1

NAMA : ASMANTO PURBA

NIM : 8146172009

KELAS : B-3

Tugas Pemodelan Matematikann

1. Seloyang adonan \kue bika ambon zulaika

dengan suhu awal 300 C dimasukkan

kedalam oven yang suhunya dijaga

konstan 1400C. selanjutnya setelah 5 menit

kemudian suhu adonan menjadi 30 0C.

berapa lamakah kemudian suhu adonan

menjadi 1000 C?

Penyelesaian :

Dik : T(0) = 300 C

ε = 1400 C

T(5) = 370 C

Dit : T(t) = 100 ; t = ........?

dTdt

=k (T− ε

=k (T−140 )

dtT−140

=k∫ dt

ln (T−140 )=kt+c1

ln (T−140 )=ln ekt+c 1

ln (T−140 )=ln ekt . ec1→ec1 =cln (T−140 )=ln c . ekt

(T−140 )=c . ekt .. .. . .. .** )

PRODI : DIKMAT

MT : PEMOELAN MATEMATIKA

T(0) = 300 C, masukkan ke .......**)

t=0 , T(30−140 )=c . ek (0)

−110=cc=−110

(T−140 )=−110 ekt

T=140−110ekt . .. . .. .. ***)

T(5) = 370C, masukkan ke ......***)

37=140−110 ek (5 )

37=140−110 e5 k

110 . e5 k=140−37110. e5 k=103

e5 k =103110

ln e5 k= ln103110

5 k=0 ,935 k=−0 ,06613

k=−0 ,066135

k = -0,013226 masukkan ke .......***)

2

T=140−110. e−0,013226 . t

100=140−110. e−0 , 013226 . t

100−140=−110. e−0 , 013226 . t

−40=−110. e−0 ,013226. t

e−0 ,013226 . t=40110

ln . e−0 ,013226 t=ln 40100

−0 ,013226 t=−1 ,0117

t =1,01170 ,013226

t =76 ,5menit

Jadi, suhu adonan mencapai 1000 C

membutuhkan waktu 1 jam 16 menit 30 detik.

2. Sebuah bola tembaga dengan suhu awal

1450 C dimasukkan kedalam sebuah

ruangan yang suhunya dijaga konstan

220C. kemudian setelah 5 menit turun

menjadi1380C. berapa lamakah suhu bola

tembaga mencapai 300C?

Penyelesaian :

Dik : T(0) = 1450 C

ε = 220 C

T(5) = 370 C

Dit : T(t) = 30 ; t = ........?

dTdt

=k (T− ε

dTT−∈=k dt

dTT−22

=k∫ dt

ln (T−22)=kt+c1

ln (T−22) =ln ekt+c1

ln (T−22) = ln ekt . ec1→e

c1 =cln (T−22) = ln c . ekt

(T−22)=c .ekt . .. .. . .. .** )

T (0) = 1450 C, masukkan ke......**)

t=0 , T(145−22 )=c . ek (0)

123 =cc =123

(T−22) =123 . ekt

T =22+123 .ekt .. .. . .. ***)T (5 ) = 1380 C , masukkan ke . .. . .. .*** )138 =22+123. ek (5)

138 =22+123. e5 k

123. e5 k =22−138123. e5 k =−116

3

e5 k =−116123

ln e5 k =ln−116123

5 k =ln−0 , 943085 k =−0 , 05860

k =−0 ,058505

k =−0 ,01172 masukkan ke . .. .. . .. ***)T =22+123 . e−0 , 01172t

30 =22+123 . e−0 ,01172 t

30−22 =123. e−0 , 01172t

8 =123 . e−0 , 01172t

e−0 ,01172t=8123

ln e−0 ,01172 t=ln8123

−0 , 01172 t = ln 0 ,06504−0 , 01172 t=−27327

t=−2 ,7327−0 , 01172

t=233 ,165

Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk

suhu bola tembaga mencapai 300 C adalah 3

jam 53 menit 16 detik.

3. Pada tanggal 19 Februari 2015

direncanakan BEM SU akan melakukan

aksi damai dilapangan merdeka Medan.

