Buku Ajar Anstruk

71
BUKU AJAR ANALISA STRUKTUR I OLEH : I PUTU LAINTARAWAN, ST, MT. I NYOMAN SUTA WIDNYANA, ST, MT. I WAYAN ARTANA, ST.MT. PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS HINDU INDONESIA

Transcript of Buku Ajar Anstruk

  • BUKU AJAR

    ANALISA STRUKTUR I

    OLEH : I PUTU LAINTARAWAN, ST, MT.

    I NYOMAN SUTA WIDNYANA, ST, MT. I WAYAN ARTANA, ST.MT.

    PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

    UNIVERSITAS HINDU INDONESIA

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia i

    KATA PENGANTAR

    Puji syukur kami panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, atas rahmatNya, penyusunan Buku Ajar Analisa Struktur I dapat diselesaikan. Buku Ajara ini disusun untuk menunjang proses belajar mengajar mata kuliah Analisa Struktur I sehingga pelaksanaannya dapat berjalan dengan baik dan lancar, serta pada akhirnya tujuan instruksional umum dari mata kuliah ini dapat dicapai.

    Diktat ini bukanlah satu-satunya pegangan mahasiswa untuk mata kuliah ini, terdapat banyak buku yang bisa digunakan sebagai acuan pustaka. Diharapkan mahasiswa bisa mendapatkan materi dari sumber lain. Secara garis besarnya Diktat ini

    mencakup materi mangenai gaya, analisis struktur statis tertentu, garis pengaruh

    struktur statis tertentu, serta balok gerber.

    Penulis menyadari bahwa diktat ini masih banyak kelemahan dan kekurangannya. Oleh karena itu kritik dan saran pembaca dan juga rekan sejawat terutama yang mengasuh mata kuliah ini, sangat kami perlukan untuk kesempurnaan

    tulisan ini. Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih.

    Penulis

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia ii

    DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ............................................................................................... i DAFTAR ISI ............................................................................................................. ii

    BAB I PENGANTAR ANALISIS STRUKTUR ........................................................ 1 1.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 1 1.2 Tujuan Analisis Struktur ...................................................................................... 2

    BAB II STATIKA ...................................................................................................... 3 2.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 3 2.2 Pengertian Gaya .................................................................................................. 3 2.3 Vektor Resultan ................................................................................................... 4 2.4 Momen ............................................................................................................... 5 2.5 Keseimbangan Benda Tegar ................................................................................ 9

    BAB III STRUKTUR STATIS TERTENTU ............................................................. 11 3.1 Modelisasi Struktur .............................................................................................. 11 3.2 Jenis-Jenis Beban ................................................................................................. 12 3.3 Perletakan / Tumpuan .......................................................................................... 13 3.4 Definisi Struktur Statis Tertentu ........................................................................... 14

    BAB IV GAYA DALAM .......................................................................................... 17 4.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 17 4.2 Pengertian Gaya Dalam ....................................................................................... 17 4.2.1 Gaya Dalam Momen ......................................................................................... 18 4.2.2 Gaya Lintang .................................................................................................... 19 4.2.3 Gaya Normal .................................................................................................... 21 4.2.4 Contoh-Contoh Balok Struktur Statis tertentu .................................................. 21 4.3 Beban Segitiga ..................................................................................................... 28

    BAB V GARIS PENGARUH .................................................................................... 31 5.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 31 5.2 Definisi Garis Pengaruh ....................................................................................... 31 5.3 Kegunaan dari suatu Garis Pengaruh .................................................................... 33

    BAB VI BALOK GERBER ...................................................................................... 39 6.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 39 6.2 Bentuk Sendi Gerber ........................................................................................... 40 6.3 Menentukan Letak Sendi Gerber ......................................................................... 41 6.4 Mekanisme Penyelesaian Balok Gerber .............................................................. 43

    BAB VII GARIS PENGARUH BALOK GERBER ................................................... 50 7.1 Garis Pengaruh Balok Gerber .............................................................................. 50 7.2 Momen Maximum di Suatu Titik Pada Gelagar .................................................. 56 7.3 Mencari Momen Maximum Maximorum di Suatu Gelagar .................................. 61

    DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 67

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 1

    BAB I PENGANTAR ANALISIS STRUKTUR

    1.1 Pendahuluan Di sepanjang sejarahnya, umat manusia telah berhasil membangun berbagai struktur bangunan dalam rangka memenuhi kebutuhan yang terkait dengan kenyamanan, mobilitas dan kepuasan kehidupannya. Awalnya, pembangunan dilakukan melalui

    proses coba-coba yang memerlukan banyak waktu dan tenaga. Setiap pembangunan selalu berhadapan dengan tantangan lebih baru ketimbang pendahulunya. Sampai suatu saat, harus mengalami kegagalan disertai timbulnya kesadaran bahwa batas kekuatan sistem strukturalnya telah dilampaui. Suatu struktur yang didirikan kemudian ternyata

    runtuh dan dibangun ulang dengan lebih kokoh lagi dengan merubah konfigurasi strukturnya.

    Setelah berabad-abad dilalui, proses mendirikan bangunan yang hanya didasarkan pada pengalaman dan cara coba-coba, sekarang telah berkembang menggunakan teknologi rekayasa berdasarkan hukum-hukum fisika. Teori analisis struktur bangunan telah ada sejak zaman Yunani Kuno, yang pertama kali menuangkan konsep-konsep yang berhubungan dengan gaya-gaya dan keseimbangannya. Analisis struktur sebagai disiplin yang terlepas dari analisis tegangan dalam perancangan material, baru mulai dikembangkan sejak pertengahan pertama abad XIX. Kemudian selama satu abad berikutnya, berbagai ragam teknik dikembangkan, sehingga analisis struktur tersusun menjadi suatu pengetahuan dan berkembang sangat pesat di Tahun 1950an. Di saat mana, muncul dua faktor penting yang sangat mendorong upaya pengembangan analisis melalui penggunaan metode matriks. Pertama, munculnya komputer dengan kecepatan

    tinggi yang membebaskan rekayasawan dari tugas berhitung secara manual, sehingga memungkinkan mengganti metode-metode perkiraan dengan metode analisis yang lebih eksak dan rasional. Kedua, berlangsungnya peningkatan dalam ukuran dan kompleksitas bangunan di bidang rekayasa sipil, mekanikal, struktur lepas pantai, ruang angkasa dan

    kebutuhan-kebutuhan lainnya, yang lebih sesuai apabila diselesaikan melalui penerapan metode analisis yang lebih singkat.

    Sampai saat ini, teori-teori struktur secara matematis merupakan bagian dari ilmu fisika yang telah memungkinkan penyelesaian berbagai permasalahan struktur. Dengan menggunakan alat bantu teknologi komputer, gagasan-gagasan rancangan

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 2

    struktur kompleks lebih dimungkinkan untuk membuat keputusan logis secara simultan. Namun seorang rekayasawan struktur hendaknya tidak menerima begitu saja hasil keluaran komputer, kecuali telah diyakini sesuai dengan pengetahuan dan pengalamannya. Sehingga output komputer merupakan hanya alat bantu untuk

    mempermudah di dalam pengambilan keputusan rekayasa (engineering judgement), dalam rangka mencapai pendekatan hasil yang seharusnya.

    1.2 Tujuan Analisis Struktur Tujuan utama analisis struktur adalah untuk menentukan respons struktur

    terhadap berbagai kemungkinan beban yang akan bekerja selama masa layannya. Respons ini dapat berupa deformasi, perpindahan, aksi-aksi gaya ataupun tegangan-tegangan internal.

    Dalam praktek, ada dua keadaan yang membutuhkan analisis struktur: 1. Keadaan pertama, ketika struktur yang sudah berdiri harus dianalisis agar bisa

    menaksir kapasitasnya. Sebagai contoh, analisis struktur jembatan yang dikehendaki untuk ditingkatkan batas bebannya, atau bangunan gedung yang semula dirancang untuk ruang kuliah kemudian setelah berdiri dikehendaki berubah menjadi ruang perpustakaan. Analisis struktur di sini menetapkan reaksi (respons) struktur terhadap sistem pembebanan yang bekerja.

    2. Keadaan kedua, merupakan kondisi yang lebih umum, muncul sebagai bagian yang tidak terpisahkan dari tahap-tahap proses perancangan bangunan secara

    keseluruhan. Merancang struktur adalah upaya mencipta dan memodifikasi konfigurasi fisik secara teratur sehingga struktur diperkirakan dapat memberikan

    respons yang sesuai dan akhirnya bisa berfungsi seperti yang dikehendaki. Analisis dan perancangan struktur, keduanya menuntut pemahaman mendalam

    mengenai sifat-sitat dan hukum-hukum pokok (penentu) perilaku material. Penerapan hukum-hukum statika dan kuat material yang seharusnya diperkenalkan sebagai

    pengetahuan dasar bagi mahasiswa di bidang rekayasa merupakan bagian kecil dari pengetahuan analisis struktur. Oleh karenanya, pembaca dianggap sudah cukup dibekali

    dan menguasai pengetahuan tentang mekanika statika dan kekuatan material tersebut.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 3

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 4

    BAB II STATIKA

    2.1 Pendahuluan

    Ilmu statika pada dasarnya merupakan pengembangan dari ilmu fisika, yang menjelaskan kejadian alam sehari-hari, yang berkaitan dengan gaya-gaya yang bekerja. Insinyur sipil dalam hal ini bekerja pada bidang perencanaan, pelaksanaan dan perawatan atau perbaikan konstruksi bangunan sipil. Fungsi utama bangunan sipil adalah mendukung gaya-gaya yang berasal dari beban-beban yang dipikul oleh bangunan tersebut. Sebagai contoh adalah beban lalu lintas kendaraan pada

    jembatan/jalan, beban akibat timbunan tanah pada dinding penahan tanah (retaining wall), beban air waduk pada bendung, beban hidup pada lantai bangunan gedung, dan lain sebagainya. Oleh karena itu, penguasaan ilmu statika sangat penting dan membantu insinyur sipil dalam kaitannya dengan perencanaan suatu struktur.

    2.2 Pengertian Gaya Gaya adalah sesuatu yang menyebabkan deformasi pada suatu struktur. Gaya

    mempunyai besaran dan arah, digambarkan dalam bentuk vektor yang arahnya ditunjukkan dengan anak-panah, sedangkan panjang vektor digunakan untuk menunjukkan besarannya.

