BIDANG MATEMATIKA SMA 2 dari 15 MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR) 083831611481 SOLUSI OSK SMA 2018...
Transcript of BIDANG MATEMATIKA SMA 2 dari 15 MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR) 083831611481 SOLUSI OSK SMA 2018...
Halaman 1 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
SOLUSI
OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2018
BIDANG MATEMATIKA SMA
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
SURABAYA
2018
Halaman 2 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
SOLUSI OSK SMA 2018
Oleh : Miftahus Saidin
1. Misalkan a, b, dan c adalah tiga bilangan berbeda. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan
asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan (π₯ β π) (π₯ β π) + (π₯ β π) (π₯ β π) = 0 yang
mungkin adalah.....
Jawaban : πππ
(π β )(π π β )π (+ π β )(π π β )π = π β ( π β )(π ππ β π β π ) = π
akar-akarnya adalah ππ = π dan ππ =π+ππ
. Jumlah akar-akarnya = π +π+ππ=π+ππ+π
π
jumlah terbesar dari akar-akarnya =
π+π(π)+π
π=ππ
π.
2. Setiap sel dari suatu tabel berukuran 2 x 2 dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan N
adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus
untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap
untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap
Nilai N adalah...
Jawaban : ππ
Supaya setiap kolom dan baris jumlahnya genap maka keempat kotak harus diisi bilangan genap
semua atau bilangan ganjil semua.
Jika keempat kotak diisi bilangan ganjil semua.
ganjil ganjil
ganjil ganjil
Karena bilangan ganjil yang diisikan ke tiap kotak ada 2 pilihan, yaitu 1 dan 3 maka
banyaknya cara mengisi keempat kotak di atas adalah ππ.
Jika keempat kotak diisi bilangan ganjil semua.
genap genap
genap genap
Karena bilangan genap yang diisikan ke tiap kotak hanya ada 1, maka banyaknya cara mengisi
keempat kotak diatas adalah ππ.
Jadi, total semuanya ada ππ + ππ = ππ.
Halaman 3 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
3. Diberikan persegi berukuran 3 x 3 satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah....
Jawaban : ππππ
ππ
π
=π
π ----> π = π
π. Luas arsir = π β
πππ = π β
πππ=ππππ
.
4. Parabola π¦ = ππ₯2 β 4 dan π¦ = 8 β ππ₯2 memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik.
Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai a + b adalah...
Jawaban : 3
Untuk kurva π = πππ β π,
Titik potong sumbu y ----> x = 0, y = β4 ----> (0, β4).
Titik potong sumbu x ----> y = 0, x = Β±π
βπ ----> (π,
π
βπ) dan (π,β
π
βπ).
Untuk kurva π = π β πππ,
Titik potong sumbu y ----> x = 0, y = β4 ----> (0, 8).
Titik potong sumbu x ----> y = 0, x = Β±πβπ
βπ ----> (π,
πβπ
βπ) dan (π, β
πβπ
βπ).
Karena titik potong sumbu koordinat membentuk layang-layang, yang artinya hanya ada 4 titik
potong sumbu koordinat maka kedua kurva berpotongan di sumbu x, sehingga
πβπ
βπ=π
βπ β π = ππ
Luas layang-layang =(πβ(βπ))(
πβπβ(β π
βπ))
π= ππ β π = π dan π = π. Jadi, π + π = π.
1
2
π₯
2
3
Halaman 4 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
5. Untuk setiap bilangan asli π didefinisikan π (π) sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari π.
Banyaknya bilangan asli d sehingga d habis membagi π β π (π) untuk setiap bilangan asli n adalah...
Jawaban : 3
Misalkan π adalah bilangan yang terdiri dari k digit maka dapat ditulis π = ππππππβ¦β¦β¦ ππΜ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
π β π(π) = ππππππβ¦ ππΜ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ β ππ β ππ β ππ β β¦ β ππ
π β π(π) = πππβ¦πππβ πβπ πππππ π
ππ + πππβ¦πππβ πβπ πππππ π
ππ + πππβ¦πππβ πβπ πππππ π
ππ +β―+ πππβπ
π β π(π) = π(πππβ¦πππβ πβπ πππππ π
ππ + πππβ¦πππβ πβπ πππππ π
ππ + πππβ¦πππβ πβπ πππππ π
ππ +β―+ ππβπ)
Jelas bahwa πβ π(π) kelipatan 9. Akibatnya π merupakan faktor positif dari 9.