Massa diperkirakan sebanyak 10.000

orang. Untuk saat ini mahasiswa yang

mengetahui sebanyak 50 orang. Setelah

pengumuman media social diumumkan 5

menit yang lalu. Berapa banyak mahasiswa

yang mengetahui informasi setelah 14

menit?

Penyelesaian :

Dik : P(0) = 1 orang

P(5) = 50 orang

N = 10.000 orang

Dit : P(14) = ........?

dPdt

=k ( N−P )P

dPdt

=k (10 .000−P) P

∫ dP(10. 000−P) P

=k∫ dt

1(10. 000−P) P

=A(10.000−P)

+BP

1≡AP+B(10 . 000−P )(10 . 000−P )P1≡AP+10 .000 B−BP1≡( A−B )P+10.000 B

10 .000 B=1→B=110 .000

A−B=0→A=B

A=110 .000

∫ dp(10. 000−P) P

=k∫ dt

4

5

∫110 . 00010 . 000−P

+

110 . 000P dp=k∫ dt

110 . 000 ∫ dp

10 . 000−P+dp

P =kt+c1

110 . 000 − ln (10. 000−P )+ln P =kt+c1

110 . 000 ln|

P10 . 000−P |=kt +c1

ln|P10. 000−P

|=10. 000 kt +c2→10 . 000 kt+10 .000 c1

ln|P10. 000−P

|= ln e10.000 kt+c2

ln|P10. 000−P

|= ln e10. 000kt . eC2→e

C2 =C

ln|P10. 000−P

|= ln c . e10 .000 kt

P10 . 000−P .

=c e10 .000 t .. . .. .. . **)

P( 0)=1→masukkan ke .. .. . .. .** )110 . 000−1

=c . e10 .000( 0)

19999

=c

c=1999

masukkan ke . .. .. . .. .. ** )

P10 . 000−P

=19999

e10 .000(5 )k

509950

=1999

e50 .000 k

509950

×9999=e50 .000 k

4999995

=e50 .000 k

ln 4999995

=ln e50. 000k

ln(50 ,24623 )=50 . 000 k3 , 91693 =50 . 000 k

k=0 , 0000783P10 . 000−P

=19999

e10 .000(0 , 0000783) t

P10 . 000−P

=19999

e0 , 783t . .. .. . ****)

P (14) masukkan ke ..........****)

P10 . 000−P

=19999

e0,783 (14 )

P10 . 000−P

=19999

e10 ,962→e=2,7183

P10 . 000−P

=19999

(57641 , 61)

P10 . 000−P

=5 ,76473

P=5 , 76473P=5 , 76473(10 .000−P)P=5 , 76473−5 ,76473

6 , 76473 P=57647 ,3P=8521 , 7P=8522

Jadi, banyak mahasiswa yang mengetahui

informasi setelah 14 menit sebanyak 8522

orang.

4. Jumlah penduduk kecamatan Siantar

Timur 10.000 orang mengalami wabah flu

hongkong. Survey awal menunjukkan hari

pertama terdapat 14 orang. Setelah satu

minggu kemudian survey kedua

menunjukkan 30 orang. Berapa orang yang

terkena wabah setelah 2 minggu?

Dik : N = 10.000 orang

P(0) = 14 P(7) = 30 orang Dit : (14)....?Jawab:

6

dpdt

=k ( N−p ) p . ..∗¿ ¿ dpdt

=k (10 .000−p) p

∫ dp(10. 000−p ) p

=k∫ dt

1(10. 000− p) p

=A(10.000− p)

+Bp

1≃Ap+B(10 .000−p )1≃Ap+10 .000 B−Bp1≃( A−B ) p+10.000 BA−B=0 . .. . .. .. . .. ..(1 )10 .000 B=1. . .. .. . ..(2 )

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

A−B=0A=B

A=110 .000

10 .000 B=1

B=110.000

∫dp(10.000−p )p

=¿∫110 .000(10. 000−p )

dp+∫ dpp

110 .000p

dp=k∫dt ¿=110 .000 ∫dp

(10 .000− p )+dp

p =kt +C 1 ¿=110 .000

− ln (10.000−p )+ ln p =kt+C 1 ¿ ¿ ¿

∫ ¿¿ ¿¿

= 110 . 000

|ln 110 . 000−p

|=kt +C

ln p(10 . 000− p )

