Seminar Nasional Teknologi Informasi dan Multimedia 2016STMIK AMIKOM Yogyakarta, 6-7 Februari 2016

ISSN : 2302-3805

2.9-43

APLIKASI PEMROGRAMAN LINIER SIMPLEKS DUA FASEBERBASIS WEB MENGGUNAKAN ANGULAR JAVASCRIPT

FRAMEWORK

Adityo Rancaka1), Tri Handhika2)

1)Jurusan S1 Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Gunadarma,2)Pusat Studi Komputasi Matematika, Universitas Gunadarma

Jl. Margonda Raya 100, Depok, 16424Email : rancakadityo@gmail.com1), trihandika@staff.gunadarma.ac.id2)

Abstrak

Pemrograman linier adalah salah satu dari beberapametode pencarian kombinasi angka untukmemaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuanagar dapat menghasilkan solusi optimal. Namundemikian, perhitungan secara manual memerlukanwaktu cukup lama disebabkan oleh kompleksnyarumusan dari Pemrograman Linier tersebut. Dalammakalah ini, penulis merancang suatu aplikasi untukmenyelesaikan permasalahan Pemrograman LinierSimpleks Dua Fase berbasis web menggunakan AngularJavaScript Framework. Aplikasi tersebut dapatmenyelesaikan permasalahan Program Linier denganakurat setelah model matematika dimasukkan. Karenametode yang digunakan adalah Metode Simpleks, makaaplikasi juga mampu menyelesaikan permasalahan yangmemiliki lebih dari 3 variabel keputusan. Hasil yangdiperoleh adalah kombinasi angka pada variabelkeputusan beserta solusi optimalnya.

Kata kunci: Pemrograman Linier, Metode Simpleks,Metode Simpleks Dua Fase, JavaScript, Angularjs.

1. Pendahuluan

Dalam dunia usaha, seorang entrepreneur berharapuntuk memperoleh keuntungan yang maksimum denganbiaya minimum dari bidang usaha yang digelutinya.Oleh sebab itu, pengusaha tersebut harus membuatperencanaan untuk mengoptimisasi sumber daya yangtersedia, seperti bahan baku, transportasi ataupun sumberdaya manusia. Jika keputusan yang diambil tersebuttidak akurat, maka dapat berdampak buruk bahkan fatalbagi perusahaan yang mereka pimpin. Dengan demikian,dibutuhkan teknik untuk mengoptimisasi keuntunganmaupun biaya tersebut melalui sumber daya yang tepatagar mampu memberikan hasil optimisasi yang akuratbagi lembaga atau perusahaan terkait [1].

Terdapat beberapa teknik yang dapat digunakan, salahsatunya adalah Pemrograman Linier dengan MetodeSimpleks Dua Fase. Kelebihan yang dimiliki MetodeSimpleks Dua Fase mampu menyelesaikan masalah yangmemiliki sembarang jumlah variabel keputusan karenametode tersebut menggunakan tabel untuk proses

iterasinya. Tidak seperti Metode Grafik yang hanyadapat menyelesaikan permasalahan maksimal dengan 3variabel keputusan [2]. Namun, untuk melakukanperhitungan Metode Simpleks Dua Fase secara manualmemerlukan waktu cukup lama disebabkan olehkompleksnya algoritma yang harus dikerjakan. Terlebihjika permasalahan memiliki banyak variabel keputusandan kendala. Oleh sebab itu, dibutuhkan suatu alat hitungseperti aplikasi komputer untuk membantu prosesperhitungan tersebut.

Pada penelitian kali ini, penulis merancang sebuahaplikasi berbasis web yang dapat menyelesaikanpermasalahan Pemrograman Linier yang memilikisembarang jumlah variabel. Aplikasi dibangunmenggunakan 2 bahasa pemrograman. Program inti yangbertanggung jawab atas proses perhitungan, sepenuhnyaditulis dengan JavaScript menggunakan AngularJavaScript Framework (Angularjs). Sedangkan untuktampilan ditulis menggunakan HTML5 dan Bootstrap[3].

