BAB 2MA2151 SIMULASI & KOMPUTASI MATEMATIKA

Sistem Dinamik

Sistem dinamik, yang berubah seiring waktu, biasanya sangat kompleks, memilikibanyak komponen, dan melibatkan relasi antar komponen.

Dengan menggunakan alat sistem dinamik, kita dapat melakukan pemodelan untuksistem kompleks.

Langkah 2 (formulasi model) dapat dilakukan dengan membuat diagram yang akanmembantu untuk menyederhanakan asumsi, variabel dan satuan; membuat relasiantar variable dan submodel, serta mencatat persamaan dan fungsi.

Langkah 3 (menentukan solusi) dapat dilakukan dengan membangun tabel dangrafik.

Langkah 4 (verifikasi dan interpretasi solusi) dilakukan dengan menganalisa tabeldan grafik. Kadangkala langkah ini mengarah pada perubahan / revisi model, baikpenyederhanaan ataupun perbaikan.

Laju Perubahan

Misalkan 𝑠(𝑡) adalah posisi suatu obyek pada saat 𝑡, dengan 𝑎 ≤ 𝑡 ≤𝑏. Maka perubahan waktu, 𝚫𝒕, adalah 𝚫𝒕 = 𝒃 – 𝒂; dan perubahanposisi, 𝚫𝒔, adalah 𝚫𝒔 = 𝒔(𝒃) – 𝒔(𝒂).

Kecepatan rata-rata, atau rata-rata perubahan dari 𝒔 terhadap

𝒕, dari saat 𝑎 = 𝑏 – Δ𝑡 ke saat 𝑏 adalah

Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat, atau laju perubahan sesaat dari 𝒔 terhadap 𝒕, pada

saat 𝑡 = 𝑏 adalah 𝑠 𝑏 −𝑠(𝑏−∆𝑡)

∆𝑡, pada saat Δ𝑡 mendekati 0.

Ini merupakan turunan dari 𝒚 = 𝒔(𝒕) terhadap 𝒕 pada 𝑡 = 𝑏, dinotasikan sebagai 𝒔ʹ(𝒃)

atau ቚ𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑡=𝑏.

Persamaan Diferensial: Populasi

Model Malthus untuk pertumbuhan populasi yang tak terbatas:

rate of change sebanding dengan banyaknya individu di dalam populasi.

𝑑𝑃

𝑑𝑡~𝑃,

dengan 𝑃 banyaknya individu dalam populasi dan t waktu.

Ini dapat dituliskan menjadi𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑟𝑃,

dengan 𝑟 laju pertumbuhan.

Persamaan Beda

Misalkan population(t) adalah populasi pada waktu t.

Maka

population(t) = population(t – Δt) + (growth) * Δt

Persamaan Beda Hingga

Persamaan beda hingga memiliki bentuk:(𝑛𝑒𝑤 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒) = (𝑜𝑙𝑑 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒) + (𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒)

Persamaan ini merupakan aproksimasi diskrit dari persamaandiferensial.

Simulasi untuk Model Malthus

Simulasi untuk Model Malthus (2)

Pertumbuhan Terbatas

Populasi, secara teori, memiliki potensi untuk mengalami pertumbuhansecara eskponensial. Populasi biasanya bertambah secara cepat padaawalnya, namun pada saatnya akan mengalami reaksi dari lingkungan: persaingan, pemangsa, sumber makanan yang terbatas, dan penyakit.

Lingkungan cenderung untuk membatasi pertumbuhan populasi, sehingga populasi hanya dapat bertumbuh sampai ambang batastertentu dan kemudian tidak akan bertambah atau berkurang secaradrastis tanpa ada perubahan dalam lingkungan.

Kapasitas Lingkungan

Ukuran populasi maksimum yang dapat didukung oleh lingkungandisebut kapasitas lingkungan (carrying capacity).

