v

Judul : Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga

Vasicek dengan Simulasi Monte Carlo

Nama : Desi Kurnia Sari (NIM: 1208405054)

Pembimbing : 1. Drs. I Nyoman Widana, M.Si.

2. Kartika Sari, S.Si, M.Si

ABSTRAK

Vasicek merupakan salah satu model suku bunga stokastik yang dapat

menangkap pergerakan suku bunga yang berubah-ubah secara acak. Penelitian ini

bertujuan untuk mengetahui hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment

suku Vasicek Perhitungan premi dilakukan tanpa dan dengan menggunakan

simulasi Monte Carlo. Hasil perhitungan premi tanpa simulasi Monte Carlo

dengan jangka waktu kontrak asuransi 30 tahun untuk pihak tertanggung berusia

35 tahun dan uang pertaggungan sebesar Rp.100.000.000,- adalah Rp. 1.179.980,-

sedangkan dengan simulasi Monte Carlo adalah Rp. 1.181.240,-. Perhitungan

premi dengan simulasi Monte Carlo menghasilkan kisaran kerugian dan

keuntungan perusahaan asuransi sebesar (-236.910, 236.910) untuk tingkat

kepercayaan 95%.

Kata Kunci: Perhitungan Premi, Asuransi Jiwa Endowment, Vasicek, Simulasi

Monte Carlo.

vi

Title : Endowment Life Insurance Premium Calculation with Vasicek

Model Using Monte Carlo Simulation

Name : Desi Kurnia Sari (NIM: 1208405054)

Supervisor : 1. Drs. I Nyoman Widana, M.Si.

2. Kartika Sari, S.Si, M.Si

ABSTRACT

Vasicek is one of the stochastic interest rate model that can capture

interest rates movement. The aim of this research was to get the level premium for

endowment life insurance under stochastic interest rate. The premium was

calculated without and by using Monte Carlo simulation. It is found that for a 30

years endowment policy issued to 35 years old with benefit Rp.100.000.000,-, the

net premium that calculated without Monte Carlo simulation is Rp. 1.179.980,-,

and by using Monte Carlo simulation is Rp. 1.181.240,- per year. Premium

calculation using Monte Carlo simulation give mean loss (-236.910, 236.910) for

a 95% confidence interval.

Keyword : Premium Calculation, Endowment Life Insurance, Vasicek, Monte

Carlo Simulation.

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat-

Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir dengan judul ”Perhitungan Premi

Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek dengan Simulasi Monte

Carlo”.

Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis banyak mendapat bantuan dari

berbagai pihak, baik berupa dorongan semangat maupun sumbangan pemikiran.

Oleh karena itu, sehubungan dengan terselesaikannya tugas akhir ini, maka

penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu

penulis, antara lain:

1. Ibu Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si.,M.Si., sebagai Ketua Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Udayana.

2. Bapak I Wayan Sumarjaya, S.Si, M.Stats., sebagai Ketua Komisi Tugas

Akhir di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana.

3. Bapak Drs. I Nyoman Widana, M.Si., selaku Dosen Pembimbing I dan

Ibu Kartika Sari, S.Si.,M.Sc., selaku Dosen Pembimbing II yang telah

membimbing, memberi masukan dan motivasi selama penyusunan tugas

akhir ini.

4. Ibu Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si.,M.Si, Ibu Desak Putu Eka

Nilakusmawati, S.Si, M.Si. dan Ibu Ni Made Asih, S.Pd., M.Si selaku

Dosen Penguji yang telah memberikan masukan dan saran selama

penyusunan tugas akhir ini.

viii

5. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika serta pegawai Fakultas MIPA

Universitas Udayana yang telah memberikan dukungan dan motivasi ilmu

selama penulis menjadi mahasiswa.

6. Keluarga yang selalu memberikan motivasi dan doa untuk kelancaran

penyelesaian proposal tugas akhir ini.

7. Teman-teman dan sahabat yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu

yang telah memberikan dukungan dalam penyelesaian tugas akhir ini.

