Section 6.2 The Mean Value Theorem

Teorema nilai rata-rata berkaitan dengan nilai-nilai dari fungsi kepada nilai-nilai

turunannya, sebagai salah satu hasil yang akan berguna dalam analisis real. Pada bagian ini kita

akan membentuk teorema penting dan beberapa akibat teorema tersebut.

Kita mulai dengan melihat hubungan antara relative ekstrem dari suatu fungsi dan nilai

dari turunannya. Ingat bahwa fungsi f : I R dikatakan mempunyai relative maximum di c Є

I jika terdapat lingkungan V := V δ(c) pada c sedemikian sehingga f (x) ≤ f (c) untuk semua x di

V ∩ I. fungsi f : I R dikatakan mempunyai relative minimum di c Є I jika terdapat

lingkungan V := V δ(c) pada c sedemikian sehingga f (c) ≤ f (x) untuk semua x di V ∩ I. kita

katakan bahwa f mempunyai relatif ekstrem di c Є I jika memiliki relatif maximum atau relatif

minimum di c.

Hasil berikutnya memberikan pembenaran teoritis untuk proses yang umum untuk

mencari titik di mana f   relatif  ekstrim dengan memeriksa turunannya sama dengan nol. 

Namun, harus disadari bahwa prosedur ini hanya berlaku bagi titik-titik dalam interval. Sebagai

contoh jika f (x) : = x pada interval I : = [0, 1], maka titik akhir

x = 0 menghasilkan relatif minimum  yang unik dan titik akhir x=1 menghasilkan maksimum

yang unik dari f pada I, tetapi tidak ada titik-titik pada interval I yang menyebabkan turunan f

yang sama dengan nol.

6.2.1 Teorema Interior ekstrem  

diberikan c sebagai titik interior pada interval I dimana f : I R mempunyai relatif ekstrem.

Jika turunan f di c ada, maka f’ (c ) = 0.

Bukti. Kami akan membuktikan hasilnya hanya untuk f mempunyai relatif  maksimum 

di c; bukti ini untuk kasus relatif minimum  sama.

Jika f'(c) > 0, maka oleh Teorema 4.2.9 terdapat lingkungan V subset I pada c seperti

f ( x )−f (c )x−c

> 0, untuk x Є V, x ≠ c

Jika x Є V dan x > c, maka kita mempunyai

f ( x )−f (c )=( x−c ) .f ( x )−f (c)

x−c > 0

tetapi bertentangan dengan hipotesis bahwa f mempunyai maximum relatif di c. jadi kita tidak

dapat mempunyai f’ (c) > 0. Demikian juga (bagaimana?) kita tidak dapat mempunyai

f’(c) <0. Oleh karena itu kita harus memiliki f’(c) = O

6.2.2 Corollary. Misalkan f : I R kontinu pada interval I dan andaikan bahwa f mempunyai

relatif ekstrem pada interior point c di I. maka turunan f di c tidak ada atau sama dengan 0.

Kita catat bahwa jika f(x) := │x│ pada I := [-1,1], maka f mempunyai interior minimum pada x =

0; namun turunan dari f tidak ada pada x = 0.

6.2.3 Teorema Rolle 

Misalkan f kontinu pada interval tertutup I:= [a,b], turunan f’ ada pada setiap titik dari

interval terbuka (a,b), dan bahwa f(a) = f (b) = 0 maka terdapat paling sedikit satu titik c di (a,b)

sehingga f’(c) =0.

Bukti. Jika f menghilang identik pada I, maka setiap c di (a,b) memenuhi kesimpulan teorema.

Oleh karena itu kami menganggap bahwa f tidak hilang identik; menggantikan f oleh –f

jika perlu, kami dapat menganggap bahwa f  asumsi beberapa nilai positif.  Oleh teorema 5.3.4,

maksimum-minimum, fungsi f mencapai nilai sup {f (x): x Є I}> 0 di beberapa titik c di

I. Karena f (a) = f (b) = 0,  titik c harus terletak pada (a, b) sehingga f '(c) ada.

Grafik 6.2.1 halaman 169

Karena f mempunyai maksimum relatif di c, kita simpulkan dari Teorema 6.2.1  ekstrem Interior 

bahwa f '(c) = O. (lihat Gambar6.2.1.)

Sebagai konsekuensi dari Teorema Rolle, kita memperoleh Teorema Nilai Rata-

rata  fundamental.

6.2; 4 Teorema Nilai Rata-rata 

andaikan f  kontinu pada interval tertutup I:= [a,b], dan bahwa f mempunyai turunan dalam

interval terbuka (a,b). maka terdapat paling sedikit satu titik c pada (a,b) sedemikian sehingga

f(b) - f(a) = f ' (c)(b - a).

bukti:

Pertimbangkan fungsi φ didefinisikan pada I oleh:

φ(x) := f (x) – f(a) –f (b )−f (a)

b−a(x−a)

[ Fungsi φ adalah sedikit berbeda dari f dan fungsi yang grafiknya adalah segmen garis yang

menghubungkan titik-titik (a, f (a)) dan (b, f (b)); lihat Gambar 6.2.2.] Hipotesis dalam

Teorema Rolle terpenuhi oleh φ karena φ kontinu pada [a, b], terdiferensialkan pada (a,b)

dan φ(a) = φ(b) = O. Oleh karena itu, terdapat titik c dalam (a, b ) sedemikian sehingga

0 = φ (c) = f (c) –f ( b )−f (a)

b−a

Karena itu f(b) - f(a) = f(c)(b - a).

