maka f(x) adalah fungsi

strictly convex.

Metode untuk menyelesaikan persoalan pemrograman kuadratis yaitu metode

Wolfe. Pertama, semua fungsi tujuan dan kendala harus ditambahkan variabel buatan

pada masing-masing kendala dengan kondisi Kuhn-Tucker dan variabel basis belum

jelas kemudian minimumkan jumlah variabel buatan. Metode wolfe merupakan versi

modifikasi dari fase I pada metode simplex dua fase. Untuk menjamin bahwa solusi

akhir (dengan variabel buatan sama dengan nol) memenuhi kondisi complementary

slackness, metode Wolfe memodifikasi pilihan variabel simplex yang masuk:

1. Tidak diperbolehkan dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai

variabel basis.

2. Tidak diperbolehkan variabel slack atau excess dari kendala ke-i dan

kedua-duanya sebagai variabel basis.

(Winston dan Venkataramanan, 2003)

Universitas Sumatera Utara

2.9 Metode Sequential Quadratic Programming

Menurut Bertsekas (2007), metode Sequential Quadratic Programming digunakan

untuk menyelesaikan persoalan nonlinear yang memiliki kendala dalam bentuk

persamaan dengan bentuk umum :

Min. f(x)

s.t. h(x)=0

Kondisi Karush-Kuhn Tucker (KKT) untuk persoalan ini yaitu sebagai berikut:

dimana adalah pengali Lagrange dengan kendala yang berbentuk persamaan.

Jika menggunakan persamaan Lagrange

Kondisi Kuhn-Tucker dapat dituliskan sebagai berikut:

Metode Sequential Quadratic Programming menyerupai metode Newton yang

digunakan untuk mencari penyelesaian pada optimisasi tidak berkendala.Metode ini

menyelesaikan persoalan nonlinear secara langsung daripada mengubah ke barisan

persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide utama dari SQP adalah memodelkan

persoalan kendala yang berbentuk persamaan pada titik awal kemudian mencari

pendekatan dengan subpersoalan pemrograman kuadratis berbentuk:

dimana

Metode Sequential Quadratic Programming atau yang juga dikenal sebagai

metode Lagrange-Newton karena metode SQP merupakan penggabungan dari kedua

metode tersebut. Algoritmanya secara umum adalah sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

8. Tentukan

9. Atur k=0

10. Ulang

11. Pecahkan sistem Langrange-Newton untuk menemukan

12.

13.

14. Sampai konvergen

Metode SQP merupakan aplikasi dari metode Newton dengan memenuhi kondisi

optimal KKT. Menurut Gockenbach (2003), metode SQP memecahkan persoalan

nonlinear secara langsung tanpa mengubah ke barisan persoalan minimisasi yang tidak

berkendala. Ide dasar analog dengan metode Newton untuk persoalan minimisasi yang

tidak berkendala. Metode SQP dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan

aplikasi yang kompleksitasnya tinggi (Schittkowski dan Yuan, 2010)

Universitas Sumatera Utara