95329187 Materi Statistika Matematika

MODUL STATISTIKA MATEMATIKA I(MA493530)

Oleh :I Wayan Sumarjaya, S.Si.

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA2010

KATA PENGANTAR

Modul singkat ini membahas tentang perkuliahan Statistika Matematika I (MA493530) yangmembahas tentang peubah acak dan distribusinya, fungsi peubah acak, sifat peubah acak, limitdistribusi, dan statistik dan distribusi pengambilan sampel. Mata kuliah ini merupakan pen-dalaman terhadap mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang plus tambahan-tambahan tentang fungsipembangkit momen dan distribusi pengambilan sampel.

Akhir kata semoga modul singkat ini dapat bermanfaat. Segala kritik dan saran guna per-baikan modul ini harap dikirim via email ke [email protected] atau [email protected].

Bukit Jimbaran, Februari 2009

Penulis

i

DAFTAR ISI

Kata Pengantar i

DAFTAR ISI ii

DAFTAR GAMBAR iv

DAFTAR TABEL v

BAB 1. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA 11.1 Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Peubah Acak Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Peubah Acak Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Beberapa Sifat Nilai Harapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Batas-batas Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 42.1 Distribusi-distribusi Diskrit Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Distribusi Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Distribusi Hipergeometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Distribusi Geometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.5 Distribusi Binomial Negatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.6 Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.7 Distribusi Seragam Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Distribusi-distribusi Kontinu Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Distribusi Seragam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Distribusi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3 Distribusi Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Distribusi Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5 Distribusi Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.6 Fungsi pembangkit momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Latihan Soal Teoretis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 233.1 Distribusi Bersama dan Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Distribusi Diskrit Bersama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Distribusi Hypergeometrik yang Diperluas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 Distribusi Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.4 Distribusi Kontinu Bersama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Peubah Acak Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

ii

DAFTAR ISI iii

3.3.1 Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK 334.1 Sifat-sifat Nilai Harapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Kovarians dan Korelasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Harapan Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1 Distribusi Normal Bivariat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Fungsi Pembangkit Momen Bersama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Latihan Soal Teoretis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 455.1 Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Metode Transformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.1 Transformasi Satu-satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.2 Transformasi yang Tidak Satu-satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.3 Transformasi Bersama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Jumlah Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.1 Formula Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.2 Metode Fungsi Pembangkit Momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4 Statistik Terurut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4.1 Penarikan Sampel Tersensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4.2 Pengambilan Sampel Tersensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 706.1 Barisan Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2 Teorema Limit Pusat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3 Pendekatan Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4 Distribusi Normal Asimtotik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.5 Sifat-sifat Konvergensi Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.6 Teorema-teorema Limit Tambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.7 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 787.1 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2 Distribusi-distribusi Pengambilan Sampel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.2.1 Kombinasi Linear Peubah-peubah Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.2 Distribusi Khi Kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.3 Distribusi Student t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2.4 Distribusi Snedecor F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2.5 Distribusi Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3 Pendekatan-pendekatan Sampel Besar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.4 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

DAFTAR PUSTAKA 87

DAFTAR GAMBAR

iv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Nilai fungsi densitas bersma dua peubah acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

v

BAB 1

PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA

Kompetensi DasarMenggunakan konsep-konsep ilmu peluang.

Indikator PencapaianMenggunakan konsep-konsep ilmu peluang.

Materi Pokok

1.1 Peubah Acak

1.1.1 Peubah Acak Diskrit

1.1.2 Peubah Acak Kontinu

1.1.3 Beberapa Sifat Nilai Harapan

1.1.4 Batas-batas Peluang

1.2 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

Bab ini meninjau kembali konsep tentang peluang dan distribusinya seperti yang telah dipelajaripada mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang.

1.1 Peubah Acak

Definisi 1.1. Suatu peubah acak, katakanlah X, adalah suatu fungsi yang didefinisikan padaruang sampel Ω, yang mengasosikan suatu bilangan real, X(ω) = x, dengan masing-masing hasilyang mungkin ω di Ω.

1.1.1 Peubah Acak Diskrit

Definisi 1.2. Jika himpunan semua hasil yang mungkin dari peubah acak X adalah himpunanterhitung x1, x2, . . . , xn atau x1, x2, . . . ,, maka X disebut peubah acak diskrit.

Definisi 1.3. FungsifX(x) = P (X = x), x = x1, x2, . . . (1.1)

yang menugaskan peluang untuk masing-masing nilai yang mungkin x disebut fungsi densitaspeluang diskrit.

1

BAB 1. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA 2

Teorema 1.1. Suatu fungsi fX(x) adalah fungsi densitas peluang diskrit jika dan hanya jikauntuk paling banyak himpunan tak berhingga terhitung (countably infinite) x1, x2, . . . memenuhikedua sifat berikut:

1. untuk semua xi, fungsi fX(xi) ≥ 0,

2. untuk semua xi,∑fX(xi) = 1.

Definisi 1.4. Fungsi distribusi kumulatif peubah acak X didefinisikan untuk semua bilanganreal x sebagai

FX(x) = P (X ≤ x). (1.2)

Teorema 1.2. Suatu fungsi FX(x) adalah fungsi distribusi kumulatif untuk beberapa peubahacak X jika dan hanya jika memenuhi sifat:

(a). limx→−∞ FX(x) = 0,

(b). limx→∞ FX(x) = 1,

(c). limh→0+ FX(x+ h) = FX(x),

(d). jika a < b maka FX(a) ≤ FX(b).

Definisi 1.5. Jika X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluang fX(x), makanilai harapan X didefinisikan sebagai

E(X) =∑x

xfX(x). (1.3)

1.1.2 Peubah Acak Kontinu

Definisi 1.6. Suatu fungsi fX(x) dikatakan fungsi densitas peluang untuk beberapa peubahacak kontinu X jika dan hanya jika ia memenuhi sifat

fX(x) ≥ 0 (1.4)

untuk semua x, dan ∫ ∞−∞

fX(x) dx = 1. (1.5)

Definisi 1.7. Fungsi distribui kumulatif peubah acak kontinu X dinyatakan sebagai

FX(x) =

∫ x

−∞fX(x) dx. (1.6)

Definisi 1.8. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang fX(x), makanilai harapan X didefinisikan sebagai

E(X) =

∫ ∞−∞

xfX(x) dx. (1.7)

1.1.3 Beberapa Sifat Nilai Harapan

Definisi 1.9. Momen ke-k di sekitar titik asal (moment about the origin) peubah acak X adalah

µ′k = E(Xk), (1.8)

dan momen ke-k di sekitar rata-rata (moment about the mean) adalah

µk = E[X − E(X)]k = E(X − µ)k. (1.9)

Definisi 1.10. Variansi peubah acak X didefinisikan sebagai

var(X) = E[(X − µ)2] (1.10)

BAB 1. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA 3

1.1.4 Batas-batas Peluang

Teorema 1.3. Jika X adalah suatu peubah acak dan u(x) adalah fungsi bernilai non-negatif,maka untuk sembarang konstanta positif c > 0,

P (u(X) ≥ c) ≤ E(u(X))

c. (1.11)

Teorema 1.4 (Ketidaksamaan Chebychev). Jika X adalah suatu peubah acak dengan rata-rataµ dan variansi σ2, maka untuk sembarang k > 0,

P (|X − µ| ≥ kσ) ≤ 1

k2. (1.12)

1.2 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 1.11. Misal X adalah peubah acak, maka nilai harapan

MX(t) = E(etX) (1.13)

disebut fungsi pembangkit momen dari X jika nilai harapan ini ada untuk semua nilai t dalambeberapa interval dengan bentuk −h < t < h untuk beberapa h > 0.

Teorema 1.5. Jika fungsi pembangkit momen peubah acak X ada, maka

E(Xr) = M rX(0), untuk semua r = 1, 2, . . . (1.14)

dan

MX(t) = 1 +∞∑r=1

E(Xr)tr

r!. (1.15)

BAB 2

DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS

Kompetensi DasarMembedakan peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, dan distribusi keluarga eksponen-sial.

Indikator PencapaianMampu memisahkan peubah acak diskrit, kontinu, dan distribusi keluarga eksponensial.

Materi Pokok

2.1 Distribusi-distribusi Diskrit Khusus

2.2 Distribusi-distribusi Kontinu Khusus

2.3 Latihan Soal

2.4 Latihan Soal Teoretis

Bab ini membahas beberapa distribusi khusus, baik diskrit maupun kontinu, yang telah dipela-jari dalam mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang.

2.1 Distribusi-distribusi Diskrit Khusus

2.1.1 Distribusi Bernoulli

Dalam suatu percobaan tunggal terdapat dua kejadian yang menjadi daya tarik, katakanlahK and komplemennya K ′. Kejadian K dan K ′ menyatakan kejadian munculnya”muka” atau”belakang” pada pelemparan satu mata uang atau ”rusak” atau ”bagus” pada barang yang dipro-duksi atau ”sukses” atau ”gagal” pada kejadian lainnya. Misal peluang K terjadi dengan peluangP (K) = p dan K ′ terjadi dengan peluang P (K ′) = q = 1− p.

Suatu peubah acak, X, yang menganggap hanya nilai 0 atau 1 disebut peubah Bernoulli, danpercobaa dengan dua hasil yang mungkin disebut percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Jikasuatu percobaan menghasilkan hanya ”sukses” (K) dan ”gagal” (K ′), maka peubah Bernoulliyang bersesuaian adalah

X(k) =

1, jika k ∈ K;

0, jika k ∈ K ′.(2.1)

Fungsi densitas (massa) peluang X diberikan oleh fX(0) = q dan fX(1) = p. Distribusi yangbersesuaian, disebut distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution), dan fungsi densitasnya dapat

4

BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 5

dinyatakan sebagaifX(x) = pxq1−x, x = 0, 1. (2.2)

2.1.2 Distribusi Binomial

Apabila percobaan Bernoulli dilakukan secara bebas sebanyak n kali dengan peluang sukses ppada masing-masing percobaan, dan peubah acak X menyatakan banyaknya sukses. Fungsidensitas peluang diskrit X diberikan oleh

fX(x;n, p) =

(n

x

)pxqn−x, x = 0, 1, . . . , n; 0 < p < 1; q = 1− p. (2.3)

Peubah acak X berdistribusi binomial dengan parameter n dan p dinotasikan sebagai X ∼BIN(n, p). Distribusi Bernoulli yang merupakan kejadian khusus dari distribusi binomial dino-tasikan sebagai X ∼ BIN(1, p).

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Binomial

Beberapa hasil penting:

1. Nilai harapan: E(X) = np;

2. Variansi: var(X) = npq;

3. Fungsi pembangkit momen : MX(t) = (p et +q)n, −∞ < t <∞.

2.1.3 Distribusi Hipergeometrik

Misal suatu populasi terdiri dari beberapa jumlah item tertentu, katakanlah N , dan terdapatM item tipe 1 dan sisanya N −M item bertipe 2. Misal n item diambil secara acak tanpapengembalian, dan misal X menyatakan banyaknya item tipe 1 yang diambil. Fungsi densitaspeluang diskrit X diberikan oleh

fX(x;n,M,N) =

(M

x

)(N −Mn− x

)(N

n

) ; x = 0, 1, . . . , n; n = 1, . . . , N ; M = 0, 1, . . . , N. (2.4)

Bentuk Persamaan (2.4) merupakan fungsi densitas peluang dari distribusi hipergeometrik, dino-tasikan X ∼ HYP(n,M,N).

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Hipergeometrik


1. Nilai harapan:

E(X) =nM

N; (2.5)

2. Variansi:var(X) = n

M

N

(1− M

N

)(N − nN − 1

); (2.6)

3. Fungsi pembangkit momen : MX(t) = (p et +q)n, −∞ < t <∞.


2.1.4 Distribusi Geometrik

Misal kita tertarik untuk mengetahui banyaknya percobaan yang diperlukan untuk memperolehsukses pertama dan notasikan ini dengan X, maka fungsi densitas peluang diskritnya dinyatakanoleh

fX(x; p) = pqx−1, x = 1, 2, 3, . . . ; 0 < p < 1; q = 1− p. (2.7)

Bentuk Persamaan (2.7) merupakan fungsi densitas peluang dari distribusi geometrik, dino-tasikan X ∼ GEO(p).

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Geometrik


1. Nilai harapan: E(X) = 1/p.

2. Variansi: var(X) = q/p2.

3. Fungsi pembangkit momen : MX(t) = p et /(1− q et).

2.1.5 Distribusi Binomial Negatif

Dalam percobaan Bernouli bebas yang diulang, misal X menyatakan banyaknya percobaanyang diperlukan untuk memperoleh r sukses. Distribusi peubah acak X merupakan distribusibinomial negatif (negative binomial) yang diberikan oleh

fX(x; r, p) =

(x− 1

r − 1

)prqx−r; (2.8)

dengan x = r, r+ 1, . . . , ; 0 < p < 1; q = 1− p. Bentuk Persamaan (2.8) dapat pula dinotasikanX ∼ NB(r, p).