Penulis menyadari penulisan tugas akhir ini masih jauh dari

kesempurnaan, oleh karena itu saran dan kritik yang membangun dari berbagai

pihak sangat diharapkan dalam penyempurnaan tugas akhir ini. Tugas akhir ini

diharapkan dapat bermanfaat bagi semua pihak khususnya para pembaca di

Universitas Udayana terutama di Jurusan Matematika. Akhir kata penulis ucapkan

terima kasih.

Bukit Jimbaran, Desember 2016

Penulis

ix

BIODATA ALUMNI

Nama Lengkap : Desi Kurnia Sari

NIM : 1208405054

Jenis Kelamin : Perempuan

Tempat/Tanggal Lahir : Kediri, 21 Juni 1994

Alamat Asal : Jalan Danau Batur Raya Ruko A/2 Taman Griya

Alamat Sekarang : Jalan Danau Batur Raya Ruko A/2 Taman Griya

Agama : Islam

Tanggal Lulus : 2 Desember 2016

Kompetensi : Terapan

IP Kumulatif : 3,48

Predikat Kelulusan : Sangat Memuaskan

Nilai TOEFL Lokal : 510

Alamat Email : desikur.dk@gmail.com

Nomor HP : 08113200824

Nama Ayah : Suparjo WR

Nama Ibu : Suwarlina

Alamat Ayah/Ibu : Jalan Danau Batur Raya Ruko A/2 Taman Griya

Nomor HP : 082146175323

x

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL ................................................................................................... i

LEMBAR PERSEMBAHAN ................................................................................. ii

LEMBAR PERNYATAAN ................................................................................... iii

LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................... iv

ABSTRAK .............................................................................................................. v

ABSTRACT .......................................................................................................... vi

KATA PENGANTAR ......................................................................................... vii

BIODATA ALUMNI ............................................................................................. ix

DAFTAR ISI ........................................................................................................... x

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xii

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... xiv

DAFTAR SIMBOL ................................................................................................ xv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang .......................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ..................................................................................... 3

1.3 Batasan Masalah ....................................................................................... 3

1.3 Tujuan Penelitian ...................................................................................... 4

1.4 Manfaat Penelitian .................................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................. 5

2.1 Future Lifetime Random Variable ............................................................ 5

2.2 The Force of Mortality .............................................................................. 7

2.3 Asuransi Jiwa Endowment (Dwiguna) ...................................................... 9

2.4 Nilai Tunai Manfaat ................................................................................... 9

2.5 Nilai Tunai Anuitas Hidup ....................................................................... 11

2.6 Nilai Premi .............................................................................................. 12

2.7 Distribusi Gompertz ................................................................................. 14

xi

2.8 Gerak Brown ............................................................................................ 14

2.9 Suku Bunga Model Vasicek..................................................................... 15

2.10 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) .................................... 17

2.11 Simulasi Monte Carlo .............................................................................. 18

BAB III METODE PENELITIAN ........................................................................ 20

3.1 Jenis dan Sumber Data ............................................................................ 20

3.2 Metode Analisis Data ............................................................................... 20

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................. 22

4.1 Estimasi Parameter Distribusi Gompertz ................................................. 22

4.2 Estimasi Parameter Suku Bunga Model Vasicek ..................................... 24

4.3 Simulasi Perhitungan Premi Tanpa Simulasi Monte Carlo .................... 26

4.3.1 Menentukan Nilai 𝑝𝑥𝑘 , 𝑙𝑥+𝑘+1 dan 𝑞𝑥+𝑘 menggunakan

Distribusi Gompertz ...................................................................... 27

