anstruk 21AS
-
Upload
apisha1233 -
Category
Documents
-
view
206 -
download
5
description
Transcript of anstruk 21AS
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 1
TEORI KERJA MINIMUM CASTIGLIANO
(LEAST WORK CASTIGLIANO)
Teorema I :
Turunan parsial dari usaha terhadap suatu gaya sama dengan deformasi yang terjadi pada
titik dimana gaya tersebut bekerja, dan didalam arah gaya tersebut.
1
1dP
dW .................................................................................................................... (1)
1
1dM
dW ..................................................................................................................... (2)
Teorema II :
Pada struktur Statis Tak Tentu jika perletakkan tidak terjadi perpindahan dan tidak ada
perubahan dari temperatur, redundant harus sedemikian yang membuat energi regangan
minimum, maka persamaan (1) menjadi :
0dxEI
dP
dMML
0
............................................................................................................ (3)
Pada persamaan (3) fungsi/persamaan momen M mengandung nilai dari Redundant atau
reaksi yang akan dicari.
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 2
Contoh Soal 1:
Hitunglah reaksi perletakkan dititik B
Penyelesaian :
1. Hitung DKS struktur balok :
DKS = 3 - 2 = 1 Ini berarti Struktur Statis Tak Tentu !
2. Ubahlah bentuk Struktur Statis Tak Tentu menjadi Struktur Statis Tertentu dengan
mengambil VB sebagai redundant. Lepaslah Roll pada titik B.
Kini struktur telah menjadi Struktur Statis Tertentu, tetapi akibat dari dilepasnya Roll
pada titik B maka akan mengakibatkan titik B melendut kebawah.
3. Dengan menggunakan Teorema Castigliano yang kedua maka dapat kita hitung reaksi VB
yang akan mengembalikan titik B yang melendut kebawah, yaitu :
0dxEI
dV
dMM
L
0
B (Tidak ada lendutan vertikal pada titik B)
Tabel persamaan momen:
Section Bending Moment
(M) BdV
dM Limits
B - A 2
x1xV
2
B
+ x 0 x 4
0dx
EI
x50,0xVdx
EI
xx50,0xVdx
EI
dV
dMM
4
0
32
B
4
0
2
B
L
0
B
032V3
64x
8
1x
3
1Vdxx50,0xV B
4
0
43
B
4
0
32
B
------ VB = 1,50 ton ( )
q = 1,0 t/m
A B
L = 4,0 m
EI
q = 1,0 t/m
A B
L = 4,0 m
EI
VB
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 3
ton50,25,141V
LqVV
0V
A
BA
m.t2412
145,1Lq
2
1LVM 22BA
m.t125,15,12
15,15,1x
2
1xVM
)BtitikdarimaksimummomenLokasi(m5,1x0xV0dx
dMx
x2
1xVMx
22
Bmax
B
2
B
q = 1,0 t/m
A B
L = 4,0 m
EI
VB = 1,5 ton VA = 2,5 ton
MA = 2,0 t.m
2,0
+1,125
+
1,5 m
A B M
2,5
+
1,5
A B L
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 4
Contoh Soal 2:
Hitunglah reaksi perletakkan dititik B
Penyelesaian :
1. Hitung DKS struktur balok :
DKS = 3- 2 = 1 Ini berarti Struktur Statis Tak Tentu !
2. Ubahlah bentuk Struktur Statis Tak Tentu menjadi Struktur Statis Tertentu dengan
mengambil MA sebagai redundant. Ubahlah titik A menjadi perletakkan Sendi.
Kini struktur telah menjadi Struktur Statis Tertentu, tetapi akibat dari dilepasnya jepitan
pada titik A maka akan mengakibatkan titik A akan mengalami rotasi.
3. Dengan menggunakan Teorema Castigliano yang kedua maka dapat kita hitung reaksi MA
yang akan memberikan kekangan pada titik A sehingga rotasi pada titik A menjadi nol,
yaitu :
0dxEI
dM
dMM
L
0
B (Tidak ada rotasi pada titik A -- Jepit)
q = 1,0 t/m
A B
L = 4,0 m
EI
q = 1,0 t/m
A B L = 4,0 m
EI
MA
VB VA
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 5
Hitung reaksi perletakkan balok Statis Tertentu :
4
M2
L
MLq
2
1V AAA
4
M2
L
MLq
2
1V AAB
Tabel persamaan momen :
0dxEI
x8
1x
16
Mx
2
1
dxEI
x4
1x
2
1x
4
Mx2
dxEI
dV
dMM
4
0
32A2
4
0
2AL
0
B
0x32
1x
48
Mx
6
1dxx
8
1x
16
Mx
2
14
0
43A3
4
0
32A2
0M6
8
3
8A ---- MA = + 2 t.m ()
ton50,24
22
4
M2V AA
ton50,14
22
4
M2V AB
m.t125,15,12
15,15,1x
2
1xVM
)BtitikdarimaksimummomenLokasi(m5,1x0xV0dx
dMx
x2
1xVMx
22
Bmax
B
2
B
Section Bending Moment
(M) AdM
dM Limits
B - A
2
B x2
1xV
2A x2
1x
4
M2
2A x2
1x
4
Mx2
x4
1 0 x 4
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 6
L
q = 1,0 t/m
A B
L = 4,0 m
EI
VB = 1,5 ton VA = 2,5 ton
MA = 2,0 t.m
M
2,5
1,5
A B
+
A B
2,0
+1,125
+
1,5 m
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 7
Contoh Soal 3:
Hitunglah reaksi perletakkan dititik C dan D!
