ALJABAR

GRUP dan RING

Disusun oleh :Petrus Fendiyanto (1213201002)

Dosen:Dr. Subiono, MS

PASCASARJANA MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA

2013

GRUP

Definisi Grup

Suatu grup < G, ∗ > terdiri dari himpunan anggota anggota G bersama denganoperasi biner ∗ yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut:

1. Tertutup: a∗b ε G untuk semua a, b ε G

2. Assosiatif : (a∗b)∗c = a∗(b∗c), untuk semua a, b, c ε G

3. Identitas: terdapat suatu anggota e ε G sehinggae∗a = a∗e = a, untuk a ε G

4. Invers: untuk setiap a ε G ada a−1 ε G sehinggaa∗a−1 = a−1∗a = e

Tambahan pula, bila masih memenuhi a∗b = b∗a untuk semua a, b ε G makadinamakan grup komutatif/abelian.

Contoh

1. Himpunan bilangan bulat Z, bilangan rasional Q, bilangan real R, dan bi-langan kompleks C bersama-sama dengan operasi tambah merupakan grupkomutatif.

2. Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi perkalian bukanlah grup.

3. Himpunan bagian {1,−1, i,−i} dari bilangan kompleks C adalah grup ter-hadap operasi perkalian (i=

√−1).

4. Himpunan bilangan bulat real R - {0} merupakan grup terhadap operasiperkalian.

5. Himpunan bilangan bulat modulo n merupakan grup komutatif terhadapoperasi penjumlahan modulo n.

6. Himpunan GL(n,R) matriks nonsingular n × n dengan elemen real bersaa-sama operasi perkalian matriks adalah grup tak komutatif.

7. Himpunan SL(n,R) matriks n × n dengan determinan sama dengan satubersama-sama dengan operasi perkalian matriks adalah grup tak komutatif.

8. Himpunan bilangan rasional merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.Misalkan Q = {a

b| a, b ε Z dan b6= 0 }, akan dibuktikan bahwa Q merupakan

grup komutatif.

1

Jawab:

• Tertutup ∀ q1, q2 ε Q akan ditunjukkan q1 + q2 ε Q.Ambil sebarang q1 = a

bdan q2 = c

d, ∀ a, b, c, dan d ε Z.

q1 + q2 = ab

+ cd

q1 + q2 = ad+bcbd

Karena operasi perkalian dan penjumlahan dalam bilangan bulat bersifattertutup maka pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat.Karena b dan d tidak nol maka bd juga tidak nol.Maka q1 + q2 tertutup atau q1 + q2 ε Q.

• Assositif ∀ q1, q2, q3 ε Q akan ditunjukkan (q1 + q2) + q3 = q1 + (q2 +q3).Ambil sebarang q1 = a

b, q2 = c

ddan q3 = e

f, ∀ a, b, c, d, e, f ε Z.

(q1 + q2) + q3 = (ab

+ cd) + e

f

(q1 + q2) + q3 = (ad+bcbd

) + ef

(q1 + q2) + q3 = (ad+bc)f+(bd)ebdf

(q1 + q2) + q3 = ((ad)f+(bc)f)+(bd)ebdf

(q1 + q2) + q3 = (a(df)+b(cf))+b(de)b(df)

(q1 + q2) + q3 = ab

+ cf+dedf

(q1 + q2) + q3 = ab

+ ( cd

+ ef)

(q1 + q2) + q3 = q1 + (q2 + q3)Jadi (q1 + q2) + q3 = q1 + (q2 + q3) maka berlaku sifat assosiatif.

• Identitas Elemen 01

merupakan identitas karena:

01

+ ab

= 0b+1a1b

= 0+ab

= ab

Jadi, ∀ q ε Q ∃ e = 01

sehingga qe = eq = q maka berlaku sifat identitas.

• Invers Untuk sebarang anggota abε Q akan ditunjukkan bahwa −a

bmeru-

pakan inversnya. Jelas bahwa −abε Q. Anggota −a

bmerupakan invers a

b

karena:ab

+ −ab

= ab+b(−a)bb

= ab+(−a)bbb

= 0bbb

= 0b

= 01

• Komutatif ∀ q1, q2 ε Q akan ditunjukkan q1 + q2 = q2 + q1Ambil sebarang q1 = a

bdan q2 = c

d, ∀ a, b, c, d ε Z.

q1 + q2 = ab

+ cd

q1 + q2 = cd

+ ab

q1 + q2 = q2 + q1Jadi q1 + q2 = q2 + q1 maka berlaku sifat komutatif.

Terbukti bahwa Q merupakan grup komutatif.

2

Teorema

Dalam sebarang grup berlaku sifat-sifat berikut:

1. Hukum kanselasi kiri: jika a x = a y maka x = y

2. Hukum kanselasi kanan: jika x a = y a maka x = y

3. Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e′ elemen G yang memenuhihukum identitas maka e = e′

4. Invers dari sebarang anggota G akan tunggal jika a dan b merupakan inversdari x maka a = b

5. (ab)−1 = b−1 a−1

Bukti:

1. Diberikan ax = ay Karena G grup dan a ε G maka terdapat a−1 sehingga aa−1

= a−1a = e dengan e identitas. Akibatnya:a−1(ax) = a−1(ay)

dan dengan menggunakan sifat assosiatif diperoleh(a−1a)x = (a−1a)y

dan dengan sifat invers diperolehex = ey

akhirnya dengan sifat identitasx = y

2. Diberikan xa = ya Karena G grup dan a ε G maka terdapat a−1 sehingga aa−1

= a−1a = e dengan e identitas. Akibatnya:(xa)a−1 = (ya)a−1

dan dengan menggunakan sifat assosiatif diperoleh(x(aa−1) = (y(aa−1

dan dengan sifat invers diperolehxe = ye

akhirnya dengan sifat identitasx = y

3. Karena e suatu anggota identitas maka ee′ = e′.Pada sisi lain ee′ = e′ = e, sehingga ee′=e′=e

4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karenaanggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb.Akibatnya dengan menggunakan sifat kanselasi kiri, maka a = b

5. Karenaab b−1a−1 = a (bb−1) a−1 = aea−1 = aa−1 = eb−1a−1 ab = b−1 (a−1a) b = b−1eb = b−1 b = e

Maka (ab)−1 = b−1 a−1

3

ORDER GRUP dan ORDER ELEMEN

Order Grup

Bilangan yang termasuk dari sebuah grup (terhingga/tak terhingga) disebutOrder. Kita menggunakan |G| untuk melambangkan order G. Jadi, grup Z daribilangan bulat dengan operasi penjumlahan mempuyai order yang tak terhingga.

U(10) = {1, 3, 7, 9} mempunyai 4 order.Bila g ε G dan n ε Z, maka

1. g0 = e, dengan e elemen netral.

2. gn = ggg...g︸ ︷︷ ︸, untuk n > 0

n

3. gn+1 = gng, dengan n > 0

4. gn = g−1g−1g−1...g−1︸ ︷︷ ︸, untuk n < 0

-n

Teorema

Bila g ε G dan m,n ε Z, maka

1. gm+n = gm gn

2. (gm)n

Bukti:

1. Misalkan m+n > 0, diperoleh gm+0 = gme = gmg0 dan dengan menggunakanhipotesis induksi diperoleh:

gm+(n+1) = g(m+n)+1 = gm+ng = gmgng = gmgn+1

Dari hasil ini didapat gm−ngn = g(m−n)+n = gm, dengan demikian

gm−n = gm(gn)−1 = gmg−n

2. Misalkan n tak negatif, sebagaimana pengguaan induksi pada n yang dilakukansebelumnya didapat (gm)0 = e = g0m dan

(gm)n+1 = (gm)n gm = gmn gm = gmn+m = gm(n+1)

Untuk n negatif dapat dilakukan sebagaimana pada (1).

