Analisa matriks
50
ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS • Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan : { P } = [ K ] { U } dimana : { P } = matriks gaya [ K ] = matriks kekakuan { U } = matriks perpindahan • Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode Kekakuan.
-
Upload
saedi-siagian -
Category
Engineering
-
view
321 -
download
6
Transcript of Analisa matriks
ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS
• Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan :
{ P } = [ K ] { U } dimana :{ P } = matriks gaya[ K ] = matriks kekakuan{ U } = matriks perpindahan
• Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode Kekakuan.
• Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti. Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis struktur.
• Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : “ Koefisien Kekakuan “ dan “ Perpindahan titik simpul yang tidak diketahui “.
Types of Elements Spring elements Truss elements (plane & 3D) Beam elements (2D &3D) Plane Frame Grid elements Plane Stress Plane Strain Axisymmetric elements Plate Shell
Degrees of Freedom (DOF)• Derajat kebebasan yang dimiliki oleh suatu
struktur.• Tiap jenis elemen akan mempunyai jumlah dan
jenis kebebasan tertentu.
Hitung derajat kebebasan element dari jenis element yang disebutkan sebelumnya
Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)
matriks kekakuan
U1, P1 U2, P2
{ P } = [ K ] { U }
U3, P3 U4, P4 gaya perpindahan
P1 K11 K12 K13 K14 U1
P2 K21 K22 K23 K24 U2
P3 K31 K32 K33 K34 U3
P4 K41 K42 K43 K44 U4
1 1 2
=
P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4Kesetimbangan gaya di arah U1
P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gaya di arah U2
P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4 Kesetimbangan gaya di arah U3
P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4 Kesetimbangan gaya di arah U4
• Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41
Lihat Gambar (a)
• Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42
Lihat Gambar (b)
• Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43
Lihat Gambar (c)
• Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44
Lihat Gambar (d)
U1’ = 1 P1’ = K11P2’ = K21P3’ = K31P4’ = K41
U1’ = 1 P1’ = K11P2’ = K21P3’ = K31P4’ = K41
U1’ = 1 P1’ = K11P2’ = K21P3’ = K31P4’ = K41
U1’ = 1 P1’ = K11P2’ = K21P3’ = K31P4’ = K41
Matrix kekakuan:
K11 K12 K13 K14
K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -−
Matriks Kekakuan LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22
Gambar (a) (b) (c) (d)
K =
K =
Jika pada batang bekerja gaya aksial :
L, EA
K11 = L
EA K21 = L
EA−
U1, P1 U2, P2
U3, P3 U4, P4
U1’,P1’ U2’,P2’
U1’= 1
K12 = - L
EA U2’= 1
K22 = L
EA
1 1 2
Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :
6 x 6
K =
2323 LEI 6
LEI 12- 0
LEI 6
LEI 12 0
LEI 2
LEI 6- 0
LEI 4
LEI 6 0 22
2323 LEI 6 -
LEI 12 0
LEI 6
LEI 12 0 -−
LEI 4
LEI 6- 0
LEI 2
LEI 6 0 22
0 0 L
EA- 0 0 L
EA