Dalam pertumbuhan tak terbatas, diperoleh model:𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑟𝑃

Dengan solusi analitik 𝑃 = 𝑃0𝑒𝑟𝑡, di mana 𝑃0 adalah populasi awal.

Quick Review Question 1

Cycling back to Step 2 of the modeling process, this question begins refinement of the population model.

a. Determine any additional variable and its units.

b. Consider the relationship between the number of individuals (𝑃) and carrying capacity (𝑀) as time (𝑡) increases. List all the statements below that apply to the situation where the population is much smaller than the carrying capacity.

A. 𝑃 appears to grow almost proportionally to 𝑡.B. 𝑃 appears to grow almost without bound.C. 𝑃 appears to grow faster and faster.D. 𝑃 appears to grow more and more slowly.E. 𝑃 appears to decline faster and faster.

Quick Review Question 1 (2)

F. 𝑃 appears to decline more and more slowly.

G. 𝑃 appears to grow almost linearly with slope 𝑀.

H. 𝑃 is appears to be approaching 𝑀 asymptotically.

I. 𝑃 appears to grow exponentially.

J. 𝑑𝑃/𝑑𝑡 appears to be almost proportional to 𝑃.

K. 𝑑𝑃/𝑑𝑡 appears to be almost zero.

L. The birth rate is about the same as the death rate.

M. The birth rate is much greater than the death rate.

N. The birth rate is much less than the death rate.

Quick Review Question 1 (3)

c. List all the choices from Part b that apply to the situation where the population is close to but less than the carrying capacity.

d. List all the choices from Part b that apply to the situation where the population is close to but greater than the carrying capacity.

Model Baru

Dalam model baru, untuk populasi awal yang jauh lebih kecil dari kapasitas lingkungan, populasi akan bertambah serupa dengan model tak terbatas.

Namun, seiring dengan mendekatnya ukuran populasi dengan kapasitas lingkungan, pertumbuhan akan semakin berkurang.

Dekat dengan kapasitas lingkungan, banyaknya kematian harus serupa dengan banyaknyakelahiran, agar populasi cenderung konstan.

Untuk memperoleh pertumbuhan yang diperlambat, kita dapat mengukur banyaknyakematian sebagai hasil kali dengan banyaknya kelahiran yang dimodelkan sebagai 𝑟𝑃.Ketika populasi sangat kecil, hasil kali tersebut tersebut harusnya mendekati nol, karenahanya sedikit individu yang mati. Ketika populasi dekat dengan kapasitas lingkungan, hasilkali tersebut haruslah mendekati satu.

Jika 𝐷 menyatakan banyaknya kematian dan 𝑀 menyatakan kapasitas lingkungan, makakita dapat memodelkan laju perubahan kematian sebagai:

𝑑𝐷

𝑑𝑡=

𝑟𝑃

𝑀𝑃

Model Baru (2)

Akibatnya, atau

Dalam simulasi diskrit, jika 𝑃(𝑡) adalah estimasi populasi pada saat 𝑡, maka banyaknya kematian dari saat 𝑡 − 1 ke saat 𝑡 adalah

Secara umum, banyaknya kematian dari saat 𝑡 − ∆𝑡 ke saat 𝑡 adalah

Model Baru (3)

Dengan demikian, perubahan populasi dari saat 𝑡 − ∆𝑡 ke saat 𝑡 adalah

atau

Model persamaan diferensial dan persamaan beda yang diperolehdisebut persamaan logistik.

Contoh Persamaan Logistik

Ekuilibrium dan Stabilitas

Solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial adalah solusi yang turunannya selalu 0. Solusi ekuilibrium untuk persamaan beda adalah solusi yang bedanya selalu0.

Misalkan 𝑞 adalah solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial 𝑑𝑃/𝑑𝑡atau persamaan beda Δ𝑃. Solusi q dikatakan stabil jika terdapat selang (𝑎, 𝑏)yang memuat 𝑞, sehingga jika populasi awal 𝑃(0) termuat dalam selangtersebut, maka1. 𝑃(𝑡) hingga untuk semua 𝑡 > 0;2. Seiiring pertambahan 𝑡, 𝑃(𝑡) menghampiri 𝑞.Solusi 𝑞 dikatakan tidak stabil jika tidak ada selang yang demikian.