4.3.2 Nilai Tunai Manfaat .................................................................... 27

4.3.3 Nilai Tunai Anuitas ..................................................................... 31

4.3.4 Premi ............................................................................................ 35

4.4 Simulasi Perhitungan Premi dengan Simulasi Monte Carlo ................... 37

4.4.1 Menentukan Sisa Usia Pihak Tertanggung (𝑡) ............................. 37

4.4.2 Nilai Tunai Manfaat ..................................................................... 38

4.4.3 Nilai Tunai Anuitas ...................................................................... 41

4.4.4 Premi ........................................................................................... 45

4.4.5 Menentukan Kisaran Kerugian dan Keuntungan Premi............... 46

4.4.6 Perbandingan Hasil Perhitungan Premi Asuransi Jiwa

Endowment Suku Bunga Vasicek dengan dan tanpa Simulasi

Monte Carlo ................................................................................. 49

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................. 51

5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 51

5.2 Saran ................................................................................................. .......52

DAFTAR PUSTAKA .......... ................................................................................. 53

LAMPIRAN

xii

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

4. 1 Rata-rata Tingkat Suku Bunga Tahunan Bank Indonesia bulan

Desember 2005-Desember 2015 ................................................................ 25

4. 2 Hasil Estimasi Parameter Suku Bunga Model Vasicek ............................ 25

4. 3 Nilai Tunai Manfaat Tanpa Simulasi Monte Carlo ................................... 31

4. 4 Nilai Tunai Anuitas Tanpa Simulasi Monte Carlo .................................... 35

4. 5 Hasil Perhitungan Nilai Premi Tanpa Simulasi Monte Carlo ................... 36

4. 6 Nilai Tunai Manfaat dengan Simulasi Monte Carlo ................................. 41

4. 7 Nilai Tunai Anuitas dengan Simulasi Monte Carlo .................................. 44

4. 8 Nilai Premi dengan Simulasi Monte Carlo ............................................... 45

4. 9 Nilai Kerugian dan Keuntungan Perusahaan Asuransi untuk Pihak

Tertanggung berusia 30 tahun ................................................................... 47

4. 10 Hasil Perhitungan Kisaran Kerugian dan Keuntungan Perusahaan

Asuransi dengan Selang Kepercayaan 95% .............................................. 48

4. 11 Perbandingan Hasil Perhitungan Premi dengan dan tanpa

Simulasi Monte Carlo ................................................................................ 49

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

4. 1 Plot Persamaan Linier Distribusi Gompertz .............................................. 23

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran

1. Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 2011

2. Syntax Estimasi Parameter Suku Bunga Model Vasicek

3. Nilai Peluang 𝑝𝑘 𝑥 , 𝑙𝑥+𝑘 dan 𝑞𝑥+𝑘 Menggunakan Distribusi Gompertz

4. a. Nilai Tunai Manfaat Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa

Simulasi Monte Carlo Gompertz

b. Nilai Tunai Manfaat Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa

Simulasi Monte Carlo TMI 2011

5. a. Nilai Tunai Anuitas Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa

Simulasi Monte Carlo Gompertz

b. Nilai Tunai Anuitas Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa

Simulasi Monte Carlo TMI 2011

6. Nilai 𝑢𝑛 , 𝑡𝑛 dan 𝑘𝑛

7. Nilai Tunai Manfaat Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Dengan

Simulasi Monte Carlo

8. Nilai Tunai Anuitas Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Dengan

Simulasi Monte Carlo

xv

DAFTAR SIMBOL

Simbol Arti

𝑥 Usia pihak tertanggung.

𝑇𝑥 Sisa usia dari pihak tertanggung yang berumur 𝑥 tahun.

𝐹𝑥 𝑡 Peluang pihak tertanggung berusia 𝑥 tahun tidak dapat bertahan

hidup hingga usia 𝑥 + 𝑡 tahun.

𝑆𝑥 𝑡 Peluang pihak tertanggung berusia 𝑥 tahun dapat bertahan hidup

hingga 𝑡 tahun.

𝑆𝑥 Fungsi kehidupan (survival function) saat pihak tertanggung

berusia 𝑥 tahun.

𝑆0 Fungsi kehidupan sejak pihak tertanggung dilahirkan.

𝑝𝑥 Peluang pihak tertanggung berusia 𝑥 tahun akan tetap hidup hingga

mencapai usia 𝑥 + 1 tahun.