0 0 L
EA- 0 0 L
EA−
Contoh
q
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3
L, EI L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
1 2 3
0
1 2
0
0
0
1 2
1 2 3
0 0 0
1 2 0 1 1 2
0
Membuat matrik kekakuan elemen :
Elemen 1
0 0 0 1
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12 0
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22 0
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -− 0
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 1
K1 =
[ K1 ] =
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 0 1 }T
0 LEI 4
2 x 2 0 0
Elemen 2
0 1 0 2
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12 0
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22 1
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -− 0
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T
2 x 2
K2 =
[ K2 ] =
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
= +
0 0 =
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 40
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
q
0 0
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 = 8 2-2- 4
EIL
2 . 2 - 4 . 81
= 8 2-2- 4
EI 28
L
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us = 8 2-2- 4
EI 28
L
2L q 121
− 2L q 121
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
2L q 121
−
2L q 121
2L q 121
−
2L q 121
U11
U12
U13
U14
0 0 0
U21
U22
U23
U24
0 0
Us = EI 28
L
Us =
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
22 L q 61 - L q
31
−
22 L q 64 L q
61
+
EIL q
1683 3
−
EIL q
1685 3
Rotasi di joint 2
Rotasi di joint 3
EIL q
1683 3
−
EIL q
1683 3
−
EIL q
1685 3
q
0 0
0 0 0 0
PR2 = PR1 =
Reaksi akibat beban luar :
2L q 121
−2L q 121
2L q
2L q
2L q 121
−
2L q 121
2L q
2L q
0 0 0
0
0 0 0
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
P1 = +
P1 = =
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -−
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 EIL q
1683 3
−
2L q 564
−
2L q 562
−
L q 56
6−
L q 56
6
2L q 282
−
2L q 281
−
L q 28
3−
L q 28
3
0 0
0 0
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
P2 = +
P2 = =
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -−
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 EIL q
1685 3
2L q 564
L q 56
32
L q 56
24
2L q 282
L q 28
16
L q 28
12
EIL q
1683 3
−
2L q 121
−
2L q 121
2L q
2L q
q 0
- - +
-
+ +
Free Body Diagram :
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
Bidang M :
2L q 2822L q
281
L q 283
2L q 282
L q 2816 L q
283 L q
2812
L q 283 L q
283
L q 2816
L q 2812
2L q 282
2L q 281
Elemen Portal 2D
B C P
EI
EI L
L/2 L/2
A A
B C
1
2
DOF = 2
0
1 1 2
Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ K1 ] = 0 0
0
Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
Elemen 2
1 2
1
2 x 2 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T
2 x 2
K1 =
[ K2 ] =
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 4
K2 = LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
= +
0
= 0 0
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
LEI 4
P
