Perhi1llngan Transformasi fourier Cepa/I-DimensiDengan Radiks Gabungan Empa/ dan Dua Ser/aCon/oil Penggunaannya (RS Lasijo)

/SSN /4//- 348/

PERHITUNGAN TRANSFORMASI FOURIER CEP AT I-DIMENSIDENGAN RADIKS GABUNGAN EMPAT DAN DUA

SERTA CONTOR PENGGUNAANNYA

R.S. LasijoPuslitbang Teknik Nuklir, BATAN, Ban dung

ABSTRAKPERHITUNGAN TRANSFORMASI FOURIER CEPAT I-DIMENSI

DENGAN RADIKS EMPAT DAN DUA SERTA CONTORPENGGUNAANNY A. Metode perhitungan Transformasi Fourier CepatI-dimensi telah disusun berdasarkan teori Cooley clan Tukey denganradiks (bilangan dasar) kombinasi 4 clan 2, dengan pilihan hanyaradiks 4 yang dipergunakan hila banyaknya data merupakan kelipatandari 4, tetapi bilamana harus dipergunakan kombinasi 4 clan 2, makahanya satu radiks 2 yang dipergunakan. Contoh penentuan fungsikonvolusi clan korelasi kemudian diberikan atas dasar perhitungantransformasi Fourier cepat tersebut.

Kata kune! : transformasi Courier cepat, radiks 4 clan 2, fungsikonvolusi, fungsi korelasi.

ABSTRACTCALCULATIONS OF I-DIMENSIONAL FAST FOURIER

TRANSFORM WITH COMBINATION OF RADIXES FOUR AND TWOAND ITS APPLICATION EXAMPLES. Method of calculation for 1-dimensional Fast Fourier Transform is described based on Cooley andTukey theory with radixes (base numbers) the combination of 4 and 2,with preference of using radix 4 if the number of data can be stated asthe multiplication of 4, but in case the combination of 4 and 2 has tobe used, only a single radix 2 is included. Examples of thedeterminations of convolution and correlation functions are then givenbased on the calculation of the Fast Fourier Transform.

Key words: fast fourier transform, radices 4 and 2, convolutionfunction, correlation function.

QQ

Jurnal Sain.~ dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal Qf Nuclear Science and Technolog}''"01 I. No 2. Aguslus 2000.. 99 -/19

/SSN /4//- 348/

PENDAHULUANUntuk menyederhanakan suatu persoalan desain atau analisis,

banyak orang condong untuk melakukan transformasi dengan

harapan bahwa persoalan dapat dilihat atau diselesaikan secara Iebih

mudah clan sederhana. Salah satu transformasi ini adalah

transformasi Fourier.

Transformasi Fourier sudah sejak lama dikenal sebagai salah

satu alat analitis yang serba guna, artinya transformasi ini dapat

dipakai untuk menyelesaikan persoalan dalam banyak bidang, antara

lain bidang elektronika, zat mampat, mekanika struktur, mekanika

gelombang, clan mekanika kuantum.

Sebelum komputer digit berkembang, transformasi Fourier yang

kontinu merupakan transformasi yang banyak dipakai. Untuk sistem

yang sederhana clan dengan jumlah data yang sedikit, penggunaan

transformasi Fourier kontinu dapat dilakukan dengan sangat baik,

tetapi bilamana sistem menjadi makin kompleks daD jumlah data

makin banyak, maka penyelesaian transformasi Fourier akan sangat

melelahkan atau bahkan tidak dapat dilakukan.

Setelah komputer digit berkembang, yang diikuti dengan

perkembangan metodologi analisis numerik, maka orang mulai melihat

adanya titik terang atas penggunaan transformasi Fourier yang diskrit,

yang memungkinkan orang untuk menyelesaikan persoalan sistem

yang kompleks maupun dengan data yang banyak. Maka metodologi

analisis Fourier yang diskrit yang efisien mulai dikembangkan yang

dipelopori antara lain oleh Cooley daD Tukey, yang kemudian dikenal

dengan nama Transfomasi Fourier Cepat (Fast Fourier Transform).