Contoh

1. Exercise 2

Consider dy/dt = cos(t).

a. Give all the equilibrium solutions.

b. Using calculus, find a function y(t) that is a solution.

c. Give the most general function y that is a solution.

2. Exercise 3

It has been reported that a mallard must eat 3.2 ounces (oz) of rice each day to remain healthy. On the average, an acre of rice in a certain area yields 110 bushels (bu) per year; and a bushel of rice weighs 45 lb. Assuming that in the area 100 acres (ac) of rice are available for mallard consumption and mallards eat only rice, determine the carrying capacity for mallards in the area (Reinecke).

Contoh (2)Exercise 5

a. Graph 𝑦 = 𝑒−𝑡.

b. Match each of the following scenarios to a differential equation that might model it.

A. 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 0.05 𝑃 a. At first, a bacteria colony appears to grow without bound; but

because of limited nutrients and space, the population eventually approaches a limit.

B. 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 0.05 𝑃 + 𝑒−𝑡 b. Because of degradation of nutrients, the growth of a bacterial

colony becomes dampened.

C. 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 0.05 (1 − 𝑒−𝑡)𝑃 c. A bacterial colony has unlimited nutrients and space and grows

without bound.

D. 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 0.05 𝑒−𝑡𝑃 d. Because of adjustment to its new setting, a bacterial colony

grows slowly at first before appearing to grow without bound.

E. 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 0.05 𝑃 − 0.0003𝑃2 e. Each day, a scientist removes a constant amount from the colony.

F. 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 0.05 𝑃 − 0.0003𝑃2 − 400

Dosis Obat

Kesalahan dalam pemberian obat seringkali terjadi. Sebagian besar tidak berakibatfatal, namun beberapa berakibat sangat fatal.

Beberapa contoh kasus:

• Apotik di Florida memberikan 10 kali lipat dosis seharusnya dari pengencer darahpada seorang ibu, yang mengakibatkan pendarahan otak (Patel dan Ross 2010).

• Seorang bayi berusia 10 bulan meninggal akibat menerima 10 kali lipat overdosisdari Cisplatin (agen kemoterapi) (Fitzgerald and Wilson 1998)

• Heath Ledger meninggal karena mengalami overdosis peresapan kombinasiXycodone, Hydrocodone, Diazepam, Temazepam, Alprazolam, dan Doxylamine. (CNN 2008)

• Dua pasien di Rumah Sakit Siloam Karawaci, Tangerang meninggal karenatertukarnya isi obat anestesi Buvanest Spinal dengan asam Traneksamat. (Kompas2015)

Klasifikasi Kesalahan Pengobatan

Kesalahan pengobatan dapat diklasifikasikan ke dalam kesalahan dalam hal:

ordering— kesalahan penentuan obat atau dosis;

transcribing— kesalahan dalam frekuensi atau terlewatnya pemberian obat;

dispensing— kesalahan pemberian obat, dosis, or waktu;

administering— kesalahan teknik pemberian obat;

monitoring— tidak mengobservasi akibat pemakaian obat.

Hal ini dapat terjadi karena komunikasi yang buruk, pelabelan yang buruk, dll

(Institute of Medicine 2007)

Dosis Efektif

Terdapat dosis yang diresepkan untuk berbagai obat, namunbagaimana kita dapat menentukan manakah dosis yang benar/efektif?

Ada beberapa hal yang perlu dipertimbangkan, termasuk penyerapan, distribusi, metabolisme, dan eliminasi obat. Hal tersebut merupakankomponen dari sains kuantitatif dalam farmakokinetik.

Model 1-Kotak

Model 1-kotak adalah representasi sederhana dari bagaimana tubuhmanusia memproses obat.

