7/26/2019 Aljabar 6

1/14

MATRIKS

H.. Fitriyadiitriyadi S.Pi. M.Kom.Pi. M.Kom

Herieri Purwantourwanto. ST. MT. MT. CSST. MT. MT. CS

T.. Sutojoutojo S.Si. M.Kom.Si. M.Kom. CS CS

Steven J. Leonteven J. Leon

7/26/2019 Aljabar 6

2/14

DETERMINAN

Setiap matriks bujur sangkar A selalu mempunyai suatu

besaran skalar yang disebut dengan mempunyai

Determinan, sebaliknya setiap matriks yang tidak bujur

sangkar tidak mempunyai Determinan.

Determinan adalah nilai real an dihitun berdasarkan

nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu yang

ditulis dengan simbol det(A) atau [A].

Jika nilai determinan itu nol maka matriks bujur sangkardisebut singular artinya tidak memiliki invers dan jika

bukan nol berarti matriks tersebut non singular artinya

memiliki invers.

7/26/2019 Aljabar 6

3/14

PENGHITUNGAN DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR

A. Determinan Matriks Ordo 2 x 2

11 12

21 22

Diketahui Matriks A =

Maka Determinan dari matriks A sebagai berikut :

Det(A) = =11

.

22

- 21

.

12

Contoh

7/26/2019 Aljabar 6

4/14

B. Determinan Matriks Ordo 3 x 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Diketahui Matriks A =

n u mencar e erm nan ar ma r s er or o x ,

digunakan metode Sarrus yang langkah2 nya adalah sebagai

berikut :

1) Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua kemudian

tempatkan disebelah kanan tanda Determinan.

2) Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal

utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama.

Hasil kali dinyatakan A(+)

7/26/2019 Aljabar 6

5/14

3) Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal

skunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal

skunder. Hasil kali dinyatakan A(-)

Determinan matrik A adalah selisih antar A(+) dan A(-)

Simulasinya :

11 12

21 22

31

32

7/26/2019 Aljabar 6

6/14

CONTOH

-3 4 2

Diketahu matrik A = 2 1 3 , tentukan Determinannya

1 0 -1

Jawab :-3 4 2 -3 4

Det (A) = 2 1 3 2 1

1 0 -1 1 0

= [(-3).1.(-1) + 4.3.1 + 2.2.0] [1.1.2 + 0.3.(-3) + (-1).2.4]

= (3 + 12 + 0) (2 + 0 8)

= 21

7/26/2019 Aljabar 6

7/14

C. Minor dan Kofaktor

Didefinisikan bahwa minor dari matriks Aij adalahdet(Aij) dan kafaktornya adalah (-1)

i+j det(Aij).

Aij adalah matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i

dan elemen-elemen kolom ke-j dibuang.

-

2 1 3

1 0 -1

Diketahui Matriks A =

Tentukan minor dan kofaktor dari A11 dan A32

7/26/2019 Aljabar 6

8/14

A11= matrik A dengan elemen-elemen baris ke1

dan elemen-elemen kolom ke-1 dibuang.

-3 4 2

2 1 3A 11 =

Jawab

=

1 0 -1

Maka Minor A11= det(A11) = 1.(-1)

0.3 = -1Kofaktor A11= (-1)

i+j det(A11) = (-1)1+1(-1) = -1

Coba A32 = ???

7/26/2019 Aljabar 6

9/14

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

1. Nilai Determinan tidak berubah bila semua baris diubah

menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris,

dengan kata lain : det(A) = det(AT)

Contoh :

2 0 5 0

det(A) = 6.0 2.5 = 10det(AT) = 6 . 0 5 . 2 = 1 0

A = , maka AT =

7/26/2019 Aljabar 6

10/14

2. det(AB) = det(A) det (B)

Contoh :6 5 0 4

2 0 15 10

6 5 0 4 75 74

A = , dan B = , maka AB =

=2 0 15 10 0 8

det(A) = 6.0 2.5 = 10

det(B) = 0.10 15.4 = 60

det(A) det(B) = (-10).(-60) = 600

det(AB) = 75.8 0.74 = 600

7/26/2019 Aljabar 6

11/14

3. Jika dua baris / kolom dipertukarkan tempatnya, tanda

determinan berubah.4. Pada suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang

identik, maka harga determinan itu = 0.

5. Bila nilai determinan tidak berubah, jika elemen-elemen

sebuah baris / kolom ditambah atau dikurangi dengan suatukeli atan nilai real dari elemen-elemen dari baris / kolom

lain.

6. Besar determinan menjadi kali, bila suatu baris /

kolom dikalikan dengan skalar.

7. Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu

kolom = 0, maka harga determinan = 0.

7/26/2019 Aljabar 6

12/14

8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas

atau segitiga bawah, maka hasil determinannyamerupakan hasil kali dari elemen-elemen yang

terletak pada diagonal utamanya.

9. Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A)

adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal

utama.

Contoh :

2 7 -3 8 3

0 -3 7 5 1

0 0 6 7 6

0 0 0 9 8

0 0 0 0 4

= (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296

7/26/2019 Aljabar 6

13/14

7/26/2019 Aljabar 6

14/14