    Gambar 2.1 Vektor Gaya

    Garis disepanjang gaya tersebut bekerja dinamakan garis kerja gaya. Titik tangkap gaya yang bekerja pada suatu benda yang sempurna padatnya, dapat dipindahkan di sepanjang garis kerja gaya tersebut tanpa mempengaruhi kinerja dari gaya tersebut. Apabila terdapat bermacam-macam gaya bekerja pada suatu benda, maka gaya-gaya tersebut dapat digantikan oleh satu gaya yang memberi pengaruh sama seperti yang dihasilkan dari bermacam-macam gaya tersebut, yang disebut sebagai resultan gaya.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 5

    2.3 Vektor Resultan Sejumlah gaya yang bekerja pada suatu struktur dapat direduksi menjadi satu

    resultan gaya, maka konsep ini dapat membantu didalam menyederhanakan permasalahan. Menghitung resultan gaya tergantung dari jumlah dan arah dari gaya-gaya tersebut. Beberapa cara/metode untuk menghitung/mencari resultan gaya, yaitu antara lain:

    1. Metode penjumlahan dan pengurangan vektor gaya. 2. Metode segitiga dan segi-banyak vektor gaya. 3. Metode proyeksi vektor gaya.

    1. Metode penjumlahan dan pengurangan vektor gaya Metode ini menggunakan konsep bahwa dua gaya atau lebih yang terdapat pada

    garis kerja gaya yang sama (segaris) dapat langsung dijumlahkan (jika arah sama/searah) atau dikurangkan (jika arahnya berlawanan).

    Gambar 2.2 Penjumlahan vektor searah dan segaris menjadi resultan gaya R

    2. Metode segitiga dan segi-banyak vektor gaya Metode ini menggunakan konsep, jika gaya-gaya yang bekerja tidak segaris,

    maka dapat digunakan cara Paralellogram dan Segitiga Gaya. Metode tersebut cocok jika gaya-gayanya tidak banyak.

    Gambar 2.3 Resultan dua vektor gaya yang tidak segaris

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 6

    Namun jika terdapat lebih dari dua gaya, maka harus disusun suatu segibanyak (poligon) gaya. Gaya-gaya kemudian disusun secara berturutan, mengikuti arah jarum jam.

    Gambar 2.4 Resultan dari beberapa vektor gaya yang tidak searah

    Jika telah terbentuk segi-banyak tertutup, maka penyelesaiannya adalah tidak ada

    resultan gaya atau resultan gaya sama dengan nol. Namun jika terbentuk segi-banyak tidak tertutup, maka garis penutupnya adalah resultan gaya.

    3. Metode proyeksi vektor gaya Metode proyeksi menggunakan konsep bahwa proyeksi resultan dari dua buah

    vektor gaya pada setiap sumbu adalah sama dengan jumlah aljabar proyeksi masing-masing komponennya pada sumbu yang sama. Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 2.7.

    Gambar 2.5 Proyeksi Sumbu Xi dan X adalah masing-masing proyeksi gaya Fi dan R terhadap sumbu x. sedangkan Yi dan Y adalah masing-masing proyeksi gaya Fi dan R terhadap sumbu y.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 7

    Dengan demikian, metode tersebut sebenarnya tidak terbatas untuk dua buah vektor gaya, tetapi bisa lebih. Jika hanya diketahui vektor-vektor gaya dan akan dicari resultan gaya, maka dengan mengetahui jumlah kumulatif dari komponen proyeksi sumbu, yaitu X dan Y, maka dengan rumus pitagoras dapat dicari nilai resultan gaya (R).

    Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh di bawah ini. 1). Diketahui suatu benda dengan gaya-gaya seperti terlihat pada Gambar 2.6 sebagai berikut. Ditanyakan : Tentukan besar dan arah resultan gaya dari empat gaya tarik pada

    besi ring.

    Gambar 2.6 Contoh soal pertama

    2). Diketahui dua orang seperti terlihat pada Gambar 2.7, sedang berusaha memindahkan bongkahan batu besar dengan cara tarik dan ungkit. Ditanyakan: tentukan besar dan arah gaya resultan yang bekerja pada titik bongkah batu akibat kerja dua orang tersebut.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 8

    Gambar 2.7 Contoh soal kedua

    Gaya yang bereaksi pada suatu massa kaku, secara umum selain menyebabkan deformasi, ternyata juga menyebabkan rotasi (massa tersebut berputar terhadap suatu titik sumbu tertentu). Posisi vektor gaya yang menyebabkan perputaran terhadap suatu titik sumbu tertentu tersebut disebut sebagai momen.

    Gambar 2.8 Model struktur kantilever Pada Gambar 2.8 dapat kita lihat bahwa akibat beban terpusat (lampu gantung

    dan penutup) yang bekerja pada titik B, maka akan timbul momen pada titik A. Pada kasus tertentu, akibat adanya momen untuk suatu beban yang memiliki eksentrisitas,

    akan menimbulkan suatu putaran yang disebut dengan torsi atau puntir. Ilustrasi mengenai torsi atau puntir sebagai contoh adalah pada sebuah pipa, seperti terlihat pada

    Gambar 2.9, Gambar 2.10, dan Gambar 2.11. Jika momen tersebut berputar pada sumbu aksial dari suatu batang (misal pipa) maka namanya adalah torsi atau puntir.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 9

    Gambar 2.9 Torsi terhadap sumbu Z

    Dari ilustrasi seperti terlihat pada Gambar 2.11 dapat dilihat bahwa torsi terhadap sumbu-z akan menyebabkan puntir pada pipa. Besarnya momen ditentukan oleh

    besarnya gaya F dan lengan momen (jarak tegak lurus gaya terhadap titik putar yang ditinjau).

    Gambar 2.10 Torsi terhadap sumbu X

    Dari ilustrasi seperti terlihat pada Gambar 2.12 dapat dilihat bahwa momen terhadap sumbu-z akan menyebabkan bending pada pipa.

    Gambar 2.11 Gaya menuju sumbu (konkuren)

    Gaya yang menuju suatu sumbu disebut sebagai konkuren, tidak akan menimbulkan momen pada sumbu-z. Perilaku momen pada batang kantilever dapat

    terjadi dalam beberapa konfigurasi.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 10

    Berikut ini terdapat tiga contoh soal latihan beserta pembahasan untuk menghitung momen.

    Gambar 2.12 Contoh soal momen

    2.5 Keseimbangan Benda Tegar Suatu benda berada dalam keseimbangan apabila sistem gaya-gaya yang bekerja

    pada benda tersebut tidak menyebabkan translasi maupun rotasi pada benda tersebut. Keseimbangan akan terjadi pada sistem gaya konkuren yang bekerja pada titik atau partikel, apabila resultan sistem gaya konkuren tersebut sama dengan nol. Apabila sistem gaya tak konkuren bekerja pada suatu benda tegar, maka akan terjadi kemungkinan untuk mengalami translasi dan rotasi. Oleh karena itu, agar benda tegar mengalami keseimbangan, translasi dan rotasi tersebut harus dihilangkan. Untuk mencegah translasi, maka resultan sistem gaya-gaya yang bekerja haruslah sama dengan nol, dan untuk mencegah rotasi, maka jumlah momen yang dihasilkan oleh resultan oleh semua gaya yang bekerja haruslah sama dengan nol. Sebagai ilustrasi, dapat dilihat Gambar 2.12 mengenai gaya dan momen pada sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 11

    Gambar 2.12 gaya dan momen pada tiga sumbu

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 12

    BAB III STRUKTUR STATIS TERTENTU

    3.1 Modelisasi Struktur Dalam ilmu teknik sipil perlu diketahui tentang bangunan gedung, jembatan dan

    lain sebagainya. Untuk itu, perlu mengetahui bagaimana cara pemodelan dalam

    mekanika teknik, apa itu beban, balok, kolom, reaksi, gaya dalam dan bagaimana cara penggambarannya dalam mekanika teknik. Contoh: pemodelan gedung bertingkat, jembatan dalam mekanika teknik.

    a. bentuk gedung bertingkat dalam pemodelan di mekanika teknik

    Gambar 2.1 Gambar portal gedung bertingkat dalam mekanika teknik

    b. Bentuk jembatan sederhana dalam pemodelan di mekanika teknik.

    Gambar 2.2 Gambar jembatan dalam mekanika teknik

    kolom

    balok

    perletakan

    perletakan

    balok

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 13

    3.2 Jenis-Jenis Beban Pada umumnya beban-beban yang bekerja pada struktur bangunan adalah beban

    mati, beban hidup, beban gempa, beban angin, beban suhu dan sebagainya. Beban yang bergerak umumnya disebut beban hidup, misalnya: manusia, kendaraan, dan lain

    sebagainya. Beban yang tidak dapat bergerak disebut beban mati, misal: meja, peralatan dan lain sebagainya. Ada beberapa macam bentuk beban yaitu beban terpusat dan beban

    terbagi rata. a. Beban terpusat adalah adalah beban yang terkonsentrasi di suatu tempat.

    Contoh : manusia yang berdiri di atas jembatan, kendaraan yang berhenti di atas jembatan.

    .

    Gambar 2.3 Idealisasi beban terpusat dalam mekanika teknik

    b. Beban terbagi rata adalah beban yang tersebar secara merata baik kearah

    memanjang maupun ke arah luas.

    Kendaraan di atas jembatan

    P1

    Penggambaran dalam mekanika teknik

    P2

    anak-anak berbaris diatas jembatan

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 14

    Gambar 2.4 Penggambaran beban terbagi rata dalam mekanika teknik

    3.3 Perletakan / Tumpuan

    Semua beban yang bekerja pada struktur akhirnya dilimpahkan ke perletakan yang segera akan memberikan respons gaya-gaya reaksi untuk mempertahankan keseim-

    bangan. Fungsi utama perletakan/tumpuan dalam bidang teknik sipil adalah untuk menjaga struktur supaya kondisinya tetap stabil. Ada 3 (tiga) jenis perletakan antara lain:

    1. Perletakan Sendi

    Sifat-sifat perletakan sendi : - Dapat menahan gaya vertikal dan horisontal

    - Tidak dapat menahan momen (rotasi) 2. Perletakan Rol

    q t/m Penggambaran dalam mekanika teknik

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 15

    Sifat-sifat perletakan rol : - Dapat menahan gaya vertikal

    - Tidak dapat menahan momen (rotasi) 3. Perletakan Jepit

    Sifat-sifat perletakan jepit : - Dapat menahan gaya vertikal dan horisontal

    - Dapat menahan momen (rotasi)

    3.4 Definisi Struktur Statis Tertentu Dalam bangunan teknik sipil (gedung, jembatan, dan lain sebagainya) ada

    beberapa macam sistem struktur, mulai dari yang sederhana sampai dengan yang kompleks. Sistem struktur yang paling sederhana disebut struktur statis tertentu.

    Contoh: Balok jembatan diatas 2 tumpuan sederhana sendi-rol.

