Kuliah Sistem DigitalAljabar Boolean

1

Topik 2 – Aljabar Boolean• Aturan-2 u/ menentukan logika digital, atau `switching

algebra’– Terkait dengan nilai-2 Boolean – 0, 1– Nilai sinyal dinyatakan dengan variabel-2 – {X, Y, DIN, …}

• Perjanjian logika positif– Tegangan analog (LOW, HIGH) (0, 1)– logika negatif – jarang digunakan

• Operator-2: { · , + , ‘ , }

• Aksioma-2 dan Teorema-2 …– Membantu u/ mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih

sederhana – meningkatkan “area dan kecepatan” darirangkaian digital

Definisi: Ekspresi Boolean• Literal: sebuah variabel atau komplemennya

– X, X, DIN, TK_L

• Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR,tanda kurung, komplementasi– X+Y– P Q R– A + B C– ((DIN Z) + TK_L A B C + Q5) RESET

• Persamaan: variabel = ekspresi– P = ((DIN Z) + TK_L A B C + Q5) RESET

Aksioma• Aksioma

– kumpulan definisi dasar (A1-A5, A1’-A5’) minimal yang diasumsikanbenar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar switching

– Dapat digunakan untuk membuktikan teorema-2 aljabar switchinglainnya (T1-T15).

(A1) X=0, if X1 (A1’) X=1, if X0

(A2) If X=0, then X’=1 (A2’) If X=1, then X’=0

(A3) 0 · 0 = 0 (A3’) 1 + 1 = 1

(A4) 1 · 1 = 1 (A4’) 0 + 0 = 0

(A5) 0 · 1 = 1 · 0 = 0 (A5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1

Each axiom has a dual

Teorema-2 variabel tunggal (T1-T5)

• Dibuktikan melalui induksi sempurna (perfectinduction)

– Karena sebuah variabel switching hanya dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapatmembuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melaluipeletakan sederhana: X = 0 atau X =1

• Contoh: (T1) X + 0 = X– X=0 : 0 + 0 = 0 benar menurut aksioma A4’– X=1 : 1 + 0 = 1 benar menurut aksioma A5’

Teorema-2 dua dan tiga variabel(T6-T11)

• Dualitas:– Tes: 0 & 1, AND & OR teorema-2 tetap benar?– Ya!! …kenapa? … setiap aksioma memiliki sebuah dual …

• Hati-2 dengan` urutan operator (operator precedence_’ –penggunaan tanda kurung

Teorema T6, T7

• Mirip dengan hukum-2 commutatif danassosiatif untuk penjumlahan dan perkaliandari bilangan-2 bulat dan riil

(Commutatif)

(T6) X + Y = Y + X(T6’) X · Y = Y · X

(Assosiatif)

(T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z)(T7’) (X · Y) · Z = X · (Y · Z)

Teorema T8(Distributif)

(T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z)(T8’) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z

• Jumlah dari perkalian (sum-of-products (SOP)) vs.Perkalian dari jumlah (product-of-sums (POS))

V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z = V · (W + X) · (Y + Z)(bentuk SOP) (bentuk POS)

(V · W · X) + (Y · Z ) = (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y) · (X + Z)

• Tergantung pd masalah, pilih yang lebih sederhana– Yang mana lebih logis menurut anda?

Teorema T9, T10

(Covering)

(T9) X + X · Y = X(T9’) X · (X + Y) = X

(Kombinasi)

(T10) X · Y + X · Y’ = X(T10’) (X + Y) · (X + Y’) = X

• Perguna dalam penyederhanaan fungsi-2 logika

Teorema T11(konsensus)

(T11) X · Y + X’ · Z + Y · Z = X · Y + X’ · Z(T11’) (X + Y) · ( X’ + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X’ + Z)

• Pada T11 term Y·Z disebut konsensus dari term X·Y danX’·Z:– Jika Y · Z = 0, maka T11 pasti benar– Jika Y · Z = 1, maka X · Y atau X’ · Z harus 1– Sehingga term Y · Z : redundan dan harus dibuang

• Tugas buktikan (T11’)?