=10 . 000 kt +10. 000 C

ln|p(10. 000−p )

|=10 .000 kt+C

ln|p(10. 000−p )

|=ln e10 .000 kt+c2

ln|p(10. 000−p )

|=ln e10 .000 kt ec2

ln|p(10. 000−p )

|=ln Ce10 .000 kt

p10 . 000− p

=c . e10 .000 kt .. . .. .. . .. .. . .. .. . .**

Untuk t = 0 p = 1414(10 .000−14 )

=c . e 10 .000k (0)

c=149986

Masukkan ke persamaan **Sehingga14(10 .000−p )

=149986

e10. 000 kt .. .. . .. .. ***

Untuk t=7 p=30

3010 .000−30

=149986

e10 .000k (7)

309970

=149986

e70 .000k

30×99869970×14

=e70 .000 k

299580139580

=e70.000 k

ln 2 , 1429=e70 .000k

70 .000 k=0 , 76374

7

p10 .000−p

=149986

e10 .000(0 , 0000109)t

p10 . 000−p

=149986

e0 ,1091 t

….. ****)Untuk t = 14

p10 . 000−p

=149986

e0 ,,1091(14 )

p10 . 000− p

=149986

e1, 3274

p10 . 000−p

=149986

( 4 , 60623 )

p10 . 000−p

=0 , 006457

p=0 ,006457 (10. 000−p )p=65 , 47−0 ,006457 p1 ,006457 p=64 ,57p=64 , 1557p=64Jadi banyak warga yang terkena wabah 64 orang

5. Pada tahun 1950, ahli kimia Willar Lubby

mengemukakan sebuah metode untuk

menentukan usia fosil. Teorinya

didasarkan pada bahwa factor karbon

isotof 14 yang dihasilkan diatmosfer oleh

adanya aksi radiasi kosmik pada Nitrogen.

Rasio antar banyaknya kandungan C 14

terhadap karbon biasa yang ada diatmosfer

bersifat konstan; berarti bahwa banyaknya

isotof yang ada dalam sebuah organism

yang hidup sebanding dengan isotof yang

ada diatmosfer. Memungkinkan untuk

memperoleh perkiraan yang rasional

tentang usianya. Metode ini didasarkan

pada prinsip bahwa waktu pada paroh

radioaktif C 14 adalah mendekati 5600

tahun. Pada saat ditemukan fosil, bahwa

kadar radioaktif C 14 sekitar 30% dari

keadaan semula. Berapakah usia fosil

tersebut?

Penyelesaian :

Diketahui : T 1

2

=5600 tahun

P( t )=30 %

Ditanya : t = . . . tahun?

Jawab :

k=0 , 76374

k=0 , 7637470 .000

k=0 , 0000109

p10 .000−p

=149986

e10 .000 kt

8

dpdt

=k⋅P

dpP

=kdt

∫ dpP

=k∫ dt

In P=k⋅t+CP=ek⋅t

P=ek⋅t+ec

P=ek⋅t⋅CP=C⋅ek⋅t

P=C⋅ek⋅t →C=P0

P( t )=P0⋅ek⋅t

P12

=ek⋅t

12

=ek⋅t

ln12= ln ek⋅t

−0 ,6931=k⋅tk . t=−0 ,69315600 k=−0 , 6931

k=−0 ,69315600

k=−0 ,00012375k=−1 ,2375×10−4

→ P(t )=P0⋅ek⋅t

0,3 P0=P0⋅e−1 ,2375×10−4 (t )

0,3=e−1 ,2375×10−4( t )

ln 0,3= ln e−1 ,2375×10−4(t )

−1 , 2375×10−4 (t )=ln 0,3−1 , 2375×10−4 (t )=−1 ,20397

t=−120397−1 , 2375×10−4

t=9729 ,05

Maka, usia fosil adalah 9729,05 tahun

6. Laju perubahan jumlah populasi terhadap

waktu berbanding lurus dengan jumlah

populasi pada saat tersebut. Bila pada saat

awal diadakan pencacahan jumlah populasi

sebanyak 75 juta jiwa dan setelah 10 tahun

jumlah populasi menjadi 680 juta jiwa.

Tentukan waktu yang dibutuhkan supaya

banyak populasi menjadi 3 kali posisi

semula!