Beberapa penelitian terkait dengan aplikasi metodesimpleks berbasis web diantaranya menggunakan bahasapemrograman PHP dengan iterasi maksimal adalahsebanyak 10 kali iterasi [4]. Permasalahan yang dapatterjadi pada aplikasi tersebut adalah setiap tahapanproses yang dikerjakan haruslah memuat ulang halamankarena PHP tidak dapat merubah halaman web secaradinamis seperti JavaScript. Seluruh kode program yangditulis dengan PHP pun dimuat dan dijalankan pada sisiserver, sehingga jika terjadi putus koneksi antara clientdan server ditengah-tengah proses, aplikasi tidak dapatdijalankan ke tahap berikutnya. Berbeda dengan aplikasiyang dibangun menggunakan JavaScript dimana seluruhkode programnya sudah dimuat pada sisi client setelahhalaman web dibuka. Dengan demikian, jika terjadiputus koneksi aplikasi masih tetap dapat dijalankan [5].

2. Pembahasan

2.1 Aplikasi Pemrograman Linier Simpleks DuaFase

Penulis merumuskan bahwa Algoritma Simpleks DuaFase dapat diklasifikasikan menjadi 4 sub bagian yaitu

Seminar Nasional Teknologi Informasi dan Multimedia 2016STMIK AMIKOM Yogyakarta, 6-7 Februari 2016

ISSN : 2302-3805

2.9-44

Tahap Inisialisasi, Tahap Rumusan Masalah, TahapIterasi dan Tahap Konklusi.

Pada sub bab ini akan dijelaskan mengenai bagaimanakeempat sub bagian algoritma tersebut dapatdiimplementasikan menjadi sebuah aplikasi berbasis websecara garis besarnya menggunakan Angularjs danBootstrap.

Dalam tahap implementasi, Angularjs digunakan sebagaikode program utama dari aplikasi mulai dari inisialisasihingga konklusi. Karena semua hal yang berkaitandengan jalannya aplikasi web secara dinamis ditulismenggunakan JavaScript [5]. Bootstrap digunakan untukmempercantik tampilan halaman web yang ditulismenggunakan HTML5 seperti input box, navigation bar,button, table dan grid system [3].

2.1.1 Tahap Inisialisasi

Tahap Inisialisasi adalah tahap awal dimana modelmatematika yang telah dibuat kemudian dimasukkanuntuk ditentukan solusi awal pada fase 1.

2.1.1.1 Algoritma Tahap Inisialisasi

1. Mendeklarasikan seluruh variabel yang akandigunakan di dalam proses jalannya program.

2. Memasukkan model matematika yang telah dibuatsecara manual oleh pengguna kedalam program.Variabel tersebut adalah tujuan, jumlah variabeltujuan, jumlah fungsi kendala, koefisien fungsitujuan, koefisien fungsi kendala, operator, dan ruaskanan fungsi kendala.

2.1.1.2 Kode Program Tahap Inisialisasi

<select ng-model="tujuan"><option value="max"> Maksimisasi</option><option value="min"> Minimisasi</option></select><input type="number" ng-model="jvt"><input type="number" ng-model="jfk">

Pada blok program yang pertama di tahap inisialisasi inidigunakan untuk memasukkan tujuan permasalahanapakah maksimisasi atau minimisasi kedalam variabeltujuan. Serta juga jumlah variabel tujuan ((jvt) danjumlah fungsi kendala (jfk). Atribut ng-model adalah APIAngularjs yang digunakan untuk menyimpan suatu datake dalam variabel.

<td ng-repeat="col in getNumber(jvt) track by $index"><input type="number" ng-model="koef_ft[$index]"></td>

Blok program yang berikutya digunakan untukmemasukkan koefisien fungsi tujuan. Atribut ng-repeatadalah API dari Angularjs yang digunakan untuk

melakukan perulangan pada elemen HTML5. Danvariabel $index adalah indeks dari perulangan tersebut.

<div ng-repeat="row in getNumber(jfk) track by$index"><td ng-repeat="col in getNumber(jvt) track by $index"><input type="number" ng-model="koef_fk[0][$parent.$index][$index]"></td><select data-ng-model="op[$index]"><option value="eq">&equals;</option>

<option value="le">&le;</option><option value="ge">&ge;</option></select><input type="number" ng-model="rk[0][$index]"></div>

Blok program selanjutnya bertanggung jawab untukmembaca masukkan koefisien fungsi tujuan, operatordan ruas kanan.Proses tersebut dilakukan menggunakanperulangan bersarang.