    Gambar 2.5 Gambar struktur jembatan dalam Mekanika Teknik

    Struktur disebut statis tertentu jika struktur tersebut bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan. Ada beberapa syarat-syarat keseimbangan, yaitu:

    A B

    Balok jembatan

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 16

    )noldengansamamomenjumlah(0M)noldengansamahorisontalgayagayajumlah(0H

    )noldengansamavertikalgayagayajumlah(0V

    =

    =

    =

    Dalam syarat keseimbangan ada 3 persamaan, maka pada struktur statis tertentu jumlah bilangan yang tidak diketahui dalam persamaan tersebut maksimum adalah 3 buah. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

    Contoh 1

    Gambar 2.6 Contoh struktur statis tertentu balok sederhana

    Diketahui balok sederhana diatas dua perletakan sendi-rol dengan beban P seperti pada gambar. Titik A adalah sendi dengan 2 reaksi tidak diketahui (RAV dan RAH) dan titik B adalah rol dengan 1 reaksi tidak diketahui (RBV). Jumlah reaksi yang tidak diketahui adalah 3 buah, maka struktur tersebut adalah struktur statis tertentu.

    Contoh 2

    Gambar 2.7 Contoh struktur statis tertentu struktur kolom

    RAV RBV

    B A

    RAH

    P

    P

    MA

    RAH

    RAV

    A

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 17

    Suatu struktur kolom yang berkonsol. Titik A adalah jepit dengan 3 reaksi yang tidak diketahui (RAV , RAH , MA). Jumlah reaksi yang tidak diketahui ada 3 buah, maka struktur tersebut adalah statis tertentu.

    Contoh 3

    Gambar 2.8 Contoh struktur statis tak tentu

    Suatu balok diatas 2 perletakan sendi-sendi. Titik A adalah sendi dengan 2 reaksi yang tidak diketahui (RAV dan RAH) dan titik B adalah sendi dengan 2 reaksi yang tidak diketahui (RBV dan RBH). Jumlah reaksi yang tidak diketahui adalah 4 buah, sedang persamaan syarat keseimbangan hanya ada 3 buah, maka struktur tersebut adalah struktur statis tak tertentu.

    A B

    P

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 18

    BAB IV GAYA DALAM

    4.1 Pendahuluan Bangunan teknik sipil pada umumnya terbuat dari struktur beton, kayu, baja dan

    lain-lain. Dalam pembuatan struktur-struktur tersebut perlu diketahui ukuran / dimensi dari tiap-tiap elemen strukturnya (balok, kolom, pelat, dan sebagainya). Untuk menentukan dimensi-dimensi dari elemen struktur tersebut, memerlukan gaya dalam. Contoh : dua buah struktur balok dengan beban dan bentang berbeda, sehingga gaya dalam yang diterima oleh kedua balok tersebut berbeda. Dengan demikian, kedua struktur tersebut mempunyai dimensi yang berbeda.

    3.2 Pengertian Gaya Dalam Suatu balok terletak pada 2 perletakan dengan beban seperti pada gambar, maka

    balok tersebut akan menderita beberapa gaya dalam yaitu :

    Balok menderita beban lentur yang menyebabkan balok tersebut melentur. Gaya

    dalam yang menyebabkan pelenturan balok tersebut disebut Momen (M). Balok tersebut menderita gaya lintang, akibat adanya reaksi perletakan atau gaya-

    gaya yang tegak lurus ( ) sumbu batang, balok tersebut menerima gaya dalam yang disebut Gaya Lintang (D).

    Balok tersebut menderita gaya tekan karena adanya beban P dari kiri dan kanan.

    Balok yang menerima gaya yang searah dengan sumbu batang, maka akan menerima beban gaya dalam yang disebut Normal (N).

    Gambar 3.1 Balok diatas 2 perletakan dan menerima beban P

    Dengan demikian, gaya-gaya dalam pada struktur antara lain Momen, Gaya

    Lintang, dan Gaya Normal.

    A B

    P P

    P1

    RB RA l

    beban reaksi

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 19

    3.2.1 Gaya Dalam Momen Momen dapat didefinisikan sebagai perkalian antara gaya dengan jarak. Untuk

    lebih memahami gaya dalam momen ini, perhatikan ilustrasi di bawah ini.

    Gambar 3.2 Balok yang menerima beban terpusat dan terbagi rata

    Diketahui suatu balok yang terletak diatas 2 tumpuan dengan beban seperti pada gambar. Balok tersebut menerima beban lentur, sehingga balok akan melendut, yang

    berarti balok tersebut menerima beban lentur atau gaya dalam momen. Balok yang terletak antara tumpuan A dan B menderita momen.

    Momen yang terjadi pada daerah balok antara perletakan A ke perletakan B dengan sejarak x dari A (ditinjau kiri potongan c-c) adalah: Mx = RA . x q.x. x (3.1) RA : reaksi di A merupakan gaya x : jarak q.x : gaya dari beban terbagi rata sejauh x yang diberi notasi (Q1 = qx)

    Gambar 3.3. Gambar potongan struktur bagian kiri

    Momen yang terjadi pada daerah balok antara perletakan A ke perletakan B dengan sejarak (l-x) dari B (ditinjau kanan potongan c-c) adalah:

    x

    c

    c

    titik berat qx q (kg/m)

    Q1= qx x

    c q kg/m P (kg)

    c

    RB RA

    x

    l (m)

    A B

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 20

    Mx = RB (l-x) q (l x) . (l -x) (3.2)

    Gambar 3.4 Gambar potongan struktur bagian kanan Menghitung besarnya momen di c-c dari kiri potongan (persamaan 3.1) atau dari

    kanan (persamaan 3.2) akan menghasilkan nilai momen yang sama. Untuk memberi perbedaan antara momen-momen yang mempunyai arah berbeda,

    maka perlu memberi tanda terhadap momen tersebut. Jika momen tersebut mampu melentur suatu balok sehingga serat atas tertekan dan serat bawah tertarik maka momen

    tersebut diberi tanda (+) = positif. Demikian juga sebaliknya.

    Gambar 3.5 Tanda momen

    3.2.2 Gaya Lintang Gaya lintang adalah gaya-gaya yang tegak lurus dengan sumbu batang. Sebuah

    balok terletak diatas 2 perletakan A dan B, menerima gaya-gaya yang arahnya tegak lurus terhadap sumbu balok. Gaya-gaya tersebut adalah RA, RB dan q. yang memberikan gaya lintang terhadap balok A-B tersebut

    q (kg/m) titik berat dari q (l-x)

    (l-x) Q2 = q (l-x)

    l -x

    c

    c

    Tertekan (-)

    Tertarik (+)

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 21

    Gambar 3.6 Balok sederhana di atas 2 tumpuan sendi-rol.

    Tinjau potongan di kiri c Dc = RA q x = RA Q1 (3.3)

    Gambar 3.7 Potongan balok bagian kiri c

    Tinjau potongan di kanan c Dc = RB q (l-x) P = RB Q2 P (3.4)

    Gambar 3.8 Potongan balok bagian kanan c

    Gaya lintang diberi tanda positif (+), jika dilihat di kiri potongan titik yang ditinjau, jumlah gaya arahnya ke atas, atau kalau dilihat di kanan potongan, jumlah gaya arahnya ke bawah. Gaya lintang diberi tanda negatif (-), jika dilihat di kiri titik

    P (kg)

    RB RA

    q (kg/m)

    c

    c

    c

    c

    Q1=q x

    q (kg/m)

    RA

    c

    c q (kg/m)

    RB

    Q2 = q (l-x) (l x)

    P

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 22

    potongan yang ditinjau arahnya kebawah ( ) dan bila ditinjau di kanan titik potongan yang ditinjau arahnya ke atas.

    3.2.3 Gaya Normal Gaya normal adalah gaya-gaya yang arahnya sejajar (//) terhadap sumbu beban

    balok. Apabila sebuah balok tidak ada beban yang sejajar terhadap sumbu beban balok, maka dikatakan balok tersebut tidak memiliki gaya normal.

    Gambar 3.9 Balok menerima beban gaya normal Gaya normal bertanda positif (+) bila arah gayanya menekan batang, sedangkan

    gaya normal bertanda negatif bila arah gayanya menarik balok.

    3.2.4 Contoh-Contoh Balok Struktur Statis tertentu Contoh 1 (tanpa penyelesaian) Diketahui sebuah balok struktur statis tertentu dengan geometri dan pembebanan seperti pada gambar. Gambar M, D, N balok tersebut.

    Gambar 3.10 Balok sederhana dengan dua tumpuan

    RB RA

    P P

    Gambar 4

    8 m

    A B

    1 t/m

    1 t 4 m

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 23

    Contoh 2 (tanpa penyelesaian) Diketahui balok konsol (kantilever) dengan perletakan titik A jepit dengan geometri dan pembebanan seperti pada gambar. Gambar bidang M, D, N

    Gambar 3.11 Balok kantilever

    Contoh 3 (dengan penyelesaian) Sebuah balok statis tertentu diatas dua perletakan dengan beban seperti pada gambar. Gambar bidang momen (M), gaya lintang (D), dan gaya normal (N). P1 = 2 t2 (), P2 = 6t (), P3 = 2t () P4 = 3t ; q1 = 2 t/m; q2 = 1 t/m

    Gambar 3.12 Balok diatas 2 perletakan dan pembebanannya

    Penyelesaian

    Mencari reaksi vertikal

    Misalkan arah reaksi RA dan RB ke atas.

    MB = 0

    RAV.10 P1.12 q1.6.7 P2.4 + 2.q2.1 = 0

    P2 = 6 ton q2 = 1 t/m

    P4 = 3 ton

    P1H = 2 t

    2 m 2 m 10 m

    6 m

    A B

    D E C

    q1 = 2t/m P1v = 2 t

    P1 = t22

    RBV

    RAV

    P3 = 2t RBH

    45

    1 ton 1 t/m

    2 m A B

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 24

    RAV = 101.1.24.67.6.212.2 ++

    = 13 ton ()

    = 0

    RBV.10 q2.q1 P2.6 q1.6.3 + P1.2 = 0

    RBV = 102.23.6.26.61.2.1 ++

    = 9 ton ()

    Karena tanda RAV dan RBV adalah positif berarti arah reaksi RBV sama dengan permisalan. Untuk mengetahui apakah reaksi RA dan RB adalah benar, maka perlu dilakukan kontrol dengan:

    V = 0

    (P1 + q1.6 + P2 + q2.2) (RA + RB) = 0 (2 + 2.6 + 6 + 1.2) (13 + 9) = 0

    Mencari Raksi Horizontal

    Perletakan A rol sehingga tidak ada RAH dan B sendi sehingga ada RBH. Untuk

    mencari RBH menggunakan syarat keseimbangan.

