A. MERERAPKAN KONSEP OPERASI BILANGAN REAL1.1 Operasi pada bilangan real Sebelum kita membahas mengenai operasi pada bilangan real, terlebih dahulu kita

pahami sifat-sifat operasi bilangan real sebagai berikut.

1.2.1 Sifat-sifat operasi bilangan real Jika a, b, dan c bilangan real, maka berlaku sifat berikut.1. Tertutup (tertutup terhadap penjumlahan) (tertutup terhadap perkalian)

2. Komutatif (komutatif terhadap penjumlahan) (komutatif terhadap perkalian)

3. Asosiatif (asosiatif terhadap penjumlahan) (asosiatif terhadap perkalian)

4. Distributif a. Distributif terhadap penjumlahan b. Distributif terhadap pengurangan

5. Identitas (0=identitas penjumlahan) (1=identitas perkalian)

6. Invers ( 0 = identitas penjumlahan )

( invers perkalian dari )

7. Jika , maka

8. Jika dan , maka

9. Jika dan , maka

1.2.2. Operasi penjumlahan dan pengurangan Berikut ini akan dijelaskan mengenai operasi penjumlahan dan penguranganpada

bilangan bulat dan pecahan.

1. Operasi pada bilangan bulat

2. Operasi pada bilangan pecahan. a. Untuk penyebut yang sama

b. Untuk penyebut yang tidak sama

1.2.3 Operasi Perkalian dan Pembagian1. Operasi perkalian dan pembagian pada bilangan bulat

Perkalian

a x b =

a x b = aba x (-b) = -ab(-a) x b = -ab(-a) x (-b) = ab

2. Operasi perkalian dan pembagian pada bilangan pecahan Perkalian

untuk dan

Pembagian

; untuk dan

; untuk dan

1.2 Konversi Bilangan1) Menguah bentuk pecahan menjadi desimal

Contoh :

a. (dengan cara pembagian pembilang dan penyebut)

b. (dengan cara pembagian pembilang dan penyebut)

2) Mengubah bentuk desimal menjadi pecahan

Contoh :

a. c.

b. d.

3) Mengabah bentuk pecahan menjadi persen Contoh:

a. c.

b. d.

4) Mengubah bentuk persen menjadi pecahan Contoh :

a. c.

b. d.

5) Mengubah bentuk desimal menjadi persen Contoh :

a. c. b. d.

6) Mengubah bentuk persen menjadi desimal Contoh :

a. c.

b. d.

1.4 Perbandingan

Pengertian perbandinganUntuk membandingkan dua besaran yang sejenis dapat dilakukan dengan dua cara

:1. melalui operasi penjumlahan atau pengurangan2. melalui operasi perkalian atau pembagian

Perhatikan ilustrasi berikut ini !Misalkan ada dua orang pedagang, suatu hari Ibu Maria mendapat untung bersih sebesar Rp 900.000,00 sedangkan ibu Hana mendapat untung Rp 300.000,00 .

1. Dengan menentukan selisih pendapatan mereka (Rp 900.000,00 – Rp 300.000,00 = Rp 600.000,00) maka dapat dikatakan pendapatan ibu Maria Rp 600.000,00 lebih banyak dari pendapatan ibu Hana

2. Dengan menentukan hasil bagi pendapatan mereka (Rp 900.000 : Rp 300.000 = 3), maka dapat dikatakan pendapatan ibu Maria 3 kali lebih banyak dari pendapatan ibu Hana

1). Perbandingan Senilai Pehatikan tabel berikut :

Daftar Harga Beras Kg Rupiah 1 5.000

2 (a) 10.000 (x) 3 15.000 4 20.000 5 25.000 6 (b) 30.000 (y)

Nilai bertambah Nilai bertambahPerhatikan baris ke-dua dan baris ke-enam

Perbandingan banyaknya gula =

Perbandingan harga beras =

Dari keterangan tersebut diata, perbandingan banyaknya gula dan harganya merupakan perbandingan senilai

2) Perbandingan Berbalik Nilai

Perhatikan ilustrasi berikut !Sebuah sekolah mendapat bantuan buku sebanyak 200 buku, dan buku-buku tersebut akan dipindankan keperpustakaan. Jika setiap anak hanya mampu membawa 5 buah buku, maka banyaknya anak yang butuhkan 40 orang. Jika setiap anak harus membawa 10 buah buku, maka banyaknya anak yang dibutuhkan 20 orang. Dan jika setiap anak harus membawa 20 buku, maka banyaknya anak yang dibutuhkan 10 orang dan seterusnya.