4

Order Elemen

Order Elemen atau unsur g dalam grup G merupakan bilangan bulat positifterkecil n seperti gn = e (dalam notasi penjumlahan ini akan menjadi ng = 0).Jika tidak ada bilangan bulat, kita katakan g mempunyai order yang tak terhingga.Order dari sebuah elemen g dilambangkan dengan |g|.

Jadi, untuk menemukan order dari sebuah elemen grup G, yang kita butuhkanhanya menghitung dari hasil g1, g2, g3, ... sampai kita mendapatkan identitas per-tama kali. Eksponen dari hasil ini (koefisien jika operasinya penjumlahan) adalahorder dari g. Jika identitas tidak pernah muncul dalam urutan, maka g mempunyaiorder yang tidak terbatas.

Contoh

Modulo 15 (Z15) dengan operasi perkalianU(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}|U(15)| = 8

• Untuk mencari order 2, kita menghitung21 = 222 = 423 = 824 = 1Maka |2| = 4

• Untuk mencari order 7, kita menghitung71 = 772 = 473 = 1374 = 1Maka |7| = 4

• Untuk mencari order 11, kita menghitung111 = 11112 = 1Maka |11| = 2

• Menghitung urutan 131,132,133,134 kita boleh menghitung dengan131 = 13 = -2 mod 15 (sebab 13 + 2 = 0)132 = (-2)(-2) = 4 mod 15133 = (-2)(-2)(-2) = -8 mod 15134 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 mod 15 = 1 mod 15Maka |13| = 4

Sehingga order dari semua elemen U(15)|1| = 1, |2| = 4, |4| = 2, |7| = 4, |8| = 4, |11| = 2, |13| = 2, |14| = 2.

Modulo 10 atau Z10 dengan operasi penjumlahanU(10) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}|U(10)| = 10

5

• Untuk mencari order 2, kita menghitung2× 1 = 22× 2 = 42× 3 = 62× 4 = 82× 5 = 10 = 0Maka |2| = 5

• Untuk mencari order 3, kita menghitung3× 1 = 33× 2 = 63× 3 = 93× 4 = 23× 5 = 53× 6 = 83× 7 = 13× 8 = 43× 9 = 73× 10 = 0Maka |3| = 10

Sehingga order dari semua elemen Z(10)|0| = 0, |1| = 10, |2| = 5, |3| = 10, |4| = 5, |5| = 4, |6| = 5, |7| = 10, |8| = 5,|9| = 10.

Teorema

Bila g ε G dan m,n ε Z, maka

1. Bila |g| = n, maka gm = e bila dan hanya bila m kelipatan dari n.

2. Bila |g| = n dan h = gm, maka|h| = n

fpb(m,n)

Bukti:

1. Bila m = nk, maka gm = gnk = (gn)k = ek = e. Selanjutnya misalkan gm =e dan andaikan m = nk + r, dengan 0 < r < n, maka

e = gm = gnk+r = (gn)kgr = ekgr = gr

Kontradiksi dengan kenyataan |g| = n. Jadi haruslah r = 0 atau m = nk

2. Diketahui gm = h dan gn = e. Misalkan d = fpb(m,n) maka m = dm1 dan n= dn1, dimana fpb(m1, n1) = 1. Jadi

hn1 = gmn1 = gdm1n1 = gdn1m1 = gnm1 = em1 = e

6

Berikutnya misalkan hk = e, sehingga diperoleh gmk = e, oleh karena itu mkadalah kelipatan dari n. Jadi dm1k adalah kelipatan dari dn1 dan m1k kelip-tan dari n1. Berdasarkan teorema sebelumnya, maka |h| = n1 atau

|h| = nd

= nfpb(m.n)

7

SUBGRUP (GRUP BAGIAN)

Definisi Subgrup

Misalkan G suatu grup dan H ⊂ G dengan H 6= ∅, dikatakan bahwa H adalahSubgrup dari G bila H sendiri adalah grup dengan operasi biner yang sama di G.Hal ini dinotasikan H < G.

Teorema

Diketahui S adalah himpunan bagian dari grup G dengan elemen identitas e. Him-punan S merupakan grup bagian dari G jika dan hanya jika memenuhi:

1. e ε S

2. S tertutup di bawah operasi dari G

3. Untuk sebarang x ε S, inversnya x−1 terletak didalam S

Bukti:

1. Dengan mengingat definisi S grup bagian maka S merupakan grup sehingga e′

ε S. Akan ditunjukkan bahwa e′ sebenarnya adalah e yaitu anggota identitasdalam G.Karena e′ anggota identitas dalam S maka e′e′ = e′.Dengan menggunakan sifat identitas dari e maka e′ = e′ e, sehingga

e′ e′ = e′ e (sifat kanselasi)e′ = e

2. Karena S grup maka S tertutup di bawah operasi dalam G.

3. Misalkan x sebarang anggota SKarena S grup maka x mempunyai invers x′ dalam S. Dengan mengingatketunggalan dari suatu invers maka x′ = x−1 yaitu invers dari dalam G.

Contoh

1. Q∗ = { pq| p dan q tidak nol dalam Z } merupakan subgrup dari R∗

2. Himpunan bilangan genap merupakan subgrup (grup bagian) dari himpunanbilangan bulat Z

3. S = {3k | k ε Z } merupakan subgrup dari R∗.Bukti:

(a) Anggota identitas berada di dalam SKarena 1 = 30 maka anggota identitas berada dalam S

(b) Misalkan 3j, 3k dalam S.Karena pergandaan 3j dan 3k adalah 3j 3k = 3j+k, dengan j+k bilanganbulat maka 3j 3k ε S

(c) Misalkan 3k ε SInvers dari 3k adalah (3k)−1 = 3−k dengan −k ε Z. Berarti 3−k ε S

8

Soal

1. Tentukan subgrup dari Z4 yang dibangun oleh 2.Jawab:Grup Z4 = {0, 1, 2, 3} merupkan grup terhadap operasi penjumlahanElemen 2 dalam Z4 sehingga grup bagian yang dibangun oleh 2 adalah

< 2 > = {2k | k ε Z } = {0, 2}

2. Tentukan subgrup dari R yang dibangun oleh 1.Jawab:Grup R merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.Elemen 1 dalam R sehingga grup bagian yang dibangun oleh 1 adalah

< 1 > = {1k | k ε Z } = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...} = Z.

Hal ini berarti bahwa subgrup yag dibangun oleh 1 dalam R adalah himpunanbilangan bulat Z.

3. Tentukan subgrup yang dibangun oleh A =

(1 10 1

)dalam M2×2

Jawab:Grup M2×2 merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks dengan de-terminan tidak nol. Berarti subgrup yang dibangun oleh A adalah:

A = {Ak | k ε Z }

A = {(

1 10 1

),

(1 20 1

),...,

(1 k0 1

),

(1 k + 10 1

),... | k ε Z }

9

GENERATOR dan GRUP SIKLIK

Generator

Misalkan G suatu grup dan S adalah himpunan bagian dari G dengan S 6= ∅.Notasi 〈S〉 menyatakan himpunan semua subgrup dari G yang memuat S. Jadi 〈S〉itu sendiri adalah subgrup dari G yang memuat S. Dalam hal ini

〈S〉 = ∩ Hα

S⊂Hα

Dinamakan subgrup dari G yang dibangun oleh S, sedangkan S dinamakan Gen-erator.

Grup Siklik

Definisi grup siklik terhadap perkalian

Grup (G, ·) disebut siklik, bila ada elemen a ε G sedemikian hingga

G = { an | n ε Z }Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.

Definisi grup siklik terhadap penjumlahan

Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a ε G sedemikian hingga

G = { na | n ε Z }

Definisi grup siklik

Misalkan (G,∗ ) adalah suatu grup dan a ε G, maka generator a yang membangunsuatu subgrup 〈a〉 dimana 〈a〉 = G, maka subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.

Grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan GrupSiklik Berhingga dan grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak ter-hingga dinamakan Grup Siklik Tak Hingga.