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Binomial Negatif


1. Nilai harapan: E(X) = r/p.

2. Variansi: var(X) = rq/p2.

3. Fungsi pembangkit momen :

MX(t) =

(p et

1− q et

)r. (2.9)

2.1.6 Distribusi Poisson

Suatu peubah acak diskrit X dikatakan memiliki distribui Poisson dengan parameter λ > 0,dinotasikan X ∼ POI(λ) apabila ia memiliki fungsi densitas (massa) peluang dengan bentuk

fX(x;λ) =e−λ λx

x!; x = 1, 2, . . . . (2.10)


Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson


1. Nilai harapan: E(X) = λ.

2. Variansi: var(X) = λ.


MX(t) = exp(λ(exp(t)− 1)). (2.11)

Teorema 2.1. Jika X ∼ BIN(n, p), maka untuk setiap nilai x = 0, 1, 2, . . . , dan sebagaimanap→ 0 dengan np = λ konstan, maka

limn→∞

(n

x

)px(1− p)n−x =

e−λ λx

x!. (2.12)

2.1.7 Distribusi Seragam Diskrit

Suatu peubah acak diskrit X dikatakan memiliki distribusi seragam diskrit, dinotasikan X ∼DU(N), jika untuk setiap bilangan bulat 1, 2, . . . , N ia memiliki fungsi densitas peluang denganbentuk

fX(x) =1

N, 1, 2, . . . , N. (2.13)

Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson


1. Nilai harapan: E(X) = (N + 1)/2.

2. Variansi: var(X) = (N2 − 1)/12.


MX(t) =1

N

et− e(N+1)t

1− et. (2.14)

2.2 Distribusi-distribusi Kontinu Khusus

Pada sub bab ini akan dibicarakan beberapa distribusi kontinu khusus.

2.2.1 Distribusi Seragam

Suatu peubah acak X dikatakan memiliki distribusi seragam pada selang (a, b) , dinotasikanX ∼ UNIF(a, b), dengan fungsi densitas peluang

fX(x; a, b) =

1

b− a, untuk a < x < b;

0, untuk x lainnya.(2.15)

Fungsi distribusi kumulatif X ∼ UNIF(a, b) memiliki bentuk

FX;a,b =

0, jika x ≤ a;x− ab− a

, jika a < x < b;

1, jika b ≤ x.

(2.16)


Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Seragam Kontinu


1. Nilai harapan: E(X) = (a+ b)/2.

2. Variansi: var(X) = (b− a)2/12.


MX(t) =ebt− eat

(b− a)t. (2.17)

2.2.2 Distribusi Gamma

Definisi 2.1 (Bain and Engelhardt (1992)). Fungsi gamma, dinotasikan Γ(κ) untuk semuaκ > 0, didefinisikan sebagai

Γ(κ) =

∫ ∞0

tκ−1 e−t dt. (2.18)

Jika κ = 1 maka

Γ(1) =

∫ ∞0

e−t dt

= − e−t∣∣∣∣∞0

= e−∞−(− e0)

= 0 + 1

= 1. (2.19)

Fungsi gamma dan sifat-sifatnya dapat dilihat pada teorema berikut.

Teorema 2.2. Fungsi gamma memiliki sifat-sifat berikut:

1. Γ(κ) = (κ− 1)Γ(κ− 1), untuk k > 1;

2. Γ(n) = (n− 1)!, untuk n = 1, 2, . . . ;

3. Γ(1/2) =√π.

Bukti: Akan ditunjukkan sifat 1 dengan integral bagian. Misal u = tκ−1, du = (κ − 1)tκ−2,dv = exp(−t) dan v = − exp(−t). Sehingga

Γ(κ) = (κ− 1)Γ(κ− 1), untuk k > 1 (2.20)

menjadi

Γ(κ) = tκ−1(− e−t)−∫ ∞

0(− e−t)(κ− 1)tκ−2 dt

= −tκ−1 e−t∣∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

e−t(κ− 1)tκ−2 dt

= 0 + (κ− 1)

∫ ∞0

tκ−2 e−t dt

= (κ− 1)Γ(κ− 1), κ > 1.


Selanjutnya akan ditunjukkan sifat 2. Bila n adalah bilangan bulat maka

Γ(n) = (n− 1)Γ(n− 1)

= (n− 1)(n− 2)Γ(n− 2)

= · · ·= (n− 1)(n− 2) · · · 3 · 2 · 1Γ(1)

= (n− 1)(n− 2) · · · 3 · 2 · 1= n!.

Kemudian akan ditunjukkan sifat 3.

Γ(1/2) =

∫ ∞0

t1/2−1 e−t dt

=

∫ ∞0

t−1/2 e−t dt. (2.21)

(2.22)

Misal x = t1/2, dx = (1/2)t−1/2 dt atau dt = 2t1/2 dx = 2x dx. Dengan substitusi ini, makaPersamaan (2.21) menjadi

Γ(1/2) =

∫ ∞0

x−1 e−x2

2x dx

=

∫ ∞0

2 e−x2

dx. (2.23)

(2.24)

Menggandakan Persamaan (2.23) diperoleh

[Γ(1/2)]2 =

(∫ ∞0

2 e−x2

dx

)(∫ ∞0

2 e−y2

dy

)=

∫ ∞0

∫ ∞0

4 e−(x2+y2) dx dy (2.25)

Untuk menyelesaikan integral pada Persamaan (2.25), lakukan transformasi koordinat kutub.Misal x = r cos θ dan y = r sin θ; sehingga x2+y2 = r2 cos2 θ+r2 sin2 θ = r2(cos2 θ+sin2 θ) = r2.Kemudian turunan parsial masing-masing peubah terhadap r dan θ adalah sebagai berikut

∂x

∂r= cos θ,

∂x

∂θ= −r sin θ,

∂y

∂r= sin θ,

∂y

∂θ= r cos θ.

Dengan demikian diperoleh Jacobian,

J =

∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ

sin θ r cos θ

∣∣∣∣∣∣= r cos2 +r sin2 θ

= r.

Sehingga integral Persamaan (2.25) menjadi

[Γ(1/2)]2 =

∫ π/2

0

∫ ∞0

4 e−r2rdr dθ.


Untuk menyelesaikan integral ini, misalkan u = r2, du = 2r dr. Dengan demikian

[Γ(1/2)]2 = 2

∫ π/2

0

∫ ∞0

e−u dudθ

= 2

∫ π/2

0

(− e−u

∣∣∣∣∞0

)dθ

= 2

∫ π/2

0(− e−∞+ e0) dθ

= 2

∫ π/2

0dθ

= 2θ

∣∣∣∣π/20

= π − 0

= π.

Jadi diperoleh Γ(1/2) =√π.

Suatu peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter θ > 0 danκ > 0 jika memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk

fX(x; θ, κ) =

1

θκΓ(κ)xκ−1 e−x/θ, untuk 0 < x <∞;

0, untuk x lainnya;(2.26)

dan dinotasikan X ∼ GAM(θ, κ). Bentuk (2.26) juga dapat direparameterisasi sebagai

fX(x; θ, κ) =

θκ

Γ(κ)xκ−1 e−xθ, untuk 0 < x <∞;

0, untuk x lainnya;(2.27)

Lihat Rice (2007), halaman 53 untuk bentuk fungsi densitas peluang persamaan(2.27).Diskusi: Tunjukkan bahwa persamaan (2.27) adalah fungsi densitas peluang.

Parameter κ disebut parameter bentuk (shape parameter) karena menentukan bentuk dasargrafik fungsi densitas peluang. Secara umum ada tiga bentuk dasar bergantung pada apakahκ < 1, κ = 1, atau κ > 1. Sementara itu, parameter θ disebut parameter skala (scale parameter).Mengubah nilai θ bersesuaian dengan mengubah-ubah unit-unit pengukuran (katakanlah daridetik ke menit).

Untuk memeriksa apakah integral persamaan (2.26) adalah fungsi densias peluang gunakanteknik substitusi. Dengan kata lain, untuk memeriksa∫ ∞

0

1

θκΓ(κ)xκ−1 e−x/θ dx = 1 (2.28)

lakukan substitusi dengan t = x/θ, dt = (1/θ) dx, dengan batas-batas pengintegralan tidakberubah. Sehingga ∫ ∞

0

1

θκΓ(κ)xκ−1 e−x/θ dx =

∫ ∞0

θκ

Γ(κ)(θt)κ−1 e−t dt

=

∫ ∞0

1

θΓ(κ)θκ−1tκ−1 e−t θ dt

=θκ−1Γ(κ)θ

θκΓ(κ)

= 1. (2.29)


Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif X ∼ GAM(θ, κ) adalah

FX(x; θ, κ) =

∫ x

0

1

θκΓ(κ)xκ−1 e−x/θ dt. (2.30)

Integral bentuk (2.30) secara umum tidak dapat diselesaikan secara eksplisit, namun bila κadalah bilangan bulat positif, katakanlah κ = n, maka integralnya dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan.

Teorema 2.3. JikaX ∼ GAM(θ, n), dengan n adalah bilang bulat positif maka fungsi distribusikumulatifnya dapat ditulis

FX(x; θ, n) = 1−n−1∑i=0

(x/θ)i

i!e−x/2 . (2.31)

Bukti: Stone (1996) Akan ditunjukkan Persamaan (2.31) dengan induksi. Untuk n = 1:

FX(x; θ, 1) = 1− e−x/θ0∑i=0

(x/θ)0

0!

= 1− e−x/θ . (2.32)

[Catatan: jika jika n = 1 maka X ∼ EXP(θ), sehingga FX(x) = 1− exp(−x/θ)].Selanjuntya akan ditunjukkan benar untuk n+ 1:

FX(x; θ, n+ 1) =

∫ x

0

tn+1−1

θn+1Γ(n+ 1)e−t/θ dt

=

∫ x

0

tn

θn+1(n+ 1− 1)!e−t/θ dt

=

∫ x

0

tn

θn+1n!e−t/θ dt

=

∫ x

0

tn

θnn!d(− e−t/θ

)= − tn

θnn!e−t/θ

∣∣∣∣t=xt=0

+

∫ x

0

ntn−1

θnn!e−t/θ dt

= −xn e−x/θ

θnn!− 0 +

∫ x

0

ntn−1

θnn!e−t/θ dt

=

∫ x

0

ntn−1

θnn!e−t/θ dt− xn e−x/θ

θnn!. (2.33)

Dengan hipotesis induksi

FX(x; θ, n) = 1−n−1∑i=0

(x/θ)i

i!e−x/2−x

n e−x/θ

θnn!

= 1−n∑i=0

(x/θ)i

i!e−x/2 . (2.34)


Rata-rata dan Varians

Nilai tengah atau rata-rata dari X ∼ GAM(θ, κ) diperoleh sebagai berikut:

E(X) =

∫ ∞0

x1

θκΓ(κ)xκ−1 e−x/θ dx

=1

θκΓ(κ)

∫ ∞0

x(1+κ)−1 e−x/θ dx

=θ1+κΓ(1 + κ)

θκΓ(κ)

∫∞0 x(1+κ)−1

θ1+κΓ(1 + κ)e−x/θ dx

=θ1+κΓ(1 + κ)

θκΓ(κ)

=θκΓ(κ)

Γ(κ)

= θκ. (2.35)

dan

E(X2) =

∫ ∞0

x2 1

θκΓ(κ)xκ−1 e−x/θ dx

=1

θκΓ(κ)

∫ ∞0

x(2+κ)−1 e−x/θ dx

=θ2+κΓ(2 + κ)

θκΓ(κ)

∫∞0 x(2+κ)−1

θ2+κΓ(2 + κ)e−x/θ dx

=θ2+κΓ(2 + κ)

θκΓ(κ)

=θ2(1 + κ)Γ(1 + κ)

Γ(κ)

=θ2(1 + κ)κΓ(κ)

Γ(κ)

= θ2(1 + κ)κ. (2.36)

Dengan demikian

var(X) = E(X2)− [E(X)]2

= θ2(1 + κ)κ− [θκ]2

= θ2(κ2 + κ)− θ2κ2

= θ2κ2 + θ2κ− θ2κ2

= θ2κ. (2.37)

Fungsi pembangkit momen

Fungsi pembangkit momen X ∼ GAM(θ, κ) dapat dihitung sebagai berikut.

