REGRESI LINIER SEDERHANATugas Mata Kuliah Analisis Regresi

Oleh

Annis Kurnia Ramadhani (3115102296)

Beni Adam (3115100122)

Pendidikan Matematika Reguler 2010

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Jakarta

2013

A. PENDAHULUAN

Sepanjang sejarah umat manusia, orang melakukan penelitian tentang

ada tidaknya hubungan antara dua hal, fenomena, kejadian atau lainnya. Dan

ada tidaknya pengaruh antara satu kejadian dengan kejadian lainnya. Oleh

karena itu, untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan suatu

kejadian maka digunakan korelasi dan regresi dalam ilmu statistika.

Regresi merupakan salah satu analisis yang bertujuan untuk

mengetetahui pengaruh suatu variabel terhadap variabel lain. Dalam analisis

regresi, variabel yang mempengaruhi disebut variabel/peubah bebas

sedangkan variabel yang dipengaruhi disebut variabel/peubah terikat.

A. TUJUAN

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini yaitu:

1. Memberikan informasi dan wawasan mengenai apa itu regresi.

2. Mengetahui pengaruh suatu variabel terhadap variabel lain dalam

analisis regresi

3. Memenuhi tugas mata kuliah Analisis Regresi yang diampu oleh Dra.

Ratnaningsih, M.Si

B. URAIAN MATERI

1. Asumsi Model Regresi Linear Sederhana

Sering kali dalam praktek kita berhadapan dengan persoalan yang

menyangkut sekelompok peubah bila diketahui bahwa diantara peubah

tersebut terdapat suatu hubungan alamiah. Misalnya dalam industri

diketahui bahwa kadar ter hasil suatu proses kimia berkaitan dengan

temperature masukan. Mungkin perlu dikembangkan suatu metode

peramalan, yaitu suatu cara kerja guna menaksir kadar ter untuk berbagai

taraf temperature masukan yang didapat dari data percobaan.

Untuk contoh ini dan kebanyakan terapannya terdapat perbedaan

yang jelas antara peubah sepanjang menyangkut perannya dalam

proses percobaan. Seringkali terdapat suatu peubah terikat yang

tunggal atau yang disebut respon Y. Respon bergantung pada satu

atau lebih peubah bebas, misalnya 1, 2, 3,…, k, yang galat

pengukurannya dapat diabaikan.

Dalam makalah ini yang akan dibahas adalah regresi linear

sederhana, yang hanya menyangkut satu peubah bebas. Nyatakanlah

sampel acak ukuran n dengan himpunan . Bila

diambil sampel tambahan tepat sama dengan nilai maka kita yakin

harga akan berbeda-beda. Jadi harga i pada pasangan terurut ( i,

i) merupakan harga dari sebuah peubah acak Y i. Untuk mudahnya

akan ditulis YIx dan ini menyatakan peubaha acak Y yang berkaitan

dengan suatu nilai tetap x, dan nyatakan rataan dan variansinya

masing-masing dengan µYIX dan variansinya . Jelas, bahwa bila

i maka lambang YIxi menyatakan peubah acak Yi dengan rataan

µYIX dan variansinya

Istilah Regresi Linear berarti, bahwa rataan µYIX berkaitan linear

dengan dalam bentuk persamaan linear populasi.

µYIX .

Koefisien regresi α dan β merupakan dua parameter yang ditaksir

dari data sampel. Bila taksiran kedua parameter itu masing-masing

dinyatakan dengan dan maka µYIX dapat ditaksir dengan dari

bentuk garis regresi berdasarkan sampel atau garis kecocokan regresi.

Dengan taksiran dan masing-masing menyatakan perpotongan

dengan sumbu dan tanjakannya. Lambang digunakan untuk

membedakan antara taksiran atau nilai prediksi yang diberikan oleh

regresi sampel dan nilai amatan percobaan yang sesungguhnya

untuk suatu nilai .

Dalam hal regresi linear sederhana, yaitu hanya terdapat peubah

bebas dan satu peubah acak terikat Y, datanya dapat disajikan

sebagai pasangan pengamatan . Akan

menolong bila digunakan gagasan dari pasal sebelumnya untuk

mendefinisikan setiap peubah acak I dengan suatu model

statistika. Bila dimisalkan bahwa semua rataan terletak pada

suatu garis lurus, maka setiap dapat ditulis sebagai model regresi

linear sederhana.

I ,

dengan galat acak , galat model, haruslah mempunyai rataan nol.

Setiap pengamatan ( ) dalam sampel memenuhi hubungan

dengan nilai yang dicapai bila mendapat nilai . Persamaan di

atas dapat dipandang sebagai model untuk pengamatan tunggal .

Demikian juga, dengan menggunakan taksiran atau kecocokan garis

regresi

Tiap pasangan pengamatan memenuhi

,

disebut galat sisa dan memberikan galat dalam kecocokan

model pada titik data ke i.