Nilai d yang memenuhi ada 3, yaitu 1, 3, dan 9.
6. Diketahui x dan y bilangan prima dengan x < y, dan π₯3 + π¦3 + 2018 = 30π¦2 β 300π¦ + 3018. Nilai
x yang memenuhi adalah....
Jawaban : 3
ππ + ππ + ππππ = ππππ β ππππ + ππππ β‘ π
ππ β ππππ + ππππ β ππππ = βππ β (π β ππ)π = βππ β π β ππ = βπ β π + π = ππ
Karena π dan π bilangan prima dan π < π maka diperoleh π = π, π = π.
7. Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecil
merupakan kelipatan 3, sedangkan yang lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlah
semua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah...
Jawaban : 130
Misalkan dua bilangan tersebut adalah π dan π, dengan π > π,
π kelipatan 3, maka dapat ditulis π = ππ, untuk suatu bilangan asli k.
π kelipatan 7, maka dapat ditulis π = ππ, untuk suatu bilangan asli n.
π β π = ππ βΊ ππ β ππ = ππ
Jelas bahwa π = π dan π = βπ adalah salah satu solusi dari persamaan diatas maka solusi umumnya
adalah
π = π + ππ, π = βπ + ππ, untuk suatu bilangan asli π
Jadi diperoleh π = π + πππ dan π = βπ + πππ. Karena x dan y bilangan 2 digit maka pasangan (x,y)
yang memenuhi adalah (ππ, ππ), (ππ, ππ ), (ππ, ππ), dan (ππ, ππ).
Jumlah semua faktor prima x dan y adalah 17, maka π + ππ + ππ + π = ππ βΊ ππ + ππ = π
diperoleh ππ = π dan ππ = π.
Jelas bahwa ada diantara x dan y yang merupakan kelipatan 5 sehingga yang memenuhi hanyalah
π = ππ dan π = ππ. Jadi, jumlah dua bilangan tersebut adalah 130.
Halaman 5 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
8. Diberikan satu koin yang tidak seimbang. Bila koin tersebut ditos satu kali, peluang muncul angka
adalah 14. Jika ditos π kali, peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga
angka. Nilai π adalah...
Jawaban : 11
Untuk satu kali pengetosan, P(A) = ππ dan P(G) =
ππ. Dengan distribusi binomial maka diperoleh :
P(2A)=P(3A) ------> (ππ) (ππ)π(ππ)πβπ
= (ππ)(ππ)π(ππ)πβπ
------> π(πβπ)π
(ππ) =
π(πβπ)(πβπ)π
(ππ)
π = π β π -----> π = ππ.
9. Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat dari
segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah...
Jawaban : 9
Perhatikan gambar berikut !
Jelas bahwa segitiga DCF dan segitiga ACF kongruen sehingga AC = CD. Karena AD garis berat maka
DB = CD = AC = π
π BC.
Karena panjang sisi-sisi segitiga ABC merupakan bilangan asli berurutan maka ada beberapa kasus,
yaitu :
Kasus 1 :
Misalkan panjang AB = π, BC = π + π, AC = π + π, dengan π adalah bulangan asli.
π¨πͺ =π
ππ©πͺ βΊ π + π =
π
ππ +
π
π βΊ π = βπ (tidak memenuhi).
Kasus 2 :
Misalkan panjang AB = π, BC = π + π, AC = π + π, dengan π adalah bulangan asli.
π¨πͺ =π
ππ©πͺ βΊ π + π =
π
ππ + π βΊ π = π (tidak memenuhi).
Kasus 3 :
Misalkan panjang AB = π+ π, BC = π, AC = π + π, dengan π adalah bulangan asli.
π¨πͺ =π
ππ©πͺ βΊ π + π =
π
ππ βΊ π = βπ (tidak memenuhi).
πΌ πΌ
π½
π½
A
B C D
E
F
Halaman 6 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
Kasus 4 :
Misalkan panjang AB = π+ π, BC = π + π, AC = π, dengan π adalah bulangan asli.