MX(t) =

∫ ∞0

etx xκ−1

θκΓ(κ)e−x/θ dx

=

∫ ∞0

xκ−1 e−x(1−tθ)/θ

θκΓ(κ)dx (2.38)


Untuk menyelesaikan integral persamaan (2.38) lakukan substitusi u = x(1 − θt)/θ dengant < 1/θ atau x = θu(1− θt) sehingga dx = (θ/(1− θt)) du. Dengan demikian

MX(t) =

∫ ∞0

θ

θκΓ(κ)(1− θt)

(θu

1− θt

)κ−1

e−u du

=

∫ ∞0

θθκ−1uκ−1

θκΓ(κ)(1− θt)(1− θt)κ−1e−u du

=

∫ ∞0

uκ−1

Γ(κ)(1− θt)κe−u du

=1

(1− θt)κ

∫ ∞0

uκ−1

Γ(κ)e−u du

=1

(1− θt)κΓ(κ)

Γ(κ)

=1

(1− θt)κ

= (1− θt)−κ, t < 1/θ. (2.39)

Dengan mengetahui fungsi pembangkit momen, kita juga dapat menghitung momen pertamadan kedua, yakni E(X) dan E(X2). Menurunkan persamaan (2.39) terhadap t diperoleh

M ′X(t) = (−κ)(1− θt)−κ−1(−θ) (2.40)

danM ′′X(t) = (−κ)(−κ− 1)(1− θt)−κ−2(−θ)(−θ). (2.41)

Selanjutnya

E(X) = M ′X(0) = (−κ)(1− θ · 0)−κ−1(−θ)= θκ (2.42)

dan

(2.43)

E(X2) = M ′′X(0) = (−κ)(−κ− 1)(1− θ · 0)−κ−2(−θ)(−θ)= (−κ)(−κ− 1)θ2

= κ(κ+ 1)θ2

= θ2κ(κ+ 1). (2.44)

Dengan menggunakan hasil dari Persamaan (2.42) dan (2.44) maka akan diperoleh variansseperti pada Persamaan (2.37).

Turunan ke-r dapat dihitung sebagai berikut

M(r)X (t) = (κ+ r − 1) · · · (κ+ 1)κθ(1− θt)−κ−r

=Γ(κ+ r)

Γ(κ)θr(1− θt)−κ−r. (2.45)

Momen ke-r dihasilkan dari M (r)X (0), yakni

E(Xr) =Γ(κ+ r)

Γ(κ)θr(1− θ · 0)−κ−r

=Γ(κ+ r)

Γ(κ)θr. (2.46)


Sebagai contoh momen ketiga, yakni

E(X3) =Γ(κ+ 3)θ3

Γ(κ)

=(κ+ 2)(κ+ 1)κΓ(κ)θ3

Γ(κ)

= (κ+ 2)(κ+ 1)κθ2 (2.47)

Diskusi:Bagaimana cara menghitung fungsi gamma?Program Rmemiliki fungsi gamma untuk menghitung fungsi gamma, baik untuk bilangan

bulat maupun pecahan. Perhatikan contoh berikut:

> gamma(4)[1] 6> gamma(5/3)[1] 0.9027453

Distribusi gamma dengan parameter θ = 2 dan κ = 1 disebut distribusi khi kuadrat (chi-square). Distribusi ini banyak berperan dalam teknik pengambilan sampel. Selanjunya apabilaX ∼ GAM(θ, 1) maka X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, dinotasikanX ∼ EXP(θ).

Aplikasi

Menurut Rice (2007), Wackerly et al. (2002), dan Hogg and Craig (1995) distribusi gammacocok digunakan untuk memodelkan peubah acak non negatif. Lebih lanjut Wackerly et al.(2002) menambahkan bahwa distribusi ini cenderung miring (skewed) ke kanan. Distribusigamma biasanya digunakan untuk memodelkan lama waktu antara kerusakan (malfunction)mesin pesawat terbang, memodelkan antrian pada saat pembayaran di kasir supermarket, danlama waktu perawatan (maintenance) mobil. Selanjutnya Rice (2007) mencontohkan pencarianpola dalam penentuan gempa bumi dalam kaitannya dengan waktu, ruang, dan magnitudo.Selain itu Hogg and Craig (1995) menambahkan bahwa distribusi gamma sering digunakansebagai model untuk waktu tunggu (waiting time) dalam reliabilitas.

2.2.3 Distribusi Eksponensial

Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter θ > 0, dinotasikanX ∼ EXP(θ) jika memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk

fX(x; θ) =

1

θe−x/θ, jika 0 < x; 0 < θ;

0, jika x lainnya.(2.48)

Distribusi eksponensial dengan parameter θ, yakni EXP(θ) adalah kejadian khusus daridistribusi gamma dengan parameter κ = 1 , yakni GAM(θ, 1). Dengan demikian sifat-sifatdistribusi gamma berlaku untuk distribusi eksponensial.

Fungsi distribusi kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif X dapat dinyatakan sebagai

FX(x; θ) = 1− e−x/θ, jika 0 < x. (2.49)


Hasil ini diperoleh dari Teorema 2.3 dengan kasus n = 1 atau dengan menghitung langsungintegral persamaan (2.49), yakni

FX(x) =

∫ x

0

1

θe−t/θ dt

=

∫ x

0

1

θθ d

(− e−t/θ

)=

∫ x

0d

(− e−t/θ

)= − e−t/θ

∣∣∣∣x0

= − ex−(− e0)

= 1− e−x/θ . (2.50)

Rata-rata dan varians

Rata-rata dan varians juga merupakan hasil khusus dari distribusi GAM(θ, 1). Lihat Per-samaan (2.35) dan (2.37) untuk rata-rata dan varians distribusi gamma. Dengan memanfaatkankedua hasil ini serta mensubstitusikan κ = 1 maka diperoleh E(X) = θκ = θ · 1 = θ danvar(X) = θ2κ = θ2 · 1 = θ2.

Diskusi: Carilah E(X), E(X2), dan var(X) dengan mengintegralkan secara langsung kemudianbandingkan hasilnya.


Dengan analogi yang sama maka fungsi pembangkit momen untuk distribusi eksponensial adalahfungsi pembangkit momen dari distribusi GAM(θ, 1) sehingga diperoleh

MX(t) = (1− θt)−1. (2.51)

Diskusi: Carilah MX(t) dengan mengintegralkan secara langsung.

2.2.4 Distribusi Normal

Distribusi normal pertama kali dipublikasikan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733 sebagaisuatu pendekatan terhadap distribusi jumlah peubah acak binomial.

Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi normal (atau Gauss) dengan rata-rata µ danvarians σ2, dinotasikan X ∼ N (µ, σ2) jika ia memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk

fX(x;µ, σ) =1√2πσ

e−

(x− µ)2

2σ2 , −∞ < x <∞, −∞ < µ <∞, 0 < σ <∞. (2.52)

Misal didefinisikan

I =

∫ ∞0

fX(x;µ, σ) dx

=

∫ ∞0

1√2πσ

e−[(x−µ)/σ]2/2 dx (2.53)

Untuk memeriksa apakah fungsi integral fungsi densitas peluang ini sama dengan 1, gu-nakan teknik substitusi, misal z = (x − µ)/σ dengan dx = σ dz. Perhatikan bahwa f(z) =


(1/sqrt 2π) exp(−z2) adalah fungsi genap, yakni f(z) = f(−z). Dengan demikian

I =

∫ ∞−∞

f(x;µ, σ) dx

=

∫ ∞−∞

1√2π

e−z2/2 dz

= 2

∫ ∞0

1√2π

e−z2/2 dz. (2.54)

Apabila dimisalkan w = z2/2, maka z =√

2w dan dz = (w−1/2/√

2), sehingga

I =

∫ ∞0

w−1/2√

2√2π

e−w dw

=

∫ ∞0

w−1/2

√π

e−w dw

=Γ(1/2)√

π

=Γ(√π)

Γ(√π)

= 1. (2.55)

Lihat kembali sifat-sifat fungsi gamma untuk memahami hasil integral pada persamaan (2.55).

Fungsi distribusi kumulatif normal standar

Integran yang diperoleh dengan substitusi z = (x−µ)/σ disebut fungsi densitas peluang normalstandar, dinotasikan φ(z), yakni

φ(z) =1√2π

e−z2/2, −∞ < z <∞. (2.56)

Jika peubah acak Z memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk (2.56), maka Z ∼ N (0, 1).Fungsi distribusi kumulatif normal standar diberikan oleh

Φ(z) =

∫ z

−∞φ(t) dt. (2.57)

Berikut ini sifat-sifat geometrik fungsi densitas peluang normal standar.

1. Untuk semua bilangan real z, fungsi φ(z) adalah fungsi genap, yakni φ(z) = φ(−z). De-ngan kata lain distribusi normal standar simetrik pada z = 0.

2. Berdasarkan sifat khusus pada sifat 1, diperoleh

φ′(z) = −zφ(z) (2.58)

dan

φ′′(z) = (z2 − 1)φ(z). (2.59)

3. Sebagai konsekuensi φ(z) memiliki nilai maksimum tunggal (unique maximum) pada z = 0dan titik infleksi pada z = ±1. Perhatikan juga bahwa φ(z)→ 0 dan

φ′(z) =−z√

2π exp(z2/2)→ 0 (2.60)

sebagaimana z → ±∞.



Dengan menggunakan sifat-sifat penting fungsi densitas peluang normal standar dapat dihitungE(Z) dan E(Z2):

E(Z) =

∫ ∞−∞

zφ(z) dz

= −∫ ∞−∞

φ′(z) dz

= −φ(z)

∣∣∣∣∞−∞

= 0, (lihat sifat 3) (2.61)

dan

E(Z2) =

∫ ∞−∞

z2φ(z) dz

=

∫ ∞−∞

[φ′′(z) + φ(z)] dz

= φ′(z)

∣∣∣∣∞−∞

+

∫ ∞−∞

φ(z) dz

= 0 + 1

= 1. (2.62)

Dengan demikian var(Z) = E(Z2)− [E(Z)]2 = 1− 0 = 1. Selanjutnya untuk X ∼ N (µ, σ2)maka E(X) dan E(X2) juga dapat dihitung dengan terlebih dahulu melakukan substitusi z =(x− µ)/σ atau x = σz + µ sehingga dx = σ dz. Kita peroleh

E(X) =

∫ ∞−∞

x√2πσ

exp

[−1

2

(x− µσ

)2]dx

=

∫ ∞−∞

(σz + µ)√2πσ

exp(−z2/2)σ dz

=

∫ ∞−∞

(σz + µ)√2π

exp(−z2/2) dz

=

∫ ∞−∞

(σz + µ)φ(z) dz

=

∫ ∞−∞

σzφ(z) dz + µ

∫ ∞−∞

φ(z) dz

= σ

∫ ∞−∞

zφ(z) dz + µ

∫ ∞−∞

φ(z) dz

= 0 + µ · 1= µ. (2.63)


Selanjutnya

E(X2) =

∫ ∞−∞

x2

√2πσ

exp

[−1

2

(x− µσ

)2]dx

=

∫ ∞−∞

(σz + µ)2

√2πσ

exp(−z2/2)σ dz

=

∫ ∞−∞

(σz + µ)2

√2π

exp(−z2/2) dz

=

∫ ∞−∞

(σz + µ)zφ(z) dz

=

∫ ∞−∞

(σ2z2 + 2σzµ+ µ2)φ(z) dz

=

∫ ∞−∞

σ2z2φ(z) dz +

∫ ∞−∞

2σzµφ(z) dz +

∫ ∞−∞

µ2φ(z) dz

= σ2

∫ ∞−∞

z2φ(z) dz + 2σµ

∫ ∞−∞

zφ(z) dz + µ2

∫ ∞−∞

φ(z) dz

= σ2 · 1 + 0 + µ2 · 1= σ2 + µ2. (2.64)

Dengan demikian diperoleh

var(X) = E(Z2)− [E(Z)]2

= σ2 + µ2 − µ2

= σ2. (2.65)

Teorema 2.4. Jika X ∼ N (µ, σ2), maka

(a). peubah acak Z = (X − µ)/σ ∼ N (0, 1),

(b). fungsi distribusi X

FX(x) = Φ

(x− µσ

). (2.66)

Bukti: Akan dibuktikan sifat (a) menggunakan definisi fungsi distribusi

FZ(z) = P (Z ≤ z)

= P

(X − µσ

≤ z)

= P (X ≤ µ+ σz)

=

∫ µ+zσ

−∞

1√2πσ

exp

[−1

2

(x− µσ

)]dx.

Dengan substitusi w = (x− µ)/σ atau x = µ+ 2σ diperoleh batas-batas untuk x = −∞ makaw = −∞ dan untuk x = µ+ zσ diperoleh w = z. Sehingga

FZ(z) =

∫ z

−∞

1√2πσ

e−z2/2 σ dz

=

∫ z

−∞

1√2π

e−z2/2 dz

=

∫ z

−∞φ(z) dz

= Φ(z).


Dengan menurunkan fZ(z) = F ′Z(z) = (√

2π)−1 e−z2/2. Jadi Z = (X − µ)/σ ∼ N (0, 1).

Selanjutnya untuk sifat (b)

FX(x) = P (X ≤ x)

= P

(X − µσ

≤ x− µσ

)= Φ

(x− µσ

)


Untuk menentukan fungsi pembangkit momen distribusi normal terlebih dahulu diperhatikanfungsi pembangkit momen distribusi normal standar.