2.1.2 Tahap Rumusan Masalah

Tahap Rumusan Masalah adalah tahap dimana modelmatematika yang telah dimasukkan di verifikasi dan diformat untuk di dapatkan rumusan masalahnya sehinggadapat dibuat solusi awal fase 1.

2.1.2.1 Algoritma Tahap Rumusan Masalah

1. Ruas kanan (RK) fungsi tujuan sama dengan 0.2. Ruas kanan fungsi kendala adalah bilangan positif.

Jika negatif, nilai kedua ruas dikalikan dengan -1, danmerubah simbol “≤” menjadi “≥” begitupunsebaliknya.

3. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan “≤” diubah kedalam bentuk persamaan “=” dengan menambahkanvariabel slack (+1). Fungsi kendala dengan tanda “≥”diubah pula ke dalam bentuk persamaan “=” denganmenambahkan variabel surplus (-1) serta variabelbuatan (+1). Fungsi kendala dengan tanda “=”ditambahkan dengan variabel buatan (+1).

4. Proses yang terakhir pada Tahap Rumusan Masalahadalah proses untuk menentukan solusi awal fase 1.Terdapat 2 macam kondisi pada penentuan solusiawal. Pertama, kondisi dimana tidak terdapat variabelbuatan pada semua fungsi kendala. Solusi awaltersebut akan dibentuk dengan fungsi objektif yangsama dengan fungsi tujuannya [2].Untuk memaksimumkan :

- C1X1 - C2X2 - … - CmXm

Untuk meminimumkan :

C1X1 + C2X2 + … + CmXm

Kondisi yang kedua adalah jika terdapat variabelbuatan pada salah satu atau beberapa fungsi kendala.Solusi awalnya dibentuk dengan fungsi objektifsebagai berikut.

Seminar Nasional Teknologi Informasi dan Multimedia 2016STMIK AMIKOM Yogyakarta, 6-7 Februari 2016

ISSN : 2302-3805

2.9-45

Untuk memaksimumkan :

-Xm+n+1 – Xm+n+2 - … - Xm+n+o

Untuk meminimumkan :

Xm+n+1 + Xm+n+2 + … + Xm+n+o

Ket :C = Konstanta.X = Variabel.m = Jumlah variabel keputusan.n = Jumlah variabel slack.o = Jumlah variabel buatan.

2.1.2.2 Kode Program Tahap Rumusan Masalah

<button class="btn btn-success" ng-click="optimize()"><span ng-if="tujuan == 'max'">Maksimalkan!</span><span ng-if="tujuan == 'min'">Minimalkan!</span>

</button>

Tombol HTML5 diatas adalah satu - satunya tombolyang harus di tekan oleh pengguna untuk menghasilkansolusi optimal dari permasalahan. Dengan atribut ng-click dari Angularjs, yang akan dengan segeramemanggil prosedur optimize() yang berisi perintahuntuk mengeksekusi tahap dari mulai rumusan masalahhingga konklusi.

Z{{ tujuan }} =<span ng-repeat="col in getNumber((jvt+jss+ja[1]))track by $index">{{ koef_Z[1][$index] }}</span>= {{ rk_Z[1] }}

<div ng-repeat="row in getNumber(jfk) track by$index"><span ng-repeat="col in getNumber((jvt+jss+ja[1]) trackby $index">{{ koef_fk[1][$parent.$parent.$index][$index] }}</span><span ng-if="op[$index] == 'eq'">&equals;</span><span ng-if="op[$index] == 'le'">&le;</span><span ng-if="op[$index] == 'ge'">&ge;</span>{{ rk[1][$index] }}</div>

Elemen - elemen HTML5 yang telah di tanamkan atributAngularjs diatas digunakan untuk menampilkan rumusanmasalah setelah tombol di tekan.

2.1.3 Tahap Iterasi

Setelah diperoleh solusi awal, kemudian masukkansolusi tersebut ke dalam tabel awal simpleks sebagaibaris Z. Algoritma pun masuk ke dalam Tahap Iterasiyang akan diselesaikan secara terurut dan sistematis.

2.1.3.1 Algoritma Tahap Iterasi

Gambar 1. Diagram Alir Tahap Iterasi

1. Menentukan kolom kunci (KK), yaitu kolom dengannilai negatif terbesar pada baris Z, jika tujuannyaadalah memaksimumkan atau kolom dengan nilaipositif terbesar pada baris Z, jika tujuannya adalahmeminimumkan.