100

Perhitungan Transformasi Fourier Cepal J-DimensiDengan Radiks Gahungan Empal don Dua SerloConloh Penggunaannya (R.S. Lasijo)

ISSN 1411 -3481

Ternyata dalam waktu selanjutnya metode Fourier Cepat ini juga

dapat dipergunakan untuk menentukan fungsi-fungsi yang lain

dengan sangat sederhana dan cepat, di antaranya adalah fungsi

konvolusi dan fungsi korelasi yang sangat banyak dipakai dalam

penentuan be saran-be saran terukur, baik dalam bidang Bains maupun

rekayasa

TEORITransfonnasi Fourier dari suatu fungsi h(t) dapat dituliskan

berbentuk+cc

H(f) = fh(t) e-j2n-ftdt ( 1 ).cc

dengan j = .r:I. Pada umumnya H (f) merupakan fungsi berharga

kompleksH (f) = R (f) + j I (f) ( 2 )

di mana R (f) clan I (f) berturut-turut bagian nyata clan bagian khayal

daTi H (f).

Transformasi inversi dari persamaan (1) adalah

( t )

H ( f). 4 )dipakai untuk menggambarkan

f menggambarkan besaran

1

persarnaan

1n1

Kedua be saran H ( f) clan h ( .: "

Fourier clan dituliskan [ 1 Ih(t)

Dalam banyak hal fungsi h I

besaran dalam domain waktu t dan H ( ~'

dalam domain frekuensi f.

Bentuk diskrit dari transformasi Fourier yang ekivalen dengan

-~ "-- " ( I.) adalah

Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of Nuclear Science and Technolo&}'Vol I. No 2. Agu.\"IUS 2000.. 99 -119

/SSN /4// .348/

N-!X ( n ) = L Xo (k) e-j2Jrnk/N ( 5 )

k=O

dengan n = 0, 1, 2, ..., N -1, di mana N banyaknya data, k besaran

yang ekivalen dengan waktu, n be saran yang ekivalen dengan

frekuensi, sedangkan X(n) adalah transformasi Fourier daTi Xo(k) yang

harga-harganya banyaknya N. Transformasi inversinya yang ekivalen

dengan persamaan ( 3 ) adalah

1 No)X ( k ) = -L X(n) ej2lrok/N ( 6 )

N 0=0

Banyaknya data N diuraikan sesuai dengan radiks yang dipakai,

misalkan untuk radiks biner atau 2, yaitu yang menggunakan

bilangan 0 dan 1 saja, harus dipilih bilangan r yang bulat di mana N

harus dipilih N = 4;5 dengan0, 1,2,32Y , clan untuk radiks 4

" bilangan bulat yang lain.

Dalam transformasi Fourier persoalannya adalah bagaimana

menghitung X(n) dari Xo(k) yang diketahui dengan cara yang sangat

efektif clan efisien. Untuk menyederhanakan notasi, diperkenalkan

besaran baru

W = e-j21r/N ( 7 )

maka persamaan ( 5 ) dapat ditulisN-t

X ( n ) = L Xc ( k) Wnk ( 8 )k=O

dengan n = 0, 1,2, ..., N-l.Sebagai langkah pertama marilah dipergunakan radiks 2, yaitu

bilangan biner yang paling dikenal oleh mesin yang hanya mempunyai

dua harga 0 clan 1. Sebagai contoh ambillah N = 4 = 2Y, maka dalam

102

Perhilungan Tran.iformasi Fourier Cepall-DimensiDengan Radiks Gabungan Empal dun Dua SerlaConloh Penggunaannya (R,S Lasijo)

ISSN 1411 -3481

hal ini r = 2. Sekarang k clan n dapat kita nyatakan dalam bilangan

n = 0, 1,2, 3 (dalam desimal), menjadi n = ( nl no) = 00, 01, 10, 11

( 9

Bentuk hubungan kompak yang dapat kita pakai untuk k clan n ini

adalah

k = 2 k1 + ko clan n = 2 nl + no

di mana kl, ko , nl , no dapat mempunyai harga 0 dan 1.