MZ(t) =

∫ ∞−∞

1√2π

exp(tz) exp(−z2/2) dz

=

∫ −∞−∞

1√2π

exp[−(z − t)2/2 + t2/2] dz

= exp(t2/2)

∫ ∞−∞

1√2π

exp[−(z − t)2/2] dz

= exp(t2/2) · 1= exp(t2/2). (2.67)

Kita tahu bahwa Z = (X − µ)/σ ∼ N (0, 1) sehingga X = Zσ + µ. Dengan demikian

MX(t) = MσZ+µ(t)

= exp(µt)MZ(σt)

= exp(µt) exp[(σt)2/2]

= exp[µt+ (σ2t2)/2] (2.68)

2.2.5 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull merupakan salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam bidang pengu-jian tahan hidup benda. Distribusi ini diberi nama setelah fisikawan W. Weibull, menyarankanpenggunaannya pada berbagai aplikasi, terutama uji kelelahan dan kekuatan material.

Peubah acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi Weibull dengan parameter θ > 0 danβ > 0 untuk x > 0, dinotasikan WEI(θ, β), bila memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk

fX(x; θ, β) =

β

θβxβ−1 e−(x/θ)β , jika x > 0;


Parameter β disebut parameter bentuk (shape parameter). Seperti halnya pada distribusigamma, maka akan ada tiga bentuk dasar bergantung pada β < 1, β = 1, atau β > 1.

Fungsi distribusi kumulatif


Untuk menghitung E(X) dan E(X2) dapat memanfaatkan sifat-sifat fungsi gamma.


E(X) =

∫ ∞0

β

θβxxβ−1 e−(x/θ)β dx

=β

θβ

∫ ∞0

x(1+β)−1 e−(x/θ)β dx (2.70)

Untuk menyelesaikan Persamaan (2.70) lakukan substitusi (x/θ)β = u, sehingga dx = [(θu1/2−1)/β] du.Dengan demikian

E(X) =β

θβ

∫ ∞0

(θu1/β)1+β−1 e−uθ

βu1/β−1 du

=β

θβ

∫ ∞0

(θu1/β)β e−uθ

βu1/β−1 du

=β

θβ

∫ ∞0

θβu e−uθ

βu1/β−1 du

= θ

∫ ∞0

u(1+1/β)−1 e−u du

= θΓ

(1 +

1

β

). (2.71)

Selanjutnya untuk menghitung E(X2) lakukan substitusi seperti pada waktu menghitung E(X).

E(X2) =

∫ ∞0

β

θβx2xβ−1 e−(x/θ)β dx

=β

θβ

∫ ∞0

x(2+β)−1 e−(x/θ)β dx

=β

θβ

∫ ∞0

(θu1/β)β+1 e−uθ

βu1/β−1 du

=β

θβ

∫ ∞0

(θβ+1u(1+1/β)) e−uθ

βu(1/β−1) du

= θ2

∫ ∞0

u(2/beta+1)−1 e−u du

= θ2Γ

(1 +

2

β

). (2.72)

Berdasarkan Persamaan (2.70) dan (2.72) diperoleh

var(X) = E(X2)− [E(X)]2

= θ2Γ

(1 +

2

β

)−[θΓ

(1 +

1

β

)]2

= θ2

[Γ

(1 +

2

β

)− θΓ2

(1 +

1

β

)]. (2.73)

2.2.6 Fungsi pembangkit momen

Fungsi pembangkit momen distribusi Weibull menghasilkan bentuk yang tidak terlacak (nottractable).

2.3 Latihan Soal

2-1 Waktu tahan hidup (survival time) dalam hari suatu tikus putih yang bergantung padatingkat radiasi sinar X adalah peubah acak X ∼ GAM(5, 4). Hitunglah:


a) P (X ≤ 15);

b) P (15 < X < 20);

c) Nilai harapan tahan hidup, E(X).

[Petunjuk: gunakan teorema tentang sifat fungsi distribusi gamma]

2-2 Waktu (dalam menit) sampai pelanggan ketiga memasuki supermarket adalah peubah acakX ∼ GAM(1, 3). Jika toko buka jam 08.00, hitunglah peluang bahwa:

a) pelanggan ketiga datang antara jam 08.05 dan 08.10;

b) pelanggan ketiga datang setelah jam 08.10.

2-3 Jika X ∼ GAM(1, 2) hitunglah modusnya.

2-4 Misal peubah acak X berdistribusi gamma dengan fungsi densitas peluang

fX(x;β) =

1

β2x e−x/β, untuk 0 < x <∞;

0, untuk x lainnya.

Jika x = 2 adalah modus tunggal (unique mode) dari distribusi, hitunglah parameter β.

2-5 Jika fungsi pembangkit momen peubah acak W adalah

MW (t) = (1− 7t)−20,

carilah fungsi densitas peluangnya, nilai tengah (rata-rata), dan varians W .

2-6 Misal X ∼ N (10, 16). Hitunglah:

a) P (X ≤ 14);

b) P (4 ≤ X ≤ 18);

c) P (2X − 10 ≤ 18);

2-7 Misal suatu LCD proyektor menghasilkan jumlah cahaya (dalam lumens) dan dianggapberdistribusi normal dengan rata-rata µ = 350 dan varians σ2 = 400.

a) Hitunglah P (325 < X < 363).

b) Carilah nilai c sehingga jumlah cahaya yang dihasilkan 90% cahaya LCD melebihi clumens.

2-8 Misal X ∼ N (1, 2).

a) Hitung E(X − 1)4.

b) Hitung E(X4).


2-1* Jika κ > 1, tunjukkan bahwa densitas gamma memiliki nilai maksimum pada (κ− 1)/θ.

2-2* Fungsi gamma adalah fungsi faktorial yang diperumum (generalized factorial function).

a) Tunjukkan bahwa Γ(x+ 1) = xΓ(x).


b) Gunakan fakta bahwa Γ(1/2) =√π untuk menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan

bulat ganjil maka

Γ(n/2) =

√π(n− 1)!

2n−1

(n− 1

2

)!

.

2-3* Tunjukkan dengan teknik pengubahan variabel (change of variable) bahwa

Γ(x) = 2

∫ ∞0

t2x−1 e−t2

dt

=

∫ ∞−∞

ext e− et dt.

BAB 3

PEUBAH ACAK BERGANDA

Kompetensi DasarMembedakan sifat-sifat nilai harapan dan fungsi pembangkit momen.

Indikator PencapaianMampu memisahkan sifat-sifat nilai harapan, harapan bersyarat, dan fungsi pembangkitmomen.

Materi Pokok

3.1 Distribusi Bersama dan Marginal

3.2 Peubah Acak Bebas

3.3 Distribusi Bersyarat

3.4 Latihan Soal

Dalam banyak aplikasi biasanya terdapat lebih dari satu peubah acak yang menjadi objekpenelitian, katakanlah X1, . . . , Xk. Secara matematis akan lebih mudah mengganggap peubah-peubah ini sebagai komponen dari vektor dimensi k, X = X1, . . . , Xk, dan juga nilai-nilaix = (x1, . . . , xk) dalam ruang Euclid berdimensi k. Nilai amatan x dapat merupakan hasil daripengukuran karakteristik-karakteristik sebanyak k, atau hasil dari pengukuran satu karakteristiksebanyak k kali (hasil dari k kali percobaan yang diulang pada satu peubah saja).

3.1 Distribusi Bersama dan Marginal

3.1.1 Distribusi Diskrit Bersama

Definisi 3.1 (Fungsi densitas peluang bersama). Fungsi densitas peluang bersama (joint proba-bility distribution function) dari peubah acak diskrit dimensi k, X = (X1, . . . , Xk), didefinisikansebagai

fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) = P (X1 = x1, X2 = x2, . . . , Xk = xk)

untuk semua nilai yang mungkin X = (x1, . . . , xk) dari X.

Dalam konteks ini, notasi (X1 = x1, X2 = x2, . . . , Xk = xk) menyatakan irisan k kejadian(X1 = x1), (X2 = x2) ∩ · · · ∩ (Xk = xk).

Contoh 3.1. Sebuah kotak berisi 1000 bola, 500 berwarna merah, 400 berwarna putih, dan100 berwarna biru. Jika sepuluh bola dipilih secara acak tanpa pengendalian, maka jumlah

23

BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 24

bola merah, X1, dan jumlah bola putih, X2, dalam sampel adalah peubah acak diskrit yangberdistribusi bersama. Fungsi densitas bersama pasangan (X1, X2) dinyatakan oleh

fX1,X2(x1, x2) =

(500

x1

)(400

x2

)(100

10− x1 − x2

)(

1000

10

)untuk semua 0 ≤ x1, 0 ≤ x2, dan x1 + x2 ≤ 10.

3.1.2 Distribusi Hypergeometrik yang Diperluas

Misal suatu koleksi terdiri dari suatu jumlah item tertentu N , dan terdapat k+ 1 jenis berbeda;M1 jenis 1, M2 jenis 2, dan seterusnya. Pilih n item secara acak tanpa pengembalian, danmisal Xi adalah jumlah item jenis i yang terpilih. Vektor X = (X1, . . . , Xk) berdistribusihipergeometrik diperluas (extended hypergeometric distribution) dengan fungsi densitas peluangdalam bentuk

fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) =

(M1

x1

)(M2

x2

)· · ·(Mk

xk

)(Mk+1

xk+1

)(N

n

)untuk semua 0 ≤ xi ≤ Mi, dengan Mk+1 = N −

∑ki=1Mi dan xk+1 = n −

∑ki=1 xi. Notasi

khusus untuk distribusi ini adalah

X ∼ HYP(n,M1,M2, . . . ,Mk, N).

Apabila pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, maka vektor X akan berdis-tribusi multinomial.

3.1.3 Distribusi Multinomial

Misal terdapat k+1 kejadian saling lepas (mutually exclusive) dan exhaustive, yakni, E1, E2, . . . , Ek, Ek+1,yang dapat terjadi pada setiap percobaan, dan misal pi = P (Ei) untuk i = 1, 2, . . . , k + 1.Pada setiap n kali percobaan bebas, misalkan Xi adalah banyaknya kejadian Ei. VektorX = (X1, . . . , Xk) dikatakan memiliki distribusi multinomial, dengan fungsi densitas bersamadalam bentuk

fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) =n!

x1!x2! · · ·xk+1!px11 p

x22 · · · p

xk+1

k+1 (3.1)

untuk semua 0 ≤ xi ≤ n, dimana xk+1 = n −∑k

i=1 xi dan pk+1 = 1 −∑k

i=1 pi. Notasi untukdistribusi ini adalah

X ∼ MULT(n, p1, p2, . . . , pk).

Persamaan (3.1) mirip dengan distribusi binomial. Untuk terjadinya Ei sebanyak xi kali, diper-lukan permutasi E1 sebanyak x1, E2 sebanyak x2, dan seterusnya. Banyaknya permutasi untukkejadian-kejadian tersebut adalah

n!

(x1!)(x2!) · · · (xk+1!),

dan masing-masing permutasi terjadi dengan peluang px11 px22 · · · p

xk+1

k+1 .

Contoh 3.2. Sebuah dadu bermata empat dilemparkan sebanyak 20 kali, dan munculnyamasing-masing sisi dicatat. Peluang mendapatkan empat mata 1, enam mata 2, lima mata3, dan lima mata 4 serta nilai pi = 0,25 adalah

20!

(4!)(6!)(5!)(5!)(0,25)20 = 0,0089.


Teorema 3.1. Suatu fungsi fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) adalah fungsi densitas peluang bersama untukbeberapa peubah acak bernilai vektor X = (X1, . . . , Xk) jika dan hanya jika sifat-sifat berikutdipenuhi:

fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) ≥ 0 untuk semua nilai yang mungkin (x1, . . . , xk)

dan ∑x1

· · ·∑xk

f(x1, . . . , xk) = 1.

Dalam kasus dua dimensi, akan lebih mudah menyajikan fungsi densitas bersama dalam ben-tuk tabel, lebih khusus lagi, jika bentuk fungsional untuk fungsi densitas bersama fX1,X2(x1, x2)tidak diketahui. Misal (X1, X2) ∼ MULT(3; 0,4, 0,4). Bentuk tabel untuk nilai fungsi densitas-nya adalah sebagai berikut:

x2

0 1 2 30 0,008 0,048 0,096 0,064 0,216

x1 1 0,048 0,192 0,192 0,000 0,4322 0,096 0,192 0,000 0,000 0,2883 0,064 0,000 0,000 0,000 0,064

0,216 0,432 0,288 0,064 1

Dengan melihat tabel diatas, kita tertarik untuk menghitung peluang "marjinal", yakniP (X1 = 1), tanpa memperhatikan nilai X2. Relatif terhadap ruang sampel bersama, X2 mem-punyai pengaruh pada partisi kejadian, katakanlah A, bahwa X1 = 1; penghitungan peluangmarjinal P (A) = P (X1 = 1) menjadi

P (A) =3∑j=0

P (X1 = 1, X2 = j)

=

3∑j=0

fX1,X2(1, j)

=∑x2

f(1, x2)

= 0,432.