    H = 0 RBH = P1H + P3 + P4

    = 2 + 2 + 3 = 7 ton () Menghitung dan Menggambar Gaya Lintang (D)

    Dihitung secara bertahap

    Daerah C A lihat dari kiri Gaya lintang dari C ke A bagian kiri adalah konstan

    DAkr = P1 = - 2 ton (gaya lintang (D) di kiri titik A, di kiri potongan arah gaya lintang kebawah () DA kn (gaya lintang (D) di kanan titik A) DA kn = - P1 + RA = -2 + 13 = 11 ton (di kiri potongan arah gaya lintang ke atas). Beban P1 = 2 2 (45) diuraikan menjadi P1V = 2t () dan P1H = 2t ()

    6 m

    q1 = 2 t/m

    RA = 13 t

    2 t P3 = 2 ton

    X

    C D

    P2 = 6 ton

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 25

    Variabel x berjalan dari A ke D (sebelah kiri titik P2), sedang beban yang dihitung dimulai dari titik C. Dx = -2 + 13 q1 x = (-P1V + RA q1x) Untuk x = 0 DAkn = -2 + 13 = + 11 ton

    Untuk x = 6 m DD kr= -2 + 13 12 = - 1 ton (di kiri potongan gaya lintang arahnya ke bawah) DD kn : sedikit di kanan titik D, melampaui beban P2. DD kn : -2 + 13 12 6 = - 7 ton (dikiri potongan arah gaya lintang ke bawah) Dari titik D s/d B tidak ada beban, jadi Bidang D sama senilai DD kn (konstan dari D sampai B).

    Lebih mudah kalau dihitung dari kanan dari E menuju B. Variabel x2 berjalan dari E ke B. DE = 0

    Dx2 = q2 . x2 = + x2 (persamaan liniear) DB kn kanan perletakan B (x2 = 2 m) DB kn = + 2 ton (kanan potongan arah ke kebawah) DB kr (kiri titik B) DB kr = + 2 9 = - 7 ton (kanan potongan arah ke atas)

    Menghitung dan Menggambar Bidang Normal (N) Daerah C-D

    Dihitung dari kiri sampai D, P2 tidak termasuk dari C ke D nilai gaya normal konstan. ND kr = - P1H = - 2 ton (gaya normal menekan batang) Daerah D-B

    Dihitung dari kiri (beban yang dihitung mulai dari titik C, batang dari D ke B nilai gaya normal konstan). ND kn = (-2 2) ton = - 4 ton (gaya normal menekan batang) NB kr = NDkn = - 4 ton

    P4 = 3 ton B

    q2 = 1 t/m

    E

    x.2

    RBV = 9 ton

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 26

    Daerah B-E

    Dihitung dari kanan, dari E ke B nilai gaya normal konstan. NB kn = + 3 ton (gaya normal menarik batang) Kalau dihitung dari kiri, dimana gaya normal dihitung dari titik C.

    Dari kiri DBkn = (-4 + 7) t = + 3 ton (gaya normal menarik batang)

    Menghitung dan menggambar bidang momen (m) Daerah C A

    Variabel x berjalan dari C ke A Mx = - P1v . x = - 2 x (linier) Untuk x = 0 Mc = 0

    x = 2 MA = - 2.2 = - 4 tm.

    (momen P1v . x mengakibatkan serat atas tertarik, sehingga tanda negatif (-). Daerah A D

    Gaya-gaya yang dihitung mulai dari titik C

    Variabel x1 berjalan dari A ke D

    C

    2 m

    x

    A P1V = 2t

    P1H = 2t

    C

    x.1

    A P1V = 2t

    P1H = 2t

    RAV = 13t

    2 m 6 m

    D

    q1 = 2 t/m

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 27

    Mx1 = -P1V (2 + x1) + RA.x1 q1 x1 Mx1 = -2 (2 + x1) + 13 x1 q1 x12 (persamaan parabola) = - q1 x12 + 11 x1 4

    Mencari momen maksimum

    01xd

    1MxD=

    m.5.51x0111x1q1xd1Mxd

    ==+=

    Letak dimana harga Mmax = Letak dimana harga (D = 0) x1 = 5.5 m Mmax = - .2 (5.5) + 11.5.5 4 = 26.25 tm. Mencari titik dimana M = 0 Mx1 = - .q1.x12 + 11 x1 4 = 0

    = x12 11 x1 + 4 = 0

    x1 = 0.3756 m (yang dipakai) x1 = 10.62 m (tidak mungkin) Untuk x1 = 6 MD = -36 + 66 4 = + 26 tm

    Daerah A D

    Daerah E-B (dihitung dari kanan, titik E ke titik B) variabel x2 berjalan dari E ke B

    Mx2 = - q2 x22

    Untuk x2 = 0 ME = 0 Untuk x2 = 2 MB = - . 1.4 = -2 tm

    P4 = 3 t

    q2 = 1 t/m

    E B 2 m

    x2

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 28

    Gambar Bidang M, D, N

    Gambar 3.13 Gambar bidang momen, gaya lintang, dan gaya normal

    q1 = 2t/m P2 = 6 ton

    D A B E

    q2 = 1t/m

    P4 = 3 ton

    P1V = 2 t

    P1H = 2 t C

    RBH = 7t RBV = 9 ton

    P3 = 2 ton

    RAV = 13 t

    11

    6 t 7 t 1 t

    -

    2 t + +

    - 2

    BIDANG D

    2t

    2t -

    + 3t BIDANG N

    5.5 m

    4 tm 2 tm

    -

    -

    -

    parabola linier -

    +

    linier parabola

    BIDANG M

    0.3756

    0.286

    4t

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 29

    4.3 Beban Segitiga Pada umumnya beban tak hanya terpusat atau terbagi rata, namun ada yang

    berbentuk segitiga seperti beban tekanan air dan tanah. Prinsip dasar penyelesaiannya adalah sama dengan yang lain, namun kita harus lebih hati-hati karena bebannya

    membentuk persamaan. Untuk mempermudah pengertian beban segitiga ini, maka akan diberikan contoh struktur balok sederhana yang dibebani beban merata segitiga.

    3,464 m

    Gambar 3.14 Gambar bidang momen, gaya lintang, dan gaya normal

    D=0

    Mmax

    h = 3 ton/m

    RA

    Px

    A B

    2 l/3 l/3 P

    l = 6 m

    RB

    ax = 3.6x

    x

    2/3 x 1/3 x

    BIDANG D

    BIDANG M

    +

    -

    +

    6t

    3t

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 30

    Penyelesaian Total beban P = l x h

    P = 26.3

    = 9 ton

    MB RA.l P l/3 = 0 RA . 6-9.2 = 0

    RA = 62

    .9 = 3 ton

    MA RB . l P.2/3 l = 0 RB .6-9.4 = 0

    RB = 64

    .9 = 6 ton

    Menghitung Bidang D x = variable bergerak dari A ke B

    2x3.

    6x

    ax ==

    Px = x . ax

    4x

    2x

    .

    4xPx ==

    Persamaan gaya lintang Dx = RA Px

    Dx = 3 - 4x

    Tempat dimana gaya lintang = 0

    D = 0 34x

    =

    m464,312x ==

    x = 0 DA = + 3 ton

    x = 6 DB = - 6 ton

    Menghitung Bidang M

    Mx = RA . x Px . 3x

    = 3x - 12

    xx3

    3x

    .

    4x

    =

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 31

    D = 0 M max (x = 3,464 m)

    M max 3.3,464 - tm928,6464,3392,103

    12464,3

    ==

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 32

    BAB V GARIS PENGARUH

    5.1 Pendahuluan Kalau kita meninjau atau melihat suatu jembatan, maka struktur tersebut selalu

    dilewati oleh beban yang berjalan. Di sisi lain kalau kita menganalisis struktur maka yang dicari dari struktur tersebut adalah reaksi kemudian gaya-gaya dalamnya (momen, gaya lintang dan gaya normal). Jika dua hal tersebut dipadukan, maka kaitannya adalah Berapa besarnya nilai maksimum dari gaya-gaya dalam di suatu tempat di struktur tersebut, jika ada beban yang berjalan di atasnya? Untuk menjawab hal tersebut diperlukan suatu garis pengaruh.

    Garis pengaruh ini berfungsi sebagai alat bantu untuk mencari nilai reaksi, momen, gaya lintang, dan gaya normal, jika di atas struktur jembatan tersebut berjalan suatu muatan. Untuk mempermudah suatu penyelesaian, maka suatu garis pengaruh, beban yang dipakai sebagai standar adalah beban P sebesar satu satuan (ton atau kg atau Newton) yang berjalan diatas struktur suatu jembatan tersebut. Sedangkan bentuk garis pengaruh tersebut adalah suatu garis yang menunjukkan nilai reaksi (R) atau momen (M), gaya lintang (D) atau gaya normal (N) di suatu tempat pada balok tersebut.

    5.2 Definisi Garis Pengaruh Garis pengaruh adalah garis yang menunjukkan besarnya reaksi (R) atau momen (M), gaya lintang (D), gaya normal (N) disuatu titik akibat pengaruh dari beban sebesar 1 ton berjalan.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 33

    Contoh 1 : Mencari garis pengaruh Reaksi (RA dan RB) x = variabel sesuai letak (posisi) P yang bergerak dari titik

    A ke titik B

    Muatan P = 1 ton berjalan dari A ke B G.P.RA (Garis Pengaruh Reaksi di A) MB = 0 RA . l P (l-x) = 0

    RA = )linier(tonlxl

    lx)- l(P

    =

    Untuk P di A x = 0 RA = 1 ton Untuk P di B x = l RA = 0 ton

    G.P.RB (Garis Pengaruh Reaksi di B) MA = 0 RB.l P.x = 0

    RB = lx

    lx.P

    = ton (linier)

    Untuk P di A x = 0 RB = 0 Untuk P di B x = l RB = 1 ton

    1 ton

    1 ton

    Gambar 4.1 Garis pengaruh RA dan RB

    x

    l

    P = 1 ton

    RA RB

    B A

    +

    +

    G.P. RA

    G.P. RB

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 34

    5.3 Kegunaan dari suatu Garis Pengaruh

    Garis ini menunjukkan besarnya nilai RA sesuai dengan posisi P yang berjalan diatas gelagar

    Ini adalah GP.RB (Garis Pengaruh Reaksi di B) Garis ini menunjukkan besarnya nilai RB sesuai dengan posisi P yang berjalan diatas gelagar

    Ini adalah GP.RA (Garis Pengaruh Reaksi di A)

    * Jika beban P = 1 ton berada di titik C sejauh a dari perletakan A dan sejauh b dari perletakan B, maka besarnya reaksi di A RA = y1 dan besarnya reaksi di B RB = y2, dimana

    y1 = lb

    ton dan y2 = la

    ton, jadi

    RA = lb

    ton dan RB = la

    ton

    * Jika beban P = 1 ton berada di atas titik D sejauh c dari perletakan A dan sejauh d dari perletakan B, maka besarnya reaksi di A RA = y3 dan besarnya reaksi di B RB = y4, dimana

    y3 = ld

    ton dan y4 = lc

    ton, jadi

    RA = ld

    ton dan RB = lc

    ton

    Kegunaan garis pengaruh untuk beban di titik D

    Bagaimana kalau P tidak sama dengan 1 ton Jika P = 4 ton terletak di titik c Maka RA = 4 . y1 dan RB = 4 . y2 atau