Dari keterangan tersebut diatas, kita buat tabel akan tampak sebagai berikut :Banyaknya

BukuBanyaknya

Anak 5 40 10 (a) 20 (x) 20 10

Jadi

40 (b) 5 (y)

Perhatikan baris ke-dua dan baris ke-empat pada tabel diatas !

Banyaknya buku =

Banyaknya anak =

Dari keterangan diatas dapat disimpulkan :Banyaknya buku yang dibawa tiap anak dan jumlah anak yang membawa buku merupakan perbandingan berbalik nilai

3) Peta dan Model SkalaDalam menggambar peta, model pesawat, dena gedung dan sebagainya didasarkan pada perbandingan senilai. Oleh karena itu masalah peta dan model berskala dapat diselesaikan dengan menggunakan perbandingan senilai.Yang dimaksud dengan skala adalah perbandingan ukuran gambar atau peta dengan ukuran sebenarnya ( biasanya dalam ukuran Cm )

Contoh :Jarak Jakarta – Bandung 220 km, sedangkan jarak pada peta 11 cm, maka skalanya dapat dicari sebagai berikut.

Skala = 11 cm : 220 km= 11 cm : 22.000.000 cm= 1 : 2.000.000

Contoh :Pada sebuah peta tertera skala 1 : 400.000 Jika jarak Jakarta - Bogor pada peta 15 cm, maka jarak Jakarta – Bogor sebenarnya dapat dihitung sebagai berikut.

Jarak sebenarnya =

= 6.000.000 cm = 60 km

Jadi, jarak sebenarnya Jakarta – Bogor adalah 60 km2. Menerapkan Operasi Pada Bilangan Berpangkat2.1 Pengertian bilangan berpangkat

Perhatiakan contoh berikut ini ! disebut perkalian berulang dapat ditulis dengan dibaca “lima pangkat empat”

5 disebut bilangan pokok atau bilangan dasar4 disebut bilangan pangkat atau eksponennya

Oleh karena berbalikan dengan 4

maka berbalikan

Hal ini dapat ditulis

Secara umum, jika bilangan real dan bilangan bulat positif, maka berlaku :

=

dimana adalah bilangan pokok dan bilangan pangkat atau eksponennya

2.2. Sifat-sifat bilangan berpangkatSetelah kita memahami tentang pengertian bilangan berpangkat, berikut ini kita berikan sifat-sifat bilangan berpangkat :

Jika dan anggota bilangan real selain nol dan dan bilangan bulat maka berlaku :

2.3 Menyederhanakan bilangan berpangkatAda beberapa hal yang dapat anda lakukan dalam meyederhanakan bilangan ber-pangkat :

Menggunakan sifat-sifat yang belaku pada bilangan berpangkat Apabila ada beberapa bilangan pokok yang tidak sama, maka anda harus

mengupayakan bilangan pokok tersebut menjadi sama dengan cara memfaktor-kan

3. Menerapkan Operasi Pada Bilangan Irasional (Bentuk Akar)Definisi :

Bilangan irasional sering disebut sebagai bilangan bentuk akar misalnya , dan bilangan-bilangan tersebut tidak dapat ditulis dalam bentuk pecahan

seperti bilangan rasional. Coba perhatikan pula bilangan-

bilangan berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Untuk semua a , b anggota bilangan real dan n anggota bilangan bulat positif

maka :

=

= ; 0b

=

=

, , , dan

Miskipun bilangan tersebut dalam bentuk akar, akan tetapi dapat diudah menjadi bilangan rasional seperti: , , , , Supaya anda dapat dengan mudah membedakan bilangan rasional dengan bilangan irasional, dapat anda lihat cirri-cirinya sebagai berikut :

Bilangan Rasional Bilangan Irasional

1. Dapat ditulis dalam bentuk ,

2. Bentuk desimal terbatas3. Desimal tak terbatas berulang

1. Tidak dapat ditulis dalam bentuk ,

2. Bentuk desimal tak terbatas3. Desimal tak terbatas dan tak berulang4. Dalam bentuk akar

Contoh :1. bilangan rasional, sebab

2. bilangan rasional, sebab

3.2 Menyederhanakan bilangan bentuk akarPerhatikan contoh berikut ini :1. = = = =

Angka 12 kita faktorkan menjadi dua bilangan yang salah satunya dapat ditarik nilai akarnya (yaitu angka 4 dan 3 )

2. = = = =

3. = = = =

3.3 Operasi bilangan bentuk akar1) Penjumlahan dan Pengurangan bentuk akar

Sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bentuk akarUntuk , dan bilangan real, berlaku :

2) Perkalian dan pembagian bentuk akar.Sifat-sifat operasi perkalian dan pembagian bilangan bentuk akar

=

=

3) Merasionalkan Penyebut bentuk pacahan bentuk akar.