Definisi 3.2 (Fungsi densitas marjinal). Jika pasangan peubah acak diskrit (X1, X2) memilikifungsi densitas bersama fX1,X2(x1, x2), maka fungsi densitas peluang marjinal X1 dan X2 adalah

fX1(x1) =∑x2

fX1,X2(x1, x2)

danfX2(x2) =

∑x1

fX1,X2(x1, x2).


Contoh 3.3. Misal (X1, X2) ∼ MULT(n, p1, p2), maka fungsi densitas marjinal X1 adalah

fX1(x1) =∑x2

fX1,X2(x1, x2)

=

n−x1∑x2=0

fX1,X2(x1, x2)

=n!

x1!(n− x1)!px11

n−x1∑x2=0

(n− x1)!px22 [(1− p1)− p2](n−x1)−x2

x2![(n− x1)− x2]!

=n!

x1!(n− x1)!px11

n−x1∑x2=0

(n− x1

x2

)px22 [(1− p1)− p2](n−x1)−x2

=

(n

x1

)px11 [p2 + (1− p1)− p2]n−x1

=

(n

x1

)px11 (1− px1)n−x1 . (3.2)

Persamaan (3.2) merupakan bentuk distribusi dari binomial(n, p1), dengan kata lain X1 ∼binomial(n, p1).

Definisi 3.3 (Fungsi distribusi kumulatif bersama). Fungsi distribusi kumulatif bersama kpeubah acak X1, . . . , Xk adalah fungsi yang didefinisikan oleh

FX1,...,Xk(x1, . . . , xk) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xk ≤ xk).

Teorema 3.2 (Fungsi distribusi kumulatif bivariat). Suatu fungsi FX1,X2(x1, x2) adalah fungsidistribusi kumulatif bivariat jika dan hanya jika:

(i) limx1→−∞ FX1,X2(x1, x2) = FX1,X2(−∞, x2) = 0 untuk semua x2;

(ii) limx2→−∞ FX1,X2(x1, x2) = FX1,X2(x1,−∞) = 0 untuk semua x1;

(iii) limx1→∞x2→∞

FX1,X2(x1, x2) = FX1,X2(∞,∞) = 1;

(iv) Untuk semua a < b dan c < d berlaku: F (b, d)− F (b, c)− F (a, d) + F (a, c) ≥ 0;

(v) limh→0+ FX1,X2(x1 + h, x2) = limh→0+ FX1,X2(x1, x2 + h) = FX1,X2(x1, x2) untuk semuax1 dan x2.

Contoh 3.4. Misal suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut:

FX1,X2(x1, x2) =

0, jika x1 + x2 < −1;

1, jika x1 + x2 ≥ −1.

Jika a = c = −1 dan b = d maka

F (1, 1)− F (1,−1)− F (−1, 1) + F (−1,−1) = 1− 1− 1 + 0 = −1.

Dengan kata lain sifat (iv) dalam Teorema 3.2 tidak dipenuhi.


3.1.4 Distribusi Kontinu Bersama

Definisi 3.4 (Fungsi peluang bersama kontinu). Suatu vektor peubah acak berdimensi k, X =(X1, . . . , Xk) dikatakan kontinu jika terdapat suatu fungsi fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) disebut fungsidensitas bersama dari X, sedemikian hingga fungsi distribusi kumulatif bersama dapat ditulissebagai

FX1,...,Xk(x1, . . . , xk) =

∫ xk

−∞· · ·∫ x1

−∞fT1,T2,...,Tk(t1, . . . , tk) dt1 · · · dtk (3.3)

untuk semua x = (x1, . . . , xk).

Seperti halnya dalam kasus satu dimensi, fungsi densitas bersama dapat diperoleh dari fungsidistribusi kumulatif bersama dengan menurunkan FX1,...,Xk(x1, . . . , xk) pada Persamaan (3.3),yakni

fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) =∂k

∂x1 · · · ∂xkFX1,...,Xk(x1, . . . , xk).

bilamana turunan parsialnya ada.

Teorema 3.3 (Syarat fungsi densitas bersama). Sembarang fungsi fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) adalahfungsi densitas bersama dari peubah acak berdimensi k jika dan hanya jika

fX1,...,Xk(x1, . . . , xk ≥ 0) untuk semua x1, . . . , xk

dan ∫ ∞−∞· · ·∫ ∞−∞

fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) dx1 · · · dxk = 1.

Contoh 3.5. Misal X1 menyatakan konsentrasi substansi dalam suatu percobaan pertamadan X2 menyatakan konsentrasi substansi dalam percobaan kedua. Dianggap fungsi densitasbersama diberikan oleh

fX1,X2(x1, x2) =

5x1x2 untuk 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1;

0 untuk x yang lain.

Fungsi distribusi kumulatif bersama diberikan oleh

FX1,X2(x1, x2) =

∫ x2

−∞

∫ x1

−∞fT1,T2(t1, t2) dt1 dt2

=

∫ x2

0

∫ x1

05t1t2 dt1 dt2

=

∫ x2

0

(5

2t21

∣∣∣∣x10

)t2 dt2

=5

2x2

1

∫ x2

0t2 dt2

=5

2x2

1

(1

2t21

∣∣∣∣x20

)=

5

2x2

1

1

2x2

2

=5

4x2

1x22

untuk 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1.Menghitung peluang bersama dengan mengintegralkan fungsi densitas bersama peluang pada

daerah yang bersesuaian juga dimungkinkan. Misalnya, kita akan menghitung peluang untukkedua percobaan, bahwa "rata-rata konsentrasi kurang dari 0,5". Kejadian ini dapat dinyatakan


oleh [(X1 +X2)/2 < 0,5], atau apabila himpunan A = (x1, x2) : (x1 +x2)/2 < 0,5 maka dapatdinyatakan sebagai [(X1 +X2) ∈ A]. Denga demikian,

P [(X1 +X2)/2 < 0,5] = P [(X1, X2) ∈ A]

=

∫ ∫AfX1,X2(x1, x2) dx1 dx2

=

∫ 1

0

∫ 1−x2

05x1x2 dx1 dx2

=

∫ 1

0x2

(5

2x2

1

∣∣∣∣1−x20

)dx2

=

∫ 1

0

5

2x2(1− x2)2 dx2

=

∫ 1

0

5

2x2(1− 2x2 + x2

2) dx2

=

∫ 1

0

5

2(x2 − 2x2

2 + x32) dx2

=5

2

(1

2x2 − 2

3x3

2 +1

4x4

)∣∣∣∣10

=5

2

(1

2− 2

3+

1

4

)=

5

24.

Secara umum untuk peubah acak kontinu X = (X1, . . . , Xk) dimensi k dan kejadian A dimensik kita punya

P (X ∈ A) =

∫· · ·∫

A

fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) dx1 · · · dxk.

Definisi 3.5 (Fungsi densitas marjinal). Jika pasangan peubah acak kontinu (X1, X2) memilikifungsi densitas peluang bersama fX1,X2(x1, x2), maka fungsi densitas peluang marjinal X1 danX2 adalah

fX1(x1) =

∫ ∞−∞

fX1,X2(x1, x2) dx2

dan

fX2(x2) =

∫ ∞−∞

fX1,X2(x1, x2) dx1.

Jika kita tinjau lagi Contoh 3.5, maka fungsi densitas marjinal X1 adalah

fX1(x1) =

∫ 1

05x1x2 dx2

= 5x1

∫ 1

0x2 dx2

= 5x1

(1

2x2

2

∣∣∣∣10

)=

5

2x1,

untuk setiap 0 < x1 < 1 dan nol untuk yang lain.


Definisi 3.6 (Fungsi distribusi kumulatif marjinal). Jika X = (X1, . . . , Xk) adalah peubahacak dimensi k dengan fungsi distribusi bersama FX1,...,Xk(x1, . . . , xk), maka fungsi distribusikumulatif marjinal Xj adalah

FXj (xj) = limxj→∞

semua i 6=j

FX1,...,Xk(x1, . . . , xj , . . . , xk).

Lebih lanjut, jika peubah acak X diskrit, maka fungsi densitas peluang marjinalnya adalah

fXj (xj) =∑· · ·

∑semua i 6=j

fX1,...,Xkf(x1, . . . , xj , . . . , xk)

dan jika X kontinu maka

fXj (xj) =

∫· · ·∫

semua i 6=j

fX1,...,Xkf(x1, . . . , xj , . . . , xk) dx1 · · · dxk.

Contoh 3.6. Misal X1,X2, dan X3 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitasbersama dalam bentuk

fX1,X2,X3(x1, x2, x3) =

c, untuk 0 < x1 < x2 < x3 < 1,

0, untuk x yang lain,(3.4)

Nilai konstanta c dapat dihitung berdasarkan Teorema 3.3, yakni c = 6. Dengan demikian

fX3(x3) =

∫ x3

0

∫ x2

06 dx1 dx2

= 6

∫ x3

0

(x1

∣∣∣∣x20

)dx2

= 6

∫ x3

0x2 dx2

=6

2

(x2

2

∣∣∣∣x20

)= 3x2

3,

jika 0 < x3 < 1 dan nol untuk yang lain.

3.2 Peubah Acak Bebas

Definisi 3.7 (Peubah acak bebas). Peubah-peubah acak X1, . . . , Xk dikatakan bebas jika untuksetiap ai < bi

P (a1 ≤ X1 ≤ b1, . . . , ak ≤ Xk ≤ bk) =k∏i=1

P (ai ≤ Xi ≤ bi). (3.5)

Pernyataan pada sisi kanan Persamaan (3.5) merupakan perkalian peluang marjinal P (a1 ≤X1 ≤ b1), . . . , P (ak ≤ Xk ≤ bk). Dalam konteks ini disebut pula bebas secara stokastik (stochas-tically independent). Jika syarat pada Persamaan (3.5) tidak dipenuhi untuk semua ai < bi,maka peubah acak tersebut disebut tidak bebas (dependent).

Contoh 3.7. Misal X1 dan X2 adalah peubah acak diskrit dengan peluang bersama diberikantabel berikut:

Pada Tabel 3.7, nilai fungsi fX1,X2(1, 1) = 0,2 = fX1(x1)fX2(x2). Namun, nilai fX1,X2(1, 2) =0,1 6= fX1(1)fX2(2). Dengan demikian peubah acak X1 dan X2 tidak bebas.


Tabel 3.1: Nilai fungsi densitas bersma dua peubah acak

x2

0 1 2 fX1(x1)

0 0,1 0,2 0,1 0,41 0,1 0,2 0,1 0,4

x1 2 0,1 0,1 0 0,2

fX2(x2) 0,3 0,5 0, 2

Teorema 3.4. Peubah acak X1, . . . , Xk adalah bebas jika dan hanya jika salah satu dari sifatberikut dipenuhi:

(i) FX1,...,Xk(x1, . . . , xk) = FX1(x1) · · ·FXk(xk), atau

(ii) fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) = fX1(x1) · · · fXk(xk),

dimana FXi(xi) dan fXi(xi) adalah fungsi distribusi kumulatif marjinal dan fungsi densitas dariXi.

Teorema 3.5. Dua peubah acak X1 dan X2 dengan fungsi densitas bersama fX1,X2(x1, x2)dikatakan bebas jika dan hanya jika:

(i) himpunan pendukung, (x1, x2) : fX1,X2(x1, x2) > 0 , adalah produk Cartesius, A × B,dan

(ii) fungsi densitas bersama dapat difaktorkan menjadi produk dari fungsi-fungsi x1 dan x2,fX1,X2(x1, x2) = gX1(x1)hX2(x2).

Contoh 3.8. Fungsi densitas bersama dari pasangan peubah acak X1 dan X2 dinyatakan oleh

fX1,X2(x1, x2) =

8x1x2 untuk 0 < x1 < x2 < 1;

0 untuk x lainnya.

Dalam kasus ini himpunan pendukungnya adalah (x1, x2)|0 < x1 < 1 dan 0 < x2 < 1 dapatdinyatakan sebagai A×B, dimana A dan B keduanya selang terbuka (0, 1). Bagian kedua padaTeorema 3.5 dipenuhi karena x1x2 bisa difaktorkan sebagai gX1(x1)hX2(x2). Dengan demikian,X1 dan X2 bebas.

Contoh 3.9. Fungsi densitas bersama dari pasangan peubah acak X1 dan X2 dinyatakan oleh

fX1,X2(x1, x2) =

x1 + x2 untuk 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1;

0 untuk x lainnya.

Dalam kasus ini himpunan pendukungnya adalah (x1, x2)|0 < x1 < 1 dan 0 < x2 < 1 dapatdinyatakan sebagaiA×B, dimanaA danB keduanya selang terbuka (0, 1). Namun, bagian keduapada Teorema 3.5 tidak dipenuhi karena x1 +x2 tidak bisa difaktorkan sebagai gX1(x1)hX2(x2).Dengan demikian, X1 dan X2 tidak bebas.