Teorema-2 N-variabel (T12 – T15)

Pembuktian menggunakan induksi terbatas (finiteinduction)

Paling penting: teorema-2 DeMorgan (T13 & T13’)

Contoh Teorema DeMorgan: NAND

• (X · Y)’ = (X’ + Y’)– (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND

pada ekspresi gerbang logika

Contoh Teorema DeMorgan: NOR

• (X + Y)’ = (X’ · Y’)– (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada

ekspresi gerbang logika

Gerbang-2 NAND & NOR• Menggunakan jumlah rangk. yang lebih sedikit

ketimbang gerbang-2 AND & OR• Fan-in & Fan-out

NAND ANDExtra ciruits

Generalisasi Teorem DeMorgan

(T14) [F(X1, X2, . . ., Xn, +, ·)]’ = F(X1’, X2’, . . ., Xn’, · , +)

• Diberikan suatu ekspresi logika n-variabel,komplemennya dapat ditemukan melalui “swapping +dan · dan penkomplemenan seluruh variabel

• Contoh:– F(W,X,Y,Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’))

= ((W)’ · X) + (X · Y) + (W · ((X)’ + (Z)’))– [F(W,X,Y,Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’))– Gunakan (T4) (X’)’ = X, pers. Diatas dpt disederhanakan

menjadi:– [F(W,X,Y,Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z))

REVISI Dualitas• Setiap teorema pd aljabar switching tetap benar jika 0

& 1 di-swapped dan · & + di-swapped.• Benar karena seluruh duals dari seluruh aksioma

adalah benar, sehingga duals dari seluruh teoremaaljabar switching dapt dibuktikan denganmenggunakan duals aksioma-2.

• Kita dapat menuliskan kembali teorema DeMorgan sbg[F(X1, X2, …., Xn)]’ = FD(X1’, X2’, …., Xn’)

• Catatan …– A · B + C A + B · C

(A + B) · C– Duality bukan berarti ekuivalensi !!

Manipulasi ekspresi Boolean

• Bagaimana menyatakan (A · B + C)?

• Gunakan teorema DeMorgan …– A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’– = ( ( A · B )’ · C’ )’– = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’

Aksioma-2 dan Teorema-2 AljabarSwitching

(A1) X = 0 if X 1 (A1’) X = 1 if X 0(A2) If X = 0, then X’ = 1 (A2’) if X = 1, then, X’ = 0(A3) 0 . 0 = 0 (A3’) 1 + 1 = 1(A4) 1 . 1 = 1 (A4’) 0 + 0 = 0(A5) 0 . 1 = 1 . 0 = 0 (A5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1

(T1) X + 0 = X (T1’) X . 1 = X (Identities)(T2) X + 1 = 1 (T2’) X . 0 = 0 (Null elements)(T3) X + X = X (T3’) X . X = X (Idempotency)(T4) (X’)’ = X (Involution)(T5) X + X’ = 1 (T5’) X . X’ = 0 (Complements)(T6) X + Y = Y + X (T6’) X . Y = Y . X (Commutativity)(T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7’) (X . Y) . Z = X . (Y . Z) (Associativity)(T8) X . Y + X . Z = X . (Y + Z) (T8’) (X + Y) . (X + Z) = X + Y . Z (Distributivity)(T9) X + X . Y = X (T9’) X . (X + Y) = X (Covering)(T10) X . Y + X . Y’ = X (T10’) (X + Y) . (X + Y’) = X (Combining)(T11) X . Y + X’. Z + Y . Z = X . Y + X’ . Z(T11’) (X + Y) . ( X’ + Z) . (Y + Z) = (X + Y) . (X’ + Z) (Consensus)(T12) X + X + . . . + X = X (T12’) X . X . . . . . X = X (Generalized idempotency)(T13) (X1 . X2 . . . . . Xn)’ = X1’ + X2’ + . . . + Xn’(T13’) (X1 + X2 + . . . + Xn)’ = X1’ . X2’ . . . . . Xn’ (DeMorgan’s theorems)(T14) [F(X1, X2, . . ., Xn, +, .)]’ = F(X1’, X2’, . . ., Xn’, . , +) (Generalized DeMorgran’s theorem)

Definisi lanjut – Ekspresi Boolean• Term perkalian:

– Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z)

• Term penjumlahan:– Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z)