Dalam model ini, tubuh dianggap sebagai suatu kotak yang homogen, di mana:

• distribusi obat berlangsung seketika,

• konsentrasi obat (banyak obat/volume darah) dalam tubuhsebanding dengan dosis obat, dan

• laju eliminasi sebanding dengan banyaknya obat dalam tubuh.

Model 1-Kotak (2)

Definisi dan notasi:

konsentrasi efektif minimum (MEC): konsentrasi obat terkecil yang masih dapat menolong

konsentrasi terapis maksimum / konsentrasi racun minimum (MTC): konsentrasi obatterbesar yang masih dapat menolong tanpa mengalami efek samping yang berbahaya

selang terapi dari suatu obat: selang konsentrasi di antara MEC dan MTC

waktu paruh (𝑡1/2) dari suatu obat: waktu yang dibutuhkan agar setengah obat tereliminasidari tubuh.

Asumsi:

Banyaknya darah dalam tubuh orang dewasa sekitar 5 liter, sementara banyaknya plasma (cairan yang memuat sel darah) sekitar 3 liter.

Serum darah adalah cairan bening yang terpisah dari darah pada saat darah menggumpaldan orang dewasa memiliki sekitar 3 liter serum.

Contoh Kasus: Aspirin (Acetylsalicylic Acid)

Untuk orang dewasa dan anak di atas 12 tahun, dosis untuk mengobatisakit kepala adalah 1 atau 2 tablet dengan berat 325mg setiap 4 jam, maksimum 12 tablet per hari.

Penghilang rasa sakit akan efektif pada level 150 sampai 300 mikrograms/milliliter (μg/mL), sementara keracunan dapat terjadi padakonsentrasi plasma 350 μg/mL.

Waktu paruh dari dosis 300 sampai 650 mg adalah 3.1 sampai 3.2 jam, dengan dosis yang lebih banyak memiliki waktu paruh yang lebih lama.

Variabel dalam Model

𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛_𝑖𝑛_𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎: massa aspirin dalam kotak, dengan nilai awal massadari 2 aspirin = (2)(325 mg)(1000 μg/mg).𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎_𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛: konsentrasi aspirin dalam plasma, dihitung denganmenggunakan volume plasma dalam tubuh (𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎_𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒) - 3000 mL.

Laju eliminasi dari 𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛_𝑖𝑛_𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎 sebanding dengan𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛_𝑖𝑛_𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎.

Jika 𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛_𝑖𝑛_𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎 dinotasikan dengan Q, maka𝑑𝑄

𝑑𝑡= −𝐾𝑄.

Solusi persamaan diferensial ini adalah 𝑄 = 𝑄0𝑒−𝐾𝑡, dengan 𝐾 =

ln 2

𝑡1/2.

Persamaan Beda

ℎ𝑎𝑙𝑓_𝑙𝑖𝑓𝑒 = 3.2 ℎ𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎_𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 3000 𝑚𝐿𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛_𝑖𝑛_𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎(0) = 2 ∗ 325 ∗ 1000 𝜇𝑔𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛_𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = – ln(0.5)/ℎ𝑎𝑙𝑓_𝑙𝑖𝑓𝑒

𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛= 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛_𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 ∗ 𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛_𝑖𝑛_𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎

𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛_𝑖𝑛_𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎 =𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛_𝑖𝑛_𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎 − 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ∗ Δ𝑡𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎_𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛= 𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛_𝑖𝑛_𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎/𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎_𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

Hasil Simulasi

Model 1-Kotak dengan Dosis Berulang: DilantinDilantin merupakan obat untuk epilepsi yang dipakai oleh pasien secararegular.Dosis orang dewasa adalah 3 x 1 kapsul 100-mg. Level efektif dalam serum darah adalah 10 sampai 20 μg/mL, yang membutuhkan 7 sampai 10 hari. Walaupun setiap orang memiliki reaksiberbeda, namun efek samping serius dapat terjadi pada saat level serum adalah 20 μg/mL.Half-life dari Dilantin berkisar dari 7 sampai 42 jam, tetapi secara rata-rata 22 jam.