3.3 Distribusi Bersyarat

3.3.1 Distribusi Bersyarat

Konsep kebebasan juga berhubungan dengan peluang bersyarat dan hal ini menyarankan bahwadefinisi peluang bersyarat dari kejadian dapat diperluas untuk konsep peubah acak bersyarat.


Definisi 3.8 (Fungsi densitas peluang bersyarat). Jika X1 dan X2 adalah peubah acak diskritatau kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama fX1,X2(x1, x2) maka fungsi densitas pelu-ang bersyarat dari X2 diketahui X1 = x1 didefinisikan sebagai

fX2|X1=x1(x2|x1) =fX1,X2(x1, x2)

fX1(x1)

untuk nilai x1 sedemikian hingga fX1(x1) > 0 dan nol untuk yang lain.

Dengan cara yang sama, fungsi densitas peluang bersyarat X1 diberikan X2 = x2 adalah

fX1|X2=x2(x1|x2) =fX1,X2(x1, x2)

fX2(x2)

untuk nilai x2 sedemikian hingga fX2(x2) > 0 dan nol untuk yang lain.Untuk kasus diskrit fungsi densitas peluang bersyarat sebenarnya adalah peluang bersyarat.

Sebagai misal, jika X1 dan X2 adalah diskrit, maka fX1,X2(x1, x2) adalah peluang bersyarat ke-jadian (X2 = x2) diberikan kejadian (X1 = x1). Namun, dalam kasus kontinu interpretasi padafungsi densitas peluang bersyarat tidak jelas karena P (X1 = x1) = 0. Meskipun fX1,X2(x1, x2)tidak dapat diinterpretasikan sebagai peluang bersyarat dalam hal ini, namun dapat dianggapsebagai penugasan "densitas peluang" bersyarat untuk selang kecil sembarang [x2, x2 + ∆x2],seperti halnya fungsi densitas peluang marjinal fX2(x2) menugaskan densitas peluang marjinal.Dengan demikian untuk kasus kontinu, peluang bersyarat kejadian dengan bentuk a ≤ X2 ≤ bdiberikan X1 = x1 dinyatakan sebagai

P (a ≤ X2 ≤ b|X1 = x1) =

∫ b

afX2|X1=x1(x2|x1) dx2

=

∫ ba fX1,X2(x1, x2) dx2∫∞−∞ fX1,X2(x1, x2) dx2

.

Contoh 3.10. MisalX1,X2, danX3 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitasbersama berbentuk

fX1,X2,X3(x1, x2, x3) =

6, untuk 0 < x1 < x2 < x3 < 1,

0, untuk x yang lain.

Maka peluang bersyarat X3 diketahui (X1, X2) = (x1, x2) adalah

fX3|X1=x1,X2(x3|x1, x2) =

fX1,X2,X3(x1, x2, x3)

fX1,X2(x1, x2)

=6

6(1− x2)

=1

1− x2untuk 0 < x1 < x2 < x3 < 1

dan nol untuk x lainnya.

Teorema 3.6. Jika X1 dan X2 adalah peubah-peubah acak dengan fungsi densitas bersamafX1,X2(x1, x2) dan fungsi densitas peluang marjinal fX1(x1) dan fX2(x2), maka

fX1,X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2|X1=x1(x2|x1) = fX2(x2)fX1|X2=x2(x1|x2)

dan jika X1 dan X2 saling bebas, maka

fX2|X1=x1(x2|x1) = fX2(x2)

danfX1|X2=x2(x1|x2) = fX1(x1).


3.4 Latihan Soal

3-1 Misal X1 dan X2 adalah peubah acak diskrit dengan fungsi peluang densitas (massa) pelu-ang bersama dengan bentuk

fX1,X2(x1, x2) = c(x1 + x2) untuk x1 = 0, 1, 2; x2 = 0, 1, 2;

dan nol untuk x1 dan x2 lainnya. Hitunglah konstanta c.

3-2 Misal X1 dan X2 adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluang bersamafX1,X2(x1, x2) diberikan oleh tabel berikut:

x2

1 2 31 1/12 1/6 0

x1 2 0 1/9 1/53 1/18 1/4 2/15

a) Carilah fungsi densitas peluang marjinal X1 dan X2.

b) Apakah X1 dan X2 saling bebas? Jelaskan!

c) Hitung P (X1 ≤ 2).

d) Hitung P (X1 ≤ X2).

e) Tabulasikan fungsi densitas peluang bersyarat fX2|X1=x1(x2|x1) dan fX1|X2=x2(x1|x2).

3-3 Misal X1 dan X2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersamadengan bentuk

fX1,X2(x1, x2) =

2e−(x1+x2) jika 0 < x1 < x2 dan x2 > 0;

0 untuk x1 dan x2 lainnya.

a) Hitung fX1(x1) dan fX2(x2).

b) Hitung fX1|X2=x2(x1|x2) dan fX2|X1=x1(x2|x1).

c) Apakah X1 dan X2 bebas?

3-4 Misal X dan Y memiliki fungsi densitas bersama

fX,Y (x, y) =

(2/3)(x+ 1) untuk 0 < x < 1, 0 < y < 1;

0 untuk x dan y lainnya.

a) Hitung fungsi distribusi kumulatif bersama FX,Y (x, y).

b) Hitung fY |X=x(y|x).

c) Hitung fX|Y=y(x|y).

d) Hitung P (x ≤ 0,5|Y = 0,75).

e) Hitung P (x ≤ 0,5|Y ≤ 0,75).

BAB 4

SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK

Kompetensi DasarMenghasilkan transformasi peubah acak.

Indikator PencapaianMembuat transformasi peubah acak dengan menggunakan teknik fungsi distribusi, metodetransformasi, formula konvolusi, dan fungsi pembangkit momen.

Materi Pokok

4.1 Sifat-sifat Nilai Harapan

4.2 Kovarians dan Korelasi

4.3 Harapan Bersyarat

4.4 Fungsi Pembangkit Momen Bersama

4.5 Latihan Soal


Penggunaan peubah acak dan distribusi peluangnya telah dibicarakan sebagai suatu cara un-tuk mengekspresikan suatu model matematika untuk suatu fenomena fisikal nondeterministik.Peubah acak mungkin berasosiasi dengan beberapa karakteristik numerik dari populasi sebe-narnya atau konsep dari item-item dan fungsi densitas peluang mewakili distribusi populasiterhadap semua nilai yang mungkin dari karakteristiknya. Seringkali densitas populasi yangsesungguhnya tidak diketahui. Salah satu kemungkinan adalah mempertimbangkan suatu kelu-arga fungsi densitas peluang yang diindeks oleh suatu parameter yang tidak diketahui sebagaisuatu model yang mungkin dan berkonsentrasi pada memiliki suatu nilai untuk parameter terse-but.

Penekanan utama dalam statistika adalah mengembangkan pendugaan (estimates) param-eter yang tidak diketahui berdasarkan data sampel. Pada beberapa kasus suatu parametermungkin mewakili suatu kuantitas yang berarti secara fisika, misalnya rata-rata atau nilai tengahdari populasi. Dengan demikian, sangatlah bermanfaat untuk mendefinisikan dan mempelajariberagam sifat peubah acak yang mungkin berguna dalam mewakilkan dan menginterpretasikanpopulasi sesungguhnya (original population), begitu pula berguna dalam pendugaan atau pemil-ihan model yang sesuai.

Pada beberapa kasus, sifat-sifat khusus dari suatu model (misalnya sifat no memory dis-tribusi eksponensial) mungkin cukup membantu dalam mengindikasikan jenis asumsi fisika yang

33

BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK 34

konsisten dengan model, meskipun implikasi dari model biasanya kurang jelas. Pada kasusseperti ini kebergantungan lebih banyak didasarkan pada ukuran-ukuran deskriptif seperti var-ians dari suatu distribusi. Pada bab ini, ukuran-ukuran deskriptif tambahan dan sifat-sifatpeubah acak akan dikembangkan.

4.1 Sifat-sifat Nilai Harapan

Saat membicarakan nilai harapan kita sering tertarik dengan fungsi dari satu atau lebih peubahacak. Sebagai contoh, suatu studi melibatkan suatu vektor dari k peubah acak,X = (X1, . . . , Xk)dan kita ingin menghitung nilai harapan dari beberapa fungsi dari X, katakanlah Y = u(X).Notasi yang digunakan dapat berupa E(Y ), E[u(X)], atau EX[u(X)].

Teorema 4.1 ( Bain and Engelhardt (1992)). Jika X = (X1, . . . , Xk) memiliki suatu fungsidensitas peluang bersama fX(x1, . . . , xk) dan jika Y = u(X1, . . . , Xk) adalah fungsi dari X,maka E(Y ) = EX[u(X1, . . . , Xk)], dengan

EX [u(X1, . . . , Xk)] =

∑x1· · ·∑

xku(x1, . . . , xk)fX(x1, . . . , xk), jikaX diskrit;∫∞

−∞ · · ·∫∞−∞ u(x1, . . . , xk)fX(x1, . . . , xk) dx1 · · · dxk, jikaX kontinu.

(4.1)

Teorema 4.2. Jika X1 dan X2 adalah peubah-peubah acak dengan fungsi densitas peluangbersama fX1,X2(x1, x2) maka

E(X1 +X2) = E(X1) + E(X2). (4.2)

Bukti: Catatan: nilai harapan pada sisi kiri dari persamaan (4.2) adalah relatif terhadap fungsidensitas peluang bersama X = (X1, X2) sementara suku-suku pada sisi kanan relatif terhadapfungsi densitas bersama atau marjinal. Dengan kata lain, persamaan yang lebih tepat untuk (4.2)adalah

EX(X1 +X2) = EX(X1) + EX(X2)

= EX1(X1) + EX2(X2).

Akan dibuktikan untuk kasus kontinu:

E(X1 +X2) = EX(X1 +X2)

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

(x1 + x2)fX1,X2(x1, x2) dx1 dx2

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

x1fX1,X2(x1, x2) dx1 dx2 +

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

x2fX1,X2(x1, x2) dx1 dx2

=

∫ ∞−∞

x1

∫ ∞−∞

fX1,X2(x1, x2) dx2 dx1 +

∫ ∞−∞

x2

∫ ∞−∞

fX1,X2(x1, x2) dx1 dx2

=

∫ ∞−∞

x1fX1(x1) dx1 +

∫ ∞−∞

x2fX2(x2) dx2

= EX1(X1) + EX2(X2)

= E(X1) + E(X2).


Selanjutnya untuk kasus diskrit adalah sebagai berikut:

E(X1 +X2) = EX(X1 +X2)

=

∞∑x2=−∞

∞∑x1=−∞

(x1 + x2)fX1,X2(x1, x2)

=∞∑

x2=−∞

∞∑x1=−∞

x1fX1,X2(x1, x2) +∞∑

x2=−∞

∞∑x1=−∞

x2fX1,X2(x1, x2)

=∞∑

x1=−∞x1

∞∑x2=−∞

fX1,X2(x1, x2) +∞∑

x2=−∞x2

∞∑x1=−∞

x1fX1,X2(x1, x2)

=

∞∑x1=−∞

x1fX1(x1) +

∞∑x2=−∞

x2fX1(x2)

= EX1(X1) + EX2(X2)

= E(X1) + E(X2).

Dengan Teorema 4.2 kasus dapat diperluas sampai k peubah. Jika a1, . . . , ak adalah konstanta-konsta dan jika X1, . . . , Xk adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi secara bersama-sama,maka

E

( k∑i=1

aiXi

)=

k∑i=1

E(Xi). (4.3)

Teorema 4.3. Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak saling bebas dan g(x) dan h(y) adalahfungsi-fungsi maka

E[g(X)h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )]. (4.4)

Bukti: Akan dibuktikan untuk kasus kontinu:

E[g(X)h(Y )] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(x)h(y)fX,Y (x, y) dx dy

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(x)h(y)fX(x)fY (y) dx dy

=

∫ ∞−∞

g(x)fX(x) dx

∫ ∞−∞

fY (y) dy

= E[g(X)] E[h(Y )].

Selanjutnya untuk kasus diskrit:

E[g(X)h(Y )] =∞∑

y=−∞

∞∑x=−∞

g(x)h(y)fX,Y (x, y)

=

∞∑y=−∞

∞∑x=−∞

g(x)h(y)fX(x)fY (y)

=

∞∑y=−∞

g(x)fX(x)

∞∑−∞

h(y)fY (y)

= E[g(X)] E[h(Y )].


Dengan teorema ini dimungkinkan untuk mengembangkan lebih dair dua peubah. JikaX1, . . . , Xn adalah peubah acak bebas dan u1(x1), . . . , uk(xk) adalah fungsi maka

E[u1(X1) · · ·uk(XK)] = E[u1(X1)] · · ·E[uk(Xk)]. (4.5)

4.2 Kovarians dan Korelasi

Sifat-sifat tertentu nilai harapan memberikan hubungan antara dua peubah acak.