    RA = la4RBdan

    lb4

    =

    Kegunaan dari garis pengaruh untuk beban di titik c

    X P=1t

    RA RB l B A

    1t

    1t +

    +

    GP.RA

    GP.RB P=1t

    B A C a b

    +

    + 1t

    1t GP.RA

    GP.RB y2

    y1

    P=1t

    B A d c

    D

    1t + GP.RA

    1t

    + 1t GP.RB

    +

    y3

    y4

    P= 4 ton

    B A C a b

    + 1t GP.RA y1

    + 1t GP.RB y2

    Gambar 4.2 Kegunaan garis pengaruh untuk beban tidak sama dengan 1 ton

    Gambar 2.39

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 35

    Gambar 4.3 Kegunaan garis pengaruh untuk beban P1 = 4 ton dan P2 = 6 ton

    Jika P = 6 ton terletak ti titik D Maka RA = 6 . y3 dan RB = 6 y4 atau

    RA = tonlc6BRdantonl

    d6=

    Kegunaan garis pengaruh untuk beban P = 6t

    Bagaimana kalau ada beberapa beban :

    Jika di atas gelagar ada beban

    P1 = 4t di c, sejarak dari titik A, sejarak b dari titik B, dan P2 = 6t sejarak c dari titik A, sejarak d dari titik B, maka

    RA = 4y1 + 6y3 = 4 . tonld6ton

    lb

    +

    RB = 4 y2 + 6 y4 = 4 tonlc6ton

    la

    +

    P=6t

    B A d c

    D

    1t + GP.RA

    + 1t GP.RB

    +

    y3

    y4

    P= 4 ton

    B A C

    a b

    1t GP.RA y1

    1t GP.RB

    d c

    P2= 6 ton

    D

    y3

    y4 y2

    +

    +

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 36

    Mencari Garis Pengaruh Gaya Lintang (G.P.D) P = 1 ton berjalan dari A ke B X = variabel yang bergerak sesuai dengan posisi P dari A ke B C = suatu titik terletak antara A B

    G.P. RA

    P = 1t

    B A C

    l

    a b

    x

    RA RB

    B A

    x

    C

    P = 1t

    -

    +

    G.P. RB

    b/l

    G.P. Dc

    G.P. Dc (Garis Pengaruh Gaya Lintang di C)

    P berjalan dari A ke C

    MA = 0 RB . l P.x = 0

    RB = tonxPxll

    =

    Dc dihitung dari kanan

    Dc = -RB = )linier(tonxl

    Untuk P di A x = 0 Dc = 0

    Untuk P di Ckr x = a Dc = - tona

    l

    P berjalan dari C ke B

    RA = tonx)x(P

    l

    l

    l

    l =

    Dc dihitung dari kiri

    Dc = RA = )linier(tonxl

    l

    Untuk P di Ckn x = a

    Dc = tonball

    l=

    Untuk P di B x = l Dc = ton0ll =l

    Gambar 4.4. Gambar garis pengaruh gaya lintang

    l

    a

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 37

    Mencari Garis Pengaruh Momen (G.P.M) P = 1 ton berjalan dari A ke B x = variabel yang bergerak dari A ke B sesuai posisi P.

    P = 1t

    B A C

    l

    a b

    x

    RA RB

    B A

    x

    C

    P = 1t

    G.P. Mc

    +

    tmlb.a

    GP RA.a

    GP RB.b

    G.P. Mc (Garis Pengaruh Gaya Lintang di C)

    P berjalan dari A ke C

    RB = tonxPxll

    =

    Mc dihitung dari kanan

    Mc = + RB . b = )linier(tmb.xl

    +

    Untuk P di A x = 0 Mc = 0

    Untuk P di C x = a Mc = + tmb.al

    P berjalan dari C ke B

    RA = tonx

    ton)x(P

    l

    l

    l

    l =

    Mc dihitung dari kiri

    Mc = + RA . a tm = tma.x

    l

    l

    Untuk P di C x = a Mc =

    tm.a.ball

    l=

    Untuk P di B x = l Mc = tm.a

    l

    ll

    = 0 tm

    Gambar 4.5. Gambar garis pengaruh momen di c (GP Mc)

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 38

    3. Contoh lain

    Diketahui : Balok ABC diatas 2 perletakan A dan B

    Ditanya : Gambar Garis Pengaruh RA, RB, MD, DD, DBkn

    Jawab :

    GP.RA : MB = 0 RA = tonx

    l

    l

    Untuk P di A x = 0 RA = 1 ton Untuk P di B x = l RA = 0 Untuk P di C x = 8

    RA = ton31

    ton62

    6868

    ==

    =

    l

    l

    GP.RB : . MA = 0 RB = tonltx

    Untuk P di A x = 0 RB = 0 Untuk P di B x = l RB = 1 ton Untuk P di C x = 8

    RB = ton34

    688

    ==

    l

    GP. MD P antara A-D lihat kanan bagian

    MD = RB . 4 = l

    x . 4 tm

    Untuk P di A x = 0 MD = 0 Untuk P di D x = 2 m

    MD = tm34

    64.2

    =

    P antara D-C lihat bagian

    MD = RA . 2 = 2.x

    l

    l

    Untuk P di D x = 2m

    MD = tm342.

    6262.2 ==

    l

    l

    Untuk P di B x = 8 m

    MD = tm32

    t.3686

    =

    1/3 t

    x x

    B D A C

    l = 6 m l 1= 2 m

    2 m

    P

    GP.RA -

    + 1 t

    GP.RB

    + 1t

    34

    t

    GP.MD -

    +

    2/3 ton

    GP.RA.2

    34

    tm

    -

    -

    GP.RA

    31

    t GP.RB GP.DD 31

    t

    GP.RB.4

    +

    32

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 39

    GP.DD

    P antara A-D lihat kanan bagian

    DD = - RB = - tonx

    l

    P di A x = 0 DD = 0 P di D x = 2 DD = -2/6 ton = -1/3 ton

    P antara D-C lihat kiri bagian

    DD = RA = tonx

    l

    l

    P di D x = 2 DD = ton32

    626

    =

    P di B x = 6 m DD = 0

    P di C x = 8 m DD = ton31

    686

    =

    GP.DBkr

    P antara A-Bkr lihat kanan bagian

    DBkr = - RB

    P antara B-C lihat kiri bagian

    DBkr = + RA

    GP.DBkn P antara A B lihat kanan bagian

    DBkn = 0 P antara B C lihat kanan bagian

    DBkn = P = 1 ton

    GP.MB P antara A B lihat kanan bagian

    MB = 0 P antara B C lihat kanan bagian

    MB = -x tm

    P di B x = 0 MB = 0

    P di C x = 2m MB = -2 tm

    Bkr Bkn C A B

    -

    -

    GP.DBkr

    GP.RB GP.RA

    1/3t 1t

    GP.DBkn

    + 1t

    2 tm

    GP.MB

    Gambar 4.6 Garis pengaruh M, D, N

    x

    -

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 40

    BAB VI BALOK GERBER

    5.1 Pendahuluan Balok gerber adalah struktur balok yang mempunyai jumlah reaksi perletakan > tiga buah, namun masih bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan. Contohnya pada struktur jembatan balok pada sungai yang mempunyai lebar cukup besar, sehingga dibuatlah jembatan yang berbentang lebih dari satu. Dalam persamaan keseimbangan hanya mempunyai tiga buah persamaan

    keseimbangan yaitu V = 0, H = 0, M = 0, berarti untuk bisa menyelesaikan struktur

    jembatan dengan dua bentang (sendi-rol-rol) masih memerlukan 1 buah persamaan baru lagi, supaya bilangan yang tidak diketahui (RAV, RAH, RBV, RCV) bisa didapat. Untuk struktur statis tertentu persamaan yang tersedia hanya tiga buah V = 0, H = 0, M =

    0, sehingga struktur tersebut disebut struktur statis tak tentu. Kalau satu persamaan baru tadi bisa disediakan maka syarat-syarat

    keseimbangan masih bisa dipakai untuk menyelesaikan struktur jembatan tersebut (4 buah bilangan yang dicari yaitu RAV; RAH; RBV, RCV dengan 4 buah persamaan yaitu

    V = 0; H = 0; M = 0 dan satu persamaan baru). Dalam kondisi tersebut struktur masih statis tertentu, karena masih bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan dan strukturnya dinamakan dengan struktur balok gerber. Contoh :

    Gambar 5.1 Contoh struktur balok gerber

    Suatu struktur balok gerber ABC dengan perletakan seperti gambar. A sendi (2 reaksi), B rol (1 reaksi), C rol (1 reaksi), jumlah reaksinya adalah 4 buah. Persamaan yang tersedia adalah V = 0; H = 0, M = 0 dan 1 buah persamaan baru yaitu MD =

    0. Jadi jumlah persamaan ada 4 buah yaitu V = 0; H = 0; M = 0 dan MD = 0.

    A B C RBV RCV RAV

    Sendi gerber

    RAH

    D

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 41

    Jumlah bilangan yang tidak diketahui = jumlah persamaan yang ada (V = 0; H = 0; M = 0 dan MD = 0) = jumlah persamaan RAV; RAH; RBV dan RCV) = jumlah bilangan yang dicari. Jadi struktur tersebut disebut balok gerber yang masih statis tertentu.

    6.2 Bentuk Sendi Gerber Kalau balok gerber tersebut adalah dibuat dari balok beton, maka bentuk struktur

    gerber tersebut seperti pada gambar.

    Gambar 5.2 Detail sendi gerber

    RAH

    RAV RC

    A B C

    D

    Sendi gerber

    Detail perletakan D (sendi gerber)

    RB

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 42

    6.3 Menentukan Letak Sendi Gerber

    L1 L2

    1 2

    A B C

    q kg/m

    Gambar 5.3 letak sendi gerber

    Jika balok ABC, sendi gerber belum ada, maka struktur masih statis tak tentu.

    Untuk dapat menyelesaikan struktur tersebut, maka perlu persamaan baru MD = 0,

    maka sebaiknya posisi sendi gerber (titik D) ditempatkan dimana posisi momennya bernilai sama dengan 0. Alternatif tempat dimana momennya sama dengan nol adalah

    titik 1 dan 2 yang posisinya di kiri dan kanan perletakan B. Karena kita hanya membutuhkan 1 buah persamaan baru, maka kita cukup memilih salah satu dari 2

    alternatif tersebut diatas, sehingga struktur bisa diselesaikan.

