Analisis Derajad Kebebasan

Analisis Derajad Kebebasan

Derajad kebebasan sistem = jumlah total variabel –

jumlah total persamaan neraca masa independen –

jumlah total variabel arus yang telah ditentukan – jumlah

total hubungan tambahan yang dapat disusun

Contoh

Sari jeruk segar mempunyai komposisi 12% masa

padatan terlarut, gula, dan air. Untuk menurunkan

biaya transportasi dari pabrik ke daerah pemasaran sari

jeruk ini dipekatkan dan didaerah tujuan direkonstitusi

menjadi sari jeruk dengan menambah air. Pemekatan

dilakukan pada evaporator dengan waktu tinggal pendek

untuk mencegah hilangnya aroma dan rasa yang sensitif

terhadap panas dan mudah menguap. Karena beberapa

komponen tetap hilang selama proses maka untuk

meningkatkan rasa dan aroma sari jeruk pekat

ditambahkan sari jeruk segar dengan aliran pintas.

Bila aliran pintas 10% dari umpan dan output dari

evaporator mengandung 80% padatan terlarut.

Hitunglah air yang harus diuapkan dan komposisi

produk akhir bila umpan sari jeruk segar 10.000 kg/j.

Unit Proses

Air

F4

F1 F2 F5 F6

xp1 xp2 xp5 xp6

F3

xp3

Perhitungan derajad kebebasan

Percabangan Evaporator Mixer Proses

Jumlah variabel 6 5 6 11

Jumlah neraca masa 2 2 2 6

Jumlah variabel yang telah ditentukan:

- Komposisi

- Arus1

1

1

-

1

-

2

1

Jumlah Hubungan

- Rasio percabangan- Batasan percabangan

1

1

-

-

-

-

1

1

Derajad kebebasan 0 2 3 0

Contoh

Flash vaporizer

Campuran cairan n-heksana dan n-heptana 1000 kmol/j

pada tekanan tinggi tiba-tiba diturunkan tekanannya

(flash). Sebagian cairan menguap menghasikan

campuran uap yang lebih kaya dengan n-heksana dan

sisa cairan yang lebih kaya dengan n-heptana. Keduanya

setimbang pada tekanan p dan suhu T.

n2 kmol/j x2 n-heksana (1 – x2) n-heptana

n1 kmol/j x1 n-heksana (1 – x1) n-heptana n3 kmol/j x3 n-heksana (1 – x3) n-heptana

Ada 5 variabel : n2, n3, x1, x2, x3 yang belum

diketahui, sehingga dibutuhkan 5 persamaan

untuk menyelesaikannya.

Persamaan diperoleh dari :

1. Persamaan neraca masa

Ada 3 persamaan neraca masa, 2 neraca masa

komponen n-heksana dan n-heptana dan 1

neraca masa total

x1 n1 = x2 n2 + n3 x3 (1)

(1 – x1) n1 = (1 – x2) n2 + (1 – x3) n3 (2)

n1 = n2 + n3 (3)

2. Hukum fisika

Dua persamaan dari hukum Raoult

x2 P = x3 p*n-heksana (4)

(1 - x2) P = (1 - x3) p*n-heptana (5)

Campuran sejumlah 1000 kg/j mempunyai

komposisi 40% masa bensena (B), 45% masa

toluena (T) dan xylena (X) 15% masa diumpankan

kekolom distilasi. Distilat mempunyai komposisi

95% masa bensena dan 3,0% masa toluena.

Produk dasar diumpankan ke kolom distilasi ke-2.