Dengan notasi seperti persamaan ( 10 ) maka persamaan ( 8ditulis

) dapat

sehingga persamaan (11) menjadi

IXI (no ko ) = L Xo (k( ko) w2no k, ( 14 )

k) =0

Dari persamaan ( 14) didapatkan harga-harga Xl, sehingga persamaan

( 11 ) dapat ditulis berbentuk

IX2 (DO D( ) = I XI (DO kO

ko =0

w(2nl +no)ko 15 )

103

biner ini, yaitu

k = 0, 1, 2, 3 (dalam desimal), menjadi k = ( k1 ko) = 00, 01, 10, 11.

Jumal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of Nuclear Science and TechnologyVol. I,No. 2,Agustus2000: 99-119

ISSN /411- 348/

Maka didapat transformasi Fourier dari Xo (k) ko ) ,yaituX ( nl no) = X2 (no n( ). ( 16 )

Yang perlu diperhatikan di Bini adalah bahwa X ( nJ no) yang dicari,

sarna dengan X2 (no nl ) dari somasi luar persarnaan ( 13 ) yang

kebetulan mempunyai harga bit yang terbalik, di mana bit dariX( n( no) yaitu (n) no ), berbalikan dengan bit dari X2 (no n) ) yang

tidak lain adalah (no n) ) .

Penyelesaian persarnaan ( 8 ) dengan cara yang berurutan

dalarn persarnaan-persarnaan (13 ), ( 14), clan (15) adalah das~

dari formulasi Cooley- Tukey untuk harga N = 4 dengan radiks 2

(biner), yang juga disebut persarnaan-persarnaan rekursif dari Cooley-

Tukey untuk transformasi Fourier cepat [2J.

Bila N = 16 dengan radiks 2, maka r = 4, sehingga diperlukan 4

digit untuk indeksnya, yaitu

X(n3 n2 nJ no)J I I (

= I I I I Xo (k3 k2 k. ko ) W8n.kJ W(2n,+n.)4k2k.=O kl =0 k2=0 kJ=O

X W(4nJ+2nl +n.)2kl W(8nJ+4n2+2n, +n.)k. ( 17a)

I

XI (no k2 k( k 0) = I Xo (k3 k2 k) ko ) w8n.kJ ( 17b)

kJ=O

104

Perhitungan Traniformasi Fourier Cepat l-DimensiDengan Radiks Gabungan Empal don OIla SerloContoh Penggunaannya (R,S Lasijo)

/SSN /4//- 348/

(

19 )

( 17c),

Bila menggunakan radiks 4 didapat 16 = 42 berarti t5 = 2 clan hanya

diperlukan 2 digit untuk indeksnya, serupa dengan N = 4 pada

bilangan pokok 2, bedanya hanya pada harga-harga k clan n, yaitu

k = 4 kl + ko dengan kl = 0, 1,2,3 clan ko = 0, 1,2,3n = 4 nl + no dengan nl = 0, 1,2,3 clan no = 0, 1,2,3. -.

Maka dengan radiks 4 persamaan-persamaan ( 17a), ( 17b ), ,

( 17d), (17e I menjadi3 3

= L L Xo kl ko) W(4n) +nn)(4k. + kg)

kn=O k)=OX(n.no)

3 3

L LK"=O kl=O

20a)Xo (k, ko) W4n"k) W(4n)+n")k,,

3x.(noko) = L xo(k)ko)W4nokl (20b)

k)=O

3X2 (no n) ) = L XI (no ko) W(4nl+no)ko (20c)

ko =0

X (n1 no) = X2 (no nl ) .( 20d )

Membandingkan antara persamaan-persamaan (20a), (20b), (20c),

(20d) dengan persamaan-persamaan (17a), (17b), (17c), (17d), (17e)

terlihat bahwa penggunaan radiks yang lebih besar akan didapatkan

persamaan yang lebih sederhana dan jumlah perhitungan yang lebih

sedikit, berarti lebih efisien.

