BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam ini dinyatakan

dalam bentuk persamaan yang memuat laju perubahan dari suatu kuantitas, yang tak lain adalah

berupa persamaan diferensial. Banyak kasus yang melibatkan hukum pendinginan

newton. Banyak perubahan jumlah karena saat berlangsung seperti uang dalam tabungan

atau suhu minuman menyegarkan atau massa pendingin. Di sini kita akan tertarik dalam

membuat prediksi tentang jumlah perubahan tersebut. Perhitungan ini biasanya diulang

beberapa kali dan merupakan contoh dari algoritma. Karena sejumlah besar perhitungan

ulang, kita biasanya menggunakan beberapa alat komputasi. Perhatikan pendinginan baik-

diaduk cair seperti secangkir kopi. Di sini kita ingin memprediksi suhu cairan yang diberikan

pada beberapa observasi awal

(http://www4.ncsu.edu/eos/users/w/white/www/white/ma325/HTlec1.pdf)

Hukum Newton membuat pernyataan tentang tingkat seketika perubahan suhu. Kita

akan melihat bahwa ketika kita menerjemahkan pernyataan verbal ke dalam persamaan

diferensial, kita sampai pada sebuah persamaan diferensial. Solusi untuk persamaan ini maka

akan menjadi fungsi yang melacak catatan lengkap suhu dari waktu ke waktu. Hukum Newton

akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah tersebut.

B. Permasalahan

1

Yang menjadi permasalahan pokok dalam makalah ini adalah bagaiamana membuat

permodelan proses pendindinan Newton dan perpinndahan kalor pada sebuah termos serta

bagaimana mengetahui distribusi aliran kalor pada sebuah termos (sebuah atudi kasus)

C. Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah mencari solusi persamaan permodelan

proses pendinginan Newton serta mencari solusi fenomena distribusi aliran kalor untuk dapat

mengetahui distribusi temperature dalam termos.

D. Hipotesis

Pada kasus proses pendinginan air akan cenderung mengikuti hokum proses

pendinginan Newton dan diatribusi aliran kalor dalam termos (studi kasus) mengikuti distribusi

Maxwell.

2

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Laju perpindahan panas pada suatu rongga dihitung berdasarkan hukum newton

pendinginan. Sedangkan koeffisien perpindahan panas konveksi (h) Pada rongga dipengaruhi

oleh : perbedaan temperature dari kedua dinding pembatas, selain itu juga merupakan fungsi

dari geometri rongga , orientasi dari rongga dan sifat-sifat yang dimiliki fluida (Ousthuizen H

Patrick, David Naylor, (1999).

Besarnya laju perpindahan panas antara dua permukaan yang membentuk rongga

sangat dipengaruhi pula oleh kondisi sifat-sifat (properties) , yaitu ; tekanan, temperatur,

massa jenis, konduktivitas, viskositas dan sebagainya dari fluida yang berada di dalam rongga

tersebut. Untuk mengurangi laju perpindahan panas pada suatu rongga (cavity), cara

penghampaan (pemvakuman) merupakan suatu metode yang sangat popular didalam

kehidupan sehari-hari. Cara ini sering digunakan pada thermos, pelat-pelat absorber pada

pemanas matahari, sebagai isolasi untuk mengurangi kehilangan panas pada reaktor nuklir,

pendinginan pada tangki sampah radioaktif, ventilasi ruangan

(Roth A, (1989).

Jika benda panas, seperti secangkir kopi, ditempatkan dalam lingkungan yang dingin

suhu turun. Kita tahu dari pengalaman pribadi bahwa hari-hari berangin merasa lebih dingin

dari hari tenang. Bahkan, selama musim dingin laporan cuaca yang sering termasuk "faktor

angin dingin" di samping suhu.

Hukum pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahan suhu suatu benda

sebanding dengan perbedaan antara suhu sendiri dan suhu ruang (yaitu suhu sekitarnya).

3

Hukum Newton membuat pernyataan tentang tingkat perubahan suhu yang seketika. Kita

akan melihat bahwa ketika kita menerjemahkan pernyataan verbal ke dalam persamaan

diferensial, kita sampai pada sebuah persamaan diferensial. Solusi untuk persamaan ini maka

akan menjadi fungsi yang melacak catatan lengkap suhu dari waktu ke waktu. Hukum Newton

akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah berikut.