Untuk contoh di atas, maka :
0
0
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 = 8 2-2- 4
EIL
2 . 2 - 4 . 81
= 8 2-2- 4
EI 28
L
L P 81
− L P 81
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
L P 81
−
L P 81
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us = 8 2-2- 4
EI 28
L
Us = EI 28
L
Us =
L P 81
−
L P 81
22 L q 61 - L q
31
−
22 L q 64 L q
61
+
EIL P
1123 2
−
EIL P
1125 2
Rotasi di joint B
Rotasi di joint C
U11
U1
2
0
U21
U2
2
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
EIL P
1123 2
−
EIL P
1123 2
−
EIL P
1125 2
P Reaksi akibat beban luar :
0
0
L P 81
−L P 81
0
PR1 =
0
PR2 =
L P 81
−
L P 81
0
0
0
P1 = +
P1 = Hasil perhitungan hanya momen saja
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
EIL P
1123 2
−
L P 566
−
L P 563
−
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
P2 = +
P2 = =
0 0
Hasil perhitungan hanya momen saja
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
EIL P
1125 2
L P 81
−
L P 81
EIL P
1123 2
−LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
2L q 566 2L q
283
P 0
Dihitung lagi
Dihitung lagi
Free Body Diagram :
P 569
L P 566
P 2817 P
2811
P 569
P 569
P 569
P 2817
P 2817
L P 566
L P 563
Bidang M :
- -
+
L P 566
L P 563
L P 5611
+
Bidang D :
Bidang N :
-
+ P 2817
-
P 569
P 2811
P
P 2817
-
P 569-
Transformasi Sumbu
θ
1
2’
2
3
1’
3’
U3, P3
u3, p3 U1, P1
U2, P2
u1, p1 u2, p2
u1
u2
u3
=
C S 0 -S C 0
0 0 1
U1
U2
U3
C = cos θ S = sin θ
Koordinat Lokal dan Global
C S 0 -S C 0
0 0 1
C = cos θ S = sin θ
u1 u2 u3 u4 u5 u6
=
λ 0 0 λ
U1 U2 U3 U4 U5 U6
[ u ] = [ R ] [ U ] R = matriks rotasi
Atau dapat ditulis : u = λ U Dimana :
λ =
Untuk transformasi sumbu sebuah titik dengan 6 dof dapat ditulis :
P1 P2 P3 P4 P5 P6
=
λΤ 0 0 λΤ
p1 p2 p3 p4 p5 p6
[ P ] = [ R ]T [ p ] R = matriks rotasi
K
Transformasi sumbu juga berlaku untuk gaya :
p = λ P
P = λ-1 p λ-1 = λT
P = λT p
p = k u ; u = R U
P = RT p P = K U
= RT k u K = RT k R
= RT k R U
Matriks kekakuan elemen untuk 6 dof :
6 x 6
k =
2323 LEI 6
LEI 12- 0
LEI 6
LEI 12 0
LEI 2
LEI 6- 0
LEI 4
LEI 6 0 22
2323 LEI 6 -
LEI 12 0
LEI 6
LEI 12 0 -−
LEI 4
LEI 6- 0
LEI 2
LEI 6 0 22
0 0 L
EA- 0 0 L
EA
0 0 L
EA- 0 0 L
EA−
β 0 0 -β 0 0 0 12 6L 0 -12 6L 0 6L 4L2 0 -6L 2L2 -β 0 0 β 0 0 0 -12 -6L 0 12 -6L 0 6L 2L2 0 -6L 4L2
Dimana :
α = β =
[ K ] = [ R ]T [ k ] [ R ]
k = α
LEI 3
ILA
2
C -S 0 S C 0 0 0 1
C -S 0
S C 0
0 0 1
0
0
β 0 0 -β 0 0 0 12 6L 0 -12 6L 0 6L 4L2 0 -6L 2L2 -β 0 0 β 0 0 0 -12 -6L 0 12 -6L 0 6L 2L2 0 -6L 4L2
K = α
C S 0 -S C 0 0 0 1
C S 0
-S C 0
0 0 1
0
0
g1 g2 g4 -g1 -g2 g4
g3 g5 -g2 -g3 g5
g6 -g4 -g5 g7
g1 g2 -g4
g3 -g5
g6
Dimana :
g1 = α ( β C2 + 12 S2 ) g5 = α 6 L C
g2 = α C S ( β - 12 ) g6 = α 4 L2
g3 = α ( β S2 + 12 C2 ) g7 = α 2 L2
g4 = -α 6 L S
K =
Sebuah portal seperti gambar, dengan menggunakan transformasi sumbu hitunglah gaya-gaya dalam yang bekerja
q = 1,68 k/ft
L = 10 ft
M = 14 kft = 168 kin
L = 10 ft
1
2 3
1
2
E = 30.000 ksi A = 5 in2 I = 50 in4 L = 10 ft
1
2
1
2 3
0
0
3
1 0
0
2
0
