Aplikasi Determinan Dalam Geometri

Kapita Selekta Matematika Program Pasca Sarjana UNM

Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata Kuliah Kapita Selekta Matematika

Dosen Pembina: Drs. Darwing Paduppai, M.Pd

O l e h: KELOMPOK VI

Kelas A

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2008

APLIKASI MATRIKS DALAM GEOMETRI

ANDI RUSDI 06507010 Hj. KHADIJAH 06507003

BAMBANG 06507009

Aplikasi Matriks 2


KATA PENGANTAR

Puji Syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala berkat dan

Rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan materi pelengkap pada tesis

dengan judul, Aplikasi Matriks dalam Geometri , Tugas ini diselesaikan dalam

rangka melengkapi tugas mata kuliah Struktur Kapita Selekta Matematika yang

dibimbing oleh Drs. Darwing Paduppai , M.Pd.

Sadar akan keterbatasan penulis, dalam menyelesaikan tugas ini, maka

dengan ini penulis mohon maaf atas kekeliruan yang muncul di dalamnya.

Semoga tugas ini dapat memberi manfaat dan menambah pengetahuan bagi

penulis. Terimakasih.

Penulis,

Aplikasi Matriks 3


APLIKASI MATRIKS DALAM GEOMETRI

Oleh: Andi Rusdi, dkk

Abstrak

Menentukan luas bangun datar menjadi suatu hal yang mudah jika, nilai-nilai yang diketahui yaitu unsur panjang dan lebarnya. Tetapi menjadi masalah jika hal tersebut tidak terpenuhi, menjadi suatu pekerjaan yang rumit dan perlu beberapa pendekatan untuk memperoleh luasnya, demikian juga dengan persamaan garis, persamaan lingkaran.

Salah satu alternatif untuk menyelesaikan hal tersebut adalah penggunaan matriks, walaupun dalam penggunaannya dituntut kemampuan kita dapat menguasai operasi matriks khususnya determinan, dan eliminasi gauss jordan, Untuk kesemuanya ini dapat diselesaikan dengan menggunakan program aplikasi maple 10.

Kata kunci: determinan, maple, eliminasi gaussjordan

A. Luas Bidang Datar

1. Segitiga

Definisi: Jika sebuah segitiga yang sudut-sudutnya ,

dan

Secara geometri:

Dengan menggunakan luas trapesium diperoleh luas segitiga ABC adalah:

Aplikasi Matriks 4


Perhatikan bahwa jika A berada di atas garis BC maka luas itu sama dengan

negatif dari determinannya.

Contoh: 1

Tentukan luas segitiga yang titik-titik sudut A(0,0), B(4,0) dan C(0,4)

Jawab:

Dari gambar di atas diketahui:

alas (a) = 4 satuan, dan tinggi (t) = 4 satuan

Jadi luas segitiga ABC = ½ x a x t

= ½ x 4 x 4

= ½ x 16

= 8 satuan

Contoh: 2

Tentukan luas segitiga yang titik-titik sudut A(0,0), B(4,0) dan C(0,4)

Jawab:

Dengan menggunakan determinan dapat dilakukan perhitungan sebagai

berikut:

A B

C

Aplikasi Matriks 5


Untuk matriks yang lain gunakan metode Sarrus, Ekspansi Baris, ataupun

Eliminasi Gauss.

2. Jajargenjang

Definisi Jajargenjang adalah bangun datar segiempat, sisi-sisinya yang

berhadapan sejajar dan sama panjang, jajargenjang dapat dibentuk dari sebuah

segitiga dan bayangannya.

Misalkan:

Jika sebuah jajargenjang dengan titik , ,

dan

Secara geometri:

(Sifat: determinan suatu matriks segitiga adalah hasil kali diagonal utamanya)

Aplikasi Matriks 6


Karena luas ABCD adalah 2 x luas ABC

maka luas jajargenjang ABCD adalah

dimana

dan

Contoh: 3

Tentukan luas jajargenjang dengan titik-titik A(0,0), B(4,0), C(6,4) dan D(2,4)

Jawab:

Jawab:

Dari gambar di atas diketahui:

alas (a) = 4 satuan, dan tinggi (t) = 4 satuan

Jadi luas Jajargenjang ABCD = a x t

= 4 x 4

= 16 satuan

Contoh: 4

Tentukan luas jajargenjang dengan titik-titik A(0,0), B(4,0), C(6,4) dan D(2,4)

Jawab:

Aplikasi matriks dengan mengambil titik A, B dan C

maka luas trapesium ABCD adalah

satuan

A B

D C

Aplikasi Matriks 7


3. Belah ketupat, Persegi dan Persegi panjang.

Definisi: Belah Ketupat, Persegi dan Persegi Panjang dapat dibentuk oleh dua buah segitiga yang kongruen, maka luas belah ketupat dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus luas jajargenjang.

4. Segi Lima

Definisi:

Segi Enam di atas dibentuk oleh empat buah segitiga yaitu:

ABC,

ACD, dan

AED, maka luas dari bangun tersebut adalah:

dimana

dan

5. Segi Enam

Definisi:

Catatan: Jika bangun segiempat tersebut dapat dibentuk oleh segitiga dan bayangannya maka luasnya sama dengan luas jajargenjang.

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

Aplikasi Matriks 8


Segi Enam di atas dibentuk oleh empat buah segitiga yaitu:

ABC,

ACD,

AED,

AFE, maka luas dari bangun tersebut adalah:

dimana

dan

6. Segi-n

Misalkan

adalah titik-titik sudut dari segi-

n, maka luas segi-n dapat dituliskan:..

B. Persamaan pada Bidang Datar

1. Persamaan garis yang melalui dua titik yang berbeda

Misalkan diberikan dua buah titik yang berbeda di dalam bidang masing-

masing , dan

maka ada sebuah garis lurus yang unik melalui

titik

dengan persamaan

Ingat persamaan garis yang melalui dua buah titik , dan

adalah:

dimana

Sehingga diperoleh:

Aplikasi Matriks 9


Sehingga:

Contoh 5:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5)

Jawab:

Jadi persamaannya adalah:

Contoh 6:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5)

Jawab:

Dengan menggunakan matriks

Aplikasi Matriks 10


2. Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik

Misalkan diberikan tiga titik yang berbeda di dalam bidang masing-masing

,

dan

yang tidak semuanya terletak pada sebuah garis.

Menurut ilmu analitis, ada sebuah lingkaran unik yang melalui titik

dengan persamaan

Yang melalui ketiga titik itu. Persamaan garis ini dapat ditentukan dengan

menggunakan determinan yaitu:

Contoh 7: Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2,-2), (-4,6) dan (3,4) Jawab:

Daftar Pustaka

Charles G. Cullen. 1993. Al Jabar Linear dengan Penerapannya. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka.

Howard Anton 1995. Al Jabar Linear Elementer. Jakarta: PT. Erlangga

This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com.The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.

http://www.daneprairie.com

Aplikasi Determinan Dalam Geometri

Documents

Transcript of Aplikasi Determinan Dalam Geometri