Penyelesaian :

Diketahui: P( 0 )=75 jt jiwa

P10=680 jt jiwa

Ditanya : T 3=.. .. . .?

dPdt

=k . P

dPP

=k .dt

∫ dPP

=∫ k dt

Jika pada saat P( 0 )=75 ,maka diperoleh P( 0 )=680

P (t )=P( 0 ). ek t

680=75 ek 10

ln P=k t +CP=ek t .ec

P=ek t . CP=C . ek t

P=C . ek t ⇒C=P0

9

680=75 e10 k

e10k=68075

In e10k=In 9 , 06710 k=2 ,20462

k=2 ,2046210

k=0 , 22046In 3=In e0 , 22406 .t

1 ,09861=0 , 22046 .t

t=1 ,098610 ,22046

t=4 , 98326t=5 tahun

Jadi, waktu yang dibutuhkan supaya banyak populasi menjadi tiga kali semula adalah 5 tahun.

7. Sebuah tangki yang berbentuk silinder

dengan tinggi 3 meter diisi penuh air,

diameternya 2 m. Pada dasar tangki ada

lubang penampang air yang berukuran 1

cm. Selanjutnya lubang itu dibuka dan air

mengalir V = 0,600 √2gh gravitasinya

980 cm dt -2. Berapa lamakah air dari

tangki tinggal 34

, 12

, 14 dan habis!

Penyelesaian :

Dik : t = 3 m = 300 cm

d = 2 m = 200 cm

A = 1 m

V = 0,600√2gh

Dit : pada saat kapan 34

, 12

, 14 dan habis

Jwb : dhdt

=− AVB

. . ..∗¿ ¿

A=π (d2 )2cm2

= π (12 )2

cm2

= 0 , 25 π cm2

B=π (d2 )

2cm2

= π (2002 )

2

cm2

= 10 .000 π cm2

dhdt

=−AVB

dhdt

=−A (0 ,600 √2 g h )B

dhdt

=−0 ,25 π (0 ,600 ) (√2 (980 ) h

12 )

10 . 000 π

dhdt

=−0 ,25 (0 , 600 ) (√1960 ) h

12

10 , 000

dhdt

=−0 ,25 (0 , 600 ) (44 ,2719 ) h

12

10 .000dhdt

=−6 ,645 . 10 −4 . h12

dhdt

=−0 ,0006645 h12

10

h−1

2 dh =− 0 , 0006645 dt

∫ h−1

2 dh =−∫0 ,0006645 dt2√h =−0 ,0006645 t + C

√h=−0 ,0006645 t2 + C

h12 =−0 ,00033225 t + C

h= (− ,00033225 t + C )2

h ( t )= (−0 ,00033225 t + C )2 . .. . .**h (0 )=300 cm300 = (−0 ,00033225 t + C )2

C2 = 300C = √300 = 17 ,32

h ( t )=(−0 ,00033225 t + 17 , 32 )2 . .. .. ***225= (−0 ,00033225 t + 17 , 32 )2

√225= (−0 , 00033225 t + 17 ,32 )15 =− 0 ,00033225 t + 17 ,320 ,00033225 t = 2 , 32

t = 2 ,320 , 00033225

t = 6982 , 69 det ikt = 1 j 56 m 22 d

Jadi air dalam tangki habis 14

dalam waktu 1 jam 56 menit 22 detik.

h (t )=(−0 ,00033225 t + 17 , 32 )2 . .. .. ****150= (−0 , 00033225 t + 17 ,32 )2

√150=(−0 ,00033225 t + 17 ,32 )12 ,2474 =− 0 ,00033225 t + 17 ,320 ,00033225 t = 5 ,0726

t = 5 , 07260 , 00033225

t = 15267 , 41 det ikt = 4 j 14 m 27 d

Jadi air dalam tangki habis 12 dalam

waktu 4 jam 14 menit 27 detik.

h (t )=(−0 , 00033225 t + 17 , 32 )2 . .. .. ****75= (−0 ,00033225 t + 17 ,32 )2

√75=(−0 ,00033225 t + 17 , 32 )8 ,6603 =− 0 ,00033225 t + 17 , 320 ,00033225 t = 8 , 6597

t = 8 , 65790 , 00033225

t = 26063 , 81 det ikt = 7 j 14 m 23 d

Jadi air dalam tangki habis 34 dalam

waktu 7 jam 14 menit 23 detik.

h ( t )= (−0 ,00033225 t + 17 , 32 )2 . .. . .*****0 = (−0 , 00033225 t + 17 ,32 )0 , 00033225 t = 17 ,32

t = 17 , 320 , 00033225

t = 52129 , 42 det ikt = 14 j 28 m 49 d

11

Jadi air dalam tangki habis dalam

waktu 14 jam 28 menit 49 detik.