Dengan menggunakan fakta bahwa adalah konstan untuk menghilangkan

turunannya, dan kami terpasang di untuk Dengan mendefinisikan variabel baru

ini,

Solusinya adalah

Kita dapat menggunakan hasil ini untuk menyimpulkan (dengan memasang

dan Yang

Oleh karena itu,

Kasus khusus :

4

1. Asusmsikan bahwa T (0 )=T 0>T , maka hokum pendinginan Newton dapat

dituliskan :

Dengan metode separasi variable dan mengitegralkan persamaan diatas maka di

peroleh :

Jika T (0 )=T 0 maka :

Dan

Oleh sebab itu kita peroleh :

2. Asumsikan bahwa T (0 )=T 0< A

Sehingga panas benda dapat di gambarkan seperti pada persamaan berikut :

Dengan cara yang sama seperti pada kasus pertama maka kita dapatkan :

Secara dari kedua kasus diatas maka dapat dituliskan sebagai :

http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONVAL/Sites/English_sites/Site4/6/6_03-2.htm

5

Segera setelah secangkir kopi panas dituang, itu mulai dingin. Proses pendinginan

sangat cepat pada awalnya, dan kemudian level off. Setelah jangka waktu yang panjang, suhu

kopi akhirnya mencapai suhu kamar. variasi suhu untuk objek pendingin seperti itu dirangkum

oleh Newton. Dia menyatakan bahwa tingkat di mana tubuh mendinginkan hangat kira-kira

sebanding dengan perbedaan suhu antara suhu benda hangat dan suhu sekitarnya. Lain

matematis:

ΔTΔt

=−k (T−C )

dimana ΔT merupakan perubahan suhu benda selama selang waktu yang sangat kecil, Δt . T

adalah suhu tubuh di instan tertentu, C adalah suhu sekitarnya, dan k adalah konstanta

proporsionalitas. Persamaan ini dapat diselesaikan untuk T menggunakan teknik canggih:

T−C=(T−T 0 )e−(kT )

T−C=Te−( kT )−T 0e− ( kT )

mana T0 adalah suhu tubuh saat t = 0. Dalam latihan ini, Anda akanmenyelidiki variasi

suhuuntuk objekpendinginan dan berusaha untuk memverifikasimodel matematika yang

dikembangkan oleh Newton.

dTdt

=−k (T t−T a)ddt

(T t−T a)=dT t

dt−

dT a

dt

Perhatikan bahwa DTA / dt adalah 0 sehingga

6

∫ dTT

=∫−kdt

ln T=−ktT=e−kt

T (0 )=T (0 ) e−kt

T (t )=T (0 ) e−kt

http://answers.yahoo.caom/question/index?qid=20090727232050AAL6zBr

7

dTdt

=−k (T t−T a)ddt

(T t−T a)=dT t

dt−

dT a

dtdTdt

=−kT

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Analisis Kasus pada persamaan : T (t )=T +T a ekt

To T Ta=To-T t(mnt) k kt exp(kt) T(t)100 10 90 10 -0.05949 -0.5949 0.551618 55.16177100 10 90 20 -0.05949 -1.1898 0.304282 30.42821100 10 90 30 -0.05949 -1.7847 0.167847 16.78474100 10 90 40 -0.05949 -2.3796 0.092588 9.258761100 10 90 50 -0.05949 -2.9745 0.051073 5.107296100 10 90 60 -0.05949 -3.5694 0.028173 2.817275100 10 90 70 -0.05949 -4.1643 0.015541 1.554059100 10 90 80 -0.05949 -4.7592 0.008572 0.857246100 10 90 90 -0.05949 -5.3541 0.004729 0.472872100 10 90 100 -0.05949 -5.949 0.002608 0.260845100 10 90 110 -0.05949 -6.5439 0.001439 0.143887100 10 90 120 -0.05949 -7.1388 0.000794 0.07937100 10 90 130 -0.05949 -7.7337 0.000438 0.043782100 10 90 140 -0.05949 -8.3286 0.000242 0.024151100 10 90 150 -0.05949 -8.9235 0.000133 0.013322100 10 90 160 -0.05949 -9.5184 7.35E-05 0.007349100 10 90 170 -0.05949 -10.1133 4.05E-05 0.004054100 10 90 180 -0.05949 -10.7082 2.24E-05 0.002236100 10 90 190 -0.05949 -11.3031 1.23E-05 0.001233100 10 90 200 -0.05949 -11.898 6.8E-06 0.00068

Suhu suatu benda atau suatu fluide tertentu akan menurun seiring dengan waktu yang

berjalan, yang mana makin lama waktunya maka fluida akan temperaturnya akan makin

menurun. Pada kasus ini mengalamai penurunan temperature yang kritis. Hal ini terlihat kita

pada temperature 1000C di biarkan dalam waktu 10 menit maka temperaturnya menjadi

55.161770C dan sampai pada waktu 200 menit temeparturnya menjadi 0.000680C seperti

terlihat pada gambar dibawah.