    Alternatif (1)

    Gambar 5.4 Alternatif 1 untuk letak sendi gerber

    Gambar a1

    C

    C

    C

    B

    B

    B

    A

    A

    A

    D sendi gerber

    1

    1

    D

    D

    Gambar a2

    Gambar a3

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 43

    Jika kita memilih titik (1) sebagai sendi gerber, maka gambarnya adalah seperti pada Gambar a1 dimana balok AD terletak di atas balok DBC. Balok tersebut jika disederhanakan akan seperti pada Gambar a2, dan diuraikan strukturnya seperti pada gambar a3.

    Balok AD dengan perletakan A sendi dengan 2 reaksi (RAV, RAH) perletakan D sendi dengan 2 reaksi (RDV, RDH), jumlah reaksi ada 4 buah, sehingga strukturnya adalah statis tak tentu. Balok DBC dengan perletakan B rol dengan 1 buah reaksi (RBV), perletakan C rol dengan 1 buah reaksi (RCV), jumlah reaksi ada 2 buah, karena perletakan B dan C adalah rol, maka struktur balok DBC tidak stabil, sehingga tidak mungkin memasang

    sendi gerber di titik tersebut.

    Alternatif (2)

    Gambar 5.5 Alternatif 2 untuk letak sendi gerber

    Jika yang dipilih adalah titik (2) sebagai sendi gerber, maka gambarnya adalah seperti gambar (b1) dimana balok DC terletak diatas balok ABD. Balok tersebut jika

    sendi gerber

    C

    C

    C

    B

    B

    A

    A

    A

    D

    D

    2 B

    D

    RDH

    RDV

    RDH

    Gambar b1

    Gambar b2

    Gambar b3

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 44

    gambarnya disederhanakan menjadi gambar (b2) dan diuraikan strukturnya akan menjadi seperti pada gambar (b3). Balok DC yang terletak diatas balok ABD. Perletakan D sendi ada 2 reaksi (RDV dan RDH), dan perletakan C rol dengan 1 reaksi (RCV). Jumlah reaksi adalah 3 buah, maka balok DC adalah statis tertentu. Perhatikan balok ABD,

    perletakan A sendi ada 2 reaksi (RAH dan RAV), perletakan B rol ada 1 reaksi (RBV). Jumlah total reaksi adalah 3 buah, jadi balok ABD masih statis tertentu. Jadi pemilihan titik (2) sebagai sendi gerber adalah mungkin.

    6.4 Mekanisme Penyelesaian Balok Gerber

    Gambar 5.6 Mekanisme penyelesaian balok gerber

    A B D C

    D

    B A

    A B RD

    D

    C

    C RD

    tidak mungkin

    A B

    C D

    D C

    RD

    RD

    A B

    mungkin

    Gambar a

    Gambar b1

    Gambar b2

    Gambar c1

    Gambar c2

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 45

    Diketahui balok gerber seperti pada gambar 5.6 (a). Langkah pertama yang dikerjakan adalah memisahkan balok tersebut menjadi beberapa balok statis tertentu menjadi gambar 5.6 (b1 dan b2) dan gambar 5.6 (c1 dan c2).

    Untuk Gambar b1 dan b2 Titik D dari balok ABD Gambar 5.6 b1 menumpu pada titik D pada balok DC, dan jika diuraikan strukturnya menjadi seperti pada gambar 5.6 b2, dimana titik D pada balok ABD menumpu pada titik D balok DC, sehingga reaksi RD dari balok ABD akan menjadi beban (aksi) pada titik D pada balok DC. Balok ABD (gambar 5.6 b2), perletakan A sendi (ada 2 reaksi), perletakan B rol

    (ada 1 reaksi), perletakan D sendi (ada 2 reaksi). Jadi total perletakan balok ABD ada 5 buah, jadi balok ABD merupakan balok statis tak tentu.

    Balok DC (gambar 5.6 b2), titik D bebas (tidak mempunyai tumpuan), jadi tidak ada reaksi, perletakan c rol (ada 1 reaksi), jadi jumlah total reaksi adalah 1 buah yaitu RCV di C. Dalam kondisi seperti tersebut diatas, balok DC merupakan balok yang tidak stabil, sehingga alternatif (b) adalah tidak mungkin.

    Untuk Gambar C1 dan C2 Titik D dari balok DC (gambar 5.6 C1) menumpu pada titik D balok ABD, dan jika diuraikan strukturnya akan menjadi seperti pada gambar 5.6 C2, dimana titik D dari balok DC menumpu pada titik D balok ABD, sehingga reaksi RD dari balok DC akan

    menjadi beban (aksi) pada titik D balok ABD. Balok DC (gambar 5.6 C2), perletakan D sendi (ada 2 reaksi), perletakan C rol (ada

    1 reaksi), total jumlah perletakan ada 3 buah. Jadi balok DC adalah balok statis tertentu.

    Balok ABD (gambar 5.6 C2), perletakan A sendi (ada 2 reaksi), perletakan B rol (ada 1 reaksi), jumlah perletakan ada 3 buah. Jadi balok ABD adalah balok statis tertentu juga. Jadi alternatif (C) adalah mungkin.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 46

    Tahapan Penyelesaian

    Gambar 5.7 Mekanisme penyelesaian balok gerber

    Diketahui balok gerber ABC seperti pada gambar 5.7(a), yang diuraikan menjadi pada gambar 5.7(b), maka tahapan pengerjaannya adalah sebagai berikut : Balok DC dikerjakan dulu sehingga menemukan RD dan RC. Reaksi RD dari balok DC akan menjadi beban di titik D dan balok ABD. Dengan beban yang ada (q) dan beban RD, maka balok AB bisa diselesaikan. Bidang-bidang gaya dalam (M, D, N) bisa diselesaikan sendiri-sendiri pada balok

    DC dan AB. Penggambaran bidang M, D, N balok gerber merupakan penggabungan dari bidang

    M, N, D dari masing-masing balok.

    Sendi gerber

    A B C

    D

    D

    P

    C

    RD

    RD

    A B

    a

    b

    P q

    RC

    q

    D

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 47

    Contoh Soal

    Gambar 5.8 Contoh soal balok gerber

    Diketahui balok gerber ABC dengan beban seperti pada gambar. A rol, B sendi, C rol,

    dan S sendi gerber. Gambar bidang M, D, N balo tersebut.

    Penyelesaian Struktur balok gerber seperti pada gambar (a) kalau diuraikan akan menjadi struktur seperti pada gambar (b). Balok AS harus diselesaikan lebih dahulu, baru selanjutnya reaksi RS dari balok AS menjadi beban / aksi ke balok SBC.

    Gambar 5.9 Contoh penyelesaian balok gerber

    S

    B C A 4 m 2 m 6 m

    1 m

    4t q = 2t /m

    RC

    x

    A

    4t

    S

    RS

    x1 RS

    S

    RA 2 t/m x2

    C B

    RB

    (b)

    S B C A

    4 m 2 m 6 m

    1 m 4t q = 2t /m

    (a)

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 48

    Balok A-S Mencari RA dan RS

    MS = 0 RA. 4 P.3 = 0

    RA.= t343.4

    43.P

    ==

    MA = 0 RS. 4 P.1 = 0

    RS = t141.4

    41.P

    ==

    Reaksi RS = 1 t akan menjadi beban di titik S pada balok S B C (gambar b)

    Balok S B C Mencari RB dan RC

    MC = 0

    RB.6 RS.8 q.6.3 = 0 RB.6 1.8 2.6.3 = 0

    RB = t317t

    644

    =

    MB = 0

    RC.6 + RS.2 q.6.3 = 0 RC.6 + 1.2 2.6.3 = 0

    RC = t3/25634

    =

    Bidang Momen (M) Balok A-S

    Daerah A P Mx = RA.x = 3.x (linear) x = 0 MA = 0

    x = 1 MP = 3 tm (momen dibawah P)

    Daerah P S Mx = RA.x - P (x-1) = 3.x 4 (x-1) x = 1 MP = 3 tm

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 49

    x = 4 MS = 0

    Balok SBC Daerah S B (dari kiri) Mx1 = - Rs.x1 = - 1.x1 (linear) = - x1

    x1 = 0 Ms = 0

    x2 = 2 MB = -2 tm

    Daerah C B (dari kanan)

    Mx2 = Rc.x2 - 21

    .q x2 (parabola)

    Mx2 = 5.667.x2 - 21

    .2.x2

    = 5.667 x2 - x2

    Mencari Mmax 2dx2dMx = 0 5.667 2 x2 = 0

    x2 = 2.833 m (lokasi dimana terletak Mmax) Mx2 max =5.667. 2.833 (2.833) = 16.0546 8.02589 = 8.0287 tm. Mencari titik dimana momen = 0

    Mx =5,667 x2 x22 = 0 x2 (5,667-x2 ) = 0 x2 = 5,667 m (Letak dimana momen = 0)

    Bidang D (Gaya Lintang) Balok A-S Daerah A P (dari Kiri) D2 = + Ra = +3 ( Konstan) Daerah P S (Dari kiri) Dx = + Ra - P = 3 4 = -1 t (Konstan) Balok S B C Daerah S B ( Dari Kiri ) Dx = - Rs = -1 t (Konstan)

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 50

    Daerah C B (Dari Kanan) Dx2 = - Rc + q . x2

    = - 5,667 + 2 . x2 (Linier) X2 = 0 Dc = - 5,667 t X2 = 6 Dbkn = -5,667 + 2.6 = + 6,333 t Mencari titik dimana D = 0

    -5,667 + 2X2 = 0 X2 = 2,833 m (Letak D = 0 sama dengan letak

    Mmax ) Bidang N tidak ada

    Bidang M, D, N

    Gambar 5.10 Bidang M, D, N

    +

    +

    -

    3 tm 2 tm 8.0287 tm

    Bidang Momen

    2.833 m

    5.667 m

    S B C

    A

    4 m 2 m 6 m

    1 m 4t q = 2t /m

    +

    -

    6.33t

    1t

    3t + - Bidang Gaya Lintang

    Bidang Gaya Normal

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 51

    BAB VII GARIS PENGARUH BALOK GERBER

    7.1 Garis Pengaruh Balok Gerber Setelah kita mempelajari garis pengaruh pada balok sederhana, pada Bab ini akan diuraikan mengenai garis pengaruh pada balok sendi gerber. Untuk mempermudah pemahaman mengenai garis pengaruh pada sendi gerber ini, akan diberikan contoh

    dengan penyelesaian sebagai berikut: Diketahui balok gerber seperti pada gambar di bawah ini, Hitung dan gambar garis pengaruh reaksi-reaksinya.