Distilat dari kolom ke-2 mempunyai komposisi

1,7% masa bensena, 98,0% masa toluena. Dari

toluena yang di umpankan ke proses, 10%

diperoleh pada hasil dasar kolom distilasi ke-2, dan

96,67% xylena yang diumpankan ke proses

direcovery pada hasil dasar kolom distilasi ke-2

juga. Hitunglah variabel yang belum diketahui.

n1 kg/j n5 kg/j 0,95 kg B/kg 0,017 kg B/kg 0,03 kg T/kg 0,98 kg T/kg 0,02 kg X/kg 0,003 kg X/kg

1000 kg/j400 kg/j B450 kg/j T150 kg/j X n2 kg/j B n6 kg/j n3 kg/j T n7 kg/j n4 kg/j X n8 kg/j

Pada kolom distilasi 1

Ada 4 variabel : n1, n2, n3, n4 yang belum diketahui, dan

hanya ada 3 persamaan dari neraca masa B, T, X

Derajad kebebasan = 4 – 3 = 1

Pada kolom distilasi 2

Ada 7 variabel : n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8 yang belum

diketahui, dan hanya ada 3 persamaan dari neraca masa

B, T, X

Derajad kebebasan = 7 – 3 = 4

Proses secara keseluruhan

Ada 5 variabel yang belum diketahui n1, n5, n6, n7, n8

Ada 3 persamaan neraca masa B, T, X dan 2 persamaan

recoveri fraksional.

Derajad kebebasan = 5 – 3 – 2 = 0

Penyelesaian

Ada 8 variabel tidak diketahui : n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8

Dibutuhkan 8 persamaan :

Neraca masa pada kolom distilasi 1

B : 400 kg = 0,95 n1 + n2

T : 450 kg = 0,03 n1 + n3

X : 150 kg = 0,02 n1 + n4

Neraca masa pada kolom distilasi 2

B : n2 = 0,017 n5 + n6

T : n3 = 0,98 n5 + n7

X : n4 = 0,003 n5 + n8

Persamaan recoveri fraksional

10% recoveri T : n7 = 0,10 (450) kg = 45 kg

96,67% recoveri X : n8 = 0,9667 (150) kg = 145 kg

n1 = 189,6 kg

n2 = 219,8 kg

n3 = 444,3 kg

n4 = 146,2 kg

n5 = 402,4 kg

n6 = 213,0 kg

Masalah Neraca Masa Linear

Penyelesaian secara simultan dengan program komputasi

akan mudah bila semua spesifikasi batasan linear pada

aliran komponen atau spesies. Pada kasus ini persamaan

neraca dan himpunan spesifikasi akan secara sederhana

terdiri dari himpunan persamaan linear. Persamaan

linear dapat diselesaikan secara efisien tanpa siklus

konvergensi menggunakan metoda matriks varian peng-

hilangan baris. Program komputer untuk perhitungan

penyelesaian matriks tersedia dalam berbagai bentuk.

Contoh

5

1 2 3 4

Proses sederhana dimana senyawa A diubah menjadi

senyawa B terdiri dari mixer, reaktor, dan separator

seperti pada diagram alir diatas. Separator memisahkan

output reaktor menjadi arus produk dan arus recycle

yang mengandung 80% A dan 40 % B. Kondisi operasi

reaktor diatur sehingga rasio B/A pada arus umpan 1 : 5.

Bila arus umpan baru adalah A dan diperkirakan

stoikiometri reaksi sederhana A → B hitunglah konversi

reaktor.