Penyelesaian:
1. Hitung DKS struktur portal:
DKS = 5 3 = 2 Ini berarti Struktur Statis Tak Tentu derajat 2.
2. Ubahlah bentuk Struktur Statis Tak Tentu menjadi Struktur Statis Tertentu dengan
mengambil VC dan VD sebagai redundant. Ubahlah titik C dan D menjadi perletakkan
bebas.
A
D
2,0 m
2EI
EI EI EI
2,0 m 2,0 m
4,0 m
B
C
E
M = 10 tm
2EI
EI EI EI
2,0 m 2,0 m
4,0 m
B
VC
E
M = 10 tm
A
VD
2,0 m
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 8
Kini struktur telah menjadi Struktur Statis Tertentu, tetapi akibat dari dilepasnya
perletakkan Roll pada titik C dan D maka akan mengakibatkan titik C dan D akan
mengalami lendutan vertikal.
3. Dengan menggunakan Teorema Castigliano yang kedua maka dapat dihitung reaksi VC
dan VD yang akan mengembalikan titik C dan D yang mengalami lendutan vertikal
sehingga lendutan pada titik C dan D menjadi nol, yaitu :
00
L
C dxEI
dV
dMM
(Tidak ada lendutan pada titik C -- Roll)
00
L
D dxEI
dV
dMM
(Tidak ada lendutan pada titik D -- Roll)
Tabel persamaan momen:
Section Bending Moment
(M) CdV
dM
DdV
dM Kekakuan Limits
E - D 0 0 0 EI 0 x 2
D - C +VD . x 0 + x EI 0 x 2
C - B MxV2xV CD 10xV2xV CD
+ x x + 2 EI 0 x 2
B - A M2V4V CD
102V4V CD + 2 + 4 2EI 0 x 4
0dx
EI2
2102V4Vdx
EI2
x10xV2xV2dx
EI
dV
dMM
4
0
CD
2
0
CD
L
0
C
0dx2102V4Vdxx10xV2xV24
0
CD
2
0
CD
0dx20V4V8dxx20xV2xV4xV24
0
CD
2
0
2
CD
2
D
0x20xV4xV8x10xV3
2xV2xV
3
2 40CD
2
0
23
C
2
D
3
D
04204V44V82102V3
22V22V
3
2CD
23
C
2
D
3
D
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 9
080V16V3240V3
16V8V
3
16CDCDD
045V17V8 DC .. (1)
0dx
EI2
4102V4Vdx
EI2
2x10xV2xV2dx
EI2
xVx2dx
EI
dV
dMM
4
0
CD
2
0
CD
2
0
D
L
0
D
0dx4102V4Vdx2x10xV2xV2dxxV24
0
CD
2
0
CD
2
0
2
D
0dx40V8V16dx2x20x2xV24x4xV2dxxV24
0
CD
2
0
2
C
2
D
2
0
2
D
0x40xV8xV16x2x2
120xx
3
1V2x4x2x
3
1V2xV
3
2 40CD
2
0
223C
23D
2
0
3D
04404V84V162222
12022
3
1V224222
3
1V22V
3
2CD
223C
23D
3D
02803
136V
3
320V CD
0105V40V17 DC ..(2)
Persamaan (1) dan (2) dapat diubah dalam format matriks:
0
0
105
45
V
V
4017
178
D
C
105
45
V
V
4017
178
D
C
105
45
817
1740
1717408
1
V
V
D
C
75
15
31
1
840765
17851800
31
1
10584517
105174540
31
1
105
45
817
1740
31
1
V
V
D
C
Karena hasilnya negatif maka permisalan awal arah VC dan VD keatas salah, jadi yang benar
arah VC dan VD adalah kebawah.
ton41935231
75V
ton48387031
15V
D
C
,
,
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 10
Reaksi Vertikal titik A:
ton31
90
31
75
31
15VVV
0VVV
0V
DCA
DCA
Reaksi Momen titik A:
mt31
20M
10231
154
31
75M
102V4VM
A
A
CDA
.
Reaksi Horisontal titik A:
0H
0H
A
Perhitungan Momen di titik kumpul:
mt31
20102
31
154
31
75M2V4VM
mt31
16010
31
150M2VM
mt31
1502
31
752VM
0M
CDB
DCB
DCD
D
.
.
.
2EI
EI EI EI
2,0 m 2,0 m
4,0 m
B
C
E
M = 10 t.m
ton31
15VC ton
31
75VD
A
D
2,0 m
ton31
90VA
mt31
20MA .
0HA
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 11
A
C D E
+
ton31
90
B
ton31
75
+
ton31
90
Lintang
A
C D E ton3190
B
ton31
90
Normal
A
C D E
+
mt31
150.
mt31
160.
mt31
20.
mt31
20.
mt31
20.