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 52

    GP.RA (Garis Pengaruh Reaksi di A)

    P berjalan dari A ke S x = variable bergerak sesuai posisi P dari A ke C Ms = 0

    RA = ton1

    x11

    )x1(Pl

    l

    l

    l =

    Untuk P di A x = 0 RA = 1 ton Untuk P di S x = l1 RA = 0

    P dari S ke C tidak ada pengaruh terhadap RA

    GP.RS (Garis Pengaruh Reaksi di S)

    P dari A ke S Rs =

    11xPxll

    =

    P di A x = 0 Rs = 0 P di S x = l1 RS = 1t P dari S ke C tidak ada pengaruh untuk reaksi di S (Rs)

    GP.RB (Garis Pengaruh Reaksi di B) x1 variabel bergerak dari C ke A sesuai posisi. P berjalan dari C ke S

    RB = 21x

    21Px

    ll=

    P di C x1 = 0 Rs = 0 P di B x1 = l2 RB = 1t

    P di S x1 = l2 + a RB = 2

    2 al

    l +

    P di A Rs = 0 RB = 0

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 53

    Garis pengaruh reaksi (RA; Rs; RB dan Rc)

    Jika potongan I-I antara : A3 cari garis pengaruh DI-I dan MI-I Jika potongan II-II antara : BC cari garis pengaruh DII-II dan MII-II

    GP.Rc (Garis Pengaruh Reaksi di C)

    P berjalan dari C ke S

    Rc = t2

    1x2l

    l

    P di C x1 = 0 Rc = 1t

    P di B x1 = l2 Rc = 0

    P di S Rc = 22aa.Rsll

    = karena (Rs = 1t)

    P di A Rs = 0 Rc = 0

    GARIS PENGARUH D DAN M

    G.P.DI-I (Garis Pengaruh Gaya Lintang di potongan I-I)

    P berjalan di kiri potongan I-I (perhitungan dari kanan potongan)

    DI = - Rs (dari kanan) Rs =

    11I1xPxDPxlll

    ==

    Untuk P di I-I x = b

    DI = - t1bl

    P berjalan di kanan potongan I-I (perhitungan kanan potongan I)

    DI = + RA (dari kiri) RA =

    11

    11 x)x(P

    l

    l

    l

    l =

    Untuk P di I-I x = b DI =

    111 cb

    ll

    l=

    Untuk P di S x = l1 DI = 0 Jika P berjalan dari S ke C tidak ada DI

    +

    -

    x1

    P = 1t

    1t a/l2

    GP. Rc

    A S B C

    b c d e

    C B A

    P x I

    I II

    II

    l2 l1 a

    B C

    A

    Rs

    b/l1

    1c

    l

    -

    +

    +

    1tc.b.

    l

    G.P. MI-I

    S

    G.P.. DI-I

    Garis pengaruh DI-I dan MI-I

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 54

    G.P.MI-I (Garis Pengaruh Momen di Potongan I-I) P berjalan di kiri potongan I-I (perhitungan dari kanan)

    MI = Rs . c = c.1t

    xc.

    1tPx

    ll=

    Untuk P di A x = 0 MI = 0

    Untuk P di I-I x = b MI = 1c.b

    l

    P berjalan di kanan potongan (perhitungan dari kiri)

    MI = RA . b = b.1

    x1l

    l

    Untuk P di I-I x = b MI = 1b.cb.

    1b1

    ll

    l=

    Jika P berjalan dari S ke C tidak ada MI

    G.P. DII-II (Garis Pengaruh Gaya Lintang di potongan II-II)

    P berjalan dari A ke Potongan II (perhitungan kanan potongan II)

    DII = - Rc (sama dengan g.p. Rc)

    Untuk P di S Rs = 1t

    Rc = -2a

    IIDt2a

    ll+=

    Untuk P di II

    Rc = 2d

    IID2d

    ll=

    P berjalan dari II ke C (perhitungan dari kiri potongan)

    DII = RB (sama dengan g.p. RB) Untuk P di II RB =

    2c

    IID2e

    ll=

    Sama dengan g.p. Rc Sama dengan g.p. RB

    d e x P

    S B C A II

    II

    l1 l2 a

    S A

    a/l2

    b/l2

    d/l2

    + +

    -

    GP. DII-II

    Rs

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 55

    Gambar 3.14. Garis pengaruh DII-II dan MII-II

    P berjalan dari II ke C (perhitungan dari kiri) MII = RB . d

    Untuk P di II RB = 2e

    l

    MII = dtme2l

    de2l

    Mencari Harga Momen dan Gaya Lintang Dengan Garis Pengaruh Jika ada suatu rangkaian muatan atau muatan terbagi rata berjalan diatas gelagar

    berapa momen maximum di titik C dan berapa gaya lintang maximum di titik C.

    +

    -

    a/l2.b

    d/l2 . e

    g.p. Rc.e g.p. RB.d

    G.P. MII-II (Garis Pengaruh Momen di potongan II-II)

    P berjalan dari A ke II (perhitungan dari kanan potongan)

    MII = Rc . e (sama dengan GP.Rc x e)

    Untuk P di S Rs = 1t Rc = -2a

    l

    MII = - e.2a

    l

    Untuk P di II Rc = 2dl

    MII = - e.2dl

    B Mencari harga Mc

    Kondisi muatan seperti pada 1) Mc = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3

    Kondisi muatan seperti pada 2) Mc = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 + P4

    y4

    Mc = P.y

    GP.Mc

    A C a b

    l

    P1 P2 P3 P4

    y4 y2 y3 y1 y3 y1 y2

    P1 P2 P3 * 1)

    * 2)

    P.a.b l

    A B C

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 56

    Untuk muatan terbagi rata = q t/m

    d Mc = y.q dx Mc = = dxyqqdx.y

    == Fdiarsiryangbagianluasdxy

    Mc = q F q dx = muatan q sejarak dx, dimana dx 0 (mendekati 0)

    y = ordinat dibawah dx

    Mencari harga Dc

    Untuk beban titik

    Dc = -P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 + P4 y4

    Beban terbagi rata

    F = luas arsir

    Dc = q F

    Dc = q F

    GP.Mc

    Luas = F

    q t/m dx

    P1 P2 P3 P4

    y1 y2 y3 y4

    GP.Dc +

    -

    +

    P=

    q t/m

    GP.Dc

    y

    +

    Luas = F

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 57

    7.2 Momen Maximum di Suatu Titik Pada Gelagar Pada kenyataannya, muatan yang melewati suatu jembatan adalah tidak menentu,

    ada yang lewat sendirian atau merupakan suatu rangkaian muatan, Dalam kondisi tersebut kita tetap harus mencari berapa nilai momen maximum di suatu tempat pada

    gelagar tersebut. Misal :

    Muatan berjalan diatas gelagar Berapa momen maximum yang terjadi di titik C jika ada suatu rangkaian muatan seperti pada gambar tersebut melewati jembatan seperti pada gambar.

    Prinsip dasar yang digunakan dalam mencari momen maksimum di suatu titik adalah sebagai berikut:

    Untuk mencari nilai momen maximum di suatu untuk didalam gelagar maka kita

    perlu mencari posisi dimana muatan tersebut berada yang menyebabkan momen di titik tersebut maximum.

    Untuk mencari nilai maximum tersebut perlu memakai garis pengaruh dari gaya dalam yang dicari sebagai perantaranya.

    Nilai maximum tersebut didapat dengan cara mengalikan antara beban yang terletak diatas gelagar dengan ordinat dari garis pengaruh yang dipakai.

    A

    a b

    l

    C

    P1 P2 P3 P4 P5 P6 Suatu gelagar muatan

    B Suatu gelagar Jembatan

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 58

    Contoh soal Suatu balok terletak diatas 2 perletakan seperti pada Gambar, jika ada rangkaian muatan yang berjalan diatasnya, berapa Mc maximum yang terjadi.

    Perpindahan ordinat untuk muatan berjalan

    Muatan bergerak ke kanan sejauh x, dimana ordinat garis pengaruh dinyatakan dengan y1 s/d y5 dan Mc = Py

    (dalam hal ini y berubah menjadi y) Jika ditinjau 2 bagian : - bagian kiri titik C dan - bagian kanan titik C Di kiri titik C ordinat bertambah y dan Di kanan titik C ordinat berkurang y

    Jawab :

    Mencari Mc max untuk rangkaian

    muatan berjalan (dari kiri ke kanan) Jarak rangkaian muatan constant

    (tetap) = posisi awal

    = posisi kedua

    Pada posisi awal, ordinat garis pengaruh dinyatakan dengan y1 s/d yS, atau

    Mc = Py

    = P1y1 + P2 y2 + P3 y3 + P4 y4

    + P5 y5

    B A C

    (c) (l- c)

    l

    P1 P1 P2 P3 P4 P5 P2 P3 P4

    x

    r l

    x y1 y2 y3 y4 y5

    y5

    y3

    C1

    y2 y1

    y

    y

    GP.Mc

    P5

    y4

    y

    y

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 59

    y = 1c.c

    x

    y = 1c.)cl(x

    Perbedaan nilai momen (M) dari perpindahan posisi beban adalah sebagai berikut : Mc = P1 y + P2 y P3 y P4 y P5 y

    = (P1 + P2) y - (P3 + P4 + P5) y jika (P1 + P2) = Pl dan (P3 + P4 + P5) = Pr

    = Pl

    1c.

    c

    xPr1c.c

    x

    l

    [ ]qrq1c.xc

    Prc

    Pl1c.x =

    ll

    ql = jumlah beban rata-rata di sebelah kiri titik C

    qr = jumlah beban rata-rata di sebelah kanan titik C

    Jika ql > qr M positif

    Jika muatan bergeser terus ke kanan sehingga P2 melampaui C ql = C1P

    ql menjadi kecil sehingga ql < qr M negatif (pergerakan P2 dari kiri C ke kanan

    C menjadikan tanda M dari positif ke negatif) Jadi Mmax terjadi jika P2 diatas C.

    M max terjadi jika salah satu muatan di atas potongan sehingga c

    PrCP

    =l

    l atau

    ql = qr

    Mmax di suatu titik untuk muatan terbagi rata

    ql qr

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 60

    Posisi beban terbagi rata untuk Mencari Mmaximum

    Mmax terjadi jika psosisi beban ql = qr = qs

    Mencari perkiraan posisi beban dalam mencari momen max supaya beban di kiri dan di kanan potongan seimbang, maka bisa diperkirakan secara grafik sebagai berikut :

    Gelagar diatas 2 perletakan A-B, digunakan rangkaian muatan berjalan dengan nomor urut 01, 12, 23,34 dan 45 Cara : buat garis AB dibawah gelagar,- di ujung bagian kanan (B) buat muatan

    tumpukan beban dari 45; 34; 23;12; dan 01 (dengan skala) - Tarik dari titik 0 (ujung dari beban 01) ke ujung garis bagian kiri (A)

    sehingga membentuk sudut () - Kalau kita mau mencari dimana letak beban yang mengakibatkan momen di

    potongan I maksimum, yaitu dengan menarik garis dari potongan I kebawah,

    sampai memotong garis A-B di I. - Tarik dari titik I sejajar (//) dengan garis A0 dan garis tersebut akan

    memotong tumpukan muatan di beban 01. - Jadi MI akan maximum jika beban 01 terletak di atas potongan I.

