6/4/12

Aljabar Operator dan Masalah Nilai EigenBy : Paian Tamba E-mail : paian_6tamba@yahoo.co.idClick to edit Master subtitle style

Aljabar Operator

Operator merupakan yang mengandung informasi tentang nilai-nilai (atau spektrum) suatu besaran bersangkutan. Untuk memperoleh nilai suatu besaran tersebut pada mekanika kuantum diperlukan perangkat matematika berupa aljabar operator. Operator pada fungsigelombang A misalnya operator yang bekerja pada fungsi gelombang,operator = tersebut dapat menghasilkan suatu A fungsi lainnya, yakni: Perangkat matematika yang diperlukan dalam hal ini, Operator Hermit meliputi: Operator Invers Operator Linear Operator Uniter Penjumlahan dan perkalian operator Sifat tak komutatif perkalian operator Komutator dari dua operator

6/4/12

6/4/12

1. Operator LinearContoh-contoh dari operasi operator linier tersebut misalnya, perkalian dengan suatu konstanta : perkalian dengan suatu fungsi V (x ) : Dalam operator linear berlaku:d , diferensiasi dx

C

,

( + ) = A + A A 1 1 2 2 1 1 2 2

2. Penjumlahan dan perkalian operator Antara dua operator dapat kita lakukan penjumlahan, dan perkalian. ( A + B) = A + B Penjumlahan dari dua operator didefenisikan . Defenisi = A + mengakibatkan, misalnya: ini ( B + C ) = ( A + B) + C + B+ C A Begitu pula . , Singkatnya OperatorOperator berkomutasi pada operasi penjumlahan. B) = AB = A( B ) (A Perkalian dua operator didefinisikan BC = A( BC ) = ( AB)C A melalui AA = A 2 A = AA 2 A .+ B= B+ A A

6/4/12

3.Sifat operator

tak

komutatif

perkalian tak

6/4/12

umumnya

perkalian BA operator B A

= x dan komutatif sifatnya, B = d / dx, Misalnya, jika A B = x(d / dx) , sedangkan maka A A = (d / dx) x + , yang tak sama dengan AB B

4. Komutator dari dua operator Berkaitan dengan sifat-sifatnya terhadap komutasi, dapat didefinisikan komutator dari dua operator A dan Bsebagai operator: , B = AB BA A untuk A dan B yang berkomutasi,B = 0 , A

6/4/12

[

]

Untuk operator yang tak komut,A, B ] 0 [ Beberapa sifat penting dari komutator adalah:

[

]

.

[ ] [ ] , B +C ] =[A, B ] + [A, C ] [A , BC ] =B [A, C ] + [A, B ]C [A , B = B, A A

5. Produk skalar dua fungsi gelombang Beberapa sifat penting produk skalar; ( , ) = ( , )

6/4/12

( , ) = ( x )

2

dx + ( , 2 ) + ( 2 , )

( , 1 + 2 ) = ( , 1 ) ( 1 + 2 , 2 ) = ( 1 , ) ( , ) = ( , ) ( , ) = ( , )

untuk = kons tan ta

6. Ortogonal,tenormalisasi,ortonormal ortogonal sesamanya. kedua 0, jika ( , ) =fungsi dan

6/4/12

disebut itu2

( , ) = suatu fungsi dengan norm = 1, dimana dx = 1 , disebut ternormalisasi.Suatu himpunan fungsi gelombang yang ortogonal sesamanya,yang masing-masing ternormalisasi disebut set fungsi gelombang yang ortonormal.[ i ]

7. Operator Hermit Operator-operator yang sama dengan setangkup hermitnya disebut Operator Hermit. Untuk semua operator hermit berlaku :

6/4/12

(

= ( A , ) ,A

)

Yang berarti operator hermit itu bisa segera kita pindahkan keruang lainnya tanpa mengalami perubahan apapun.

6/4/12

8. Operator invers Beberapa sifat utama operator invers, misalnya:

) = ( 1 1 ) = (1 1

1

= 1 11

=

9. Operator uniter

suatu operator u yang biasa disebut uniter jika setangkup hermitnya identik dengan inversnya, atau: U + = U 1 Dengan demikian bagi operator uniter berlaku;

U = UU = 1 U+ +

Masalah Nilai Eigen

6/4/12

Masalah nilai eigen operator hermit Khusus bagi operator hermit berlaku teorema penting berikut ini: a.Nilai eigennya semua real b.Fungsi-fungsi eigennya, dari nilai eigen yang berbeda, ortogonal sesamanya.

6/4/12