• Ekspresi sum-of-products (SOP):– Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z)

• Ekspresi product-of-sums (POS) :– Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z)

• Term normal: term perkalian atau penjumlahan di dlmnya tidak adavariabel yang muncul lebih dari sekaliContoh-2 term-2 non-normal: W·X·X·Y’ W+W+X’+Y X·X’·YContoh-2 term-2 normal: W·X·Y’ W+X’+Y 0

Minterm dan Maxterm• Minterm:

– Sebuah minterm n-variabel merupkan sebuah term perkalian normal dgn n literals.– Terdapat 2n term perkalian yang demikian.– Contoh-2 minterm 4-variabel:

W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’– Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada benar-benar satu

baris dari tabel kebenaran

• Maxterm:– Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan

n literals.– Terdapat 2n term-2 penjumlahan yang demikian.– Contoh-2 maksterm 4-variabel:

W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z– Dpt didefiniskan sebgaia sebuah term penjumlahan yang = 0 pada benar-2 satu

baris dari tabel kebenaran

Minterms/Maxterms u/ sebuah fungsi 3-variabel

Representasi Penjumlahan Kanonis• Minterm i :

– Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 1

• Penjumlahan Kanonis (Canonical sum):– Jumlah dari seluruh minterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran)

• Notasi Σ:

– Contoh: Σ X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7)= X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z

– Representasi ini biasa direalisasi dgn menggunakan rangkaian logika AND-OR 2level dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang AND, sperti yang diperlukan

Contoh penjumlahan kanonis• Fungsi direpresenyasikan dengan tabel kebenaran:

mempunyai representasi penjumlahan kanonis sbb:F = Σ X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7)

= X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z

Row X Y Z F0 0 0 0 11 0 0 1 02 0 1 0 03 0 1 1 14 1 0 0 15 1 0 1 06 1 1 0 17 1 1 1 1

Daftar Minterm menggunakan notasi Σ

Penjumlahan minterms kanonis secara aljabar

Representasi perkalian kanonis• Maxterm i:

– baris i dari tabel kebenara yang mempunyai keluaran 0

• Pekalian kanonis:– Perkalian dari maxterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran)

• Notasi Π :

– Contoh: Π X,Y,Z (1,2,5)= (X + Y + Z’) . (X + Y’ + Z) . (X’ + Y + Z’)

– Representasi direalisasi dgn menggunakan rangk. logika OR-AND 2 –levelsdengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang OR, seperti dibutuhkan

Contoh perkalian kanonis• Fungsi direpresentasi dengan tabel kebenaran:

memiliki representasi perkalian kanonis:F = Π X,Y,Z (1,2,5)

= (X + Y + Z’) · (X + Y’ + Z) · (X’ + Y + Z’)

Row X Y Z F0 0 0 0 11 0 0 1 02 0 1 0 03 0 1 1 14 1 0 0 15 1 0 1 06 1 1 0 17 1 1 1 1

Daftar Maxterm notasi Π

Perkalian maxterms kanonis secara aljabar

Konversi antara daftar Minterm/Maxterm

• Dapatkan komplemen dari set …

• Contoh:

Σ X,Y,Z(0,1,2,3) = Π X,Y,Z(4,5,6,7)

Σ X,Y(1) = Π X,Y(0,2,3)

Σ W,X,Y,Z(0,1,2,3,5,7,11,13) = ΠW,X,Y,Z(4,6,8,9,12,14,15)

Latihan• F=X’YZ+X’YZ’+XZ• Ditanyakan:

– Buatlah rangkaian digital persamaan diatas– Sederhanakan persamaan diatas dan buatlah rangkaian digital dari hasil

penyederhanaanya– Buatlah Rangkaian dalam bentuk IC dan tentukan type2 IC TTL yang

dibutuhkan– Ubahlah Rangkaian yang disederhanakan menjadi rangkaian NAND saja,

berapa IC TTL yang dibutuhkan– Ubahlah rangkaian menjadi NOR saja, dan berapa IC TTL yang dibutuhkan

27

• F=X’YZ+X’YZ’+XZ• F=X’Y(Z+Z’)+XZ T8• F=X’Y.1+XZ T5• F=X’Y+XZ

28