π¨πͺ =π
ππ©πͺ βΊ π =
π
ππ + π βΊ π = π (memenuhi)
Keliling segitiga = ππ + π = π.
Kasus 5 :
Misalkan panjang AB = π+ π, BC = π + π, AC = π, dengan π adalah bulangan asli.
π¨πͺ =π
ππ©πͺ βΊ π =
π
ππ +
π
π βΊ π = π.
Jika π = π maka AB = 3, BC = 2, dan AC = 1. Akibatnya ABC bukan segitiga sebab tidak
memenuhi syarat-syarat panjang sisi segitiga, yaitu AC + BC > AB.
Kasus 6 :
Misalkan panjang AB = π+ π, BC = π, AC = π + π, dengan π adalah bulangan asli.
π¨πͺ =π
ππ©πͺ βΊ π + π =
π
ππ βΊ π = βπ (tidak memenuhi)
Jadi, keliling segitiga yang memenuhi adalah 9.
10. Diberikan suku banyak p(x) dengan π(π₯)2 + π (π₯2) = 2π₯2 untuk setiap bilangan real π₯. Jika π(1) β 1
maka jumlah semua nilai π(10) yang mungkin adalah...
Jawaban : β121
Misalkan derajat π(π) adalah π, dengan π β₯ π, maka dapat ditulis
π(π) = πππ + π(π)
dengan π(π) polinomial derajat π, π < π dan π β π.
π(π)π + π(ππ) = πππ
(πππ + π(π))π+ (ππππ + π(ππ)) = πππ
(ππ + π)πππ + πππ(π)ππ + (π(π)π + π(ππ)) = πππ
Perhatikan bahwa ππ β₯ π > π, dengan memperhatikan kesamaan koefisien ruas kiri dan ruas kanan,
maka diperoleh
ππ + π = π βΊ π(π + π) = π βΊ π = π atau π = βπ
Karena π β π maka dipilih π = βπ, sehingga persamaan menjadi
βππ(π)ππ + (π(π)π + π(ππ)) = πππ
Perhatikan bahwa π + π > ππ dan π + π > π, dengan memperhatikan kesamaan koefisien ruas kiri
dan ruas kanan, maka diperoleh π(π) = π. Akan tetapi jika π(π) = π disubtitusikan ke persamaan maka
diperoleh π = πππ (tidak memenuhi).
Jika π(π) polinomial konstan, misalkan π(π) = π, maka
π(π)π + π(ππ) = πππ βΊ ππ + π = ππ (tidak memenuhi).
Halaman 7 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
Jadi, π(π) pasti polinomial berderajat satu atau dua.
Jika π(π) berderajat satu, misalkan π(π) = ππ + π, maka
π(π)π + π(ππ) = πππ ---> (ππ + π)π + (πππ + π) = πππ ---> (ππ + π)ππ + ππππ + ππ + π = πππ
Dengan kesamaan koefisien ruas kiri dan kanan maka diperoleh π = π atau π = βπ dan π = π.
Untuk π = π dan π = π maka π(π) = π, akibatnya π(π) = π (tidak memenuhi sebab π(π) β π)
Untuk π = βπ dan π = π maka π(π) = βππ, akibatnya π(ππ) = βππ.
Jika π(π) berderajat satu, misalkan π(π) = πππ + π + π, maka
π(π)π + π(ππ) = πππ ---> (πππ + ππ + π)π+ (πππ + πππ + π) = πππ
(ππ + π)ππ + πππππ + (ππ + π+ πππ)ππ + ππππ + ππ + π = πππ
Dengan kesamaan koefisien ruas kiri dan kanan maka diperoleh π = βπ, π = π dan π = βπ.β
Diperoleh π(π) = βππ β π. Nilai dari π(ππ) = βπππ.
Jadi, jumlah semua nilai dari π(ππ) adalah βπππ β ππ = βπππ.
11. Misalkan {π₯π} adalah barisan bilangan bulat yang memenuhi π₯1 = π₯2 = π₯3 = β― = π₯12 = 0, π₯13 = 2
dan untuk setiap bilangan asli π berlaku π₯π+13 = π₯π+4 + 2π₯π. Nilai π₯143 adalah....