Formula penggunaan gabungan radiks lebih daTi satu juga telah

diberikan oleh Cooley-Tukey sebagai berikut [2]:

" fm, yaitu N = f)Misalkan N dapat diuraikan dalam m radiks f., f2'

fm, maka k clan n dapat dinyatakan dalam radiks-radiksf2

terse but, yaitu+ k( rm + ko (21a)fro) +fm) + km-2 (f3 f4

f2 f3k = km-1

In~

Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of /';'uc/ear Science and Techn%g}'Vol, I, No 2, Aguslus2000: 99-119

ISSN1411 -3481

(21b)fm-2) + + nl G + no

O~i~m-l1 < .

Perhillmgan Transformasi Fourier Cepa/ I-DimensiDengan Radiks Gabungan Empa/ dan Dua Ser/aCon/oil Penggunaannya (R.S. Lasijo)

ISSN 141 J -3481

n = 4 n. + no clan k = 4 k) + ko ( 25 )

dengan n., no = 0, I, 2, 3 clan k" ko = 0, I, 2, 3,

sehinggan k = 4 no kl + ( 4 n) + no) ko + 16 n( k) = 4 no k) + (4 n) + no) ko.

(26 )Pada persamaan (26) telah dipergunakan identitas bahwa W)6nlk, =1

sehingga 16 n. k, = 0

Persamaan rekursifnya dapat ditulis menjadi

3XI (nO ko) = L Xo (kl ko) W4nokl (27a)

k.-O3

X ( n n ) = ~ X ( n k ) W( 4 n. + no) ko2 0 I ~ I 0 0

ko=O

X (nl nO ) = X2 (no nl ).

Persamaan-persamaan (27a), (27b), (27c) ini adalah

persamaan-persamaan (20a), (20b), (20c), (20d) yang dapat disusun

agak berbeda sebagai berikut

3X (nl no) = L -~

ko=O

3 3

= L [ { L Xo (kl ko) w4noklko=O k.=O

Maka bentuk rekursifnya sekarang menjadi3

L Xo (kl kok.=O

(27b)

.27c)tidak lain

w4nlkn Wnko

} WOn kn 28)

) W4nokl } wno ko 29aXI (no ko =

) W4nl ko (29b)

"',..-)X(nl no)Dari persamaandiperoleh

107

= x2(nOnl). ~':IC

29a ), mengingat N = 16, maka, sebagai contoh

.hlrnal Sain.~dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Jollrnal of Nuclear ,')cience and TechnoloK}J"oll. No 2 ,4gu.~tus2000: 99-119

ISSN 1.411 -3481

W4"lIk, = (W4 )""kl = COS( ~no k\) -j Sin(~no k\ ). (30)

Dari persamaan (29a) terlihat bahwa W4"lIkl hanya memiliki dua

barga, yaitu ::!:j clan ::!: 1, tergantung pada harga dari bilangan bulat

no kl saja, sehingga suku-suku yang berada di dalam kurung kurawal

ditentukan oleh faktor di luar kurung kurawal tersebut, yaitu Wno ko

yang disebut faktor peran (twiddle factor). Hal yang sarna dapat pula

diterapkan pada persarnaan (29b) clan seterusnya.

Dengan menggunakan faktor peran tersebut persarnaan rekursif

secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

Xj(non nj_.kmN

Ri-1 km-i ( -)Ii

31

PEMBALIKAN INDEKSDari pembahasan terdahulu didapatkan bahwa indeks daTi X(n)

mempunyai urutan yang berbalikan dengan indeks daTi x(n), yaitu

misalnya untuk N = 16 dengan radiks 4, maka

X(n, no) = x2(nOn,). (32)

Urutan indeks dalam desimal (radiks 10) clan radiks 4 tertera padaTabel 1.