2. Menghitung rasio tiap baris dengan rumus: Rasio =RK / Koef. KK.

3. Menentukan baris kunci (BK) yaitu baris denganrasio positif terkecil.

4. Menentukan angka kunci (AK) yaitu perpotonganantara KK dan BK.

5. Membuat baris kunci baru (BKB) dengan rumusBKB = BK / AK.

6. Memperbarui nilai tiap baris selain baris kuncidengan rumus Baris Baru = Baris Lama – Koef. KK xBKB

7. Mengeluarkan variabel basis yang terpilih dari bariskunci, dan menjadikan variabel non basis yangterpilih dari kolom kunci sebagai basis.

8. Memasukkan seluruh nilai pada BKB dan Baris Baruke dalam tabel simpleks baru.

Seminar Nasional Teknologi Informasi dan Multimedia 2016STMIK AMIKOM Yogyakarta, 6-7 Februari 2016

ISSN : 2302-3805

2.9-46

Setiap tahap pada nomor 1 – 8 adalah proses iterasi yangdijalankan secara kontinu hingga diperoleh solusioptimal atau ditemukan bahwa solusi awal PemrogramanLinier tersebut tidak memiliki solusi optimal samasekali. Berikut adalah beberapa keadaan yangmenentukan sampai kapan proses iterasi perlu dijalankanatau kapan algoritma masuk ke dalam fase kedua.

1. Jika masih ada kolom dengan nilai negatif pada barisZ (memaksimumkan), atau kolom dengan nilai positifpada baris Z (meminimumkan), algoritma mengulangiterasi dari tahap pertama.

2. Jika sudah tidak ada, periksa RK pada baris Z. JikaRK lebih dari 0, maka solusi optimal telah berhasildiperoleh dan program masuk ke dalam tahapankonklusi. Sebaliknya, jika RK kurang dari atau samadengan 0, maka diperoleh solusi layak pada fase 2sehingga algoritma pun masuk ke dalam fase 2.

Pada fase 1, telah dihilangkan variabel buatan danmembuat solusi layak. Pada fase 2, algoritma tersebutakan menyelesaikan solusi yang dibentuk pada fase 1untuk kemudian menemukan solusi optimal. Berikutadalah proses pada fase 2:

1. Menghapus semua kolom variabel buatan yangterdapat pada tabel simpleks.

2. Membuat solusi awal fase 2 dengan fungsi objektifyang sama dengan fungsi tujuan.Untuk memaksimumkan :

- C1X1 - C2X2 - … - CmXm

Untuk meminimumkan :

C1X1 + C2X2 + … + CmXm

3. Memasukkan solusi awal fase 2 dan semua fungsikendala pada tabel akhir fase 1 kedalam tabel awalfase 2.

4. Kembali ke tahap awal iterasi.

2.1.3.2 Kode Program Tahap Iterasi

<div ng-repeat="table in getNumber(countIteration)track by $index">Z{{ tujuan }}<td ng-repeat="col in getNumber((jvt+jss+ja[1])) trackby $index">{{ koef_Z[$parent.$index+1][$index].toFixed(2) }}</td>{{ rk_Z[$index+1].toFixed(2) }}<tr ng-repeat="row in getNumber(jfk) track by $index">{{ basis[$parent.$index+1][$index]+1 }}</small></var><td ng-repeat="col in getNumber((jvt+jss+ja[1])) trackby $index">{{koef_fk[$parent.$parent.$index+1][$parent.$index][$index].toFixed(2) }}</td>{{ rk[$parent.$index+1][$index].toFixed(2) }}

{{ ratio[$parent.$index+1][$index].toFixed(2) }}</tr></div>Pada blok program Tahap Iterasi, untuk menampilkankoefisien fungsi kendala yang akan ditampilkan padatabel iterasi, harus menggunakan perulangan ng-repeatsebanyak 3 lapis. Lapisan terluar digunakan untukperulangan tabel, lapisan didalamnya digunakan untukperulangan baris, dan lapisan yang paling dalamdigunakan untuk perulangan kolom. Maka dari itu,variabel koef_fk yang bertanggung jawab untukmenyimpan nilai koefisien fungsi kendala adalahvariabel array 3 dimensi.