0 Sumbu Global DOF [ Ks ] 3 x 3
1
2
1
2 3
2
4
5 4
5
6
1 3 Sumbu Lokal DOF [ k ] 3 x 3
6
1
3
2
2
1
2
x
x’
1
θ = 270o
λ1 =
C S 0 -S C 0 0 0 1
=
0 -1 0 1 0 0 0 0 1
2 3 x x’
θ = 0o
λ2 =
C S 0 -S C 0 0 0 1
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Matriks transformasi batang :
Batang 1 : θ = 270o cos 270o = 0
sin 270o = -1
Batang 2 : θ = 0o cos 0o = 1
sin 0o = 0
C S 0 -S C 0 0 0 1
C S 0
-S C 0
0 0 1
0
0
0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
C S 0 -S C 0 0 0 1
C S 0
-S C 0
0 0 1
0
0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
R1 = =
R2 = =
g1 g2 g4 -g1 -g2 g4
g3 g5 -g2 -g3 g5
g6 -g4 -g5 g7
g1 g2 -g4
g3 -g5
-g4 g6
0 0 0 1 0 2
Matriks kekakuan system struktur
Elemen 1 :
α1 = 331 12) . 10(
50 . 30.000 LEI
= = 0,87
β1 = 50
12) . (10 . 5 ILA 22
1 = = 1.440
C = 0 ; S = -1
{ T } = { 0 0 0 1 0 2 }T
0 0 0 1 0 2
K1 =
g1 -g4 0 -g4 g6 0 0 0 0
1 2 3
10,44 -626,4 0 -626,4 50.112 0 0 0 0
1 2 3
g1 = α ( β C2 + 12 S2 ) = 0,87 [ 0 + 12 (-1)2 ] = 10,44
g4 = -α 6 L S = -0,87 . 6 . 120 (-1) = 626,4
g6 = α 4 L2 = 0,87 . 4 . 1202 = 50.112
Sehingga :
K1 =
K1 =
g1 g2 g4 -g1 -g2 g4
g3 g5 -g2 -g3 g5
g4 g6 -g4 -g5 g7
g1 g2 -g4
g3 -g5
g4 g7 g6
1 0 2 0 0 3
g1 g4 g4 g4 g6 g7 g4 g7 g6
1 2 3
Elemen 2 :
α2 = 331 12) . 10(
50 . 30.000 LEI
= = 0,87
β2 = 50
12) . (10 . 5 ILA 22
1 = = 1.440
C = 1 ; S = 0
{ T } = { 1 0 2 0 0 3 }T
1 0 2 0 0 3
1 2 3
K2 =
K2 =
1.252,8 0 0 0 50.112 25.056 0 25.056 50.112
1.263,24 -626,4 0 -626,4 100.224 25.056 0 25.056 50.112
g1 = α ( β C2 + 12 S2 ) = 0,87 [ 1.440 . 12 + 12 (0)2 ] = 1.252,8
g4 = -α 6 L S = -0,87 . 6 . 120 (0) = 0
g6 = α 4 L2 = 0,87 . 4 . 1202 = 50.112
g7 = α 2 L2 = 0,87 . 2 . 1202 = 25.056
Sehingga :
KS =
K2 =
q = 0,14 k/in
168 kin 168 kin 168 kin 0 0
0 168 0
1.263,24 -626,4 0 -626,4 100.224 25.056 0 25.056 50.112
- 1 0 168 0
0,00095 0,00192 -0,00096
Defleksi horizontal di 2 Rotasi di 2 Rotasi di 3
Matriks beban :
8,4 8,4
PS =
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
US =
US =
u11
u1
2
u1
3
u1
4
u1
5
u1
6
0
0 0
0,00095
0
0,00192
=
0
0 0
0
0,00095
0,00192
u21
u2
2
u2
3
u2
4
u2
5
u2
6
0,00095
0 0,00192
0
0
-0,0096
=
0,00095
0 0,00192
0
0
-0,0096
Displasement masing-masing batang (koordinat lokal)
u1 = =
u2 = =
0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0
1,193 k 47,512 kin
0
-1,193 k
95,620 kin
0
1,193 k 3,959 kft
0
-1,193 k
7,968 kft
Gaya akhir batang :
Elemen 1 :
{ P1 } = [ k1 ] { u1 } + { 0 }
P1 = =
1,19 k
-7,8 k -95,84 kin
-1,19 k
-9 k
168 kin
1,19 k
-7,8 k -7,99 kft
-1,19 k
-9 k
14 kft
Elemen 2 :
{ P2 } = [ k2 ] { u2 } + { Faksi }
P2 = =
q = 1,68 k/ft 14 kft
7,8 k 9 k
1
2 1,19 k 1,19 k
7,99 kft
1,193 k
1,193 k
0
3,959
7,968 kft
Free body diagram :
3,959
+
-
7,9914
+ +
-
+
+
-
1,193
1,193
7,8
9
- 1,191,19
KONSTRUKSI RANGKA BATANG• Pada Konstruksi Rangka Batang (KRB), perhitungan
matriks kekakuan elemen [ K ] berdasarkan kasus rangka batang 2 Dimensi. Gaya yang bekerja hanya tarik dan tekan aksial saja, sedang gaya momen dan lintang tidak terjadi.