Jawaban : 2104
ππ+ππ = ππ+π + πππ
ππ = ππ = ππ = β― = πππ = π
CARA SUPER NGULI Hehehehe....
πππ = π
πππ = ππ + πππ = π, πππ = ππ + πππ = π, πππ = πππ + ππππ = ππ
πππ = πππ + πππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = ππ.
πππ = ππ + πππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = ππ.
πππ = πππ + πππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = ππ.
πππ = ππ + πππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = ππ.
Halaman 8 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
πππ = πππ + πππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = ππ.
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
ππππ = πππ + ππππ = ππ
πππ = ππ + πππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, ππππ = πππ + ππππ = π, ππππ = ππππ + πππππ = ππ.
πππ = πππ + πππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π,
ππππ = πππ + ππππ = π, ππππ = ππππ + ππππ = π, ππππ = ππππ + πππππ = π,
ππππ = ππππ + πππππ = πππ + π.
πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = π, πππ = πππ + ππππ = ππ,
πππ = πππ + ππππ = ππ, πππ = πππ + ππππ = ππ, πππ = πππ + ππππ = ππ,
πππ = πππ + ππππ = ππ, πππ = πππ + ππππ = ππ, πππ = πππ + ππππ = ππ,
ππππ = πππ + ππππ = ππ, ππππ = ππππ + πππππ = ππ, ππππ = ππππ + πππππ = ππ,
ππππ = ππππ + πππππ = ππ, ππππ = ππππ + πππππ = ππ + π(πππ + π) = ππππ.
12. Untuk setiap bilangan real π§, βπ§β menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama
dengan z. Jika diketahui βπ₯β + βπ¦β + π¦ = 43,8 dan π₯ + π¦ β βπ₯β = 18,4. Nilai 10(π₯ + π¦) adalah...
Jawaban : 274
βπβ + βπβ + π = ππ, π -----> βπβ + πβπβ + {π} = ππ, π
Karena βπβ + πβπβ bilangan bulat dan π β€ {π} < π maka diperoleh βπβ + πβπβ = ππ dan {π} = π, π.
π + π β βπβ = ππ, π -----> βπβ + {π} + {π} = ππ, π -----> βπβ + {π} = ππ, π.
Karena βπβ bilangan bulat dan π β€ {π} < π maka diperoleh βπβ = ππ dan {π} = π, π
Jika βπβ = ππ maka βπβ = ππ β ππ = π.
Jadi, ππ(π + π) = ππ(βπβ + {π} + βπβ + {π}) = ππ(ππ, π) = πππ.
Halaman 9 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
13. Misalkan ABCD adalah trapesium siku-siku dengan AB sejajar DC dan AB tegak lurus AD. Misalkan
juga P adalah titik potong diagonal AC dan BD. Jika perbandingan luas segitiga APD dan luas trapesium
ABCD adalah 4 : 25 maka nilai π΄π΅π·πΆ
adalah...
Jawaban : π
π atau 4.
Misalkan label yang tertera didalam segitiga merupakan luas dari segitiga tersebut
[π¨π·π«]
[π¨π©πͺπ«]=
π
ππ -----> [π¨π·π«] = ππ³ dan [π¨π©πͺπ«] = πππ³
X + Y + 8L = 25L -----> X + Y = 17L, dengan Y > X.
πΏ
ππ³=π©π·
π·π«=ππ³
π -----> XY = 16L
2, sehingga diperoleh X = L dan Y = 16L.
Jelas bahwa segitiga APB sebangun dengan CPD sehingga perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian
sama dengan akar dari perbandingan luasnya.
Jika AB < DC, maka π¨π©
π«πͺ= β
πΏ
π= β
π³
πππ³=π
π.
Jika AB > DC, maka π¨π©
π«πͺ= β
π
πΏ= β
πππ³
π³= π.
14. Himpunan S merupakan himpunan bilangan-bilangan 7 digit sehingga masing-masing angka 1, 2, 3,
4, 5, 6, atau 7 tepat muncul satu kali. Bilangan-bilangan di S diurutkan mulai dari yang paling kecil
sampai yang paling besar. Bilangan yang berada pada urutan ke-2018 adalah.....