Definisi subgrup siklik

Misalkan (G,∗ ) adalah suatu grup dan a ε G, maka generator a yang membangunsuatu subgrup 〈a〉 dinamakan Subgrup Siklik.

Contoh

1. Misalkan G = {−1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, ·).Tentukan grup siklik dari grup tersebut.Jawab:

10

Generator dari G = {−1, 1} adalah -1 dan 1〈−1〉 = {(−1)n | n ε Z }

= {(−1)0,(−1)1,(−1)2, ...}= {−1, 1}

〈1〉 = {(1)n | n ε Z }= {(1)0,(1)1,(1)2, ...}= {1}

Generator -1 adalah membangun suatu grup siklik, sehingga:〈−1〉 = {−1, 1}

Generator 1 adalah membangun subgrup siklik, sehingga:〈1〉 = {1}

2. Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G,+).Tentukan grup siklik dari grup tersebut.Jawab:Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2,dan 3.〈0〉 = {n(0) | n ε Z }

= {0}〈1〉 = {n(1) | n ε Z }

= {0 · 1, 1 · 1, 2 · 1, 3 · 1, ...}〈2〉 = {n(2) | n ε Z }

= {0 · 2, 1 · 2, 2 · 2, 3 · 2, ...}= {0, 2}

〈3〉 = {n(3) | n ε Z }= {0 · 3, 1 · 3, 2 · 3, 3 · 3, ...}= {0, 3, 2, 1}

Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga:〈1〉 = 〈3〉 = {0, 1, 2, 3}

Generator 0 dan 2 adalah membangun suatu Subgrup Siklik, sehingga:〈0〉 = {0}〈2〉 = {0, 2}

3. Grup (Z,+) merupakan grup siklik tak hingga yang dibangun oleh 1.Jawab:〈1〉 = {...,−2 · 1,−1 · 1, 0 · 1, 1 · 1, 2 · 1...}

= {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...}Jadi, 1 merupakan generator yang membentuk Grup Siklik tak hingga.

4. Misalkan I4 = {1,−1, i,−i} adalah grup bilangan kompleks terhadap perkalian(I4). Tentukan grup siklik dari grup tersebut.Jawab:Generator dari I4 = {1,−1, i,−i} adalah 1, -1, i, dam -i.〈1〉 = {(1)n | n ε Z }

= {(1)0,(1)1,(1)2, ...}= {1}

11

〈−1〉 = {(−1)n | n ε Z }= {(−1)0,(−1)1,(−1)2, ...}= {−1, 1}

〈i〉 = {(i)n | n ε Z }= {(i)0,(i)1,(i)2, (i)3, ...}= {1, i,−1,−i}

〈−i〉 = {(−i)n | n ε Z }= {(−i)0,(−i)1,(−i)2, ...}= {1,−i, i,−1}

Generator i dan -i adalah membangun suatu grup siklik, sehingga:〈i〉 = 〈−i〉 = {1,−1, i,−i}

Generator 1 dan -1 adalah membangun subgrup siklik, sehingga:〈1〉 = {1}〈−1〉 = {1,−1}

Teorema

1. Diberikan suatu grup G, bila S ⊂ G maka〈S〉 = { si11 , ..., simm | ε S, ij ε Z, m ≥ 1}.

2. 〈a〉 = {an | n ε Z }.

3. Setiap grup siklik adalah grup komutatif.

4. Setiap subgrup dari suatu grup siklik G = 〈a〉 adalah siklik.

5. Misalkan G = 〈a〉 adalah grup siklik dan |G| = n, maka

G = {e, a, a2, ..., an−1},

dengan an = e dan e adalah elemen netral.

Bukti

1. 〈H〉 = { si11 , ..., simm | ε S, ij ε Z, m ≥ 1}dan misalkan

a = si11 , ..., simm ε H

b = ti11 , ..., tinm ε H

diperoleh

ab−1 = si11 , ..., simm t−i11 , ..., t−inm ε H

12

Jadi H < G dan untuk sebarang a ε S maka a = a1 ε H yaitu S ⊂ H. Aki-batnya 〈S〉 ⊂ H, disamping itu

S ⊂ 〈S〉 dan 〈S〉 adalah subgrup dari G

maka semua hasil kali dan invers elemen-elemen dari S berada di 〈S〉.Jadi H ⊂ 〈S〉 dan H = 〈S〉.

2. Bila S = {a}, maka H pada hasil 1 menjadi H = {an | n ε Z } dan diperoleh

〈a〉 = {an | n ε Z }

Bila operasi biner adalah tambah, maka

〈S〉 = {i1s1 + ...+ imsm | sj ε S, ij ε Z, j ≥ 1 }

dan 〈a〉 = {na | n ε Z }

3. Misalkan (G, ·) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari grupG, sehingga

〈a〉 = {an | n ε Z }

Ambil x, y ε G, sehingga x = am dan y = an, untuk m,n ε Z.

x · y = am · an = am+n = an+m = an · am = y · x

Jadi, (G, ·) merupakan grup komutatif.

Misalkan (G,+) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun darigrup G, sehingga

〈a〉 = {na | n ε Z }

Ambil x, y ε G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m,n ε Z.

x+ y = na+ma = (n+m)a = (m+ n)a = ma+ na = y + x

Jadi, (G,+) merupakan grup komutatif.

4. Misalkan H < G, bila H = {e} jelas H siklik. Bila H 6= {e}, maka ada bilan-gan bulat s 6= 0 sehingga as ε H dan (as)−1 = a−s ε H. Misalkan

13

T = {t ε Z+ | at ε H }

dengan sifat keterurutan dari bilangan bulat Z+, maka T mempunyai elementerkecil t0.

Jadi at0 ε H, misalkan b ε 〈at0〉 maka untuk suatu m ε Z, b = (at0)m ε H(sebab H subgrup). Terlihat bahwa 〈at0〉 ⊂ H.

Misalkan h ε H

maka ada bilangan bulat k sehingga h = ak. Selanjutnya dengan menggunakanalgorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat k = t0 q + r untuk be-berapa q, r ε Z dengan 0 ≤ r ≤ t0, maka

ar = ak(at0)−q ε H

Bilangan r = 0, sebab bila tidak, maka ada bilangan yang lebih kecil dari t0,yaitu r < t0 yang memenuhi ar ε H. Hal ini bertentangan dengan at0 ε H. Jadi

h = ak = (at0)q ε 〈at0〉

Terlihat bahwa H ⊂ 〈at0〉. Sehingga didapat H = 〈at0〉.Jadi H Siklik.

5. Misalkan G = {ak | k ε Z }, karena |G| = n (berhingga), maka ak = ah atauak−h = e untuk beberapa h < k dengan h, k ε Z, misalkan

T = {t ε Z+ | at = e}

dan l adalah elemen terkecil di T , sehingga

{e, a, a2, ..., al−1} ⊂ G

Dalam hal ini dapat ditunjukkan bahwa semua elemen

e, a, a2, ..., al−1

adalah berbeda. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

G ⊂ {e, a, a2, ..., al−1}

Misalkan g ε G maka g = am untuk suatu m ε Z. Dengan menggunakan algo-rithma pembagian untuk bilangan bulat diperoleh m = l q + r untuk beberapa

14

q, r ε Z dengan 0 ≤ r < l. Didapat

am = (al)q ar = eq ar = ar {e, a, a2, ..., al−1}

Jadi G ⊂ {e, a, a2, ..., al−1}. Karena |G| = n, maka n = l dan an = al = e.

15

HOMOMORFISMA dan ISOMORFISMA

Definisi

Misalkan G1 dan G2 adalah grup dan f : G1 → G2 adalah suatu fungsi. Fungsi fdinamakan suatu homomorpisma grup bila

f(ab) = f(a) f(b)

untuk semua a,b ε G1.