• Perhatikan gambar dengan elemen struktur batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E konstan. Perhitungan kekakuan elemen hanya mengandung elemen A, E dan empat titik koordinat, yaitu : xi, xj, yi, dan yj.
β
x,u
y,v
L
i
j
β + dβ i
j
cui
ui qi pi
qj pj
Elemen Rangka Batang, dengan sudut Elemen Rangka Batang setelah
β pada bidang xy perpindahan titik ui > 0, titik lain tetap
c = cos β
C2 CS -C2 -CS
ui =
pi qi pj qj
Pertama, harus menghitung :
L = ( ) ( )2ij
2ij y - y x- x +
C = cos β = L x- x ij
S = sin β = L
y - y ij
Perpendekan aksial cui menghasilkan gaya tekan aksial
F = icu L
AE
Dimana : x dan y merupakan komponen dari ;
pi = - pj = Fc
qi = - qj = Fs
Komponen ini menghasilkan kesetimbangan statis, sehingga diperoleh :
L
AE
K =
C2 CS -C2 -CS CS S2 -CS -S2 -C2 -CS C2 CS -CS -S2 CS S2
Hasil yang sama juga akan diperoleh dengan cara memberikan perpindahan pada vi,
uj, dan vj, dimana gaya bekerja sendiri-sendiri. Dan jika 4 dof dengan nilai tidak nol
bekerja bersama-sama, dan dengan superposisi masing-masing elemen matriks
kekakuan, dapat dihitung sebagai berikut :
L
AE
C2 CS -C2 -CS CS S2 -CS -S2 -C2 -CS C2 CS -CS -S2 CS S2
ui vi uj vj
pi qi pj qj
K =
1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0
Hubungan matriks kekakuan dengan gaya dapat ditulis sebagai berikut :
[ K ] { D } = { F }
=
Untuk kasus khusus :
1. Jika nilai β = 0, sebagai batang horizontal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4
Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu :
k11 = k33 = -k13 = -k31 =
L
AE
L
AE
L
AE
K =
0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1
1. Jika nilai β = 90, sebagai batang vertikal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4
Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu :
k22 = k44 = -k24 = -k42 =
L
AE
L
AE
Sebuah Konstruksi Rangka Batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E yang sama, seperti pada Gambar
L
L
L
L
1
4
3
7 6 5
2 3
4
2
5
1
v
u
Hitunglah matriks kekakuaan masing-masing elemen
K =
C2 CS -C2 -CS CS S2 -CS -S2 -C2 -CS C2 CS -CS -S2 CS S2
K1 =
1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0
Perumusan untuk mencari nilai matriks kekakuan elemen dengan sudut β :
Batang 1, 2 dan 3 merupakan batang horizontal, sehingga β = 0o
Maka : [ K1 ] = [ K2 ] = [ K3 ]
L
AE
L
AE
K4 =
0,250 0,433 -0,250 -0,433 0,433 0,750 -0,433 -0,750 -0,250 0,433 0,250 -0,433 -0,433 -0,750 0,433 0,750
K5 =
0,250 -0,433 -0,250 0,433 -0,433 0,750 0,433 -0,750 -0,250 0,433 0,250 -0,433 0,433 -0,750 -0,433 0,750
Batang 4 dan 6 merupakan batang diagonal dengan sudut β = 60o
Dimana : C = cos 60o = 0,5
S = sin 60o = 0,866
Maka : [ K4 ] = [ K6 ]
Batang 5 dan 7 merupakan batang diagonal dengan sudut β = 300o
Dimana : C = cos 300o = 0,5
S = sin 300o = -0,866
Maka : [ K5 ] = [ K7 ]
L
AE
L
AE