108

Perhill/ngan Tran.~rormasi Fourier Cepall-DimensIDengan Radik.f Gabungan Empal dun Dr/a SerlaConloh Penggunaannya (R.S. Lasijo)

ISSN 1411- 348/

Tabel 1. Indeks X clan x dalam desimal clan radiks 4

Radiks4

Desimal

891011

Radiks4

Desimal12131415

--Radiks

4Desimal

0123

Radiks4

Desimal

4567

30313233

00010203

10111213

20212223

Kesesuaian indeks X dengan x dalam desimal tertera pada Tabel 2

Tabe12. Kesesuaian indeks X dengan x dalam desimal

-X4567

X891011

X12131415

x0123

x261014

xx048

x1591312

Diperlukan pengecekan terhadap indeks-indeks tersebut clan

mengu bahnya bilamana indeks dari X belum bersesuaian dengan

indeks dari x. Bilamana banyaknya data N tetap, clan hanya

dipergunakan satu macam radiks saja, maka penyusunan program

komputer dalam pembalikan indeks tidak begitu rumit. Akan tetapi

bilamana N sebarang (tetapi genap clan dapat dinyatakan dengan

2 r dengan r bilangan bulat), clan bilamana harns dipergunakan lebih

dari satu radiks, maka perlu berhati-hati dalam penyusunan

programnya supaya kesesuaian indeks tetap terjaga. Sebagai contoh

untuk N = 32 dengan gabungan radiks 4 clan 2, maka 32 = 4x4x2

dengan m = 3 dan f] = 4, f2 = 4, f3 = 2. Hubungan indeksnya dalam

desimal dan radiks 4 & 2 tertera pada Tabel 3.

Jurnal Sains dan Teknolagi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of Nuclear Science and TechnologyVol. /. No 2. Agllstus2000: 99-/19

/SSN /4//- 348/

Tabe13. Indeks dalam desimal clan radiks gabungan 4&2

Desimal

01234567

Desimal

89101112131415

Desimal

1617181920212223

Desimal

2425262728

~3031

Radiks4&2

000001010011020021030031

Radiks4&2

100101110111120121130131

Radiks4&2

200201210211220221230231

Radiks4&2

300301310311320321330331

Di Bini kesesuaian indeks daTiX (n2 nl no ) = x2 (no nl n2 ) ( 33 )

tidak mudah dilihat daTi Tabel 3 tersebut di atas hanya dengan

menggunakan rumus yang sarna dengan hanya membalik indeksnya

Baja, misalnya indeks desimal ke-5

X ( 021 ) = x 3 ( 120 ). ( 33a)

Dengan radiks carnpuran 4 & 2 seperti pada Tabel 3 pembalikan dapat

dilakukan, tetapi hams menggunakan rumus yang berbeda untuk

indeks X dan x 3 , yaitu

untuk indeks X:

I

X)

= n2* 41 * 21 + n * 40* 21 + * 20, I no

= 0 * 4 * 2 + 2 * 1 *2 + 1 * 1 = 0 + 4 + 1 = 5, ( 34 )

bersesuaian dengan indcks untuk X3 yaitu

I ( X ) = n * 42 + n * 41 + n * 403 2 I 0= 1 * 16 + 2 * 4 + 0 * 1 = 16 + 8 = 24. ( 35 )

Jadi untuk indeks desimal X yang ke-5 persesuaiannya adalah indeks

desimal x 3 yang ke- 24

110

Perhitungan Transformasi Fourier Cepat I-DimensiDengan Radiks Gabungan Empat dan Dua SertaContoh Penggunaannya (R.S Lasijo)

/SSN /4// -348/

PENGGUNAAN DALAM FUNGSI KONVOLUSI DAN KORELASI

Yang paling banyak dipergunakan sebenarnya bukanlah

transformasi Fourier itu sendiri, tetapi fungsi-fungsi lain seperti fungsi

konvolusi dari x(k) clan h(k) yang berbentuk

N-I

y ( k) = L x ( i ) h (k -i ) (36)i=O

clan fungsi korelasi dari x(k) clan h(k) yang berbentukN-!