8. Sebuah tangki pada mulanya berisi 80

galon air asin dengan kandungan 0,125 lb

garam per galon. Pada saat mula-mula t =

0, air asin lain yang mengundang 1 lb

garam per gallon dialirkan kedalam tangki

dengan laju 4 galon/menit. Tentukan

jumlah garam dalam tangki setiap saat t?

Penyelesaian :

Dik : V 0=80

a=0 , 125 lbb= 1 lbe = 4 galon /menitf = 0

Dit : Q(t)..........?

dQdt

+ fV 0+(e−f )t

Q=b ,e

dQdt

+080+( 4−0) t

Q=1.4

dQdt

=4

dQ=4 dt∫ dQ=∫4 dtQ=4 t+CQ=a=0 , 125×80=10 galon

Maka :

Q=4 t +C10=4 t +C ; t=0C=10−0C=10

Sehingga :

Q=4 t +10

9. Sebuah rangkaian listrik seri RCL yang

mempunyai R = 180 Ω, C= 1

180F

, L =

20 H dan voltase yang digunakan 10 sin t.

Diasumsikan tidak ada muatan awal pada

kapasitor, tetapi arus mengalir 1 A pada t =

0. Tentukan fungsi muatan dari waktu

yang mengalir pada kapasitor.

Penyelesaian :

Dik : R = 180 Ω

C = 1

280F

L = 20 H

E(t) = 10 sin t

I(0) = 1 A

Q(0) = 0

Dit : Q(t) .........?

LQ” + RQ’ +QC

=E0 sin wt

20 Q” + 180 Q’ + 280 Q = 10 sin t

Q” + 9Q’ + 14Q = 0

12

λ2+9 λ+14=0λ1=−2 λ2=−7Q( t )=Qh( t )+Qp( t )

Q h(t )=C1 eλ1 t

+C2 eλ2 t

Q h(t )=C1 e−2 t +C2 e−7 t . . .. .. .. . .∗)

S=wL−1wc

=1(20 )−11280

=20−280=−260

a=−E0 SR2+S2

=−10(−260 )(180 )2+(−260 )2

=2600100 .000

=261000

=13500

b=E0 RR2 +S2

=10(80 )(180 )2+(−260 )2

=1800100 .000

=18100

=9500

I P ( t )=a coswt+b sin wt

I P ( t )=261000

cos t+81000

sin t

I P ( t )=dQ p( t )

dtdQP ( t )=I P ( t )dt

∫ dQP ( t )=∫ I P (t )dt

Q P ( t )=∫(261000

cos t +181000

sin t )dt

Q P ( t )=261000

sin t+181000

cos t .. . .. .. **)

Sehingga Q(t )=Qh( t)+QP ( t)

Q(t )=C1e−2 t+C2 e−7 t+261000

sin t−181000

cos t

Q(0 )=C1+C2−181000

=0

C1+C2=181000

. .. .. . .. ***)

I( t )=−2 C1 e−2t−7C2 e−7t+261000

cos t +181000

sin t

I(0)=−2 C1−7 C2+261000

=1

−2 C1−7C2=1000−261000

2 C1+7C2=−9741000

. . .. .. . ****)

E lim inasi ***) dan **** )

c1+c2=181000

2 c1+7 c2=9741000

|x2x1

2 c1+2 c2=361000

¿2c1+7 c2=−9741000

¿

−5 c2=10101000

c2=10101000

×−15

c2=−101500

c1=9500

+101500

=110500

Sehingga Q(t )=110500

e−2t−101500

e−7 t+13500

sin t−9500

cos t

Q(t ) =1500

(110e−2t−101e−7 t+13sin t−9cos t )

13