𝑝 𝑘 𝑥 Peluang pihak tertanggung berusia 𝑥 tahun akan tetap hidup hingga

mencapai usia 𝑥 + 𝑘 tahun.

𝑞𝑥 Peluang pihak tertanggung berusia 𝑥 tahun akan meninggal

sebelum usia 𝑥 + 1 tahun.

𝑞 𝑘 𝑥 Peluang pihak tertanggung berusia 𝑥 tahun akan meninggal

sebelum usia 𝑥 + 𝑘 tahun.

𝐾 Jumlah tahun lengkap.

𝐾𝑥 Jumlah tahun lengkap yang akan di lewati oleh pihak tertanggung

berusia 𝑥 tahun (curtate future lifetime).

xvi

𝜇𝑥 Force of mortality dari seseorang yang berusia 𝑥 tahun.

𝑏𝑘+1 Fungsi manfaat untuk tiap satu unit pembayaran pada akhir tahun

kematian.

𝑣𝑘+1 Faktor diskonto pada waktu 𝑘 + 1.

𝑛 Jangka waktu polis asuransi.

𝑍 Nilai sekarang dari pembayaran nilai tunai manfaat.

𝐴𝑥 : 𝑛 Nilai tunai manfaat asuransi jiwa endowment.

𝑌 Nilai sekarang dari anuitas hidup.

a 𝑥 : 𝑛 Nilai anuitas asuransi jiwa endowment.

𝑃 Premi tahunan.

𝑟(𝑡) Tingkat suku bunga pada waktu ke- 𝑡.

𝜅 Perhitungan tingkat pengembalian rata-rata.

𝜃 Tingkat suku bunga jangka panjang.

𝑑𝑊 𝑡 Gerak brown pada waktu ke- 𝑡.

𝜎 Volatility yang menggambarkan pergerakan fluktuatif dari tingkat

suku bunga.

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Asuransi adalah suatu bentuk perlindungan yang bertujuan untuk

mengurangi resiko yang terjadi secara tidak pasti (Sembiring, 1986). Terdapat

berbagai jenis asuransi, antara lain: asuransi jiwa, asuransi pendidikan, asuransi

kerugian dan lain sebagainya. Asuransi jiwa merupakan suatu bentuk perjanjian

antara pihak penanggung dan pihak tertanggung dengan tujuan untuk mengurangi

resiko yang diakibatkan oleh resiko kematian, hari tua dan kecelakaan

(Purba, 1995). Asuransi jiwa dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: asuransi jiwa

tradisional dan modern. Asuransi jiwa tradisional meliputi: asuransi jiwa seumur

hidup, berjangka dan endowment sedangkan asuransi jiwa modern terdiri dari:

asuransi jiwa universal, unitized with profit dan unit link (Dickson et al¸ 2013).

Asuransi jiwa endowment adalah salah satu jenis asuransi jiwa yang memberikan

nilai tunai manfaat kepada pihak tertanggung sekaligus investasi.

Setiap orang yang mengikuti asuransi wajib membayar premi. Premi

merupakan sejumlah uang yang wajib dibayarkan oleh pihak tertanggung kepada

pihak penanggung sesuai dengan kontrak asuransi yang telah disepakati. Terdapat

beberapa faktor yang harus diperhatikan dalam perhitungan premi asuransi jiwa,

yaitu: biaya perusahaan, tingkat kematian dan tingkat suku bunga (Sembiring,

1986). Sehubungan dengan tingkat suku bunga, selama ini premi asuransi dihitung

menggunakan suku bunga tetap, sedangkan berdasarkan kenyataan yang ada suku

2

bunga selalu berubah-ubah secara tidak menentu karena berbagai faktor yang

memengaruhinya, seperti: suku bunga SBI, kurs dollar, inflasi dan lain sebagainya.