z ( k ) = L x ( i ) h ( k + i ). (37)i=O

Fungsi-fungsi terse but dapat dihitung dengan Transformasi Fourier

Cepat dengan lebih mudah clan sederhana. Perhitungan fungsi

konvolusi clan korelasi dilakukan misalnya pada pemrosesan sinyal

(signal processing), filter elektronik (electronic filtering) [3,4,5], analisis

sistem, clan sebagainya, di mana x(k) pada umumnya berupa data

masukan yang didapat secara manual atau secara automatik dari

suatu sistem deteksi yang berupa sinyal-sinyal elektronik, sedangkan

h(k ) berupa respons dari peralatan, clan y(k) atau z(k) berupa

keluaran.

Untuk menghitung fungsi konvolusi daTi x(k) dan h(k), pertama-

tama dihitung transformasi Fourier dari masing-masing x (k) dan h (k),

yaitu

(38)

(39)

N-IX(n) = L x(k) e-j2Jrnk/N

k=O

N-IH(n) = L h(k) e-j2Jrnk/N.

k=O

Kalikan hasilnya untuk mendapatkan Y(n)Y(n) = X (n) .H (n) . (40)

Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian Journal of Nuclear Science and Technology1'0/. /, No.2. Aguslus 2000: 99 -119

/SSN /4/ / -348/

Kemudian lakukan transformasi inversi dari Y(n) untuk mendapatkan

fungsi konvolusi y(k) yang dimaksud, yaitu

y(k) = 1- I Y(n) e+j2:rnk/N. (41)N k=O

Bila y(k) berupa bilangan nyata, maka dapat pula dipergunakantransformasi maju, yaitu

IN-IY ( k ) = -L y'( n) e-j2:rnkfN (42)N k=O

di mana y' (n) adalah pasangan kompleks (complex conjugate) dari

Y(n)(n

Untuk menghitung fungsi korelasi caranya harnpir sarna, yaitu

dihitung fungsi transformasi Fourier dari masing-masing x(k) clan h(k),

kemudian bentuk fungsi Z :

Z ( n ) = X (n) .H * (n) (43)

di mana H* (n) adalah pasangan kompleks dari H (n), clan akhirnya

lakukan transformasi inversi dari Z ( n ) untuk mendapatkan z k)

(n)

e+j21rnk/N

z(k)

IN-!= -L Z (44)N k=O

Bila z ( k ) bilangan nyata dapat dipergunakan transformasi maju

IN-!I I = -L Z*(n) e-j2:rnk/N (45)

N k=O

dengan Z*(n) pasangan kompleks daTi Z(n).

k)

z

PERHITUNGAN DAN HASILNY ASebagai contoh pertama diberikan perhitungan untuk

menentukan transformasi Fourier dari suatu fungsi periodik yang

berbentuk

x(k)=cos(21[nk)

112

Perhitungan Transformasi Fourier Cepall-DimensjDengan Radiks Gabungan Empat don Dua SertaContoh Pengglinaannya (R.S. Lasijo)

/SSN /4//- 348/

dengan k sesuai dengan waktu t dan n sesuai dengan frekuensi f.

Dalam perhitungan diambil N = 32, interval waktu T = 1, dan frekuensi

f = 1/8 seperti tertera pada Gambar la.

~

1.5- -

1

-1

-1.5

21l"nk)Gambar la. x(k) = cas Garnbar 1 b. X(n),

Transformasi Fourier dari x(k) ini adalah X(n) yang tertera pada

Gambar 1 b. Kurva sinambung pada gambar menunjukkan fungsi yang

kontinu, sedangkan titik-titik menunjukkan fungsi yang diskrit yang

diambil untuk perhitungan. Dari hasilnya yang tertera pada Gambar

1 b, tidak ada perbedaan yang berarti antara yang kontinu dengan

yang diskrit. lni disebabkan karena pemilihan interval clan

frekuensinya sangat sesuai.~ ~

0 10 20 30 40

Gambar 2a. x(k), dengan f=I/9.143 Gambar 2b. X(n), transformasi Fourier dan x(k).