2. Prosedur untuk Melakukan Estimasi Parameter (Metode Kuadrat

Kecil)

Akan dicari dan , taksiran α dan β, sehingga jumlah kuadrat sisa

minimum. Jumlah kuadrat sisa sering pula disebut jumlah kuadrat galat

terhadap garis regresi dan dinyatakan dengan JKG. Cara peminimuman

untuk menaksir parameter dinamakan metode kuadrat terkecil. Jika

dan akan dicari sehingga akan meminimumkan

Bila J diturunkan terhadap dan , maka diperoleh

Menaksir koefisien regresi bila diketahui sampel

maka taksiran kuadrat terkecil dan dari

koefisien regresi α dan β dihitung menggunakan rumus :

Contoh soal

1. Tariklah garis regresi untuk data pencemaran pada tabel di bawah ini !

Tabel 1

Penurunan zat pada x (%)

Kebutuhan oksigen kimiawi y(%)

Penurunan zat pada x (%)

Kebutuhan oksigen kimiawi y(%)

3 5 36 347 11 37 3611 21 38 3815 16 39 3718 16 39 3627 28 39 4529 27 40 3930 25 41 4130 35 42 4031 30 42 4431 40 43 3732 32 44 4433 34 45 46

33 32 46 4634 34 47 4936 37 50 5136 38

Jawab :

Dari tabel di atas diperoleh

, ,

Jadi, taksiran regresinya adalah

3. Pengujian Hipotesis Parameter Regresi

Uji model regresi sebaiknya dilakukan dengan dua macam, yaitu :

a. Uji Serentak

Statistik uji yang dipakai untuk melakukan uji serentak ini adalah uji F.

Uji F dikenal juga dengan uji Anova (Analysis Of Varians) yaitu uji untuk

melihat bagaimanakah pengaruh semua variabel prediktornya secara

bersama-sama terhadap variabel terikatnya atau untuk menguji apakah

model regresi yang kita buat baik (signifikan) atau tidak baik (non

signifikan). Jika model signifikan maka model bisa digunakan untuk

peramalan, sebaliknya jika non signifikan maka model regresi tidak bisa

digunakan untuk peramalan. Uji serentak merupakan uji terhadap nilai-

nilai koefisien regresi secara bersama-sama dengan hipotesa.

Hipotesisnya sebagai berikut :

1. H0 :

H1 : 0, j = 1,2,…,k

2. Tentukan taraf nyata

3. Daerah kritik penerimaan :

Daerah kritik penolakan : F0< atau F0 >

4. Uji Statistik

5. Kesimpulan

fhitung fα(v1,v2), H0 gagal tolak

fhitung > fα(v1,v2), Ho ditolak

Tabel Analisis Ragam Regresi Linear

Sumber df SS MS F hitung

variansi

Regresi 1 atau Atau

Galat n-2

Total n-1

Dimana:

= simpangan total

= simpangan regresi

= simpangan residu

Uji F dapat dilakukan dengan membandingkan F hitung dengan F

tabel, jika F hitung > dari F tabel, maka Ho di tolak dan H1 diterima

dengan kata lain persamaaan garis regresi tersebut tidak bisa kita terima

sebagai penduga hubungan antara variabel X dengan variabel Y. Bila

bentuk hubungan antar variabel X dengan variabel Y sudah dapat kita

terima maka kita bisa mengetahui seberapa besar keeratan hubungannya

(korelasinya).

Walaupun bentuk hubungan antara variabel X dengan variabel Y

ada dalam bentuk yang benar belum tentu korelasinya besar karena

banyak variabel lain yang turut mempengaruhi perubahan variabel Y.

Besarnya perubahan variabel Y yang dapat diterangkan oleh variabel X

dengan menggunakan persamaan garis regresi yang diperoleh disebut

koefisien determinan.

b. Uji Parsial

Statistik uji yang dipakai untuk melakukan uji parsial ini adalah

statistik uji T. Uji T digunakan untuk menguji bagaimana pengaruh

masing-masing variabel bebasnya secara sendiri-sendiri terhadap variabel

terikatnya. Jika hasil pada uji serentak menunjukkan bahwa H0 ditolak,

maka perlu dilakukan uji individu dengan hipotesa :

1. H0: β = 0

H1: β ≠ 0 atau H1: β < 0 atau H1: β >0

2. Tentukan taraf nyata

3. Daerah kritik penerimaan :

Daerah kritik penolakan : t0< atau t0 >

4. Uji statistik

thitung = atau

thitung =

dapat juga ditulis

thitung =

Dimana:

a = taksiran bagi β0

b = taksiran bagi β1

t = nilai sebaran t

5. Keputusan:

a. H0 ditolak jika thitung > tα/2(n-2) atau thitung < - tα/2(n-2)untuk lawan

alternatif H1:β≠ 0

b. H0 ditolak jika thitung < - tα(n-2) untuk lawan alternatif H1: β < 0

c. H0 ditolak jika thitung > tα(n-2) untuk lawan alternatif H1: β > 0

4. Selang Kepercayaan

Nilai dugaan bagi parameter yang sesungguhnya bagi α dan β yang

didasarkan pada n pengamatan yang diperoleh. Nilai-nilai dugaan lain

bagi α dan β yang dapat diperoleh melalui pengambilan contoh

berukuran n beberapa kali dapat dipandang sebagai nilai-nilai peubah

acak. Selang kepercayaan sebesar (1-α)100% untuk parameter β adalah

Dapat ditulis juga dengan

Dimana:

b = taksiran bagi β1

t = nilai sebaran t

Sedangkan selang kepercayaan sebesar (1-α)100% untuk adalah

Dapat ditulis juga dengan

Dimana:

a = taksiran bagi

= nilai rata-rata x

Contoh soal :

2. Dengan menggunakan nilai taksiran b = 0,903643 pada contoh soal 1,

ujilah hipotesis bahwa = 1,0 pada taraf keberartian 0,05 lawan

tandingan bahwa < 1,0

Jawab :

1. H0 : = 1,0

2. H1 : < 1,0

3. Pilih taraf keberartian 0,05

4. Daerah kritis t < -1,699 (tabel)

5. Hitungan

thitung = =

P 0,03 diperoleh dari hitungan program komputer

6. Keputusan : harga t berarti pada taraf 0,03, suatu petunjuk kuat

bahwa < 1,0. H0 ditolak

C. RANGKUMAN

1. Regresi adalah garis yang menunjukan hubungan dua macam variabel

(estimating line). Regresi disebut juga dengan metode statistika yang

digunakan untuk membentuk model hubungan antara variabel terikat

(Y) dan variabel bebas (X).

2. Regresi ada dua macam yaitu regresi linear sederhana dan regresi

berganda.

3. Analisis regresi merupakan sebuah alat statistik yang memberikan

penjelasan tentang pola hubungan antara variabel bebas dan variabel

terikat.

4. Analisis regresi setidak-tidaknya memiliki 3 kegunaan yaitu untuk

tujuan deskripsi dari fenomena data atau kasus yang sedang diteliti,

untuk tujuan kontrol, serta untuk tujuan prediksi.

5. Persamaan regresi adalah hubungan antara variabel bebas dan

terikat, yang dicocokkan pada data percobaan, ditandai dengan

persamaan prediksi :

,

Dengan :

6. Uji model regresi sebaiknya dilakukan dengan dua macam, yaitu uji

serentak dan uji parsial.

7. Uji serentak menggunakan statistik uji F yang dikenal juga dengan uji

Anova (Analysis Of Varians)

8. Interval konfedensi sebesar (1-α)100% untuk parameter β1 adalah

9. Interval konfidensi sebesar (1-α) untuk adalah

D. TES FORMATIF

1. Nilai 9 orang murid dari suatu kelas pada ujian tengah semester ( )

dan pada ujian akhir ( ) adalah sebagai berikut:

77 50 71 72 81 94 96 99 67

82 66 78 34 47 85 99 99 68

a. Taksirlah garis regresi linear

b. Taksirlah nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 85

pada ujian tengah semester.

2. Carilah selang kepercayaan 95% untuk dalam garis regresi µYIX

berdasarkan data nomor 1.

E. PENYELESAIAN

1. Tabel perhitungan

77 82 5929 631450 66 2500 330071 78 5041 553872 34 5184 244881 47 6561 380794 85 8836 799096 99 9216 950499 99 9801 980167 68 4489 4556

707 658 57557 53258

a. Garis regresi

0.77714

12.06232

Jadi, persamaan regresinya adalah

b. Untuk ,

Jadi, apabila seorang murid mendapatkan nilai 85 pada saat UTS maka nilai UAS

nya dapat ditaksir sebesar 78.

707 658 57557 53258

2. Jadi,

Jxx = 57557 – 2018,22

Jyy = 51980 – 3872,89

Jxy = 53258 – 1568,44

Dari nomor 1, diperoleh b = 0.77714

= 379,1418

s = 19, 4716

dari tabel, t0,025 = 2,262 untuk derajat kebebasan 9

jadi, selang kepercayaan 95% untuk adalah

-0,2032 < < 1,7575

DAFTAR PUSTAKA

Draper, N. R. 1992. Analisis Regresi Terapan Edisi Ke 2. Jakarta: PT.

Pustaka Gramedia Utama

Sembiring, R. K. 1995. Analisis Regresi. Bandung: Institut Teknologi

Bandung

Walpole. Ronald E. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Ilmuwan.

Bandung: Institut Teknologi Bandung

Fatwa, Irmaya. 2011. Modul VI : Analisis Regresi. Tersedia :

http://www.slideshare.net/irmayafatwayukha/hasil-makalah-6

(diakses pada 23 Februari 2013 pukul 08.55 WIB)

http://teratainear.blogspot.com/p/makalah-regresi-dan-korelasi.html?

m=1 (diakses pada 23 Februari 2013 pukul 07.30 WIB)