Suatu homomorfisma grup yang bijektif (surjektif dan injektif) dinamakan Iso-morfisma. Dan G1 isomorfik dengan G2 ditulis G1

∼= G2. Bila f suatu homorfismagrup, misalkan

Ker(f) = {g ε G1 | f(g) = e2 }, dengan e2 adalah elemen netral di G2

dan

Im(f) = {f(g) ε G2 | g ε G1, untuk beberapa g ε G }

Maka Ker(f) dinamakan kernel dari f dan Im(f) dinamakan image dari f .

Teorema

Misalkan f adalah suatu homomorpisma grup dari G1 ke G2, maka

1. f(e1) = e2 dengan masing-masing e1 dan e2 adalah elemen netral di G1 danG2.

2. Untuk setiap g ε G1 berlaku f(g−1) = f(g)−1

3. ker(f) adalah subgrup normal dari G1.

4. im(f) adalah subgrup dari G2

Bukti

1. Misalkan g ε G1, maka

f(g) e2 = f(a)f(g) e2 = f(ae1)f(g) e2 = f(a) f(e1) (sifat kanselasi)

e2 = f(e1)

Jadi e2 = f(e1) dengan masing-masing e1 dan e2 adalah elemen netral di G1

dan G2.

16

2. Misalkan g ε G1, maka

f(g)−1 = f(g)−1 e2= f(g)−1 f(e1)= f(g)−1 f(gg−1)= f(g)−1 (f(g) f(g−1))= (f(g)−1f(g)) f(g−1)= e f(g−1)= f(g−1)

Jadi f(g)−1 = f(g−1) untuk setiap g ε G1.

3. ker(f) 6= ∅ (sebab e1 ε ker(f))Misalkan x, y ε ker(f), maka

f(xy−1) = f(x) f(y−1)= e2 f(y)−1

= e2 e−12

= e2

Jadi x, y−1 ε ker(f), dengan demikian ker(f) < G1.Selanjutnya, misalkan g ε G1 dan a ε ker(f), maka

f(gag−1) = f(g) f(a) f(g−1)= f(g) e2 f(g−1)= f(g) f(g−1)= e2

Jadi gag−1 ε ker(f) adalah subgrup normal dari G1.

4. Jelas bahwa im(f) ⊂ G2.Misalkan x, y ε im(f), pilih a, b ε G1 sehingga x = f(a) dan y = f(b). Maka

xy−1 = f(a) f(b)−1

= f(a) f(b−1)= f(ab−1)= f(g)

dengan g = ab−1 ε G1

Hal ini menunjukkan bahwa xy−1 ε im(f). Jadi im(f) < G2

Contoh

1. Untuk menunjukkan bahwa Z4∼= 〈i〉, dengan i =

√−1, didefinisikan

17

f : Z4 → 〈i〉 oleh f(n) = in

Pemetaan f adalah bijektif, sebab

f(0) = 1f(1) = if(2) = −1f(3) = −i

dan f adalah suatu homomorfisma sebab,

f(m+ n) = im+n

f(m+ n) = im in

f(m+ n) = f(m) f(n), ∀ m,n ε Z4.

2. Diberikan himpunan bilangan kompleks C himpunan C∗ = {z ε C | z 6= 0 }dan himpunan R+ = {x ε R | x > 0 }. Didefinisikan suatu pemetaan

f : C∗ → R+ oleh f(z) = |z|, ∀ z ε Z∗

dengan operasi perkalian di C∗ dan R+ diperoleh

f(zw) = |zw|f(zw) = |z| |w|f(zw) = f(z) f(w), ∀ z, w ε C∗

Terlihat bahwa f adalah suatu homomorfisma grup dari (C∗, ·) ke (R+, ·)dengan f pada. Selanjutnya ker(f) = {z ε C∗ |z| = 1 }

Teorema

Misalkan pemetaan f : G → H adalah suatu isomorpisma grup, maka

1. f−1 : H → G adalah suatu isomorpisma grup.

2. |G| = |H|.

3. Bila G abelian maka H juga abelian.

4. Bila G siklik maka H juga siklik.

5. Bila g ε G dengan |g| = m maka |f(g)| = m.

Bukti

1. Karena f bijektif maka f−1 ada.Bila diberikan x, y ε H, pilih a, b ε G yang memenuhi x = f(a) dan y = f(b),maka

18

xy = f(a) f(b)xy = f(ab)f−1(xy) = abf−1(xy) = f−1(x) f−1(y), ∀ x, y ε H.

Terlihat bahwa pemetaan f−1 : H→G adalah homomorpisma grup. Karenaf bijektif maka f−1 biektif.Jadi f−1 adalah isomorpisma grup.

2. Karena f : G → H bijektif, maka banyaknya elemen di g sama denganbanyaknya elemen di H.

3. Diketahui bahwa G abelian.Misalkan x, y ε H, karena f pada maka dapat dipilih a, b ε G yang memenuhix = f(a) dan y = f(b) sehingga diperoleh

xy = f(a) f(b)= f(ab)= f(ba)= f(b) f(a)= yx

Terlihat bahwa untuk setiap x, y ε H berlaku xy = yx. Jadi H abelian.

4. Misalkan G = 〈g〉 = gm |m ε Z } dan f(g) = h0, untuk suatu h0 ε H.Diberikan sebarang h ε H , dapat dipilih n0 ε Z yang memenuhi h = f(gn0)dengan

f(gn0) =

{f(g)...f(g) = hn0

0 , n0 ≥ 0

f(g)−1...f(g−1) = h−n00 , n0 < 0

Jadi untuk setiap h di H dan h = hn00 , dengan n0 ε Z, hal ini menunjukkan

bahwa H = 〈h0〉 = { hn00 | n ε Z }.

5. Bila |g| = m dan |f(g)| = n, maka eH = f(eG) = f(gm) = f(g)m sehinggadidapat

m = k0nuntuk beberapa bilangan bulat positif k0.dan

eH = f(gn) = f(g)n.Karena f satu-satu dan eH = f(eG), maka gn = eG.Jadi dapat dipilih bilangan bulat positif k1 yang memenuhi n = k1m.Dari m = k0n dan n = k1m, didapat m = k0k1m atau k0k1 = 1.Karena masing-masing k0 dan k1 adalah bilangan bulat positif, maka haruslahk0 = k1 = 1.Jadi m = k0n = 1 · n = n

19

TEOREMA LAGRANGE

Definisi

Misalkan H adalah subgrup dari grup G dan a ∈ G.aH = {ah | h ∈ H} disebut koset kiri.Ha = {ha | h ∈ H} disebut koset kanan.Jika G grup komutatif, maka aH = {ah | h ∈ H} = {ha | h ∈ H} = Ha, tetapi jikaG tidak komutatif, maka aH belum tentu sama dengan Ha.

Contoh:

1. Dalam grup Z6.Jika H = {0, 3} subgrup dari Z6 maka koset dari H dalam Z6 adalah

H + 1 = {1, 4}H + 2 = {2, 5}

2. Diberikan grup simetris S3 dan subgrup dari S3

H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} dan H1 = {e, (2, 3)}maka dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap a ∈ S3 berlaku aH = Ha.Tetapi ada (1, 3, 2) ∈ S3 sedemikian sehingga (1, 3, 2)H1 6= H1(1, 3, 2).

Teorema Lagrange

Misal G grup dengan order hingga dan H subgrup G, maka order H adalah pembagiorder G, yaitu |H|/|G|.

Catatan

1. Banyaknya koset kanan dan koset kiri di grup G terhadap suatu sub grup Hselalu sama, kita namakan indeks sub grup H di G yang dinotasikan dengan[G : H].

