ALJABAR MATRIKSpertemuan 8

Oleh :L1153

Halim Agung,S.Kom

Transformasi LinierPengertian Transformasi Linier.

Pandang 2 buah himpunan A dan B. kemudian pasangkan setiap x є A dengan satu dan hanya satu y є B.Dikatakan terdapat suatu fungsi f : A→B.

Contoh 1.Misalkan A = {x1,x2,x3}, B = {y1,y2} , Himpunan A di atas dinamakan Domain dan himpunan B dinamakan Codomain.

terlihat bahwa setiap x є A mempunyai satu pasangan y є B. Jadi f adalah fungsi f : A→B.

Contoh 2.terlihat bahwa tidak setiap x є A mempunyai satu pasangan y є B. jadi f adalah bukan fungsi A B

Catatan :Apabila himpunan A dan B di samping merupakan himpunan bilangan riil R1 atau himpunan bagiannya, cara/aturan pengaitan umumnya dapat dirumuskan dalam 1 hubungan matematis.

Contoh 3.Diketahui Suatu transformasi T : R3→ R3 dengan rumus Transformasi T(x1,x2,x3) = (2x1 – x2 ,x2 + x3 ,x32), untuk setiap x = (x1,x2,x3)єR3. vector(2,1,-1) akan ditransformasikan oleh T menjadi : T(2,1,-1) = (3,0,1). Kita katakan vektor (3,0,1) adalah peta dari vektor (2,1,-1), sebaliknya vektor (2,1,-1) adalah prapeta dari vektor (3,0,1)

Perubahan Basis

Basis orthonormalDiketahui V ruang hasil kali dalam dan v 1, v 2,…, v n adalah vektor – vektor dalam V.

Beberapa definisi pentinga. H = { v 1, v 2,…, v n } disebut himpunan orthogonal bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus ,yaitu < v i, v j > = 0 untuk i ≠ j dan i,j = 1,2,…,n.

b. G = { v 1, v 2,…, v n }disebut himpunan orthonormal bila G himpunan orthogonal normalisasi dari vi = 1 , i = 1,2,…,n atau < v i, v i > = 1

Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan orthonormalDiketahui V RHD (Ruang Hasil kali Dalam / perkalian dot) dan H = { v 1 , v 2,…, v n } V merupakan himpunan ∈orthogonal dengan vi ≠ 0 maka bisa didapatkan himpunan orthonormal yang didefinisikan sebagai S = { s1, s2,…, sn } dengan , i = 1,2,…,n.

Kalau dilihat secara seksama , sebenarnya rumusan ini merupakan rumusan dari metode Gramm– Schimdt (google untuk lebih jelas) yang telah mengalami reduksi yaitu untuk nilai proy W(vi) = 0 akibat dari v 1 , v 2,…, v n yang saling orthogonal.

Proses untuk mendapatkan vektor yang orthonormal biasa disebut dengan menormalisasikan vektor. Jika dim (V) = n , maka S juga merupakan basis orthonormal dari V.

i

ii

vvs

Contoh :

Next , Jika V ruang vektor, S : { s1, s2,…, sn } merupakan basis V maka untuk sembarang x V, dapat dituliskan :∈x = k1.s1 + k2.s2 +…+ kn.sn dengan k1, k2, …, kn skalar. k1, k2, …, kn juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S.

disebut matriks x relatif terhadap basis S

Jika S merupakan basis orthonormal , maka

Apa hubungannya dengan perubahan basis ?

kn

kk

x S :21

n

S

sx

sxsx

x

,:,,

2

1

Ini hubungannya …

Contoh :

Transformasi Vektor Linier

Definisi : T : V →W suatu transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W. Transformasi T disebut transformasi vektor linierjika terpenuhi :1. Untuk setiap v1,v2 є V T(v1) + T(v2) = T(v1+v2), dan2. untuk setiap v є V dan λ berlaku λT(v) = T(λv)

Contoh :Diketahui T : R3→R3 dimana T(x1,x2,x3) = (2x1+x2 , x2 , x3+1) untuk setiap (x1,x2,x3) є R3.T adalah transformasi vektor yang tidak linier karena syarat 1,misal tak terpenuhi.

Ambil v1 = (1,0,1), v2 = (1,0,1) maka T(v1) + T(v2) = (2,0,1) + (2,0,2) = (4,0,3). Sedangkan T(v1+v2) = (4,0,2)Jadi T(v1)+T(v2) ≠ T(v1+v2)

Matriks dan Transformasi Vektor Linier

Definisi :Pandang T : Rn→Rn .suatu transformasi vektor linier.

{ ei }, i = 1,2,3,…,n, basis natural Rn .{ εi } , i = 1,2,3,…,m, basis natural Rm .T(e1), T(e2),… T(en) adalah vector-vektor di Rm, sehingga merupakan kombinasi linier dari { εi }

Misalnya : T(e1) = a11ε1+ a21ε2+…+ am1εmT(e2) = a12ε1 +a22ε2+…+ am2εm… … … … …T(en) = a1nε1+ a1nε1+…+ amnεm

Transpose dari matriks koefisien diatas :

Disebut matriks REPRESENTASI dari transfomasi linier T yang relative terhadap basis-basis natural { ei } dan { εi }

mxn

e

amnamam

naaanaaa

T

...21............2...22211...1211

Contoh :

T : R3 → R3 .suatu transformasi linier dimana T(x1,x2,x3) = (x1,2x2,x1+x3). Mencari matriks transformasi tak lain adalah mencari peta dari vektor - vektor basis.jika tidak disebutkan maka menggunakan basis natural (matriks identitas).

T(e1) = T(1,0,0) = (1,0,1)=1e1 + 0e2 + 1e3.T(e2) = T(0,1,0) = (0,2,0)=0e1 + 2e2 + 0e3.T(e3) = T(0,0,1) = (0,0,1)=0e1 + 0e2 + 1e3.

Maka matriks Representasi nya adalah

Misalnya peta dari (2,3,1) , maka vektor hasil dari transformasi linier nya adalah

101020001

eT

362

132

101020001

Tugas

1. Joint dalam kelompok (3 orang) – kelompok ditentukan oleh dosen

2. Buatlah soal (Boleh Goggling) mengenai pertemuan hari ini lengkap dengan solusi dalam menjawab soal tersebut (WAJIB 10 soal!!! )

3. Syarat penilaian :1. Tepat 10 soal (10 point)2. Solusi + Jawaban dari soal diatas (40 point)

– nilai maximum untuk solusi & jawaban yg benar3. Tidak ada kerjasama antar kelompok (10 point)4. Tingkat kerumitan soal tinggi (40 point)