2.1.4 Tahap Konklusi

Tahap Konklusi adalah tahap terakhir yang dieksekusiapabila pencarian kombinasi angka untukmemaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuantelah berhasil didapatkan baik itu melalui fase 1 ataupunfase 2.

2.1.4.1 Algoritma Tahap Konklusi

1. Mensubtitusikan nilai dari masing-masing variabelkeputusan ke dalam fungsi tujuan untuk memperolehsolusi optimal.

2. Mencetak koefisien fungsi tujuan, variabel keputusanserta solusi optimal.

2.1.4.2 Kode Program Tahap Konklusi

<span ng-repeat="col in getNumber(jvt) track by$index"><var>X<small>{{ $index + 1 }}</small></var> = {{X[$index][jvt+jss].toFixed(2) }}</span>

Blok program pada tahap konklusi diatas untukmenampilkan nilai dari variabel tujuan yang telahdidapat dari iterasi. Nilai variabel tujuan tersebut telahdisimpan dalam variabel X.

Z{{ tujuan }} =<span ng-repeat="col in getNumber(jvt) track by$index">{{ koef_ft[$parent.$index] }} ({{X[$parent.$index][jvt+jss].toFixed(2) }})</span>= {{ Z.toFixed(2) }}

Blok program yang terakhir masih dalam TahapKonklusi, yang digunakan untuk menampilkan solusioptimal dari permasalahan yang dicari.

2.2 Uji Coba Aplikasi Pemrograman Linier SimpleksDua Fase

Selain algoritma yang efisien untuk diimplementasikankedalam program komputer [6], kelebihan lain yangdimiliki oleh Metode Simpleks Dua Fase adalah dapat

Seminar Nasional Teknologi Informasi dan Multimedia 2016STMIK AMIKOM Yogyakarta, 6-7 Februari 2016

ISSN : 2302-3805

2.9-47

menyelesaikan permasalahan Pemrograman Linier yangmemiliki sembarang jumlah variabel keputusan. Tidakseperti Metode Grafik yang hanya dapat menyelesaikanpermasalahan dengan maksimal 3 variabel keputusan.Berikut ini adalah contoh uji coba aplikasi terhadappermasalahan yang memiliki 4 variabel keputusan.

Fungsi Tujuan :Maksimumkan Z = 4X1 + 6X2 + 7X3 + 8X4

Fungsi Kendala :1) 2X1 + 3X1 + 4X3 + 7X4 ≤ 46002) 3X1 + 4X2 + 5X3 + 6X4 ≤ 50003) 0X1 + 0X2 + 0X3 + 1X4 ≥ 4004) 1X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 = 950

Fungsi tujuan pada permasalahan di atas memiliki 4variabel keputusan, yakni 4X1, 6X2, 7X3 dan 8X4.Berikut pada Gambar 2a dan Gambar 2b adalah TahapInsisialisasi yang diawali dengan memasukkan modelmatematika yang telah dibuat secara manual. PadaGambar 2a adalah proses memasukkan ciri daripermasalahan yang ingin di cari solusi optimalnya. Ciritersebut meliputi jenis optimisasi apakah itu maksimisasiatau minimisasi, jumlah variabel tujuan dan jumlahfungsi kendala.

Gambar 2a. Inisialisasi Ciri Permasalahan

Pada Gambar 2b adalah tampilan untuk memasukkanfungsi tujuan dan fungsi kendala yang langsungterbentuk setelah ciri permasalahan dimasukkan. Setelahitu, Gambar 3 adalah Tahap Rumusan Masalah yangmenampilkan jika tombol “Maksimalkan!” di tekan,Angularjs secara langsung akan memulai proses eksekusipermasalahan Pemrograman Linier.

Gambar 2b. Inisialisasi Koefisien Fungsi Tujuan danFungsi Kendala

Gambar 3. Rumusan Masalah Fase 1

Setelah diperoleh rumusan masalah yang baru, aplikasilangsung menyisipkannya kedalam tabel awal simpleksseperti pada Gambar 4a. Secara langsung pula aplikasimelakukan iterasi terus menerus dan menampilkan tiaptabel iterasi hingga didapat kombinasi angka yang tepatpada variabel tujuan.

