2. AKSIOMA PELUANG2. AKSIOMA PELUANGDefinisi P(x) :

Frekuensi Nisbi : Misalkan n(x) menyatakan banyaknya kejadianx yang terjadi setelah dilakukan n kali percobaan. Makafrekuensi nisbi (relative frequency) untuk x adalah P(x)=limn(x)/n untuk n menuju takhinga.Aksiomatis Modern: 0≤P(x) ≤1, 0≤P(xc) ≤1, dan P(x)+P(xc)=1.

Ruang Sampel S yaitu himpunan dari semua kemungkinan hasilt b Hi b i A d i l Ssuatu percobaan. Himpunan bagian A dari ruang sampel S

disebut kejadian (event).Aksioma Peluang (2.1 Buktikan):

0 ≤ P(A) ≤1 untuk setiap A subset S0 ≤ P(A) ≤1, untuk setiap A subset SP(S) = 1Bila {Ai} barisan hingga atau takhingga dalam S dan Ai ∩Aj = Ø, i ≠ j, maka P(Ũ Ai) = ∑ P(Ai).j, ( i) ∑ ( i)

9/6/2010 1 Abdul Aziz, M.Si

2.1 Sifat-sifat Peluang2.1 Sifat sifat Peluang• Bila A suatu kejadian di S maka AUAc=S,dan P(Ac)=1-j , ( )

P(A).• Misalkan B subset A di S maka A=BU(Bc∩A) dan

P(A)≥P(B)P(A)≥P(B).• Misalkan A dan C dua sebarang kejadian di S maka

AUC=AU(Ac∩C), C=(A∩C)U(Ac∩C) dan P(AUC)=P(A)+P(C)-P(A∩C).

• Misalkan A,B dan C tiga sebarang kejadian di S maka P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) P(A∩B) P(A∩C)maka P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+ P(A∩B∩C).

(2.2. Buktikan)

9/6/2010 2 Abdul Aziz, M.Si

2.2 Teorema KekontinuanlPeluang

• Bila {Ai i≥1} barisan kejadian yang naikBila {Ai, i≥1} barisan kejadian yang naik atau turun maka lim P(Ai) = P(lim Ai) untuk i menuju tak hinggauntuk i menuju tak hingga.

(2.3. Buktikan!)

9/6/2010 3 Abdul Aziz, M.Si

2.3. Kejadian Lepas, Bebas, K l t d B tKomplementer, dan Bersyarat

Kejadian Saling Lepas (mutually exclusive)Jika A dan B dua kejadian sembarang pada S danberlaku A∩B=Ø, sehingga P(AUB)=P(A)+P(B).

Kejadian Saling Bebas (independent)Kejadian Saling Bebas (independent)Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas makaberlaku P(A∩B)=P(A)P(B) dan P(B|A)=P(B), sebaliknya jika terjadinya A mempengaruhi Bsebaliknya jika terjadinya A mempengaruhi B maka P(B|A)≠P(B).

Kejadian saling komplementerJika A dan B dua kejadian yang saling meniadakanatau melengkapi, sehinga berlaku A∩B=Ø danP(A)+P(B)=1.

9/6/2010 4 Abdul Aziz, M.Si

Kejadian BersyaratMisalkan A dan B dua kejadian dalam S dan P(B)>0, maka P(A|B)=P(A∩B) / P(B).Aturan Bayes:– Misalkan A dan B dua kejadian dalam S, maka

A=(A∩B)U(A∩Bc) dan P(A) = P(A|B)P(B)(1-P(A)).– Misalkan A1, A2, A3, …, An kejadian-kejadian yang

saling meniadakan (saling lepas) dalam S dan Bsaling meniadakan (saling lepas) dalam S dan B adalah suatu kejadian sembarang dalam S, maka P(B) = ∑P(B|Ai)P(Ai) dan P(Ai|B)= [P(B|Ai)P(Ai)] / ∑ | i i i| | i i[∑P(B|Ai)P(Ai)].

(2.4 Buktikan)

9/6/2010 5 Abdul Aziz, M.Si