Definisi 4.1 (Bain and Engelhardt (1992)). Kovarians dari pasangan peubah-peubah acak Xdan Y didefinisikan oleh

cov(X,Y ) = E[X − E(X)][Y − E(Y )]. (4.6)

Notasi lain untuk cov(X,Y ) adalah σXY ; demikian pula, E(X) dan E(Y ) dinotasikan berturut-turut µX dan µY .

Teorema berikut memberikan sifat-sifat yang berhubungan dengan kovarians.

Teorema 4.4. Jika X dan Y adalah peubah acak dan a serta b adalah konstanta- konstanta,maka

cov(aX, bY ) = ab cov(X,Y ), (4.7)cov(X + a, Y + b) = cov(X,Y ), (4.8)

dan

cov(X, aX + b) = a var(X). (4.9)

Bukti: Akan ditunjukkan cov(aX, bY ) = ab cov(X,Y ). Menurut definisi

cov(aX, bY ) = E[aX − E(aX)][bY − E(bY )]= E[aX − aE(X)][bY − bE(Y )]= Ea[X − E(X)]b[Y − E(Y )]= Eab[X − E(X)][Y − E(Y )]= abE[X − E(X)][Y − E(Y )]= ab cov(X,Y ).

Kemudian akan ditunjukkan cov(X + a, Y + b) = cov(X,Y ).

cov(X + a, Y + b) = E[X + a− E(X + a)][Y + b− E(Y + b)]= E[X + a− E(X)− a][Y + b− E(Y )− b]= E[X − E(X)][Y − E(Y )]= cov(X,Y ).

Selanjutnya akan ditunjukkan cov(X, aX + b) = a var(X).

cov(X, aX + b) = E[X − E(X)][aX + b− E(aX + b)]= E[X − E(X)][aX + b− aE(X)− b]= E[X − E(X)][aX − aE(X)]= E[X − E(X)]a[X − E(X)]= Ea[X − E(X)]2= aE[X − E(X)]2= a var(X).


Teorema berikut memberikan cara lain untuk menghitung kovarians dan sifat-sifatnya bilakedua peubah acak saling bebas.

Teorema 4.5 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika X dan Y adalah peubah acak maka

cov(X,Y ) = E(XY )− E(X) E(Y ) (4.10)

dan cov(X,Y ) = 0 bilamana X dan Y saling bebas.

Bukti: Akan ditunjukkan cov(X,Y ) = E(XY )− E(X) E(y). Menurut definisi

cov(X,Y ) = E[X − E(X)][Y − E(Y )]= E[XY −X E(Y )− E(X)Y + E(X) E(Y )]= E(XY )− E(X) E(Y )− E(X) E(Y ) + E(X) E(Y )

= E(XY )− E(X) E(Y ).

Bilamana X dan Y saling bebas maka

cov(X,Y ) = E(XY )− E(X) E(Y )

= E(X) E(Y )− E(X) E(Y )

= 0.

Teorema 4.6 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika X1 dan X2 adalah peubah acak dengan fungsidensitas peluang bersama fX1,X2(x1, x2) maka

var(X1 +X2) = var(X1) + var(X2) + 2 cov(X1, X2) (4.11)

danvar(X1 +X2) = var(X1) + var(X2) (4.12)

bilamana X1 dan X2 saling bebas.

Bukti:

var(X1 +X2) = E[(X1 +X2)− E(X1 +X2)]= E[X1 − E(X1) +X2 − E(X2)]2= E[X1 − E(X1)]2 + 2[X1 − E(X1)][X2 − E(X2)] + [X2 − E(X2)]2= E[X1 − E(X1)]2 + 2 E[X1 − E(X1)][X2 − E(X2)]+ E[X2 − E(X2)]2= var(X1) + 2 cov(X1, X2) + var(X2)

= var(X1) + var(X2) + 2 cov(X1, X2).

Mengingat cov(X1, X2) = 0 bilamana X1 dan X2 saling bebas, maka

var(X1 +X2) = var(X1) + var(X2) + 0

= var(X1) + var(X2).

Dengan cara yang sama kasus ini pun dapat diperluas untuk k peubah acak. Bila X1, . . . , Xk

adalah peubah acak dan a1, . . . , ak adalah konstanta-konstanta, maka

var

( k∑i=1

aiXi

)=

k∑i=1

a2i var(Xi) + 2

∑∑i<jaiaj cov(Xi, Xj). (4.13)


dan jika X1, . . . , Xk saling bebas maka

var

( k∑i=1

aiXi

)=

k∑i=1

var(Xi).

Pada bagian sebelumnya konvarians digunakan sebagai ukuran untuk mengukur ketergan-tungan antara dua peubah acak. Telah ditunjukkan bahwa cov(X,Y ) = 0 bilamana X dan Ysaling bebas. Namun, sebaliknya tidaklah benar.

Contoh 4.1. Misal suatu pasangan peubah acak diskritX dan Y dengan fungsi densitas peluangbersama

fX,Y (x, y) =

1

4, jika (0, 1), (1, 0), (0,−1), (−1, 0);

0, jika x dan y lainnya.(4.14)

Fungsi densitas peluang marjinal X adalah fX(±1) = 1/4, fX(0) = 1/2, dan fX(x) = 0 untukx lainnya. Demikian pula fungsi densitas peluang marjinal fY (±1) = 1/4, fY (0) = 1/2, danfY (y) = 0 untuk y lainnnya. Selanjutnya

E(X) = −(1/4) + 0(1/2) + 1(1/4) = 0, (4.15)

danE(Y ) = −(1/4) + 0(1/2) + 1(1/4) = 0. (4.16)

Mengingat xy = 0 bilamana f(x, y) > 0 maka E(XY ) = 0. Sehingga cov(XY ) = E(XY ) −E(X) E(Y ) = 0 − 0 = 0. Namun, fX,Y (0, 0) 6= fX(0)fY (0). Jadi X dan Y tidak saling be-bas. Jadi secara umum dapat disimpulkan bahwa X dan Y terikat jika cov(X,Y ) 6= 0, tetapicov(X,Y ) = 0 tidaklah perlu mengimplikasikan bahwa X dan Y adalah bebas.

Definisi 4.2 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak denganvarians var(X) dan var(Y ) dan kovarians cov(X,Y ), maka koefisien korelasi dari X dan Yadalah

corr(X,Y ) =cov(X,Y )√

var(X)√

var(Y ). (4.17)

Catatan: Biasanya korelasi X dan Y dinotasikan sebagai ρXY atau ρ dan varians X dan Ysebagai σ2

X dan σ2Y . Sehingga, Persamaan (4.17) dapat ditulis sebagai

ρXY =σXYσXσY

. (4.18)

Peubah-peubah acak X dan Y dikatakan tidak berkorelasi jika ρXY = 0; selain itu dikatakanberkorelasi.

Teorema 4.7 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika ρXY adalah koefisien korelasi dari X dan Y ,maka

−1 ≤ ρXY ≤ 1 (4.19)dan ρXY = ±1 jika dan hanya jika Y = aX + b dengan peluang 1 untuk beberapa a 6= 0 dan b.

Bukti: Untuk membuktikan Persamaan (4.19), misalkan

W =Y

σY− ρXY

X

σX,

sehingga

var(W ) =

(1

σY

)2

σ2Y +

(ρXYσX

)2

σ2X − 2ρXY

σXYσXσY

= 1 + ρ2XY − 2ρ2

XY

= 1− ρ2XY ≥ 0,

karena var(W ) ≥ 0.


4.3 Harapan Bersyarat

Definisi 4.3. Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi secara bersama,maka harapan bersyarat (conditional expectation) Y diketahui X = x didefinisikan sebagai

E(Y |x) =

∑y yfY |X(y|x), jika X dan Y diskrit;∫∞−∞ yfY |X(y|x) dy, jika X dan Y kontinu.

(4.20)

Catatan: notasi lain untuk harapan bersyarat adalah EY |x(Y ) dan E(Y |X = x). Padabagian ini kita akan menggunakan simbol E(Y |x) untuk menyederhanakan notasi.

Contoh 4.2. Suatu fungsi densitas peluang bersyarat Y diketahui X = x adalah

fY,X(y|x) =2

x, 0 < y <

x

2. (4.21)

Harapan bersyaratnya adalah

E(Y |x) =

∫ x/2

0y

2

xdy

=2

x

y2

2

∣∣∣∣y=x/2

y=0

=2

x

(x/2)2

2

=x

4, 0 < x < 2. (4.22)

Ingat bahwa harapan bersyarat Y diketahui X = x adalah fungsi dari x, katakanlah u(x) =E(Y |x). Teorema berikut mengatakan bahwa secara umum, peubah acak u(X) = E(Y |X)memiliki harapan marjinal Y , yakni E(Y ).

Teorema 4.8. Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi secara bersama-sama, maka

E[E(Y |X)] = E(Y ). (4.23)

Bukti: Akan dibuktikan untuk kasus kontinu:

E[E(Y |X)] =

∫ ∞∞

E(Y |x)fX(x) dy

=

∫ ∞∞

∫ ∞∞

yfY |X(y|x)fX(x) dy dx

=

∫ ∞−∞

∫ ∞∞

fX,Y (x, y) dx dy

=

∫ ∞−∞

yfY (y) dy

= E(Y ).


Definisi 4.4 (Bain and Engelhardt (1992)). Varians bersyarat Y diketahui X = x diberikanoleh

var(Y |x) = E[Y − E(Y |x)]2|x. (4.24)

Bentuk (4.24) dapat pula dituliskan sebagai

var(Y |x) = E(Y 2|x)− [E(Y |x)]2. (4.25)

Teorema 4.10. Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi secara bersama-sama, maka

var(Y ) = EX [var(Y |X)]− varX [E(Y |X)]. (4.26)

Bukti:

EX [var(Y |X)] = EXE(Y |X)− [E(Y |X)]2= E(Y 2)− EX [E(Y |X)]= E(Y 2)− E[(Y )]2 − EX [E(Y |X)]− E[(Y )]2= var(Y )− varX [E(Y |X)].

Teorema ini menegaskan bahwa varians bersyarat lebih kecil dair varians tidak bersyarat.Namun, apabila X dan Y saling bebas, varians akan sama. Sebagai ilustrasi, jika kita tertarikuntuk menduga rata-rata tinggi individual E(Y ), maka teorema ini menegaskan bahwa lebihmudah untuk menduga tinggi (bersyarat) orang jika kita tahu berat badan orang tersebut karenapopulasi tidak bersyarat tinggi tidak akan pernah lebih besar daripada varians yang direduksidari populasi individu berat badan tertentu x.

Teorema 4.11 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yangberdistribusi secara bersama-sama dan h(x, y) adalah suatu fungsi, maka

E[h(X,Y )] = EXE[h(X,Y )]|X. (4.27)

Teorema 4.12 (Bain and Engelhardt (1992)). Jika X dan Y adalah peubah-peubah acak yangberdistribusi bersama dan g(x) adalah fungsi, maka

E[g(X)Y |x] = g(x) E(Y |x). (4.28)

4.3.1 Distribusi Normal Bivariat

Suatu pasangan peubah acak kontinu X dan Y dikatakan berdistribusi normal bivariat jikamemiliki fungsi densitas peluang bersama dengan bentuk

fX,Y (x, y) =1

2πσXσY

√1− ρ2

XY

exp

− 1

2(1− ρ2XY )

[(x− µXσX

)2

− 2ρ

(x− µXσX

)(y − µYσY

)+

(y − µYσY

)2]−∞ < x <∞, ∞ < y <∞.

(4.29)

Notasi khusus untuk distribusi persamaan (4.29) adalah

(X,Y ) ∼ BVN(µX , µY , σ2X , σ

2Y , ρXY ) (4.30)

yang bergantung pada lima parameter −∞ < µX < ∞, −∞ < µY < ∞, σX > 0, σY > 0, dan−1 < ρXY < 1.


4.4 Fungsi Pembangkit Momen Bersama

Konsep fungsi pembangkit momen dapat diperluas untuk peubah acak berdimensi k.

Definisi 4.5 (Bain and Engelhardt (1992)). Fungsi pembangkit momen bersama dari X =(X1, . . . , Xk), jika ada, didefinisikan sebagai

MX(t) = E

[exp

( k∑i=1

tiXi

)](4.31)

dengan t = (t1, . . . , tk) dan −h < ti < h untuk beberapa h > 0.

