Dasar utama dari persoalan ini adalah teori permutasi dan kombinasi. Jadi kata-kata seleksi, pola pengaturan, permutasi serta kombinasi sering sekali digunakan. Matematika Diskrit - heri sutarno 11.1 Dua Prinsip Dasar PerhitunganPrinsip penjumlahanJika sebuah himpunan objek-objek S dipartisi menjadi himpunan bagian S1, S2, ..., Sm,makabanyaknyaobjekdiSakansama dengan jumlah banyaknya objek di S1, S2, ..., Sm.Contoh: Siswa diminta mengambil salah satu kursus matematika atau biologi, tetapi tidak mengambilkeduanya.Jikaada4macamkursusmatematikadan 3 macam kursus biologi untuk dipilih siswa, maka siswa dapat memilihsebanyak 4 + 3 = 7 macam pilihan.Matematika Diskrit - heri sutarno 2Prinsip perkalianJika himpunan A terdiri atas p objek dan himpunan B terdiri atas q objek, makabanyaknyapasanganterurut(a,b)denganaanggotahimpunan A dan b anggota himpunan B adalahp x q buah.Contoh:Sekelompok mahasiswa terdiri atas 5 orang pria dan 4 orang wanita. Jika dua orang wakil harus dipilih, masing-masing 1 pria dan 1 wanita, maka jumlah kemungkinan wakil yang dapat dipilih adalah 5 x 4 = 20 cara.Matematika Diskrit - heri sutarno 3Multi-himpunan M = { a, a, a, b, c, c, d, d, d, d } mempunyai 10 unsur, yaitu 3 buah a, sebuahb,2 buah c,dan4 buah d.Multi-himpunanMtersebutbiasajugaditulisM = { 3.a, 1.b, 2.c, 4.d }. Bilangan 3, 1, 2, dan 4 merupakan bilangan pengulangan pada multi-himpunan M. Matematika Diskrit - heri sutarno 4PermutasiMenghitung atau menyeleksi objek-objek terurut. Dalam hal ini urutan sangat diperhatikan dan dianggap penting.KombinasiMenghitung atau menyeleksi objek-objek tak terurut. Matematika Diskrit - heri sutarno 5Contoh Misalkan kita akan menghitung banyaknya bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 yang semua angkanya berbeda. Bilangan antara 1000 dan 9999 merupakan susunan terurut dari 4 angka. Berdasarkanprinsipperkalian, diperoleh 5 x 8 x 8 x 7 = 2240.Jadi, banyaknya bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 adalah 2240.Matematika Diskrit - heri sutarno 61.2Permutasi pada Himpunan Matematika Diskrit - heri sutarno 7) r n )...( n )( n ( n)! r n (! n) r , n ( P 1 2 1 + Contoh Banyaknyakatayangterdiriatas4huruf berbeda yang dibentuk oleh huruf-hurufa, b, c, d, daneadalah. 120)! 4 5 (! 5) 4 , 5 ( P 1.3Kombinasi pada Himpunan Untuksetiap bilangan bulat r dan n yang memenuhi r n maka Contoh Misalkan diberikan 25 titik yang terletak pada sebuah bidang datar dan tidak ada 3 titik yang terletak pada 1 garis lurus (kolinier). Berapa banyak garis lurus berbeda yang dapat dibuat melalui titik-titik tersebut? Matematika Diskrit - heri sutarno 8.)! ( !!). , ( ! ) , (r n rnrnr n C r r n P

,`

.| r) C(n, Akibatnya,1.4Permutasi dan Kombinasi Multi-himpunan Teorema MisalkanSsuatu multi-himpunandengankjenisobjekberbeda.Jikamasing-masing jenis objekmemiliki bilangan pengulangann1, n2,,nk, dengann = n1 + n2 + +nk jumlah semua unsur di S,maka banyaknya permutasi di S adalahP(n; n1, n2, , nk) = Matematika Diskrit - heri sutarno 9! !... !!2 1 kn n nnContoh Permutasihuruf-hurufpadakataMISSISSIPPImerupakan permutasi multi-himpunan. Banyaknya permutasi adalah karenaada 11 hurufyangterdiridari 1huruf M,4hurufS,4hurufI, dan 2 huruf P.Matematika Diskrit - heri sutarno 10! 2 ! 4 ! 4 ! 1! 111.5Koefisien BinomialTeorema(Rumus Pascal)Untuk setiap bilangan bulat n dan k dengan 1 k n-1, akan memenuhiMatematika Diskrit - heri sutarno 11

,`

.|+

,`

.|

,`

.|11 1knknknTeoremaBinomialMisalkan n suatu bilangan bulatpositif. Untuk setiap x dan y berlakuMatematika Diskrit - heri sutarno 12

,`

.|+

,`

.|++

,`

.|+

,`

.|+ +nkk n kn nn n n ny xknx y xnny xnx yny y x012 2 1 1. . . 2 1) (Teorema binomial dapat ditulis dengan beberapa bentuk ekivalen berikut.(a) (b) (c) Matematika Diskrit - heri sutarno 13

,`

.| +n0 kk n k ny xk n n) y x (

,`

.| +n0 kk k n ny xkn) y x (

,`

.| +n0 kk k n ny xk n n) y x (Teorema MultinomialMisalkannsuatubilanganbulatpositif.Untuksetiapbilangan real x1, x2, ,xt, akan berlakudimanatanda penjumlahan di atas berlaku untuksetiap nilai bilanganbulat tak negatif n1, n2, , ntdengann1 +n2 + +nt= n.Matematika Diskrit - heri sutarno 14

,`

.| + + +t 2 1ntn2n1t 2 1nt 2 1x ... x x...n n nn) x ... x x (Contoh Koefisien pada bentuk adalah Matematika Diskrit - heri sutarno 15. 36000 ) 5 )( 3 )( 2 (2 1 362 3

,`

.|23 231x x x63 2 1) 5 3 2 ( x x x + Prinsip Inklusi dan Eksklusi Teorema Jumlah unsur di S yangmemenuhi paling sedikit satu sifat diantara sifat-1, sifat-2, ..., sifat-m adalah Matematika Diskrit - heri sutarno 16 + k j i j i i m 2 1A A A A A A A .. . A AmmA A A + +... ) 1 ( ...2 11Contoh Misalkan kita akan mencari banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai dengan 1000, yang tidak dapat dibagi 5, 6, atau 8. MisalkanA5himpunan bilangan yang dapat dibagi 5,A6himpunan bilanganyang dapat dibagi 6, dan A8 himpunan bilangan yang dapat dibagi 8. Matematika Diskrit - heri sutarno 17 Diperoleh:Jadi, banyaknya bilangan dari 1 sampai dengan1000 yang tidak dapat dibagi 5, 6, dan 8 adalahMatematika Diskrit - heri sutarno 1812581000A 16661000A 200510008 6 5]]]

]]]

]]]

, , A41241000A 25401000A 333010008 6 8 5 6 5]]]

]]]

]]]

A , A , A A. A A A 812010008 6 5]]]

. ) ( ) ( A A A 600 8 41 25 33 125 166 200 10008 6 5 + + + + +