8

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

T(t)Linear (T(t))

Waktu (t)

Tem

pera

tur T

(t)

Analisis Kasus pada persamaan : T (t )=T +T a e−kt

Ta T Ta=To-T t(mnt) k kt exp(-kt) T(t)

100 10 90 10 0.060545 0.60545 0.545829 59.1245

9

100 10 90 20 0.060545 1.2109 0.297929 36.8136

1

100 10 90 30 0.060545 1.81635 0.162618 24.6356

4

100 10 90 40 0.060545 2.4218 0.088762 17.9885

5

100 10 90 50 0.060545 3.02725 0.048449 14.3603

8

100 10 90 60 0.060545 3.6327 0.026445 12.3800

2

100 10 90 70 0.060545 4.23815 0.014434 11.2990

8

100 10 90 80 0.060545 4.8436 0.007879 10.7090

8

100 10 90 90 0.060545 5.44905 0.0043 10.3870

3

100 10 90 100 0.060545 6.0545 0.002347 10.2112

5

100 10 90 110 0.060545 6.65995 0.001281 10.1153

1100 10 90 120 0.06054 7.2654 0.000699 10.0629

9

5 4

100 10 90 130 0.060545 7.87085 0.000382 10.0343

5

100 10 90 140 0.060545 8.4763 0.000208 10.0187

5

100 10 90 150 0.060545 9.08175 0.000114 10.0102

4

100 10 90 160 0.060545 9.6872 6.21E-05 10.0055

9

100 10 90 170 0.060545

10.29265 3.39E-05 10.0030

5

100 10 90 180 0.060545 10.8981 1.85E-05 10.0016

6

100 10 90 190 0.060545

11.50355 1.01E-05 10.0009

1

100 10 90 200 0.060545 12.109 5.51E-06 10.0005

Suhu suatu benda atau suatu fluida tertentu akan menurun seiring dengan waktu yang

berjalan, yang mana makin lama waktunya maka fluida akan temperaturnya akan makin

menurun. Hal ini terlihat kita pada temperature 1000C di biarkan dalam waktu 10 menit maka

temperaturnya menjadi 59.124590C dan sampai pada waktu 200 menit temeparturnya menjadi

10.00050C seperti terlihat pada gambar dibawah.

10

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

70

T(t)Linear (T(t))

Waktu (t)

Tem

pera

tur T

(t)

Dua sumber utama dari adanya daya disipasi yaitu dari radiasi dinding termos dan

konduktansi termal antara udara diantara dinding – dinding termos. Daya radiasi dari dalam

dinding termos negative

Jr (0 )=εσ A(T 4−To4)

Yang mana

T = suhu pada teh

T0 = suhu lingkungan

σ = konstatanta Stefan-blotzman = 5,7 . 10−8 W /m2 K 4

Daya disipasi konduktifitas termal pada udara seharusnya dapat mengestimasi

keadaan yang sebenarnya, saat tekanan, rata – rata molekul udara adalah λ≈1 cm . Oleh

11

sebab itu, terjadi tumbukan antara molekul – molekul yang bergerak satu dinding termos

kedinding yang lainya. Kita dapat mengasumsikan bahwa λ≥d ( d adalah jarak antara

dinding – dinding). Dalam regime ini konduktansi termal sebanding dengan tekanan ( jika

λ << d , maka akan bergantung pada tekanan). Diasumsikan setelah molekul menumbuk

dinding – dinding, maka akan memeperoleh temperature pada dinding. Setelah dari awal

mengenai dinding, molekul ini akan membawa energy sebesar :

ε=Cv (T−T o )

Dimana untuk di uadara Cv=

52

k B. Banyaknya tumbukan molekul pada dinding

bagian dalam interval waktu dt di berikan oleh :

dN=n ⟨υ ⟩

4Adt

Dimana n adalah kosentrasi molekul dan ⟨υ⟩ adalah kecepatan rata – rata molekul.

⟨υ⟩=∫0

∞

υf (υ ) dυ=4πC∫0

∞

υ3 e−mυ2

2τ dυ

=4 πC12∫0

∞υ2 e

−mυ2

2τ dυ2 =2πC∫0

∞υ3e

−mx2

2 τ dx

=−2 πCdda ∫0

∞e−ax dx=−2 πC

dda

1a

=2 πC1

a2

=2 π (m2 πτ )32 (2 τ

m )2

=√8 τπm

=√8RT 0

πμ

12

Daya termal konduktansi adalah :

J t=εdNdt

=52

kB (T−T 0)n ⟨υ⟩

4A

Substitusi

n= PkB T o

dan

⟨υ⟩=√ 8 RTo

μπ maka di peroleh :