113

Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndonesian JOIlrnal of Nuclear Science and TechnologyVol. I. No.2. Agustus 2000.. 99 -119

ISSN /411 -3481

Pada Garnbar 2a hila frekuensinya diarnbil f = 1/9.143 dengan

interval T yang sarna, basil transformasi Fourier yang didapat pada

Garnbar 2b ternyata agak berbeda dengan fungsi kontinu pada

Garnbar lb. Jadi terlihat di sini bahwa dalarn penggunaan

transformasi Fourier yang diskrit supaya hasilnya sarna dengan

transformasi Fourier yang kontinu kita harus berhati-hati dalarn

pemilihan pararnetemya. Pada umumnya pemilihan interval yang

Makin kecil dapat memberikan kesarnaan yang lebih baik.

Garnbar 3a menunjukkan data x(k) yang diskrit, dengan transformasi

Fourier bagian nyata tertera pada Garnbar 3b, sedangkan Garnbar 3c

menunjukkan transformasi totalnya

X(n) = ~[Re X(n)] 2 + [1m X(n)] 2 (47)

dengan Re menunjukkan bagian nyata dan 1m menunjukkan bagiankhayal daTi X(n).

Gambar 3a. Fungsi diskrit x(k) Gambar 3b. X(n) bagian nyata

14

Perhitungan Transformasi Fourier Cepat J-DimensiDengan Radiks Gabungan Empat dan Dua SertaContoh Penggunaannya (R.S. Lasijo)

/SSN /4//- 348/

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

Kurva sinambung hanyadipakai untuk memperjelaspenglihatan.

L ~---

Gambat 3c. X(n), ttansf. Fourier clari x(k)

Sebagai contoh perhitungan fungsi konvolusi dari suatu sinyal

atau data masukan x(k) clan respon alat h(k) dengan basil keluaran

yang berbentuk fungsi konvolusi y(k) , masing-masing tertera pada

Gambar-gambar 4a, 4b, clan 4c.

Gambar 4a. Fungsi diskrit x (k) Gambar 4b. Fungsi respons h (k)

Garnbar 4c. Fungsi konvolusi y (k)

Gambar 5b. Fungsi x(k) Garnbar 5b. Fungsi respon h(k)

115

Jurnal Sains dan Teknologi Nuklir IndonesiaIndone.vian Journal of Nuclear Science and Technology/"'011 No 2. ,4gu.'iflls 2000 99 -119

/SSN /4//- 348/

1.21

0.80.80.4

I 0.:

R~T V; C J

50 100 150

Gambar Sc. Fungsi konvolusi y(k) Gambar Sd. Filter RC

Gambar-gambar Sa, Sb, clan Sc, adalah contoh perhitungan fungsi

konvolusi yang analog dengan suatu rangkaian filter elektronik RC

yang digandeng dengan suatu sumber tegangan Vi (Gambar Sd), di

mana x(k) analog dengan masukan Vi , fungsi respon h(k) analog

dengan rangkaian filter RC yang berbentuk

1 -k/RC-e 48)RC

dengan R hambatan resistor, clan C kapasitas kondensator. Fungsi

konvolusi yang didapat mempunyai bentuk seperti potensial Vo atau

banyaknya muatan q yang berkembang di dalam kondensator C.