    * Bagaimana posisi beban untuk mendapatkan momen di potongan II maximum. - Dengan cara yang sama, tarik garis dari potongan II ke bawah sampai pada

    garis A-B dan memotong di potongan II. - Dari titik II ditarik garis // (sejajar) dengan A O dan memotong tumpukan

    muatan di beban 12. - Jadi MII akan maximum jika beban 12 terletak diatas potongan II.

    a b

    B A C

    c (l c)

    kiri kanan total

    Untuk muatan terbagi rata Mc max terjadi jika : ql = qr

    ll

    ba)c(

    bc

    a +=

    =

    ql qr qs

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 61

    Gambar 3.19. Mencari posisi muatan untuk mendapatkan Mmax dengan cara grafis

    MI max terjadi jika muatan OI terletak diatas potongan I-I. MII max terjadi jika muatan 12 terletak diatas potongan II-II. MIII max terjadi jika muatan 34 terletak diatas potongan III-III. MIV max terjadi jika muatan 34 terletak diatas potongan atau mutan 45 terletak diatas potongan IV-IV dan diambil yang besar.

    Mmax terjadi jika ql = qr = qs = tg

    tg = l

    4534231201 ++++

    I II III IV B

    0

    1

    2

    3

    4

    5 A

    I II III IV B A

    34 45 23 12 1

    l

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 62

    7.3 Mencari Momen Maximum Maximorum di Suatu Gelagar Momen maximum maximorum ini berbeda dengan mencari momen maximum di

    suatu titik pada gelagar, mencari momen maximum-maximorum di suatu gelagar ini posisi titiknya tidak tertentu. Jadi dalam hal ini titik letak dimana momen maximum

    terjadi, serta posisi beban yang menyebabkan terjadinya momen maximum harus dicari. Jadi dalam hal ini letak posisi titik dimana momen maximum terjadi dan letak posisi

    beban yang menyebabkan momen maximum harus di cari. Adapun dasar-dasar perhitungan yang digunakan adalah sebagai berikut: - Untuk mencari momen maximum-maximorum di suatu gelagar ini tidak bisa

    memakai garis pengaruh karena titik letak momen maximum terjadi harus dicari. - Dalam mencari momen maximum-maximorum ini harus memakai persamaan.

    Contoh 1

    Rangkaian muatan terletak diatas gelagar dan dimisalkan momen maximum terletak

    dibawah beban P3 dengan jarak x dari perletakan A

    Suatu gelagar diatas 2 perletakan A B, dan suatu rangkaian muatan dari P1 s/d P5. Berapa dan dimana momen maximum-maximorumnnya ?.

    Jawab:

    R1 = resultante dari P1 dan P2 R2 = resultante dari P3 dan P4 Rt = resultante dari R1; R2 dan P3 atau

    resultante P1; P2; P3; P4; P5

    r = jarak antara Rt dan P3 a = jarak antara R1 dan P3 b = jarak antara R2 dan P3

    A B

    P1 P2 P3 P4 P5

    P1 P2 P3 P4 P5

    R2 R1

    Rt a b

    r

    (a)

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 63

    M di P3 = 0

    Rt.r = R1 . a R2 . b

    MA = 0

    RB = { }bx(2R)ax(1Rx.3Pt1

    +++l

    Momen dibawah P3 dengan jarak x dari titik A

    Mx = RB (l-x) R2 . b

    Mx = ( ) )axxlalx(1Rxx3P ++l

    ll

    ( )bltxbxx2R ++ ll

    Mencari Mmax :

    0dx

    dMx=

    ( ) ( )ax21Rx23Pdx

    dMx++= l

    ll

    l

    0)bx2lt(l2R

    =+

    P3 (l 2x) + R1 (l 2x + a) + R2 (l 2x b) = 0 P3 l + R1 . l + R2 . l + R1 . a R2 . b = 2 x (P3 + R1 + R2)

    Rt . l + R1.a R2 . b = 2x . Rt

    x = l + . r.RtRt

    b.2Ra.1R

    x = l + Rt

    r.Rt

    x = l + r pada jarak x = l + r dari A terdapat M max.

    Rt

    M max terdapat dibawah P4 = M4max Dalam hal ini r = jarak antara Rt dengan P4 Mextrem = Mmax maximorum adalah momen yang terbesar diantara Mmax (1,2,3,4,5).

    r

    RB RA

    R1 R2

    Rt

    a b

    x

    l

    P3 P4 P5 P2 P1

    A r r

    E B

    tengah-tengah AB

    P3

    Rt

    Mmax terdapat di potongan E (dibawah P3) ; ME max. = M3 max

    B

    tengah-tengah AB

    Rt

    r21

    r21

    T

    P4

    Rt

    (b)

    (c)

    (d)

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 64

    B

    B

    B Mmax terjadi dibawah beban P5 M5 max

    Dalam hal ini : r = jarak antara Rt dengan P5

    Mmax terjadi dibawah beban P2 M2 max

    Dalam hal ini r = jarak antara Rt dengan P2.

    Mmax terjadi dibawah beban P1 M1 max

    Dalam hal ini r = jarak antara Rt dengan P1.

    M max terdapat di bawah P5 = M5 max x = l + r

    r

    r r

    A

    Rt

    x

    r l

    M max terdapat dibawah P1 = M1 max

    P1

    tengah-tengah bentang

    tengah-tengah bentang

    P1 P2 P3 P4 P5

    A

    r

    r

    Rt

    x = l + r

    M max terdapat dibawah P2 = M2 max

    A

    tengah bentang r r

    r

    Rt

    P1 P2 P3 P4 P5

    (e)

    (f)

    (g)

    Posisi beban untuk kondisi Mmax1 s/d M max5

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 65

    Contoh 2

    Kondisi 1 Dimana M max dibawah P1

    Kondisi 2 Dimana M max dibawah P2

    Kondisi 3 Dimana M max dibawah P3

    Suatu gelagar dengan bentang l = 10 m dan ada suatu rangkaian muatan berjalan dengan lebar seperti pada gambar. Cari besarnya momen maximum-maximum maximorum.

    Jawab : kondisi beban seperti pada gambar

    r = 0,90 = jarak antara Rt dengan P1 MB = 0

    RA = ton1,910

    55,4.20)x.(Rt==

    l

    l

    M1 max dibawah P1 adalah :

    RA. ( l r) = 9.1 (5 0,45) = 9,1 x 4,55 M1 max = 41,405 tm r = 0,1 m = jarak antara P2 dan Rt MA = 0

    RB= t9,910)05,05(20)r2/1l2/1(Rt

    =

    l

    M2 Max dibawah P2 adalah :

    RB ( l r) = P3 . 1 = 9,9 (4,95) 6.1 = 49,005 6 = 43,005 tm = M2 max

    r = 1,1 m = jarak antara P3 dengan Rt MA = 0 RB= t9,810

    )55,05(20l

    )r2/1l2/1(Rt=

    =

    M3 max dibawah P3 adalah RB ( l r) = 8,9 x 4,45 = 39,605 tm

    =M3 max Momen maximum maximorum adalah M2 max = 43,005 tm

    1m 1m

    P1 P2 P3

    8t 4t 6t

    x

    Rt

    Rt = P1 + P2 + P3= 20 ton Statis momen terhadap P1 P2.1 + P3.2 = Rt.x 6.1 + 6.2 = 20 . x x =

    m90,020

    126=

    +

    Rt Posisi beban untuk mencari momen maximum

    maximorum

    B

    B

    B

    tengah-tengah bentang

    B

    tengah-tengah bentang

    4,45 4,45 r =1.1

    1m 1m

    P1=8t P2=6t P3=6t

    A

    Rt

    l - x

    4,55 = 5 + 0,45 x = l + r

    r

    Rt

    P2 P3

    tengah bentang P1 P2 P3

    A

    A

    P1 P2 P3

    0,1 m

    4,95 m

    P1

    5m

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 66

    Latihan : Garis pengaruh pada balok menerus dengan sendi-sendi gerber

    Soal 1 :

    Soal 2 :

    a). Akibat beban P = 1t berjalan diatas balok, ditanyakan; GP RA; GP RB; GP RC; GP RD

    GP MI; GP DI; GP MB; GP DB kanan

    b). Akibat rangkaian beban berjalan, ditanyakan : MI max, M max

    maximorum pada balok tersebut.

    Balok ABC dengan sendi gerber S seperti tergambar. Akibat beban P = 1t berjalan diatas balok, ditanyakan :

    GP RA; GP RB; GP RC GP MI; GP DI; GP MB

    P=1t berjalan 2 m

    S

    B

    2 m 4 m 6 m RB RC

    C A

    RA

    I

    4 m

    A B C D

    8 m 2 m 2 m 6 m 6 m RC RD RB RA

    S1 S2

    I Balok ABCD dengan sendi gerber S1 dan S2 seperti tergambar.

    2 m 2 m

    P1=4t P2=4t P3=2t

    P = 1 t berjalan

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 67

    Soal Latihan

    Soal 1 :

    Soal 2 :

    a). Akibat beban P = 1t berjalan diatas balok, ditanyakan; GP RA; GP RB; GP RC; GP RD

    GP MI; GP DI; GP MB; GP DB kanan

    b). Akibat rangkaian beban berjalan, ditanyakan : MI max, M max

    maximorum pada balok tersebut.

    Balok ABC dengan sendi gerber S seperti tergambar. Akibat beban P = 1t berjalan diatas balok, ditanyakan :

    GP RA; GP RB; GP RC GP MI; GP DI; GP MB

    2 m S

    B

    2 m 4 m 6 m RB RC

    C A

    RA

    I

    4 m

    A B C D

    8 m 2 m 2 m 6 m 6 m RC RD RB RA

    S1 S2

    I Balok ABCD dengan sendi gerber S1 dan S2 seperti tergambar.

    2 m 2 m

    P1=4t P2=4t P3=2t

    P = 1 t berjalan

  • Analisis Struktur I

    Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia 68

    DAFTAR PUSTAKA

    1. Gunawan, T., Margaret, S. (1999). Teori soal dan penyelesaian Mekanika Teknik I, Delta Teknik Group Jakarta.

    2. Hibeller. (1999). Structural Analysis. Fourth Edition. Printice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 070458. 3. Frick H. (2006). Mekanika Teknik I (statika dan kegunanaannya). Penerbit Kanisius, Yogyakarta.

    4. Chu Kia Wang (1986) Statically Indeterminate Structures, Mc Graw-Hill, Book Company, Inc.

    5. Dipohusodo I. (2001). Analisis Struktur. Penerbit PT Gramedia, Jakarta.