Hull (2003) menyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu

secara tidak menentu disebut mengikuti proses stokastik. Proses stokastik

merupakan suatu himpunan variabel acak yang merupakan fungsi dari waktu

(Paul, 2013). Suku bunga merupakan suatu nilai yang selalu berubah-ubah setiap

waktu secara tidak menentu, sehingga perubahan suku bunga dapat dikatakan

mengikuti proses stokastik. Oleh karena itu, diperlukan suatu model suku bunga

yang dapat menangkap pergerakan suku bunga yang berubah-ubah mengikuti

proses stokastik tersebut dan selanjutnya disebut sebagai model suku bunga

stokastik. Vasicek merupakan salah satu model suku bunga stokastik yang sering

digunakan dalam perhitungan-perhitungan finansial. Model Vasicek mempunyai

ciri khusus yaitu tingkat suku bunga akan cenderung kembali ke tingkat suku bunga

rata-rata setelah mengalami penurunan atau peningkatan. Model ini cocok

digunakan mengingat pergerakan suku bunga yang selalu berfluktuatif

(Zetun dan Gupta, 2007).

Soffan (2011) telah melakukan perhitungan premi asuransi jiwa berjangka

dengan model Vasicek menggunakan metode numerik. Hasil penelitiannya adalah

besar nilai suku bunga awal yang digunakan dalam perhitungan premi tidak

memengaruhi konvergensi nilai suku bunga menuju tingkat suku bunga rata-rata.

Sementara itu, sejauh ini penelitian mengenai perhitungan premi asuransi jiwa

endowment dengan suku bunga Vasicek menggunakan metode simulasi Monte

Carlo belum pernah dilakukan. Simulasi Monte Carlo merupakan suatu metode

3

simulasi yang dilakukan dengan cara membangkitkan bilangan acak. Kelebihan

metode simulasi Monte Carlo dalam perhitungan premi asuransi adalah dapat dicari

kisaran kerugian atau keuntungan yang dialami perusahaan asuransi untuk tingkat

kepercayaam tertentu (Dickson et al, 2013).

Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan dikaji perhitungan premi asuransi

jiwa endowment dengan suku bunga Vasicek menggunakan metode simulasi Monte

Carlo. Selanjutnya akan dibahas perbandingan hasil perhitungan premi asuransi

jiwa endowment suku bunga Vasicek tanpa menggunakan simulasi Monte Carlo

dan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, rumusan masalah pada

penelitian ini sebagai berikut:

1. Bagaimana hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment dengan suku

bunga Vasicek menggunakan simulasi Monte Carlo?

2. Bagaimana perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment

suku bunga Vasicek tanpa dan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo?

1.3 Batasan Masalah

Agar permasalahan tidak meluas, batasan masalah pada penelitian ini adalah:

1. Premi asuransi jiwa endowment yang akan ditentukan dalam penelitian ini

adalah premi netto kasus diskrit.

2. Simulasi umur yang digunakan adalah 30, 35, 40, 45, 50, 55 dan 60 tahun.

3. Tabel Mortalita yang digunakan dalam penelitian ini adalah Tabel Mortalita

Indonesia 2011.

4

4. Jangka waktu kontrak asuransi yang digunakan dalam penelitian ini adalah

30 tahun.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Untuk mengetahui hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment suku

bunga Vasicek menggunakan simulasi Monte Carlo.

2. Untuk mengetahui perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa

endowment suku bunga Vasicek tanpa dan dengan menggunakan simulasi

Monte Carlo.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah:

1. Bagi Pembaca

Menambah pengetahuan pembaca mengenai perhitungan premi asuransi

jiwa endowment dengan suku bunga Vasicek.

2. Bagi Perusahaan

Diharapkan dapat dijadikan bahan pertimbangan kepada perusahaan

asuransi yang masih menggunakan suku bunga konstan agar menggunakan

suku bunga stokastik dalam menentukan premi asuransi.

3. Bagi Mahasiswa

Penelitian ini diharapkan bisa dijadikan acuan dalam penelitian selanjutnya

apabila ingin melakukan penelitian yang berhubungan dengan perhitungan

premi asuransi jiwa dengan suku bunga Vasicek.