Jawab : 3671254
1 A B C D E F ------> ada sebanyak π! = πππ
2 A B C D E F ------> ada sebanyak π! = πππ
3 A B C D E F ------> ada sebanyak π Γ π! = πππ
1
2
4
5
3 6 B C D E F ------> ada sebanyak π Γ π! = ππ
1
2
4
5
A
B
D
C
P
4L
4L
X Y
D
C
A
B
P
4L
4L
X Y
πΌ
π½ πΌ
π½
πΌ
π½
π½
πΌ
Bilangan ke-2017 adalah 3671245
Bilangan ke-2018 adalah 3671254
Total 2016 bilangan
Halaman 10 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
15. Misalkan π = {π₯ β β | 0 β€ π₯ β€ 1}. Banyaknya pasangan bilangan asli (π, π) sehingga tepat ada 2018
anggota π yang dapat dinyatakan dalam bentuk π₯π+π¦π untuk suatu bilangan bulat π₯ dan π¦ adalah...
Jawaban : 3
Perhatikan bahwa :
π β€π
π+π
π=ππ + ππ
ππβ€ π βΊ π β€ ππ + ππ β€ ππ
Pernyataan pada soal ekivalen dengan mencari banyaknya bilangan bulat (π, π) sehingga ada tepat
2018 solusi π yang memenuhi ππ + ππ = π, dengan π β€ π β€ ππ.
Untuk π = π, maka pasti ada bilangan bulat π = βπ dan π = βπ sehingga memenuhi persamaan
ππ + ππ = π. Jadi, 0 dapat dinyatakan dalam bentk ππ + ππ.
Untuk π β€ π β€ ππ. Berdasarkan Bezuot identitiy solusi π terkecil dari persamaan ππ + ππ = π
adalah FPB (π, π). Jadi semua kelipatan FPB (π, π) dapat dinyatakan dalam bentuk ππ + ππ.
Untuk π β€ π β€ ππ, banyaknya solusi π yang memenuhi adalah ππ
ππ·π©(π,π).
Ada tepat 2018 solusi π yang memenuhi yang memenuhi ππ + ππ = π, dengan π β€ π β€ ππ, maka
ππ
ππ·π©(π, π)+ π = ππππ βΊ π²π·π²(π, π) + π = ππππ βΊ π²π·π²(π, π) = ππππ
Diperoleh (π, π) = (ππππ, ππππ), (π, ππππ). Jadi, ada 3 pasangan bilangan asli (π, π) yang memenuhi.
16. Diberikan segitiga π΄π΅πΆ dan lingkaran Ξ yang berdiameter AB. Lingkaran Ξ memotong sisi π΄πΆ dan π΅πΆ
berturut-turut di π· dan πΈ. Jika π΄π΅ = 30, π΄π· =1
3π΄πΆ, dan π΅πΈ =
1
4π΅πΆ, maka luas segitiga π΄π΅πΆ adalah....
Jawaban : 540
Perhatikan gambar berikut !
C
A
E
D
B
π
3π
π
2π
πΌ
πΌ
π½
π½
30
Halaman 11 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
ABED segiempat tali busur, akibatnya β π¨π©πͺ = β π¬π«πͺ dan β π©π¨πͺ = β π«π¬πͺ.
βπ¨π©πͺ ~ βπ¬π«πͺ β ππ
ππ=ππ
ππ β ππ = πππ
Pada βπ¨π©π« β π©π«π = πππ βππ = πππ β πππ.
Pada βπͺπ©π« β π©π«π = ππππ β πππ = ππππ β πππ = πππ.
πππ β πππ = πππ β ππ = ππ, π = πβππ , dan π©π« = πβππ
[π¨π©πͺ] =π
π(π¨πͺ)(π©π«) =
π
π(πβππ)(πβππ) = πππ.
17. Diberikan bilangan real x dan y yang memenuhi 12<π₯π¦< 2. Nilai minimum
π₯2π¦βπ₯
+2π¦2π₯βπ¦
adalah...
Jawaban : π +πβπ
π
Misalkan π
π= π maka
π
π< π < π.