2. Himpunan koset kanan (kiri) membentuk partisi di G yaitu untuk setiap a, b∈ g berlaku Ha = Hb atau Ha ∩ Hb = ∅ dan ∪Ha = G

Teorema

1. Misalkan H adalah subgrup dari grup G, maka untuk setiap a, b ∈ G, maka

(a) aH = bH jika dan hanya jika b−1a ∈ H(b) Ha = Hb jika dan hanya jika ab−1 ∈ H

2. Misalan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G. Untuk setiap dua elemena, b ∈ G didefinisikan relasi biner a ∼ b bila dan hanya bila ab−1 ∈ H (a−1b ∈H). Relasi biner ∼ ini adalah suatu relasi ekivalen.

20

SUBGRUP NORMAL

Definisi

Grup bagian S dari grup G dikatakan grup bagian normal (normal subgroup)asalkan untuk setiap anggota s dalam S dan setiap a ε G berlaku a−1sa ε S.Istilah S grup bagian normal dari G sering kali disingkat sebagai S normal dari G.

Teorema

Jika f : G → H homomorpisma grup maka ker(f) normal dalam G.BuktiMisalkan x ε ker(f) dan a ε G.Akan ditunjukkan bahwa a−1xa dalam ker(f).

f(a−1xa) = f(a−1 f(x) f(a)= f(a−1 e f(a)= f(a−1a)= f(e)= e′

Jadi a−1xa dalam ker(f).

Definisi

Misalkan f : G → H sebarang fungsi dan X sebarang himpunan bagian dari H.Prapeta (invers image) X di bawah f yang dilambangkan dengan f−1(X) dandidefinisikan sebagai:

f−1(X) = {g ε G | f(g) ε X }

Teorema

Misalkan f : G → H homomorpisma. Sifat-sifat berikut ini berlaku:

1. Jika S hrup bagian dari H maka f−1(S) grup bagian dari G.

2. Jika N grup bagian normal dari H maka f−1(N) grup bagian dari G.

3. Jika S grup bagian dari peta f(G) dan orde dari G berhingga maka orde darisama dengan |K| |S| dengan K di dalam f .

21

GRUP PERMUTASI

Permutasi

Permutasi dari sebuah himpunan adalah fungsi dari A ke A yang berkorespo-densi satu-satu dan onto.Contoh:Permutasi α dari himpunan {1, 2, 3, 4} dengan menetapkan α(1) = 2,α(2) = 3,α(3)= 1,α(4) = 4.Untuk menunjukkan korespodensi ini, dapat dituliskan permutasi α dengan mem-bentuk barisan sebagai berikut:

α =

(1 2 3 4

α(1) α(2) α(3) α(4)

)α =

(1 2 3 42 3 1 4

)Permutasi Komposisi ditunjukkan dalam notasi barisan yang diangkat dari

kanan ke kiri dengan membawa dari atas ke bawah lagi.Contoh:

α =

(1 2 3 4 52 4 3 5 1

)dan β =

(1 2 3 4 55 4 1 2 3

)maka permutasi komposisi dari

βα adalah:

βα =

(1 2 3 4 55 4 1 2 3

) (1 2 3 4 52 4 3 5 1

)βα =

(1 2 3 4 54 2 1 3 5

)Permutasi grup adalah himpunan permutasi yang membentuk sebuah grup

dengan komposisi fungsi.

Sikel

Misalkan S = {1, 2, 3, ..., n} dan ai, aj, ... adalah elemen-elemen di S.Bila f ∈ Sn dengan f(a1) = a2, f(a2) = a3, ...,f(ak−1) = ak,f(ak) = a1 dan f(aj)= aj untuk j 6= 1, 2, 3, ...k. Permutasi semacam ini dinamakan sikel.Sikel dengan panjang 2 dinamakan transposisi.

Contoh

Sikel (2,3,4,6,8) dapat disajikan sebagai hasil komposisi transposisi:

• (2,3,4,6,8) = (2,8)(2,6)(2,4)(2,3)

• (2,3,4,6,8) = (2,3)(3,4)(4,6)(6,8)

Catatan:Permutasi identitas dapat dinyatakan sebagai hasil dua komposisi transposisi.

22

• () = (1, 2)(1, 2)

• () = (2,3)(1,6)(1,6)(2,3)

Notasi Sikel

Sebagai ilustrasi dari notasi cycle, mari kita lihat permutasi di bawah ini:

βα =

(1 2 3 4 5 62 1 4 6 5 3

)Nilai permutasi di atas dapat dibuat secara skematis seperti di bawah ini:

Dari skema di atas dapat ditulis (1, 2) (3, 4, 6) (5)

Grup Alternating

Himpunan An adalah himpunan bagian dari himpunan Sn yang menyatakanhimpunan dari semua permutasi genap, maka An dinamakan grup alternating.

Contoh

Grup alternating A4 adalah subgrup dari grup permutasi S4.Ada 12 elemen di A4 yaitu:(), (1,2), (3,4), (2,4), (1,4), (2,3), (1,2,3), (1,3,2), (1,2,4), (1,3,4), (1,4,3), (2,3,4),(2,4,3).

Permutasi Genap dan Ganjil

• Sebuah permutasi yang merupkan produk perkalian genap dari 2-cycle di sebutdengan permutasi genap

• Sebuah permutasi yang merupakan produk perkalian ganjil 2-cycle disebutpermutasi ganjil.

Contoh:

1. (1, 3, 5) = (1, 5) (1, 3) = genap

2. (1, 3, 5, 6, 7) = (1, 7) (1, 6) (1, 5) (1, 3) = genap

3. (1, 2) (1, 3, 4) (1, 5, 2) = (1, 2) (1, 4) (1, 3) (1, 3) (1, 2) (1, 5) = ganjil

23

Grup Dehidral

Grup Dehidral Dn yaitu grup permutasi yang mempertahankan bentuk ge-ometri dari segi-n beraturan terhadap rotasi dan pencerminan.Grup Dn mempunyai order sebanyak 2n.

Sifat

Grup dehidral Dn untuk n ≥ 3 terdiri dari semua hasil kali dua elemen rotasi r danpemcerminan s yang memenuhi:

• rn = e

• s2 = e

• srs = r−1

dengan e adalah elemen netral.

Contoh

Grup dehidral segi empat beraturan D4 dengan rotasi yang diberikan oleh

• r = (1, 2, 3, 4)

• r2 = (1, 3)(2, 4)

• r3 = (1, 4, 3, 2)

• r0 = () = e

dan pencerminan diberikan oleh

• s1 = (2, 4)

• s2 = (1, 3)

dua elemen lainnya adalah

• rs1 = (1,2)(3,4)

• r3s1 = (1,3)(2,3)

Tindakan Suatu Grup

Misalkan G suatu grup dan himpunan tak kosong X.Suatu tindakan dari G pada X adalah sutu representasi permutasi φ : G → Sx.Umumnya ditulis gx untuk φ(g)(x).

Untuk sebarang x ∈ X ada Gx ⊂ X dan suatu subgrup G(x) dari G yangdidefinisikan oleh:

• Gx = {gx|g ∈ G} ⊂ X dinamakan Orbit dari x

• G(x) = {g ∈ G|gx = x} ⊂ G dinamakan stabilizer dari x

24

Sifat

1. Misalkan G bertindak pada himpunan berhingga x, maka

|Gx| = |[G : G(x)]|, untuk setiap x ∈ X2. Misalkan x1, x2 ∈ G dikatakan bahwa x1 berelasi dengan x2 yang ditulisx1 ∼ x2 bila dan hanya bila ada g ∈ G yang memenuhi gx1 = x2.Relasi ∼ adalah relasi ekivalensi .Kelas ekivalensi dari x1 adalah Gx1

3. Misalkan grup G bertindak pada suatu himpunan berhingga X, maka

|X| =N∑i=1

|[G : G(xi)]|

dengan N adalah banyaknya orbit yang berbeda dari G pada X.