Penyelesaian

Diasumsikan arus umpan baru (1) = 100 kmol/j A

Neraca masa pada reaktor

Input = Output

n3A = (1 – x) n2

A = n2A - r

n3B = n2

B + x n2A = n2

B + r

Neraca masa pada separator

Input = Output

Mixer Reaktor Sepa-rator

n3A = n4

A + n5A

n3B = n4

B + n5B

Neraca masa pada mixer

Input = Output

n2A = n5

A + 100

n2B = n5

B + 0

Neraca masa komponen pada separator

n5A = 0,8 n3

A

n5B = 0,4 n3

B

Hubungan komposisi

n2A = 5 n2

B

n2A n2

B n5A n5

B n3A n3

B r RHS

1 0 -1 0 0 0 0 100

0 1 0 -1 0 0 0 0

-1 0 0 0 1 0 -1 0

0 -1 0 0 0 1 1 0

0 0 1 0 -0,8 0 0 0

0 0 0 1 0 -0,4 0 0

1 -5 0 0 0 0 0 0

Matriks penyelesaian

n2A n2

B n5A n5

B n3A n3

B r RHS

1 0 0 0 0 0 0 227,3

0 1 0 0 0 0 0 45,5

0 0 1 0 0 0 0 127,3

0 0 0 1 0 0 0 45,5

0 0 0 0 1 0 0 159,1

0 0 0 0 0 1 0 113,6

0 0 0 0 0 0 1 68,2

r = 68,2

n2A = 227,3

x = r/ n2A = 68,2/227,3 = 0,30

Masalah Neraca Masa Nonlinear

Kunci yang mendasari pendekatan penyelesaian simultan

masalah neraca masa adalah semua persamaan neraca

dan hubungan spesifikasi proses dalam bentuk

persamaan linier dari laju alir spesies. Bila persamaan

neraca masa selalu berbentuk linier, spesifikasi proses

tidak selalu linier

Contoh

Pada pabrik amoniak gas umpan terdiri dari H2 74%mol,

N2 24,5%mol, CH4 1,2%mol dan A 0,3% mol bereksi

secara katalitik menghasilkan NH3. Produk reaksi

direfrigerasi untuk memisahkan 75% produk NH3 per

pass. Arus sisanya dikembalikan ke reaktor sebagai

recycle. Untuk menstabilkan akumulasi inert CH4 dan A

pada proses sebagian gas dibuang.

Diperkirakan laju pembuangan gas diatur sehingga

umpan campuran yang masuk reaktor mengandung CH4

18%mol dan konversi per pass N2 65%. Hitunglah semua

laju alir dalam proses.

NH3

4

1 2 3

H2 74,0% H2 H2

N2 24,5% N2 N2 CH4 1,2% CH4 CH4

A 0,3% A A 5 7 6

H2

N2

CH4

A

Penyelesaian

Reaktor Separator

Tabel derajad kebebasan

Titiktemu

Reaktor

Separator

Titikcabang

Proses Total

JumlahVariabel

14 10+1 11 15 31 10+1

JumlahNeraca

5 5 5 5 20

Jumlah komposisiyg diketahui Umpan CH4 pada arus 2

31 1

31

3

Jumlah hubungan Konversi Recovery NH3

Batasan cabang

11

4

114

Derajad Kebebasan 5 4 5 6 1 3Basis -1

Basis 1000 mol/j umpan atau arus 1

Neraca masa total

A : nA6 = 3

CH4 : nCH46 = 12

N2 : nH26 = 245 – r

H2 : nH26 = 740 – 3 r

NH3 : nNH34 + nNH3

6 = 0 + 2 r

Neraca masa titik percabangan

x = n7/n6

Neraca masa titik pencampuran

A : nA2 = 3 x + 3

CH4 : nCH42 = 12 x + 12

N2 : nH22 = (245 – r) x + 245

H2 : nH26 = (740 – 3 r) x + 740

NH3 : nNH32 = (2 r - nNH3

4 ) x

Jumlah semua arus tersebut diatas

N2 = 1000 (x + 1) – 2 r x – nNH44 x

Komposisi CH4 pada umpan campuran = 18 mol,

menghasilkan persamaan non-linier

nCH42 = 0,18 N2 = 0,18 [1000 (x + 1) – 2 r x – nNH4

4 x]

= 12 x + 12

1 + x 0,18─── = ─── ( 2 r + nNH4

2 ) (1) x 168 Persamaan ini dapat digunakan untuk mengeliminasi x

dari pernyataan arus 2 yaitu N2 sehingga pernytaaan

hanya dalam r dan NNH34

Neraca masa pada separator NH3

A : nA3 = 3 x + 3

CH4 : nCH43 = 12 x + 12

N2 : nH23 = (245 – r) (1 + x)

H2 : nH23 = (740 – 3 r) (1 + x)

NH3 : nNH32 = (2 r - nNH3

4 ) (1 + x)

Hubungan spesifikasi proses

nNH34 = 0,75 nNH3

3

= 0,75 [(2 r – nNH34) (1 + x) + nNH3

4]

Atau

1,5 r (1 + x) nNH3

4 = ──────── (2) (1 + 0,75 x)