Gambar 4a. Tabel Awal Simpleks

Seminar Nasional Teknologi Informasi dan Multimedia 2016STMIK AMIKOM Yogyakarta, 6-7 Februari 2016

ISSN : 2302-3805

2.9-48

Gambar 4b. Tabel Akhir Simpleks

Pada Gambar 4b, adalah tabel simpleks yang terakhir.Setelah dilakukan 6 kali iterasi, pada iterasi ke 6program mendapatkan kombinasi angka yang tepat padakeempat variabel keputusan yaitu X1 = 0, X2 = 400, X3 =150, dan X4 = 400. Dan jika nilai tersebut di subtitusikanke dalam fungsi tujuan, akan menghasilkan solusioptimal untuk memaksimumkan Z = 6650 sepertiditampilkan pada Gambar 5 yaitu Tahap Konklusi untukmencetak hasil dari permasalahan Program Linier.

Gambar 5. Tahap Konklusi

Aplikasi Pemrograman Simpleks Dua Fase inimemungkinkan seorang pengguna yang ingin mencarikombinasi angka untuk memaksimumkan ataumeminimumkan suatu permasalahan PemrogramanLinier hanya dengan satu kali tekan tombol setelahmodel matematika dimasukkan.

Berdasarkan hasil penelitian ini diketahui bahwaAlgoritma Simpleks Dua Fase dapat diimplementasikanke dalam aplikasi komputer berbasis web menggunakanAngularjs Framework. Algoritma yang digunakan punmampu menghasilkan kombinasi angka padapermasalahan Pemrograman Linier yang memiliki 4variabel keputusan. Setelah kombinasi angka tersebutdisubtitusikan kedalam fungsi tujuan, akan menghasilkanangka yang sama dengan solusi optimal pada baris Z,sehingga hasil dari aplikasi sudah akurat.

Pada pembuatan tampilan aplikasi ini, masih terdapatbeberapa hal yang harus dikembangkan lebih jauh untukmembuat aplikasi menjadi lebih interaktif sepertimemberikan blok warna pada kolom kunci, baris kuncidan angka kunci pada setiap tabel iterasi. Aplikasi jugabelum memiliki fitur untuk menampilkan bilangan dalambentuk pecahan. Pada iterasi fase 2 pun kolom variabelbuatan masih tetap ditampilkan padahal sudah tidakdigunakan.

Daftar Pustaka

[1]. Hillier F.S dan Gerald J. Lieberman, Introduction to OperationsResearch Tenth Edition, McGraw-Hill Education, New York,2015.

[2]. Hamdi A. Taha, Operations Research an Introduction EightEdition, Pearson Education, New Jersey, 2007.

[3]. Stephen Radford, Learning Web Development with Bootstrap andAngularJS, Pack Publishing, Birmingham, 2015.

[4]. Indrawirawan N.G, Darmawiguna Mahendra G.I, dan SunaryaGede M.I, “Aplikasi Simulasi Metode Simpleks UntukPembelajaran Riset Operasional Berbasis Web” KumpulanArtikel Mahasiswa Pendidikan Teknik Informatika(KARMAPATI) Volume 2 Nomor 6, 2013.

[5]. Bevacqua Nicolas, JavaScript Application Design, ManningPublications, New York, 2015.

[6]. Arsham H, “A Computationally Stable Solution Algorithm forLinier Programs” Applied Mathematics and Computation 1881549-1561 University of Baltimore, Baltimore, 2007.

Biodata PenulisAdityo Rancaka, Mahasiswa Jurusan Teknik InformatikaUniversitas Gunadarma. Saat ini menjadi AsistenLembaga Pengembangan Komputerisasi di UniversitasGunadarma.

Tri Handhika, memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si)dan Magister Sains (M.Si) Jurusan MatematikaUniversitas Indonesia, masing-masing lulus tahun 2008dan 2011. Gelar Doktor (Dr) Teknologi Informasidiperolehnya dari Universitas Gunadarma pada tahun2015. Saat ini menjadi Dosen di Pusat Studi KomputasiMatematika, Universitas Gunadarma dan MagisterManajemen Aktuaria, Universitas Indonesia. Selain itu,saat ini pun menjadi researcher di PT Mediatrac SistemKomunikasi dan Image Power Communications.

3. Kesimpulan