Keterangan:

Tinjauan geometri dari teorema nilai rata-rata adalah bahwa ada beberapa titik pada kurva y=f(x)

dimana garis singgungnya sejajar dengan segmen garis yang melalui titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Sehingga

mudah untuk mengingat pernyataan teorema nilai rata-rata dengan menggambar diagram yang sesuai.

Sementara ini seharusnya tidak dihindari ia cenderung untuk menunjukkan bahwa 

pentingnya nya geometri dialam, yang cukup menyesatkan. Bahkan teorema nilai rata-rata adalah

serigala berbulu domba dan merupakan teorema dasar kalkulus diferensial. Dalam sisa dari bagian ini,

kami akan menyajikan beberapa konsekuensi dari hasil ini. Aplikasi lain akan ditunjukkan kemudian

Teorema nilai rata-rata salah satunya memungkinkan untuk menggambarkan kesimpulan tentang

sifat dari suatu fungsi dari informasi tentang turunan f nya. Hasil berikut diperoleh dengan cara

ini.

Section 6.2 The Mean Value Theorem

The Mean Value Theorem, which relates the values of a function to values of its derivative, is

one of the most useful results in real analysis. In this section we will establish this important

theorem and sample some of its many consequences.

We begin by looking at the relationship between the relative extrema of a function

and the values of its derivative. Recall that the function I : I -+ IRis said to have a

relative maximum [respectively, relative minimum] ate E I if there exists a neighborhood

V := V.s(c)of c such that I(x) ::::I(c) [respectively, I(c) < I(x)] for all x in V n I. We

say that I has a relative extremum at eEl if it has either a relative maximum or a relative

minimum at c.

The next result provides the theoretical justification for the familiar process of finding

points at which I has relative extrema by examining the zeros of the derivative. However,

it must be realized that this procedure applies only to interior points of the interval. For

example, if I (x) := x on the interval I := [0, 1], then the endpointx =0 yields the unique

relative minimum and the endpoint x = 1 yields the unique maximum of I on I, but neither

point is a zero of the derivative of I.

6.2.1 Interior Extremum Theorem Let c be an interior point 01the interval I at which

I: I -+ IRhas a relative extremum.lfthe derivative 01I at c exists, then I'(c) = O.

Proof. We will prove the result only for the case that I has a relative maximum at c; the

proof for the case of a relative minimum is similar.

But this contradicts the hypothesis that I has a relative maximum at c. Thus we cannot

have f(c) > O. Similarly (how?), we cannot have f(c) < O. Therefore we must have f(c) = O.

6.2.2 Corollary Let f: I -+ IR be continuous on an interval I and suppose that I has a relative

extremum at an interior point c of I. Then either the derivative of I at c does not exist, or it is

equal to zero.

We note that if f(x) := IxI on I := [-1, 1], then f has an interior minimum at x = 0; however,the

derivative of f fails to exist at x =O.

6.2.3 Rolle's Theorem Suppose that I is continuous on a closed interval I := [a,b], that

the derivative f' exists at every point of the open interval (a, b), and that f(a) = f(b) = O.

Then there exists at least one point c in (a, b) such that f' (c) =O

Proof. If f vanishes identically on I, then any c in (a, b) will satisfy the conclusion of the

theorem. Hence we suppose that f does not vanish identically; replacing f by - f

if necessary,we may suppose that f assumes some positive values. By the Maximum-

MinimumTheorem5.3.4, the function f attains the value sup{f(x) : x E I} > 0 at some

point c in I. Since f(a) = f(b) =0, the point c must lie in (a, b); therefore f'(c) exists.

grafik

Since f has a relative maximum at c, we conclude from the Interior Extremum Theorem 6.2.1

that f'(c) =O.(See Figure 6.2.1.)

6.2;4 Mean Value Theorem Suppose that f is continuous on a closed interval I := [a, b], and that f

has a derivative in the open interval (a, b). Then there exists at least one point c in (a, b) such that

Consider the function φ defined on I by

φ(x) := f (x) – f(a) –f (b )−f (a)

b−a(x−a)

[The function φ is simply the difference of f and the function whose graph is the line segment

joining the points (a, f(a)) and (b, f(b)); see Figure 6.2.2.] The hypotheses of

Grafik

Rolle's Theorem are satisfied by cp since cp is continuous on [a, b], differentiable on (a, b), and

φ (a)= φ (b) = O.Therefore, there exists a point c in (a, b) such that

0 = φ’ (c) = f’(c) –f ( b )−f (a)

b−a

Hence, f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Remark The geometric view of the Mean Value Theorem is that there is some point on the curve

y = f (x) at which the tangent line is parallel to the line segment through the points (a, f(a)) and

(b, f(b)). Thus it is easy to remember the statement of the Mean Value Theorem by drawing

appropriate diagrams. While this should not be discouraged, it tends to suggest that its

importance is geometrical in nature, which is quite misleading. In fact the Mean Value Theorem

is a wolf in sheep's clothing and is the Fundamental Theorem of Differential Calculus. In the

remainder of this section, we will present some of the consequences of this result. Other

applications will be given later.

The Mean Value Theorem permits one to draw conclusions about the nature of a function f from

information about its derivative f'. The following results are obtained in this manner.