π
ππ β π+
ππ
ππ β π=
ππ
π βππ
+π
π(ππ) β π
=π
π β π+
π
ππ β π= βπ +
π
π β π+
π
ππ β π= π(π)
πβ²(π) =π
(π β π)πβ
π
(ππ β π)π= π β ππ β π = Β±βπ(π β π)
Untuk ππ β π = βπ(π β π) maka π =πβπ+π
π+βπ=πβπβπ
π sehingga
π(π) = βπ +πβπ+π
ππβπ= βπ +
π(βπ+π)
π(βπβπ)= βπ +
π+πβπ
π= π +
πβπ
π.
Selanjutnya dicek dengan turunan kedua.
πβ²β²(π) =π
(πβπ)π+
ππ
(ππβπ)π karena π β (
πβπβπ
π) > π maka πβ²β² (
πβπβπ
π) > π (minimum)
Untuk ππ β π = ββπ(π β π) maka =βπβπ+π
πββπ=βπβπβπ
π (tidak memenuhi domain)
Jadi nilai minimumnya adalah π +πβπ
π.
18. Diberikan sembilan titik pada bidang yang membentuk segitiga sama sisi seperti pada gambar.
Pada tiap sisi, dua titik yang bukan titik sudut segitiga membagi sisi menjadi tiga bagian sama panjang.
Kesembilan titik ini akan diwarnai masing-masing dengan warna merah atau biru. Peluang bahwa dari
Halaman 12 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan membentuk segitiga siku-siku
adalah....
Jawaban : 1
Kasus 1 : Jika ada dua titik yang berhadapan dan terletak pada lingkaran memiliki warna yang sama.
Dalam hal ini ada 3 pasang titik, yaitu (B, E), (A, D), dan (C, F). Jelas bahwa ABCDEF membentuk
segienam beraturan sehingga BE, AD, dan CF merupakan diameter lingkaran.
Misalkan B dan E keduanya berwarna merah. Oleh karena BE diameter, maka apabila salah satu dari
4 titik (A, C, D, F), misalkan titik A berwarna merah dan titik A dihubugkan ke B dan E maka terbentuk
segitiga siku-siku ABE yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.
Jika titik A, C, D, F semuanya berwarna biru maka dapat dibentuk segitiga siku-siku ADC sebab AD
diameter.
Kasus 2 : Jika dua titik yang berhadapan dan terletak pada lingkaran memiliki warna yang berbeda.
A berbeda warna dengan D, B berbeda warna dengan E, dan C berbeda warna dengan F.
Sub kasus 2a :
Jika A, B, C warnanya sama, misalkan biru maka D, E, F warnanya sama, yaitu merah.
Jelas bahwa CA (biru) tegak lurus GA sehingga jika G diwarnai biru akan terbentuk segitiga
siku-siku CAG yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.
Jelas bahwa DF (merah) tegak lurus GA sehingga jika G diwarnai merah maka akan terbentuk
segitiga siku-siku DFG yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.
Kasus ini ekivalen 2 titik yang berurutan warnanya sama dan titik sebelahnya berbeda warna
Sub kasus 2b :
Jika A, C warnanya sama dan B, A berbeda warna, misalkan A, C biru dan B merah maka D,
F merah dan E biru,
Jelas bahwa AE (biru) tegak lurus GI sehingga jika I diwarnai biru maka akan terbentuk segitiga
siku-siku AEI yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.
Jelas bahwa BD (merah) tegak lurus GI sehingga jika I diwarnai merah maka akan terbentuk
segitiga siku-siku BDI yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.
A
F
D
E
C B
G
I H
Halaman 13 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
Bagaimanapun pengaturan warnanya selalu terdapat segitiga siku-siku yang ketiga titik sudutnya
memiliki warna yang sama.
Jadi, Peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan
membentuk segitiga siku-siku adalah 1.
19. Bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk π4 + π4 + 13 untuk suatu bilangan-
bilangan prima a dan b adalah : : :
Jawaban : 719
Setiap bilangan prima lebih dari 3 dapat dinyatakan dalam bentuk ππ Β± π. Akibatnya pangkat empat
dari suatu bilangan prima tersebut selalu bersisa 1 jika dibagi 3.
Jika π > π dan π > π maka ππ + ππ + ππ β‘ π + π + ππ = ππ β‘ π (π¦π¨π π).
