Akar-akar Persamaan Non LinierDiketahui fungsi kontinyu y = f(x)Akar-akar persamaan adalah nilai x yang menyebabkan fungsi

f(x)=0.

Jadi untuk mencari akar-akar suatu persamaan adalah dengan menyelesaikan persamaan f(x) = 0untuk x.

y = f(x)

y

x0xR

akar

Metode numerik yang biasa digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan non linier adalah :

1. Metode Pengurung (bracket method)Metode yang memanfaatkan suatu kenyataan bahwa harga fungsi akan berubah tanda disekitar akar. Proses pencarian akar dimulai dengan dua terkaan awal yang mengurung akar sebagai batas bawah dan batas atas.

- Metode Bagidua (bisection method)- Metode Posisi Palsu (false position method)

2. Metode TerbukaDiperlukan satu atau dua terkaan awal yang tidak perlu mengurung akar.ada kemungkinan pencarian akar divergen, tapi jika konvergen laju konvergensinya lebih cepat.

- Metode Newton-Raphson- Metode Secant

Metode Bagidua (bisection method)

xL

xU

f(xL)

f(xU)

xR

xL

xUxL

xU

xR

Akar

xR

2UL

R

XXX

)()(

)()(

UL

ULUUR XfXf

XXXfXX

UR

U

LR

L

XX

Xf

XX

Xf

)()(

Metode Posisi Palsu (false position)

xLxU

f(xL)

f(xU)

xR

Akarf(xU)

xL xU

f(xL)

xR

Akar

Dari hubungan segitiga sebangun XL-f(XL)-XR dan XR-f(XU)-XU, bisa ditulis

Metode Langsung (Iterasi Satu Titik Sederhana)

Dengan menyusun kembali fungsi f(x) = 0 sedemikian sehingga x berada diruas kiri persamaan, yaitu x = g(x). ataudalam bentuk persamaan iterasi,

xi+1 = g(xi)misal:

x2 - 2x + 3 = 0 x = (x2 + 3)/2sin(x) = 0 x = xin(x) + x

Kesalahan relatif persen aproksimasi ea:

%100*1

1

i

iia x

xxe

Contoh-1: Gunakan metode langsung untuk menentukan akar persamaan f(x) = e-x - x mulai dengan terkaan awal x0 = 0

Intepretasi grafis Metode Langsung

f(x) = e-x - x

akar

y1(x) = x

y2(x) = e-x

akar

Konvergensi Metode Langsung

y2(x) = g(x)

y1(x) = x

y1(x) = x

y2(x) = g(x)

y1(x) = xy2(x) = g(x)

y1(x) = x

y2(x) = g(x)

A (konvergen) B (konvergen)

C (divergen) D (divergen)

1

)()('

ii

ii xx

xfxf

Metode Newton Raphson

xi

Akar

xi+1

f(xi)

Kemiringan = f ’(xi)

f(xi) - 0

xi – xi+1

)(

)('1

i

iii xf

xfxx

Jika terkaan awal pada akar adalah xi, maka sebuah garis singgung dapat ditarik dari titik [xi, f(xi)]. Titik dimana garis singgung ini memotong sumbu X biasanya menyatakan terkaan akar yang lebih baik.

Turunan pertama di xi, setara dengan kemiringan, sehingga bisa ditulis :

atau

Metode Secant

)()(

))((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Masalah potensial dalam metode Newton-Raphson adalah evaluasi turunan f ’(xi), sehingga turunan dapat dihampiri oleh beda hingga terbagi

xi

Akar

xi+1

f(xi-1)

xi-1

f(xi)

ii

iii xx

xfxfxf

1

1' )()()(

Dengan memasukkan pedekatan turunan ke rumus Newton-Rapson, maka diperoleh rumus metode secant :

Note:metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x.

Persamaan Polinom derajat n

nnxaxaxaaxP ...)( 2

210

Polinom derajat n mempunyai TEPAT n akar, yaitu • akar real (positif / negatif)• akar komplek (berpasanga a + bi dan a – bi)• akar yang mempunyai multiplisitas r, dihitung r kali

Cara Menentukan Banyaknya Akar dengan Aturan Descartes

1. Menentukan Akar Real Positif : V = banyaknya pergantian tanda koefisien ai pada P(x) Np = banyaknya akar real positif

V – Np = 0, 2, 4, . . .

2. Menentukan Akar Real Negatif : V = banyaknya pergantian tanda koefisien ai pada P(-x) Ng = banyaknya akar real negatif

V – Ng = 0, 2, 4, . . .

3. Menentukan batas-batas akar real positif/negatif R = 1 + max |ai/an| , i = 0,1,2…n-1 akar P(x) terletak pada -R < x <R