J t=εdNdt

=52

kB (T−T 0)n ⟨υ⟩

4A

J t=εdNdt

=52

kB (T−T 0)n⟨υ ⟩4

A

J t=52

kB (T−T 0) Pk BT 0

14 √8 RT0

πμA

J t=58 (T−T 0) P

T 0 √8 RT 0

πμA=5

8 (TT 0

−1)PA √8 RT 0

πμ

Juga, kita dapat melihat loss radiasi pada hal yang sama pada magnitude sebagai

parameter - parameter konduktansi termal. Oleh karena itu, pada termos hanya dapat

memperbaiki kedua-duanya dim kurangi emeistifiti dan tekanan residu antara dinding –

dinding. Energy disipasi didefinisikan sama dengan perubahan energy pada teh yang

bermassa m :

13

−Cm dT=(J r+J t ) dt

−CmdTdt

=εσ A (T 4−T04)+ 5

8 (T−T 0) PA √ 8 Rπμ T 0

−CmdTdt

≈εσ A (T−T0 )4~T 3+58 (T−T 0) PA √ 8 R

πμ T 0

Dimana

~T=(T +T 0

2 ). Ketika waktu t untuk teh menjadi dingin dari

temeperatur awal Ti sampai pada temperatur akhir Tf, diberikan oleh :

t≈Cm ln|

T i−T 0

T f−T 0

|

A(4 εσ {~T¿¿ 3+ 5

8P√ 8 R

πμ T 0)

Panas lossnya di berikan oleh :

Jτ1=Cm (T2−T 1)+Q1

Dan

Q2=Cm ΔT

,

τ 2=τ1

2

14

Q1=2Q2=2 Cm ΔT

Jτ1=Cm (T2−T 1)+Q1=Cm (T 2−T1 )+2 Cm ΔT=Cm (T2−T 1+2 ΔT )

m=Jτ1

C (T 2−T 1+2 ΔT )

n=nf (v ) v2 dv sin θdφdθ

R=nA∫0

2 πdφ∫0

∞f (v ) v3 dv∫0

π /2sin θ cosθdθ=π An∫0

∞v3 f ( v ) dv

Kecepatan rata – rata di definisikan sebagai :

⟨v ⟩=∫0

2 πdφ∫0

∞vf (v ) v2 dv∫0

πsin θdθ=4 π∫0

∞v3 f (v ) dv

Dari persamaan :

∫0

2 πdφ∫0

∞f (v ) v3 dv∫0

π /2sin θ cosθdθ=π An∫0

∞v3 f (v ) dv

dan

⟨v ⟩=∫0

2 πdφ∫0

∞vf (v ) v2 dv∫0

πsin θdθ=4 π∫0

∞v3 f (v ) dv

, diperoleh

R=n⟨v ⟩4

A

Maka

dEdt

=RΔε=n⟨v ⟩4

AΔε=18

nτ ⟨v ⟩ A

Transfer panas :

dEdt

=dQdt

=18

nτ ⟨v ⟩ A dan

R=n⟨v ⟩4

A

R=−d (nV )dt

=−Vdndt

=n ⟨v ⟩4

A

dndt

=−n ⟨v ⟩4V

A

Solusi dari persamaan diatas, kita dapat menguraikan perubahan densitas :

15

n (t )=ne

−tt0

, dimana t0≡

4 VA ⟨v ⟩

Oleh karena itu di dapatkan aliran panasnya yaitu :

dQdt

=18

nτA ⟨v ⟩ e− t

t0

Banyaknya molekul – molekul yang bertumbukan pada permukaan N tiap waktu diberikan oleh :

N=n ⟨v ⟩

4t

dan N0=

4 A

πd2

Hubungan dari kedua persamaan diatas dapat di tuliskan sebagai N≤γN 0 .

Atau untuk tiap 1 m2 pada permukaan di berikan oleh :

n ⟨v ⟩4

t≤γ4

πd2

Kecepatan rata – rata : ⟨v ⟩=√ 8 τ

πμ=√ 8 RT

πμ dan n= P

kB T o sehingga si

peroleh : P≤

16 γkBT

πd2 t ⟨v ⟩

Persamaan diatas adalah merupakan besarnya kalor yang berkontaminasi dengan permukaan termos.

BAB IV

KESIMPULAN

Dari uraian diatas maka dapat diambil kesimpulan bahwa pada proses pendinginan air

cenderung mengikuti hokum pendinginan Newton yang mana bahwa temperature suatu fluida

16

akan menurun seiring dengan waktu yang makin meningkat, hal ini terlihat pada saat Hal ini

terlihat pada kasus pertama Pada kasus ini mengalamai penurunan temperature yang kritis.

Hal ini terlihat kita pada temperature 1000C di biarkan dalam waktu 10 menit maka

temperaturnya menjadi 55.161770C dan sampai pada waktu 200 menit temeparturnya menjadi

0.000680C dan pada kasus kedua pada temperature 1000C di biarkan dalam waktu 10 menit

maka temperaturnya menjadi 59.124590C dan sampai pada waktu 200 menit temeparturnya

menjadi 10.00050C.

17