Sebagai contoh terakhir perhitungan fungsi konvolusi adalah

fungsi masukan x(k) yang non periodik dengan respon h(k) ,

menghasilkan fungsi konvolusi y(k), yang masing-masing ditunjukkan

oleh Gambar-gambar 6a, 6b, clan 6c. Untuk data atau sinyal-sinyal

yang terns menerns clan tidak periodik, bilamana memori komputer

tidak mampu untuk menampung, maka perhitungan dapat dilakukan

dengan cara memberikan suatu harga N tertentu untuk x(k) clan h(k)

pada selang tertentu, kemudian dihitung fungsi konvolusinya untuk

masing-masing periode N, yang selanjutnya semua basil perhitungan

dirangkaikan menjadi satu dengan cara tertentu untuk menghindari

116

Perhitungan 7ransformasi Fourier Cepat l-Dimen,5iDengan Radiks Gabungan Empat dan Duo SerloContoh Penggunaannya (R.S. Lasijo)

ISSN 14/1 -348/

adanya efek pinggir (end effect). Program komputer yang telah disusun

untuk perhitungan telah pula dilengkapi dengan perhitungan untuk

sinyal-sinyal yang terns menerus ini dengan membagi data dalam

siklus-siklus sebesar N data menggunakan metode pilih-simpan

(select-savings method) [2,6] dengan basil yang sama dengan hila

seluruh data dianalisis sekaligus, kecuali pada bagian pinggir (depan)

sebanyak fungsi responnya, yang dalam hat contoh kita adalah

sebanyak 36 titik data.

1.2

0.8

0 6

0 4

0.2

0

0 50 100 150 200 250 300

---Gambar 6a. Fungsi x (k)

Gambar 6b. Fungsi respon h (k)

1 1'7

Jurnal :!.'ains dan Teknologi NuklirlndonesiaIndone.fian Journal of Nuclear Science and TechnologyVol. I. No.2. AgU.fIlIS 2000: 99 -119

ISSN 14/1 -3481

40

30

20

10

00 50 100 150 200 250

Gambar 6c. Fungsi konvolusi y (k)

300

Karena perhitungan untuk fungsi korelasi caranya identik dengan

perhitungan untuk fungsi konvolusi, maka dalam makalah ini

hasilnya tidak disertakan.

KESIMPULANDari pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat diambil

kesimpulan bahwa pemakaian Transformasi Fourier Cepat dapat

dilakukan baik untuk sinyal-sinyal yang periodik maupun non-

periodik. Fungsi konvolusi clan korelasi dapat pula dihitung dengan

menggunakan transformasi ini dengan lebih mudah clan sederhana

Berta cepat. Kecepatan proses dalam penggunaan Transformasi Fourier

Cepat inilah yang sebenarnya menjadikan transformasi ini sangat

menarik clan diminati banyak orang dalam pemakaiannya. Dengan

perkembangan perangkat keras maupun perangkat lunak komputer

digit, Berta perkembangan metodologi perhitungan, maka pemakaian

Transformasi Fourier Cepat akan mempunyai aplikasi yang semakin

luas dalam masa-masa yang akan datang.

118

Perhitungan Transformasi FourIer Cepal J-DimenslDengan Radiks Gabungan Empal don Dua SerloConloh Penggtlnaannya (RS [,asijo)

/SSN /4// -348/

DAFT AR PUST AKA

1. PRESS, W.H., TEUKOLSKY, S.A., VETTERLING, W.T., FLANNERY,

B.P., "Numerical Recipes in Fortran", 2nd edition, Cambridge

University Press, 1992, p.491.

2. BRIGHAM,E.O., "The Fast Fourier Transform", Prentice-Hall Inc.,

1974.

OPPENHEIM, A.V., SCHAFER, : Time

Processing", Prentice-Hall Inc., 1989.

RABINER,L.R., GOLD,B., "Theory and Application of Digital Signal

Processing", Prentice-Hall Inc., 1975.

OPPENHEIM, A.V., WILSKY, A.S., YOUNG, I.T., "Signals and

Systems", Prentice-Hall Inc., 1983.

SignalR.W.,

3

"Discrete

4

5

NUSSBAUMER, H.J., "Fast Fourier Transform and Convolution

Algorithms", Springer-Verlag, 1990.

6.

2: Kembali ke Jurnal