Gabungan persamaan 1 dan 2

NN22 – NN2

3 245 (x + 1) – r x – 245 (x + 1)────── = ───────────────── = 0,65 NN2

2 245 (x + 1) – r x

159,25 (x + 1) r = ──────── (3) (1 + 0,65 x)

Gabungan persamaan 3 dan 1

(1 + x) 0,18 318,5 (1 + x) 318,5 (1 – x)2 0,75──── = ─── ─────── + ───────────── x 168 (1 + 0,65 x) (1 + 0,65 x) (1 + 0,75 x)

4,095 x2 - 134,8725 x - 168 = 0

x = 34,14

Berdasarkan harga x tsb

r = 241,3 mol/j

NNH34 = 478,07 mol/j

Satu mol masing-masing CO2, O2, dan N2 diumpankan ke

reaktor dan dipanaskan sampai 30000K dan 5 atm. Dua

reaksi mengalami kesetimbangan

CO2 ↔ CO + ½ O2

pCO pO21/2

K1 = ────── = 0,3272 atm1/2

pCO2

½ O2 + ½ N2 ↔ NO

pNO K2 = ──────── = 0,1222 ( pNO2 pO2 )

1/2

Hitunglah komposisi dalam kesetimbangan dalam fraksi

mol

Penyelesaian

CO2 ↔ CO + ½ O2 derajad reaksi ξ1

½ O2 + ½ N2 ↔ NO derajad reaksi ξ2

Pada kondisi awal

nCO2 = nO2 = nN2 = 1

Setelah reaksi

nCO2 = 1 - ξ1

nCO = ξ1

nO2 = 1 + ½ ξ1 – ½ ξ2

nN2 = 1 – ½ ξ2

nNO = ξ2

Jumlah total mol dalam kondisi setimbang = (1 - ξ1) + ξ1

+ (1 + ½ ξ1 – ½ ξ2) + (1 – ½ ξ2) + ξ2 = 3 + ½ ξ1

yCO2 = (1 - ξ1)/(3 + ½ ξ1)

yCO = ξ1/( 3 + ½ ξ1)

yO2 = (1 + ½ ξ1 – ½ ξ2)/(3 + ½ ξ1)

yN2 = (1 – ½ ξ2)/(3 + ½ ξ1)

yNO = ξ2/(3 + ½ ξ1)

pCO pO21/2 (yCO P) (yO2 P)1/2

K1 = ────── = ────────── pCO2 yCO2 P

yCO yO2

K1 = ────── P (1 + ½ - 1)

yCO2

2 ξ1 (2 + ξ1 – ξ2)1/2

K1 = ────────── P (1 + ½ - 1) = 0,3272 2 (2 – ξ2) ( 6 + ξ1)1/2

2,236 ξ1 (2 + ξ1 – ξ2)1/2 = 0,3272 (2 – ξ1) ( 6 + ξ1)1/2 (1)

pNO (yNO P) K2 = ───────── = ──────────── ( pNO2 pO2 )

1/2 (yNO2 P)1/2 (yO2 P)1/2

yNO

K2 = ──────── P (1 - ½ - ½ )

(yNO2)1/2 (yO2)1/2

2 ξ2 K2 = ──────────── = 0,1222 (2 + ξ1 – ξ2)1/2 (2 – ξ2)1/2

2 ξ2 = 0,1222 (2 + ξ1 – ξ2)1/2 (2 – ξ2)1/2 (2)

Penyelesaian persamaan non-linier secara simultan

dengan metoda Newton-Raphson sbb.:

f1 = 2,236 ξ1 (2 + ξ1 – ξ2)1/2 - 0,3272 (2 – ξ1) ( 6 + ξ1)1/2

f2 = 2 ξ2 - 0,1222 (2 + ξ1 – ξ2)1/2 (2 – ξ2)1/2

∂ f1

── = 2,236 ξ1 (2 + ξ1 – ξ2)1/2 + 2,236 ξ1 (2 + ξ1 – ξ2)-1/2

∂ ξ1

+ 0,3272 ( 6 + ξ1)1/2 - 0,3272 (2 – ξ1) ( 6 + ξ1)-1/2

∂ f1

── = - 2,236 ξ1 (2 + ξ1 – ξ2)-1/2 ∂ ξ2

∂ f2

── = - 0,1222 (2 – ξ2)1/2 (2 + ξ1 – ξ2)-1/2 ∂ ξ1

∂ f2

── = 2 - 0,1222 (2 – ξ2)1/2 (2 + ξ1 – ξ2)-1/2 ∂ ξ2

+ 0,1222 (2 + ξ1 – ξ2)1/2

Estimasi harga awal

ξ1 = 0,2 ξ2 = 0,2

f1 = - 0,0194

f2 = 0,1681

∂ f1

── = 4,1880∂ ξ1

∂ f1

── = - 0,3162∂ ξ2

∂ f2

── = - 0,1159∂ ξ1

∂ f2

── = 2,2887∂ ξ1

∂ f1 ∂ f1

── d1 + ── d2 = - f1

∂ ξ1 ∂ ξ1

∂ f2 ∂ f2

── d1 + ── d2 = - f2

∂ ξ1 ∂ ξ1

4,188 d1 - 0,3162 d2 = 0,0194

- 0,1159 + 2,2887 d2 = - 0,1681

d1 = - 0,0009 d2 = - 0,0494

Estimasi harga baru

ξ1 = 0,2 + d1 = 0,2 – 0,0009 = 0,1991

ξ2 = 0,2 + d2 = 0,2 – 0,0494 = 0,1506

Perhitungan diulang beberapa kali sampai diperoleh

harga yang relatif tidak berubah.

Penyelesaian ke 2 persamaan non-linier tsb :

ξ1 = 0,20176, ξ2 = 0,12081

yCO2 = (1 - ξ1)/( 3 + ½ ξ1) = 0,2574

yCO = ξ1/( 3 + ½ ξ1) = 0,065

yO2 = (1 + ½ ξ1 – ½ ξ2)/( 3 + ½ ξ1) = 0,3355

yN2 = (1 – ½ ξ2)/ ( 3 + ½ ξ1) = 0,3030

yNO = ξ2/( 3 + ½ ξ1) = 0,039

Proses untuk produksi NaOH terdiri arus intermediate

yang mengandung slurry endapan CaCO3 dalam larutan

NaOH dan H2O. Slurry dicuci dengan air dengan 3

tahap pencucian untuk mengurangi konsentrasi NaOH

dalam slurry sampai cukup rendah. Laju alir untuk

proses pencucian lawan arus ditunjukkan pada diagram.

Tahap pencucian diperkirakan beroperasi sehingga

slurry yang keluar pada masing-masing tahap

mengandung 2 kg larutan per kg padatan CaCO3.

Konsentrasi larutan yang keluar pada masing-masing

tahap diperkirakan sama. Jika umpan slurry pada

tahap pertama mengandung 10% masa NaOH, 30%

masa CaCO3, dan 60% masa H2O, hitunglah jumlah air

pencuci yang dibutuhkan per masa umpan agar larutan

yang keluar dari tahap 3 konsentrasi NaOHnya 1%

masa.