4. MisalkanG bertindak pada himpunan berhinggaX danN adalah banyaknyaorbit berbeda dari G pada X.Untuk sebarang g ∈ G didefinisikan

I(g) = |{x ∈ X|gx = x}

maka

N = 1G

∑g∈G

I(g)

CatatanBila N = 1, maka dikatakan bahwa G bertindak secara transitif pada X,yaitu untuk setiap x1, x2 ∈ X ada g ∈ G sehingga gx1 = x2

25

RING

Definisi

Ring (R,+, ·) adalah sistem aljabar pada himpunan R bersama-sama dengandua operasi biner ”+” dan ”·” yang memenuhi sifat-sifat berikut, untuk setiap a, b, cε R

1. Tertutup terhadap penjumlahana + b ε R

2. Assosiatif terhadap penjumlahan(a+ b) + c = a+ (b+ c)

3. Elemen netral terhadap penjumlahan, ada 0 ε R sedemikian sehingga0 + a = a+ 0 = a

4. Invers terhadap penjumlahan, ada −a ε R sedemikian sehinggaa+ (−a) = −a+ a = 0

5. Komutatif terhadap penjumlahana+ b = b+ a

6. tertutup terhadap perkaliana · b ε R

7. Assosiatif terhadap perkalian(a · b) · c = a · (b · c)

8. Elemen identitas terhadap perkalian, ada 1 ε R sehingga1 · a = a · 1 = a

9. Distributif

• Distributif kanana · (b+ c) = a · b + a · c

• Distributif kiri(a+ b) · c = a · b + a · c

Selanjutnya ring (R,+, ·) cukup ditulis ring R. Bila ring R mempunyai sifat

10. Komutatif terhadap perkaliana · b = b · a

Maka ring R dikatakan ring yang Komutatif.

26

Contoh

1. Himpunan Z, Q, R, dan C terhadap operasi penjumlahan dan perkalianmasing-masing adalah ring yang komutatif.

2. Himpunan bilangan bulat modulo n Zn dengan dua operasi biner

• [a] + [b] = [a+ b]

• [a] · [b] = [a · b] Untuk setiap a, b ε Zn adalah suatu ring komutatif

3. HimpunanQ√

2 = {a + b√

2 | a, b ε Q }Terhadap operasi biner penjumlahan dan perkalian adalah suatu ring komu-tatif.

Teorema

Misalkan R ring, 0 dan 1 adalah unsur di R dan a, b, c ε R

1. a · 0 = 0 · a = 0

2. a · (−b) = (−a) · b = −(ab)

3. (−a) · (−b) = a · b

4. a · (b− c) = a · b - a · c

5. (−1) · a = −a

6. (−1) · (−1) = 1

Bukti

1. a · 0 = a · (0 + 0) (distributif kanan)a · 0 = a · 0 + a · 00 + a · 0 = a · 0 + a · 0Tambahkan (−a · 0) pada kedua ruas, sehingga

0 = a · 0

0 · a = (0 + 0) · a (distributif kiri)0 · a = 0 · a + 0 · a0 + 0 · a = 0 · a + 0 · aTambahkan (−0 · a) pada kedua ruas, sehingga

0 = 0 · a

2. a · (−b) + a · b = a · (−b+ b) = a · 0 = 0Sehinggaa · (−b) + a · b+ (−(a · b))︸ ︷︷ ︸ = 0 + (−(a · b))

0Maka

a · (−b) = −(a · b)

27

(−a) · b + a · b = (−a+ a) · b = 0 · b = 0Sehingga(−a) · b + a · b+ (−(a · b))︸ ︷︷ ︸ = 0 + (−(a · b))

0Maka

(−a) · b = −(a · b)

3. (−a) · (−b) = −(a · (−b))= −(−(a · b))= a · b

4. a · (b− c) = a · (b+ (−c))= a · b + a · (−c)= a · b + (-(a · c))= a · b - a · c

5. a + (−1) · a =1 · a + (−1) ·a= (1 + (−1) · a= 0 · a= 0

Ini berarti (−1) · a = −a

6. (−1) + (−1) · (−1) = 1 · (−1)= (1 + (−1)) · (−1)= 0 · (−1)= 0

Ini berarti (−1) · (−1) = 1

28

RING BAGIAN

Definisi

Misalkan S himpunan bagian dari R. Himpunan S dinamakan ring bagiandari R jika memenuhi

1. S ring.

2. Operasi penjumlahan dan pergandaan dari S adalah operasi penjumlahan danpergandaan dari R yang dibatasi pada S.

Teorema

Diketahui S himpunan bagian dari ring R.Himpunan S merupakan ring bagian dari R jika dan hanya jika S

• Tertutup terhadap pergandaan

• Tertutup terhadap pengurangan

Contoh

1. Himpunan bilangan genap E membentuk ring bagian dari himpunan bilanganbulat Z

2. Bila didefinisikan Q(√

2) = {a+ b√

2 | a, b ε Q, akan dibuktikan bahwa Q(√

2)merupakan ring bagian dari R.

Bukti

1. E = { 2k | k ε Z } merupakan himpunan yang tidak kosong.

• Tertutup terhadap operasi pergandaan∀ g1, g2 ε E akan ditunjukkan g1 · g2 ε EAmbil sebarang g1 = 2k dan g2 = 2l, dengan k, l ε Z.

g1 · g2 = 2k · 2l= 2(k · 2l)

karena k · 2l = n, sehingga diperoleh

g1 · g2 = 2n, dimana n ε Z

maka g1 · g2 ε E atau g1 · g2 tertutup

29

• Tertutup terhadap pengurangan∀ g1, g2 ε E akan ditunjukkan g1 − g2 ε EAmbil sebarang g1 = 2k dan g2 = 2l, dengan k, l ε Z.

g1 − g2 = 2k - 2l= 2(k − l)

karena k − l = m, sehingga diperoleh

g1 − g2 = 2m, dimana m ε Z

maka g1 − g2 ε E atau g1 − g2 tertutup

Oleh karena itu bilangan genap merupakan ring bagian dari Z.

2. Karena Q merupakan himpunan yang tidak kosong maka Q√

2 adalah him-punan yang tidak kosong.

• Terhadap operasi pergandaan∀ k1, k2 ε Q

√2 akan ditunjukkan k1 · k2 ε Q

√2

Ambil sebarang k1 = a+ b√

2 dan k2 = c+ d√

2, dengan a, b, c, d ε Z.

k1 · k2 = (a+ b√

2) · (c+ d√

2)= (ac+ 2bd) + (ad+ bc)

√2

karena ac+ 2bd = m dan ad+ bc = n, sehingga diperoleh

k1 · k2 = m+ n√

2, dimana m,n ε Z

maka k1 · k2 ε Q√

2 atau k1 · k2 tertutup

• Terhadap operasi pengurangan∀ k1, k2 ε Q

√2 akan ditunjukkan k1 - k2 ε Q

√2

Ambil sebarang k1 = a+ b√

2 dan k2 = c+ d√

2, dengan a, b, c, d ε Z.

k1 - k2 = (a+ b√

2) - (c+ d√

2)= (a− c) + (b− d)

√2

karena a− c = e dan b− d = f , sehingga diperoleh

k1 - k2 = e+ f√

2, dimana e, f ε Z

maka k1 - k2 ε Q√

2 atau k1 · k2 tertutup

Oleh karena itu Q√

2 merupakan ring bagian dari R

30

DAERAH INTEGRAL

Pembagi Nol

Definisi

Pembagi nol diberikan a ε R, ada b 6= 0 sehingga a · b = 0.

Contoh

Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}a = 0, ab = 0 · b = 0, ∀ b ε Z8, b 6= 0a = 2, b = 4, ab = 2 · 4 = 8 = 0a = 4, b = 6, ab = 4 · 6 = 24 = 0a = 6, b = 4, ab = 6 · 4 = 24 = 0

Daerah Integral

Definisi

Suatu ring komutatif R dinamakan daerah integral, bila tak memuat pem-bagi nol atau

ab = 0 ⇔ a = 0 atau b = 0

Contoh

• Himpunan bilangan bulat Z

• Ring komutatif dengan anggota satuan yang bukan daerah integral : Zn den-gan n bukan prima.