Karena ππ + ππ + ππ kelipatan 3, maka ππ + ππ + ππ pasti bukan bilangan prima.
Jadi, haruslah π β€ π, π > π atau π, π β€ π.
Agar ππ + ππ + ππ bilangan prima maka ππ + ππ harus genap.
Untuk π, π β€ π, karena ππ + ππ harus genap maka pasangan (π, π) yang memenuhi adalah (π, π)
dan (π, π).
Untuk π = π = π, maka ππ + ππ + ππ = ππ (bukan prima)
Untuk π = π = π, maka ππ + ππ + ππ = πππ (bukan prima)
Untuk π β€ π, π > π, karena ππ + ππ harus genap maka π = π.
Untuk π = π dan π = π, maka ππ + ππ + ππ = πππ (prima)
Untuk π = π dan π > π maka angka satuan ππ dan ππ adalah 1, sehingga
ππ + ππ + ππ β‘ π + π + ππ = ππ β‘ π (π¦π¨π π).
Karena ππ + ππ + ππ kelipatan 5, maka ππ + ππ + ππ pasti bukan bilangan prima.
Jadi, nilai bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk ππ + ππ + ππ untk a dan b
bilangan prima adalah 719.
Halaman 14 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
20. Pada segitiga ABC, panjang sisi BC adalah 1 satuan. Ada tepat satu titik D pada sisi BC yang memenuhi
|π·π΄|2 = |π·π΅||π·πΆ|. Jika π menyatakan keliling ABC, jumlah semua π yang mungkin adalah...
Jawab : π + βπ
Perhatikan gambar berikut !
AD diperpanjang sampai titik E sehingga DA = DE.
π«π¨π = π«π© Γ π«πͺ βΊ π«π¨
π«π©=π«πͺ
π«π¨ βΊ
π«π¨
π«π©=π«πͺ
π«π¬
Karena β π¬π«πͺ = β π¨π«π© dan π«π¨
π«π©=π«πͺ
π«π¬ maka βπ«π¨π© ~ βπ«πͺπ¬, sehingga
β π«π¨π© = β π«πͺπ¬ dan β π«π¨π© = β π«πͺπ¬
Akibatnya, ABEC segiempat tali busur.
Jika BC bukan diameter lingkaran L1 dan titik pusat lingkaran berada di dalam segitiga ABC
maka ada 2 kemungkinan titik D yang memenuhi.
Jika dibuat lingkaran kecil L2 dengan diameter AO, maka lingkaran tersebut akan memotong
BC di dua titik yang berbeda dan dua titik potong tersebut berada di dalam lingkaran L1.
Dua titik potong itulah yang merupakan kemungkinan posisi titik D yang memenuhi soal
(seperti pada gambar di atas). Jadi, ada lebih dari satu titik D yang mungkin.
A
E
D C B
β
A
B C D
E
D
E
O
L1
L2
Halaman 15 dari 15
MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)
083831611481
1
2
Jika BC bukan diameter lingkaran dan titik pusat lingkaran L1 berada di luar segitiga ABC maka
Tidak ada titik D yang memenuhi sebab AD selalu lebih besar dari DE.
Jadi, BC pasti merupakan diameter lingkaran.
Jika BC diameter lingkaran dan AB β AC maka ada 2 kemungkinan titik D yang memenuhi,
yaitu AD tegak lurus BC atau titik D merupakan pusat lingkaran (seperti pada gambar diatas).
Jika BC diameter lingkaran dan AB = AC maka ada tepat satu titik D pada BC yang memenuhi,
yaitu titik D tepat di pusat lingkaran.
Karena AD dan BC diameter lingkaran maka β π« = ππΒ° dan BD = DC = AD = π
ππ©πͺ =
π
π.
π¨π© = π¨πͺ = β(π
π)π
+ (π
π)π
=π
πβπ
Keliling segitiga ABC = k = π +π
πβπ +
π
πβπ = π + βπ.
NB : Jika ada saran dan kritik atau ada yang kurang jelas, mohon agar disampaikan via wa
083831611481, maklum yang nyusun pembahasan ini masih amatiran...
C B D
E
A
C B
E
β
E
D
1
2
1
2
A
L1 L2
L1
L2