Air pencuci

NaOH 8 7 6 5

H2O

1 2 3 4

Umpan slurry Limbah Slurry

NaOH, H2O, CaCO3

Tahap 1

Tahap 2

Tahap 3

Bila basis arus 1 : 1000 kg/jam

Tahap 1 Tahap 2 Tahap 3 Proses

Jumlah variabel arus 10 10 9 19

Jumlah persamaan neraca

3 3 3 9

Jumlah komposisi yang sudah diketahui Arus 1 Arus 4

21

21

Jumlah hubungan yang telah diketahui Rasio padatan/larutan Rasio konsentrasi

11

11

11

33

Derajad kebebasan 3 5 3 1

Basis - 1

0

Indeks senyawa masing-masing NaOH = 1, H2O = 2,

CaCO3 = 3

Tahap 1

Persamaan neraca masa

100 + F17 = F1

2 + F18

600 + F27 = F2

2 + F28

300 = F32

Spesifikasi proses : slurry yang keluar dari masing-

masing tahap mengandung 2 kg larutan per kg padatan

F12 + F2

2 = 2 F32


tahap diperkirakan sama

F18 F1

2

────── = ──────F1

8 + F28 F1

2 + F22

Tahap 2


F12 + F1

6 = F13 + F1

7

F22 + F2

6 = F23 + F2

7

F32 = F3

3



F13 + F2

3 = 2 F33



F17 F1

3

────── = ──────F1

7 + F27 F1

3 + F23

Tahap 3


F13 + 0 = F1

4 + F16

F23 + F2

5 = F24 + F2

6

F33 = F3

4



F14 + F2

4 = 2 F34



F14 F1

6

────── = ──────F1

4 + F24 F1

6 + F26

F14 F1

6

────── = 0,01 → ────── = 0,01F1

4 + F24 F1

6 + F26

Bila neraca masa CaCO3 dihilangkan, maka persamaan

terdiri dari:

Persamaan neraca masa linier

F12 - F1

7 + F18 = 100

F22 - F2

7 + F28 = 600

F12 - F1

3 + F16 - F1

7 = 0

F22 - F2

3 + F26 - F2

7 = 0

F13 - F1

4 - F16 = 0

F23 - F2

4 + F25 - F2

6 = 0

Spesifikasi proses linier

F12 + F2

2 = 600

F13 + F2

3 = 600

F14 + F2

4 = 600

0,99 F14 - 0,01 F2

4 = 0

0,99 F16 - 0,01 F2

6 = 0

Spesifikasi proses non-linier

F18 F1

2

────── = ────── F1

8 + F28 F1

2 + F22

F18 (F1

2 + F22) = F1

2 (F18 + F2

8)

F17 F1

3

────── = ──────F1

7 + F27 F1

3 + F23

F17 (F1

3 + F23) = F1

3 (F17 + F2

7)

Karena ada 2 persamaan non-linier dan 2 kondisi yang

berhubungan dengan tahap 1 dan 2 maka dipilih harga

arus yang sesuai dengan unit tersebut

Komposisi larutan masuk bersama slurry = 10% NaOH x

100%/(100% - %masa CaCO3) = 10% x 100%/70% =

1/7% masa NaOH = 14,3% masa NaOH.

Karena komposisi larutan awal 14,3% NaOH harus

dikurangi sampai 1% NaOH, penurunan konsentrasi

NaOH pada tiap tahap harus sekurang-kurangnya ½ nya

sehingga secara keseluruhan 1/7 x ½ x ½ x ½ = 1/56 >

1%.

Slurry yang keluar dari masing-masing tahap

mengandung 2 kg larutan per kg padatan, maka

F14 + F2

4 = 600

F14

────── = 0,01 → F14 = 0,01 x 600 kg/j = 6 kg/j

F14 + F2

4

NaOH input = 10% (1000 kg/j) = 100 kg/j = F18 + F1

4

F18 = (100 - 6) kg/j = 94 kg/j

Bila diperkirakan bahwa ½ dari NaOH tercuci pada

tahap 1 = ½ x 100 kg/j = 50 kg/j dan hampir seluruh

NaOH dari umpan keluar pada arus 8 (F18), maka NaOH

yang keluar pada arus 7 (F17) = 50 kg/j

F12 - F1

7 + F18 = 100

F12 - 50 + 94 = 100 → F1

2 = 56 kg/j

F12 + F2

2 = 600 → F22 = (600 - 56) kg/j = 544 kg/j

Komposisi larutan yang masuk bersama padatan CaCO3

14,3%masa pada unit pencucian tahap 1, maka komposisi

larutan yang keluar dari unit tsb tidak mungkin lebih

besar. Bila diperkirakan 10% masa, padahal hampir

seluruh NaOH input 100 kg/j keluar pada arus 8 (F18)

maka F28 = 100 kg/j/10% = 1000 kg/j

F22 - F2

7 + F28 = 600

544 - F27 + 1000 = 600 → F2

7 = 944 kg/j

Bila seluruh arus dihitung diperoleh sbb.