Untuk bentuk

Caranya : =

Untuk bentuk ; ; ;

Caranya : =

4. Menerapkan Konsep Logaritma4.1 Pengertian logaritma.

Pada bagian sebelumnya kita telah bahas bilangan berpangkat, mari kita lihat beberapa bilangan berpangkat dibawah ini,

; ; ; dan = …Jika anda diminta untuk menyelesaikan permasalahan diatas, maka anda dapat dengan mudah untuk menentukan hasilnya dengan menggunakan konsep perkalian berulang seperti berikut ini :

Pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan bentuk akar dari penyebut

Pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan bentuk sekawan dari penyebut

Bentuk-bentuk Sekawan :

adalah sekawan dari

adalah sekawan dari

adalah sekawan dari

adalah sekawan dari

Permasalahan yang sering muncul adalah bagaimana seandainya bilangan pokok diketahuai dan hasil perpangkatannya diketahui dan kita diseruh menentukan pangkat dari bilangan tersebut seperti :

; ; ; dan Untuk menyelesaikan permasalahan bilangan tersebut, dapat anda lakukan perkalian berulang dari bilangan pokok sampai hasilnya sama dengan hasil perpangkatannya, perhatikan contoh berikut :

= 4 4 4 = 16 4 = 64

Model penyelesaian tersebut diatas, anda dapat menggunakan konsep logaritma dapat ditulis

Dari uraian tersebut diatas, logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut :

dimana : = bilangan pokok ( basis ) = bilangan yang dicari logaritmanya ( numerus )

` = hasil logaritma

4.2 Sifat-sifat logaritma.

Jadi maka karena banyaknya bilangan pokok dari perkalian berulang ada 6

dengan ; ; dan

1.

2.

3. + =

4. − =

5. =

6. = ;

7. =

8. =

9. =

4.3 Menentukan logaritma dengan menggunakan tabel

1) Logaritma bilangan lebih dari 1Logaritma suatu bilangan dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulator atau tabel logaritma basis 10. Nilai atau hasil logaritma suatu bilangan ada dua bagian yaitu :a) Angka didepan tanda koma disebut indeks / karakteristik

Logaritma bilangan satuan, karakteristiknya 0 Logaritma bilangan puluhan, karakteristiknya 1 Logaritma bilangan ratusan, karakteristiknya 2 Logaritma bilangan ribuan, karakteristiknya 3 dan seterusnya

b) Angka dibelakang tanda koma disebut bagian decimal / mantisaCara menggunakan tabel.Perhatikan sebagian tabel berikut ini :

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 965 813 814 814 815 816 816 817 818 818 81966 820 820 821 822 822 823 823 824 825 82567 826 827 827 828 829 829 830 831 831 83268 833 833 834 834 835 836 836 8378 838 83869 839 839 840 841 841 842 843 843 844 844

Contoh :Dengan mengunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari :1). log 6,83 2). log 68,3

Jawab :1). Karena log 6,83 merupakan logaritma bilangan satuan, maka karakteristiknya

0

Jadi log 6,83 = 0,834 + 0 = Mantisa

Karakteriustik satuan

2). Karena log 68,3 merupakan logaritma bilangan satuan, maka karakteristiknya 1

Jadi log 6,83 = 0,834 + 1 =

4.3.2 Logaritma bilangan antara 0 dan 1Untuk menentukan logaritma bilangan antara 0 dan 1, maka bilangan itu terlebih dahulu anda nyatakan dalam bentuk baku , dimana dan anggota bilangan bulat negatif. Agar anda lebih memahaminya, perhatikan ilustrasi berikut :

Misalkan = log = log

= +

= +

Mantisa

Karakteriustik satuan

Karakteristik

Mantisa / bagian desimal