• Bilangan bulat modulo 7 (Z7)Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}Memuat perkalian a 6= 0 dan a ε Z7, akan dibuktikan bahwa Z7 adalah suatudaerah integral.

· 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 62 2 4 6 1 3 53 3 6 2 5 1 44 4 1 5 2 6 35 5 3 1 6 4 26 6 5 4 3 2 1

a · b 6= 0, a, b ε Z7

a 6= 0 dan b 6= 0 → bukan pembagi nol

Jadi Z7 daerah integral

31

FIELD atau LAPANGAN

Definisi

Elemen yang tidak nol mempunyai invers atau suatu ring R dengan a ε R adaa−1 ε R sehingga

a · a−1 = a−1 · a = 1

Contoh

1. Field tak berhingga : Q, Q√

2 , R, dan C.

2. Field berhingga : Zp dengan p prima.

3. Daerah intergral yang bukan field : bilangan bulat Z.

4. Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} → ring, daerah integral, dan lapangan.Memuat perkalian a 6= 0 dan a ε Z5 yaitu {1, 2, 3, 4}, akan dibuktikan bahwaZ5 merupakan suatu field.

· 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

a ε Z5 dengan a 6= 0 ada a−1 sehingga a · a−1 = 1.

Catatan:Setiap field merupakan daerah integral tetapi tidak setiap daerah integral

merupakan field. Sebagai contoh, himpunan bilangan bulat Z merupakan daerahintegral tetapi bukan field, karena 2 ε Z tidak mempunyai invers dalam Z.

Teorema

1. Setiap lapangan adalah suatu daerah integral, yaitu tidak mempunyai elemenpembagi nol.

2. Setiap daerah integral dengan elemen berhingga adalah suatu lapangan.

3. Himpunan Zn adalah lapangan bila dan hnya bila n adalah bilangan prima.

Bukti

1. Misalkan dalam suatu lapangan F berlaku a · b = 0.Bila a 6= 0, maka ada suatu invers a−1 ε F , sehingga

b = (a−1 · a) · b= a−1 · (a · b)

32

b = a−1 · 0= 0

Terlihat bahwa a 6= 0 dan a · b = 0 berakibat b = 0.Jadi a bukan elemen pembagi nol sehingga F adalah suatu daerah integral.

2. Misalkan daerah integral D = {x0, x1, ..., xn} dengan x0 = 0 dan x1 = 1, untuksebarang xi 6= 0.Himpunan xiD = {xix0, xix1, ..., xixn} adalah sama dengan D sendiri, sebab

xi xj = xi xkxj = xk (sifat kanselasi)

Jadi semua elemen xix0, xix1, ..., xixn adalah berbeda dan

xi D ⊂ D maka xiD = D.

Oleh karena itu ada elemen xj yang memenuhi

xixj= x1 = 1, sehingga x−1i = xj.

Jadi D adalah suatu lapangan.

3. Misalkan n prima dan [a] · [b] = [0] di Zn maka n | abJadi

n | a atau n | b

yaitu

[a] = [0] atau [b] = [0]

Jadi Zn adalah daerah integral dan karena Zn berhingga maka Zn adalahlapangan.Misalkan Zn adalah lapangan dan andaikan n bukan prima maka

n = rs dengan 1 < r, s < n.

Didapat [r] 6= [0] dan [s] 6= [0], tetapi [r] · [s] = [rs] = 0.Terlihat bahwa Zn mempunyai pembagi nol, bertentangan bahwa Zn adalahlapangan.Jadi haruslah n prima.

33

HOMOMORFISMA RING

Definisi

Misalkan (R,+, ·) dan (S,⊕, ◦) masing-masing adalag ring, maka fungsif : R → S

dikatakan suatu homomorpisma ring bila untuk semua a, b ε r:

1. f(a+ b) = f(a) ⊕ f(b)

2. f(a · b) = f(a) ◦ f(b)

3. f(1R) = 1S

Bila homomorfisma ring f adalah satu-satu pada, maka f disebut isomorfima ring.Dalam hal ini ring R dan S dikatakan saling isomorfik dan ditulis R ∼= S.

Contoh

1. f : Z → Znx → [x]n

f(x1 + x2) = [x1 + x2]n= [x1]n + [x2]n= f(x1) + f(x2)

f(x1 · x2) = [x1 · x2]n= [x1]n · [x2]n= f(x1) · f(x2)

f(1) = [1]n → elemen satuan di ZnHimpunan bilangan bulat modulo 3 (Z3)

10 → [10]3 = [1]3[2]3 + [1]3 = [3]3 = [0]3 → 3, 6, 9, 12, 15, ... (kelipatan 3)

2. f : Z24 → Z4

Dengan f([x]24) = [x]4 adalah suatu homomorfisma ring.Bila [x]24 = [y]24, maka x ≡ y mod 24 dan 24 | (x− y).Jadi 4 | x− y) dan [x]4 = [y]4, selanjutnya dalam f berlakuf([x]24 + [y]24) = [x+ y]24

= [x+ y]4= [x]4 + [y]4= f([x]24) + f([y]24)

f([x]24 · [y]24) = [x · y]24= [x · y]4= [x]4 · [y]4= f([x]24) · f([y]24)

f([1]24) = [1]4

34

KARAKTERISTIK DAERAH INTEGRAL

Definisi

Misalkan D adalah daerah integral, D dikatakan berkateristik berhinggabila ada beberapa bilangan bulat positif m > 0 dan a 6= 0 di D yang memenuhi ma= 0.Dalam hal ini elemen terkecil p yang memenuhi pa = 0 untuk a ε D dinamakanKarakteristik dari D.

Catatan:

• Karakteristik daerah integral agak mirip dengan Order Elemen.

• Bilangan bulat yang mempunyai order tak berhingga berkarakteristik = 0.

• Bilangan bulat modulo yang bukan daerah integral tidak mempuyai karak-teristik atau berkarakteristik = 0

Contoh

1. Bilangan bulat modulo 5 (Z5)Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, dengan elemen yang bukan 0 adalah {1, 2, 3, 4}Untuk a = 1

p1 = 01 + 1 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸ = 0

5karakteristik = 5

Untuk a = 2p2 = 0

2 + 2 + 2 + 2 + 2︸ ︷︷ ︸ = 0

5karakteristik = 5

Untuk a = 3p3 = 0

3 + 3 + 3 + 3 + 3︸ ︷︷ ︸ = 0

5karakteristik = 5

Untuk a = 4p4 = 0

4 + 4 + 4 + 4 + 4︸ ︷︷ ︸ = 0

5karakteristik = 5

Jadi karakteristik Z5 adalah 5.

35

2. Bilangan bulat modulo 4 (Z4) → bukan daerah integralZ4 = {0, 1, 2, 3}, dengan elemen yang bukan 0 adalah {1, 2, 3}Untuk a = 1

p1 = 01 + 1 + 1 + 1︸ ︷︷ ︸ = 0

4karakteristik = 4

Untuk a = 2p2 = 0

2 + 2︸ ︷︷ ︸ = 0

2karakteristik = 2

Untuk a = 3p3 = 0

3 + 3 + 3 + 3︸ ︷︷ ︸ = 0

4karakteristik = 4

Jadi Z4 tidak mempunyai karakteristik atau berakarakteristik = 0.

36

KERNEL dan IDEAL

Kernel

Misalkan f adalah suatu homomorfisma ringf : R → R′

ker(f) = {x ε R | f(x) = 0′}, dengan 0’ pada R′ (kodomain)Misalkan x ε ker(f) dan r ε R

f(r · x) = f(r) · f(x)︸︷︷︸kernel

= f(r) · 0′

= 0′

Jadi rx ε ker(x), ∀ r ε R

Ideal

Ideal disuatu ring komutatif R, mempunyai elemen satuan IR dan I ⊂ R yangmemenuhi:

• I terhadap operasi biner ” + ” adalah grup komutatif.