Variabel

Sebagai penyederhanaan, diasumsikan model 1-kotak dengan penyerapaninstan.

𝑑𝑟𝑢𝑔_𝑖𝑛_𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚: massa Dilantin dalam kotak.Laju eliminasi 𝑑𝑟𝑢𝑔_𝑖𝑛_𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 sebanding dengan 𝑑𝑟𝑢𝑔_𝑖𝑛_𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚.

𝑖𝑛𝑔𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛: tambahan massa Dilantin pada 𝑑𝑟𝑢𝑔_𝑖𝑛_𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚.𝑑𝑜𝑠𝑎𝑔𝑒: dosis𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡: waktu pemberian dosis awal𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙: selang waktu antar dosis. 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛_𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛: konstanta yang menyatakan bagian dari Dilantin yang diserap tubuh.𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛: konsentrasi obat dalam tubuh. 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒: volume serum darah, biasanya bernilai 3000 mL.

Persamaan Beda

ℎ𝑎𝑙𝑓_𝑙𝑖𝑓𝑒 = 22 𝑗𝑎𝑚𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡 = 0 𝑗𝑎𝑚𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 = 8 𝑗𝑎𝑚𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 3000 𝑚𝐿𝑀𝐸𝐶 = 10 𝜇𝑔/𝑚𝐿; 𝑀𝑇𝐶= 20 𝜇𝑔/𝑚𝐿𝑑𝑜𝑠𝑎𝑔𝑒 = 100 ∗ 1000 𝜇𝑔𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛_𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 = 0.12𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛_𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡= ln(2)/ℎ𝑎𝑙𝑓_𝑙𝑖𝑓𝑒𝑑𝑟𝑢𝑔_𝑖𝑛_𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚(0) = 0

= 𝑑𝑟𝑢𝑔_𝑖𝑛_𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 + 𝑖𝑛𝑔𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛 - 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑑𝑟𝑢𝑔_𝑖𝑛_𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚/𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

Hasil Simulasi

Model 2-Kotak

Model 1-kotak lebih cocok untuk penyuntikan obat dibandingkan penggunaantablet yang membutuhkan waktu untuk melarut, diserap dan didistribusikan di dalam tubuh.Dalam kasus ini, model 2-kotak dapat memberikan hasil yang lebih baik. Kotak pertama dapat merepresentasikan sistem pencernaan, sementara kotak keduamengindikasikan darah, plasma, serum, atau organ tubuh tertentu yang merupakan target dari obat. Dalam model ini, obat akan dialirkan dari kotaksatu ke yang lain. Laju perubahan absorpsi dari usus ke serum darah sebanding dengan banyaknyaobat dalam usus. Atau, secara lebih akurat, Laju perubahan absorpsi dari ususke serum darah sebanding dengan volume usus dan selisih konsentrasi obat di usus dan serum.Walaupun model 1 atau 2-kotak sudah memadai untuk beberapa kasus,kadangkala model multi-kotak juga diperlukan.

Quick Review Question 7

This question applies to the rate of change of absorption of a drug from the intestines to blood serum in a two-compartment model.

Suppose 𝑘 is a constant of proportionality,

𝑖 and 𝑏 are the masses of the drug in the intestines and blood serum, respectively,

𝑣𝑖 and 𝑣𝑏 are the volumes of the intestines and blood serum, respectively,

𝑐𝑖 and 𝑐𝑏 are the drug concentrations in the intestines and blood serum, respectively,

t is time in hours.

a. Give the differential equation for this rate if the rate of absorption is proportional to the mass of drug in the intestines.

b. In this case, give the units of k.

c. Give the differential equation for this rate if the rate of absorption is proportional to the volume of the intestines and to the difference of the drug concentrations in the intestines and blood serum.

d. In this case, give the units of k.