2 3 4 5 6 7 8

NaOHkg/j

56 15,94 6 - 9,94 50 94

H2Okg/j 544 584,1 594 994 984,1 944 1000

Laju alir masa komponen yang diperoleh diatas

merupakan estimasi untuk linierisasi fungsi non-linier

f1 = F18 (F1

2 + F22) - F1

2 (F18 + F2

8)

f2 = F17 (F1

3 + F23) - F1

3 (F17 + F2

7)

Linierisasi persamaan menggunakan metoda Newton

Raphson sbb.:

∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1

── = F22 ─── = - F1

2 ─── = -F28 ─── = F1

8

∂F18 ∂F2

8 ∂F12 ∂F2

2

∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1

── = 544 ─── = - 56 ─── = -1000 ─── = 94∂F1

8 ∂F28 ∂F1

2 ∂F22

Persamaan menjadi

N ∂ f1 N ∂f1

∑ ─── xn = ∑ ─── xn0 - f1 (x0)

n=1 ∂xn n=1 ∂xn

N ∂f1

∑ ─── xn0 adalah

n=1 ∂xn -1000 F1

2 + 94 F22 + 544 F1

8 - F28

f1 (x0) = F18 (F1

2 + F22) - F1

2 (F18 + F2

8)

= F18 F2

2 - F12 F2

8 = 56 x 1000 – 544 x 94

= 4864

N ∂ f1

∑ ── xn = -1000 F12 + 94 F2

2 + 544 F18 – 56 F2

8 - 4864n=1 ∂xn = -1000 x 56 + 94 x 544 + 544 x 94 – 56 1000

- 4864 = - 4864

Persamaan f1 menjadi linier

-1000 F12 + 94 F2

2 + 544 F18 – 56 F2

8 = - 4864

∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂f2

── = F23 ─── = - F1

3 ─── = -F27 ─── = F1

7

∂F17 ∂F2

7 ∂F13 ∂F2

3

∂f2 ∂f2 ∂f2 ── = 584,1 ─── = - 15,94 ─── = - 944∂F1

7 ∂F27 ∂F2

3

∂f2

─── = 50∂F2

3

N ∂f2

∑ ─── xn0 adalah

n=1 ∂xn

-944 F13 + 50 F2

3 + 584,1 F17 - 15,94 F2

7

f2 (x0) = F17 F2

3 - F13 F2

7 = 50 x 584,1 – 15,94 x 944

= 14155,94

N ∂ f1

∑ ── xn = -944 F13 + 50 F2

3 + 584,1 F17 - 15,94 F2

7

n=1 ∂xn - 14155,64

= 14155,64

Persamaan f2 menjadi linier

-944 F13 + 50 F2

3 + 584,1 F17 - 15,94 F2

7 = 14155,64

Dari penyelesaian 13 persamaan neraca masa tahap 1

diperoleh harga estimasi baru sbb.:

2 3 4 5 6 7 8

NaOHkg/j 41,16 17,97 6 - 11,97 35,16 94

H2Okg/j 558,84 582,03 594 1196,99 1185,02 1161,83 1202,99

Linierisasi 2 persamaan non-linier dengan harga estimasi

baru menjadi

-1202,99 F12 + 94 F2

2 + 558,84 F18 - 41,16 F2

8 = 3020,01

-1161,83 F13 + 35,16 F2

3 + 582,03 F17 - 17,97 F2

7 = - 431,91



2 3 4 5 6 7 8

NaOHkg/j 42,84 18,17 6,00 0 12,17 36,84 94,00

H2Okg/j 557,16 581,83 594,00 1217,37 1205,20 1180,84 1223,37

Linierisasi 2 persamaan non-linier dengan harga estimasi

baru menjadi

-1223,37 F12 + 94 F2

2 + 557,16 F18 - 42,84 F2

8 = - 36,13

-1180,84 F13 + 36,84 F2

3 + 581,83 F17 - 18,17 F2

7 = - 21,25



2 3 4 5 6 7 8

NaOHkg/j 42,84 18,17 6,00 0 12,17 36,84 94,00

H2Okg/j 557,16 581,83 594,00 1216,64 1204,47 1179,80 1222,64

Analisis Derajad Kebebasan

Documents

Transcript of Analisis Derajad Kebebasan