• Untuk setiap r ε R dan i ε I maka ri atau ir harus berada di I.ri ε I atau ir ε I.

Jenis-Jenis Ideal

1. Ideal UtamaBila diberikan a ε R dengan a tetap, didefinisikan himpunan

(a) = {ra | r ε R} ⊂ R

Himpunan (a) memenuhi kriteria ideal (a) yang dinamakan Ideal Utama,atau ideal terkecil yang memuat a.Sedangkan elemen a dinamakan generator atau pembangun dari (a).

Contoh:Bila F adalah suatu lapangan maka F hanya mempunyai ideal [0] =

{0} dan F sendiri.Sebab bila I adalah suatu ideal di F dengan I 6= 0 dan a ε I, a 6= 0 maka a εF dan a−1 ε F .Akibatnya a−1 · a = 1 ε I.

Diberikan sebarang r ε F didapatr · 1 ε I ⊂ F .F ⊂ I, sehingga I = F .

37

2. Ideal MaksimalSuatu ideal M dari ring R adalah maksimal bila tidak ada ideal bukan

ideal nol yang memuat M kecuali R sendiri yaitu bila I adalah ideal di Rdengan M ⊂ I, maka I = R.

3. Ideal PrimaSuatu ideal P di ring komutatif R dinamakan Ideal Prima bilamana

ab ε P , maka a ε P atau b ε P .

(a) = (4) = {m4 | m ε Z}(a) → pembangun

4Z = {4n | n ε Z }

−4Z = {−4k | k ε Z }−4Z = {4(−k) | k ε Z }

dengan t = −k, t, k ε Z−4Z= {4t | n ε Z }

Memberikan hasil yang sama 4Z dan −4Z.

Ring Faktor

Misalkan R suatu ring dan I suatu ideall dari R, didefinisikan himpunan

R/I = {I + a | a ε R}

dan didefinisikan dua operasi (+) dan (·) pada R/I yaitu untuk setiap (I + a),(I + b) ε R/I, maka

(I + a) + (I + b) = I + (a+ b)

(I + a) · (I + b) = I + ab

Dapat ditunjukkan bahwa (R/I,+, ·) adalah suatu Ring Faktor.

38

RING PRODUK dan RING POLINOMIAL

Ring Produk

Bila (R,+, ·) dan (S,+, ·) dua ring, maka produk dari ring (R × S,+, ·), di-mana himpunan R × S = {(r, s) | r ε R, s ε S} dan operasi biner didefinisikan oleh

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1 + r2, s1 + s2)(r1, s1) · (r2, s2) = (r1 · r2, s1 · s2)

Dapat ditunjukkan bahwa R × S adalah suatu ring dengan dengan

• Elemen nol (0R, 0S), dengan 0R elemen di R dan 0S elemen nol di S.

• Elemen identitas (1R, 1S), dengan 1R elemen identitas terhadap perkalian diR dan 1S elemen identitas terhadap perkalia di S.

ContohDiberikan

Z2 = {0, 1} dan Z3 = {0, 1, 2}maka

Z2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}Z2 × Z3 isomorfik dengan Z6.Hasil dari kontruksinya:

0 −→ (0, 0)1 −→ (1, 1)2 −→ (0, 2)3 −→ (1, 0)4 −→ (0, 1)5 −→ (1, 2)

Pembuktian homomorfisma ring:

• f(a+ b) = f(a) + f(b)

• f(a · b) = f(a) · f(b)

• f(I6) = (I2, I3)

Ring Polinomial

Misalkan R suatu ring. Didefinisikan (a0, a1, a2, ...) sebagai barisan takhinggadengan ai ε R, i = 0, 1, 2, ... dan ada bilangan bulat taknegatif n (bergantung pada(a0, a1, a2, ...)) sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat k ≥ n, ak = z. Se-lanjutnya didefinisikan

R[x] = {(a0, a1, a2, ...) | ai ∈ R, i = 0, 1, 2, ...}.

Elemen dari R[x] disebut polinomial-polinomial atas R.

39

Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada R[x], untuk setiap(a0, a1, a2, ...) dan (b0, b1, b2, ...) ε R[x] sebagai berikut:

(a0, a1, a2, ...) + (b0, b1, b2, ...) = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, ...)

(a0, a1, a2, ...) · (b0, b1, b2, ...) = (c0, c1, c2, ...),

dengan ci =n∑i=1

ajbi−j, for i = 0, 1, 2, ...

(R[X],+, ·) adalah ring dengan (0, 0, 0, ...) adalah elemen nol dari R[X] dan in-vers terhadap penjumlahan dari (a0, a1, a2, ...) adalah (−a0,−a1,−a2, ...).Maka ring R[X] disebut ring polinomial atas R.Contoh:p(x) = 1 + 2x+ 3x2

q(x) = −1− 5x3

h(x) = p(x) + q(x)= 1 + 2x+ 3x2 + (−1)− 5x3

= 2x+ 3x2 − 5x3

r(x) = p(x) · q(x)= (1 + 2x+ 3x2) · (−1− 5x3)= −1− 2x− 3x2 − 5x3 − 10x4 − 15x5

Barisan Dalam Ring

Barisan 〈a0, a1, a2, ...〉 dengan ai ∈ R dinotasikan oleh 〈ai〉.Bila penjumlahan (+) dan konfolusi (∗) dari barisan masing-masing didefiniskan:

〈ai〉 + 〈bi〉 = 〈ai + bi〉〈ai〉 ∗ 〈bi〉 = 〈

∑j+k=i

ajbk〉

= 〈a0bi + a1bi−1 + ...+ aib0〉

Deret Formal∞∑i=0

aixi, dimana ai ∈ R.

Penjumlahan dan perkalian dalam R[X] didefinisikan oleh:∞∑i=0

aixi +∞∑i=0

bixi =∞∑i=0

(ai + bi)xi

(∞∑i=0

aixi) · (∞∑i=0

bixi) =∞∑i=0

(∑

j+k=1

(ajbk)xi

Pembagian Bilangan Bulat

Bila a dan b > 0 adalah bilangan bulat tak nol, maka ada tunggal bilangan bulat qdan r sehingga

a = qn+ r, dengan 0 ≤ r < bn = pembagir = sisaq = hasil bagi

40

Ring Euclid

Daerah integral dinamakan ring euclid, ada bilangan bulat tak negatifδ : R → {0, 1, 2, ...}

memenuhi sifat

• δ(a) ≥ 0

• δ(a) ≤ δ(ab)

Catatan:

• Pembagian pada polinomial bilangan bulat harus memenuhi ring euclid

• der(sisa) ≤ der(pembagi)

• Suatu polinomial berderajat n mempunyai akar-akar tidak lebih dari n

• Polinomial tidak bisa difaktorkan → irreducible (tak tereduksi)

Contoh

1. Bagi x3 + 2x2 + x+ 2 oleh x2 + 2 di Z3[X]

2. Tentukan akar dari x2 − 3 ∈ Z[X]

Jawab

1. x3 + 2x2 + x+ 2 = (x+ 2) (x2 + 2) + 2x+ 1pembagi : x2 + 2hasil bagi : x+ 2sisa : 2x+ 1

2. x2 − 3 = (x−√

3) (x+√

3) → bukan elemen Z[X]Jadi merupakan polinomial irreducible

Pembagian Persekutuan Terbesar

Bila a, b ∈ R dengan R daerah integral maka elemen g ∈ R dikatakan pembagipersekutuan terbesar dari a dan b ditulis g = gcd(a, b) yang memenuhi:

• g|a dan g|b

• c|a dan c|b maka c|g

Contoha = 247b = 221Fpb (a, b) = ...?Jawab:a = qb+ r, dengan a > b247 = 1 · 221 + 26221 = 8 · 26 + 1326 = 2 · 13 + 0Jadi Fpb (247,221) = 13

41