B
Momen
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 12
Contoh Soal 4:
Sebuah konstruksi portal ABCD dengan tumpuan pada titik B dan C adalah roll, dan titik A
adalah Jepit. Karena salah dalam pelaksanaan maka titik A mengalami penurunan sebesar 10
mm. Hitunglah reaksi perletakan dan gambarkan gaya-gaya dalam struktur portal dengan
Least Work Castigliano Method.
Keterangan:
EI = 17280 kg.m2
Penyelesaian:
1. Hitung DKS struktur portal:
DKS = 5 3 = 2 Ini berarti Struktur Statis Tak Tentu derajat 2.
2. Ubahlah bentuk Struktur Statis Tak Tentu menjadi Struktur Statis Tertentu dengan
mengambil VA dan MA sebagai redundant. Ubahlah titik A menjadi perletakkan roll.
2EI
EI
4 m
2m
D
C
A
B
4 m
2EI
2EI
EI
4 m
2m
D
C
A
B
4 m
2EI
MA
VA
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 13
Kini struktur telah menjadi Struktur Statis Tertentu, tetapi akibat dari berubahnya
perletakkan Jepit menjadi Roll pada titik A, maka akan mengakibatkan titik A
mengalami lendutan vertikal (diketahui terjadi penurunan vertikal sebesar 10 mm),
dan titik A mengalami Rotasi.
3. Dengan menggunakan Teorema Castigliano yang kedua maka dapat dihitung reaksi VA
dan MA yang akan mengembalikan deformasi pada titik A, yaitu :
010dxEI
dV
dMxMxL
0
A ,
(Terjadi penurunan vertikal pada titik A sebesar 10 mm = 0,01 m)
0dxEI
dM
dMxMxL
0
A
(Tidak ada rotasi pada titik A karena perletakkan Jepit)
4. Menghitung persamaan momen pada struktur portal statis tertentu:
Karena tidak ada beban horisontal, maka HA = 0.
6
MV2V
0M
AAB
C
6
V4MV
0M
AAC
B
2EI
EI
4 m
2m
D
C
A
B
4 m
2EI
MA
VA
VB VC
HA
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 14
Tabel persamaan momen:
Section Limits
(m)
Persamaan Momen
(Mx) AdV
dMx
AdM
dMx Kekakuan
B - D 0 x 4
x6
MV2xV AAB
x
6
2 x
6
1 2EI
C - D 0 x 2
x6
V4MxV AAC
x
6
4 x
6
1 EI
A - D 0 x 4 AM 0 -1 2EI
010dxEI
dV
dMxMxL
0
A ,
010dxEI2
0Mdx
EI
x6
4x
6
V4M
dxEI2
x6
2x
6
MV24
0
A
2
0
AA4
0
AA
,
EI20100xV4M108
8xMV2
108
22
0
3AA
4
0
3AA
,
EI0202V4M108
84MV2
108
2 3AA
3AA ,
EI64
108020MV8 AA , .. (1)
0dxEI
dM
dMxMxL
0
A
0dxEI2
1Mdx
EI
x6
1x
6
V4M
dxEI2
x6
1x
6
MV24
0
A
2
0
AA4
0
AA
0M4xV4M108
2xMV2
108
1A
2
0
3AA
4
0
3AA
0M42V4M108
24MV2
108
1A
3AA
3AA
0M8V AA .. (2)
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 15
Dalam format matriks:
EI01
08
5600
3
M
V
EI
0800
27
81
18
63
1
M
V
EI
064
108020
M
V
81
18
A
A
A
A
A
A
,
,
,
Diketahui nilai EI = 17280 kg.m2, maka:
kg0571427435
259217280
700
3EI
5600
24VA ,
mkg257142935
32417280
5600
3EI
5600
3MA ., ()
kg1428572335
810
6
35
324
35
25922
6
MV2V AAB ,
kg9142865035
1782
6
35
25924
35
324
6
V4MV AAC ,
mkg82857110135
35642
35
17822VM CDC .,
mkg5714299235
32404
35
8104VM BDB .,
mkg257142935
324MM ADA .,
2EI
EI
4 m
2m
D
C
A
B
4 m
2EI
mkg35
324MA .
kg35
2592VA
0HA
kg35
810VB kg35
1782VC
mkg35
3564MDC . mkg35
3240MDB .
mkg35
324MDA .
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 16
Gambar Momen, Lintang, dan Normal:
Bidang Momen
B
A
C D
mkg35
3564.
mkg35
3240.
mkg35
324.
mkg35
324.
Bidang Lintang
B
A
C D
kg35
810 kg
35
810
kg35
1782 kg
35
1782
Bidang Normal
B
A
C D kg
35
2592
kg35
2592
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 17
SOLUSI
SOFTWARE GRASP VERSION 1.0
Satuan : Bidang Momen : Kg.m, Lintang : kg, Normal: kg
Momen Lintang
Normal
-
Darmansyah Tjitradi, MT.
Metode Least Work Castigliano 18