Sifat-sifat fungsi pembangkit momen bersama analog dengan sifat fungsi pembangkit mo-men univariat. Momen campuran seperti E(Xr

i , Xsj ) dapat dihitung dengan menurunkan fungsi

pembangkit momen bersama r kali bersesuaian dengan ti dan s kali bersuaian dengan tj danmembuat semua ti = 0. Fungsi pembangkit momen bersama juga secara unik menentukandistribusi bersama dari peubah-peubah X1, . . . , Xk. Fungsi pembangkit momen dari distribusimarjinal dari fungsi pembangkit momen bersama juga dimunkinkan. Sebagai contoh,

MX(t1) = MX,Y (t1, 0) (4.32)

danMY (t2) = MX,Y (0, t2). (4.33)

Contoh 4.3. Misal X = (X1, . . . , Xk) ∼ MULT(n, p1, . . . , pk). Kita tahu bahwa distribusi mar-jinalnya adalah binomial, yakni Xi ∼ BIN(n, pi). Fungsi pembangkit momen bersama distribusimultinomial dapat dihitung menggunakan distribusi binomial

MX(t) = E

[exp

( k∑i=1

tiXi

)]=∑· · ·∑ n

x1! · · ·xk+1!(p1 et1)x1 · · · (pk etk)xkpxk+1

k+1

= (p1 et1 + · · ·+ pk etk +pk+1)n (4.34)

dengan pk+1 = 1− p1 − · · · − pk.

4.5 Latihan Soal

4-1 Misal peubah acak kontinu X dan Y dengan fungsi densitas peluang bersama

fX,Y (x, y) =

24xy, jika 0 < x, 0 < y, dan x+ y < 1;

0, jika x dan y lainnya.

Hitunglah:

a) E(XY );

b) kovarians antara X dan Y ;

c) koefisien korelasi antara X dan Y ;

d) cov(3X, 5Y );

e) cov(X + 1, Y − 2);


f) cov(X + 1, 5Y − 2);

g) cov(3X + 5, X).

4-2 Misal X dan Y adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluang bersama

fX,Y (x, y) =

4

5xy, jika x = 1, 2, dan y = 2, 3;


Hitunglah:

a) E(X);

b) E(Y );

c) E(XY );

d) cov(X,Y ).

4-3 Misal berat (dalam ons) dari suatu bola basket adalah suatu peubah acak dengan rata-rata5 dan simpangan baku 2/5. Sebuah kotak berisi 144 bola basket. Dianggap berat masing-masing bola basket adalah saling bebas dan T menyatakan berat total semua bola basketdalam kotak. Hitunglah:

a) nilai harapan total berat, yakni E(T );

b) varians total berat, yakni var(T ).

4-4 Untuk Soal No. 1 dan 2, hitunglah:

a) E(Y |x);

b) var(Y |x).

4-5 Misal distribusi bersyarat Y diberikan X = x adalah Poisson dengan rata-rata E(Y |x) = x,Y |x ∼ POI(x), dan E(X) ∼ EXP(1). Hitunglah:

a) E(Y );

b) var(Y ).

4-6 Misal X dan Y memiliki fungsi densitas peluang bersama

fX,Y (x, y) =

e−y, jika 0 < x < y <∞;


Hitunglah E(X|y).

4-7 Misal Y1 dan Y2 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama

fY1,Y2(y1, y2) =

2 e−y1−y2 , jika 0 < y1 < y2 <∞;


Hitunglah fungsi pembangkit momen (MGF) bersama Y1 dan Y2.



4-1* Jika X, Y , Z, dan W adalah peubah-peubah acak, maka tunjukkan bahwa:

a) cov(X ± Y,Z) = cov(X,Z)± cov(Y,Z);

b) cov(X + Y,Z +W ) = cov(X,Z) + cov(X,W ) + cov(Y, Z) + cov(Y,W );

c) cov(X + Y,X − Y ) = var(X)− var(Y ).

4-2* Jika X1, . . . , Xn dan Y1, . . . , Yn adalah peubah acak yang berdistribusi bersama, dan jikaa1, . . . , ak dan b1, . . . , bm adalah konstanta-konstanta, maka tunjukkan bahwa

cov

( k∑i=1

aiXi,n∑j=1

bjYj

)=

k∑i=1

m∑j=1

cov(Xi, Yj).

4-3* Misal X1 dan X2 adalah peubah acak normal bebas, Xi ∼ N (µi, σ2i ), dan Y1 = X1 serta

Y2 = X1 +X2.

a) Tunjukkan bahwa Y1 dan Y2 adalah normal bivariat.

b) Berapakah rata-rata, varians, dan koefisien korelasi Y1 dan Y2?

c) Carilah distribusi bersyarat Y2 diketahui Y1 = y1.

BAB 5

FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK

Kompetensi DasarMenggunakan konsep-konsep ilmu peluang.

Indikator PencapaianMenggunakan konsep-konsep ilmu peluang.

Materi Pokok

5.1 Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif

5.2 Metode Transformasi

5.3 Jumlah Peubah Acak

5.4 Statistik Terurut

5.5 Latihan Soal

Pada BAB I, peluang didefinisikan dalam konsep teori himpunan. Konsep peubah acak diperke-nalkan sedemikian hingga kejadian-kejadian dapat diasosiasikan dengan himpunan bilangan realdalam ruang rentang (range space) dari peubah acak. Hal ini memungkinkan kita untuk mengek-spresikan secara matematis model peluang untuk populasi atau karakteristik yang ingin ditelitidalma bentuk suatu fungsi densitas peluang atau suatu fungsi distribusi kumulatif untuk peubahacak yang bersesuaian, katakanlah X. Dalam kasus ini, X menyatakan karakteristik awal yangmenjadi daya tarik dari fungsi densitas peluang fX(x), disebut fungsi densitas peluang populasi.

Seringkali dalam banyak kasus beberapa fungsi peubah acak ini menjadi daya tarik. Misaljika X menyatakan umur anak ayam dalam minggu, peneliti lain mungkin menyatakan umurdalam hari, yakni Y = 7X. Dengan cara yang sama, W = X2 atau Z = lnX atau beberapafungsi lain mungkin menjadi daya tarik peneliti.

Setiap fungsi dari peubah acak X adalah suatu peubah acak, dan fungsi distribusidari suatufungsi X ditentukan oleh distribusi peluang X. Misal, untuk peubah acak Y diatas P (21 ≤ X ≤28) = P (3 ≤ Y ≤ 4) dan sebagainya. Akan lebih berguna jika kita dapat menyatakan fungsidensitas peluang atau fungsi distribusi kumulatif suatu fungsi dari peubah acak dalam fungsidensitas peluang atau fungsi distribusi kumulatif peubah acak asli. Fungsi denstias peluangseperti ini disebut distribusi-distribusi turunan (derived distributions). Suatu fungsi densitaspeluang tertentu mungkin menyatakan fungsi densitas peluang populasi dalam suatu aplikasi,tetapi menjadi distribusi turunan dalam aplikasi lain. Dalam bab ini kita akan mempelajaribeberapa teknik untuk memperoleh fungsi distribusi turunan dari suatu fungsi peubah acakantara lain: teknik fungsi distribusi kumulatif, metode transformasi, formula konvolusi, dan

45

BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 46

metode fungsi pembangkit momen. Pada akhir bab, kita akan membahas tentang statistikterurut (order statistics).

5.1 Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif

Teknik fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function, disingkat CDF) meru-pakan metode umum yang mengekspresikan peubah acak ”baru” dengan istilah peubah acak”lama”. Misal peubah acak X memiliki fungsi distribusi kumulatif FX(x) dan beberapa fungsiY yang menjadi daya tarik, katakanlah Y = u(X). Ide dari teknik fungsi distribusi kumulatifadalah mengekspresikan fungsi distribusi kumulatif dari Y dalam bentuk (terms) distribusi X.Lebih khusus lagi, untuk setiap bilangan real y, kita dapat mendefinisikan sebuah himpunanAy = x : u(x) ≤ y. Dengan demikian Y ≤ y dan X ∈ Ay adalah kejadian-kejadian yang sama,sehingga

FY (y) = P (u(X) ≤ y). (5.1)

Bentuk persamaan (5.1) dapat pula dinyatakan sebagai P (X ∈ Ay). Peluang ini dapat puladinyatakan sebagai integral dari fungsi densitas peluang fX(x) sepanjang himpunan Ay jika Xkontinu, atau penjumlahan fX(x) sepanjang x di Ay jika X diskret.

Sebagai contoh, sering kita menyatakan u(x) ≤ y dalam bentuk kejadian yang sama x1 ≤X ≤ x2 dimana satu atau lebih batas-batas x1 dan x2 bergantung pada Y . Dalam kasus kontinu

FY (y) =

∫ x2

x1

fX(x) dx

=

∫ 0

x1

fX(x) dx+

∫ x2

0fX(x) dx

=

∫ x2

0fX(x) dx−

∫ x1

0fX(x) dx

= FX(x2)− FX(x1). (5.2)

Fungsi densitas peluang (5.2) adalah

fY (y) =d

dyFY (y). (5.3)

Berikut ini diberikan beberapa contoh untuk mengilustrasikan teknik fungsi distribusi kumulatif.

Contoh 5.1. Misal fungsi distribusi kumulatif peubah acak X, yakni FX(x) = 1 − e−2x, 0 <x <∞ dan kita tertarik untuk mengetahui fungsi distribusi dari peubah acak Y = eX .

Fungsi distribusi Y dapat dinyatakan sebagai

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (eX ≤ y)

= P (X ≤ ln y)

= FX(ln y)

= 1− e−2(ln y)

= 1− eln y−2

= 1− y−2. (5.4)

Sekarang kita tentukan batas-batas untuk peubah acak Y . Mengingat 0 < x <∞, maka bataspeubah acak Y akan terletak diantara e0 dan e∞, jadi 1 < y <∞. Tentu saja untuk x lainnya


maka y akan bernilai 0. Dengan demikian FY (y) = 1−y−2, 1 < y <∞. Fungsi densitas peluangY adalah

fY (y) =d

dyFY (y)

=d

dy(1− y−2)

= 2y−3, 1 < y <∞. (5.5)

Contoh 5.2. Misal X adalah peubah acak kontinu dan Y = X2. Fungsi distribusi Y dapatdinyatakan sebagai

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (X2 ≤ y)

= P (−√y ≤ X ≤ √y)

= FX(√y)− FX(−√y). (5.6)

Berdasarkan fungsi distribusi persamaan (5.6), kita dapat menghitung fungsi densitas peluangY sebagai

fY (y) =d

dy

(FX(√y)− FX(−√y)

)= fX(

√y)

d

dy(√y)− fX(−√y)

d

dy(−√y)

= fX(√y)

1

2√y

+ fX(−√y)1

2√y

=1

2√y

(fX(√y) + fX(−√y)

)y > 0. (5.7)

Contoh 5.3. Misal X adalah peubah acak dengan fungsi densitas peluang

fX(x) =

4x3, jika 0 < x < 1;


Misal kita tertarik dengan peubah acak Z = lnX. Terlebih dahulu kita hitung fungsi distribusiX. Kita peroleh fungsi distribusi untuk fungsi densitas peluang (5.8)

FX(x) =

∫ x

04x3 dx

= x4

∣∣∣∣x=x

x=0

= x4 − 0

= x4. (5.9)

Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi distribusi persamaan (5.9) diperoleh

FZ(z) = P (Z ≤ z)= P (lnX ≤ z)= P (X ≤ ez)

= FX(ez)

= (ez)4

= e4z, 0 < z <∞. (5.10)

Batas-batas untuk z diperoleh dari nilai z = ln 0 = ∞ dan z = ln 1 = 0. Dengan demikian0 < z <∞.


Teknik fungsi distribusi kumulatif juga dapat diterapkan untuk fungsi beberapa peubah,meskipun analisis pada umumnya lebih kompleks.

Teorema 5.1. MisalX = (X1, . . . , Xk) adalah vektor peubah acak kontinu berdimensi k denganfungsi densitas peluang bersama fX(x1, . . . , xk). Jika Y = u(X) adalah suatu fungsi dari X,maka

FY (y) = P (u(X) ≤ y)

=

∫· · ·∫

Ay

fX(x1, . . . , xk) dx1 · · · dxk, (5.11)

dimana Ay = x : u(x) ≤ y.

Contoh 5.4. Misal peubah acak X berdistribusi eksponensial, yakni X ∼ EXP(1). Fungsidensitas peluang X dapat dinyatakan sebagai

fX(x) =

e−x, untuk 0 < x <∞;

0, untuk x lainnya.(5.12)

Misal Anda tertarik dengan jumlah dari dua peubah acak bebas, katakanlah Y = X1 + X2,dimana Xi ∼ EXP(1), i = 1, 2. Himpunan Ay seperti didefinisikan pada Teorema 5.1, dapatditentukan sebagai

Ay = (x1, x2) : 0 ≤ x1 ≤ y − x2, 0 ≤ x2 ≤ y. (5.13)

Dengan demikian fungsi distribusi Y adalah

FY (y) = P (X1 +X2 ≤ y)

=

∫ y

0

∫ y−x2

0e−(x1+x2) dx1 dx2

=

∫ y

0

[− e−(x1+x2)

∣∣∣∣x1=y−x2

x1=0

]dx2

=

∫ y

0

[− e−((y−x2)+x2)−− e−(0+x2)

]dx2

=

∫ y

0

[− e−y + e−x2

]dx2

= −x2 e−y − e−x2∣∣∣∣x2=0

x2=0

=(−y e−y − e−y

)−(0− e−0

)= −y e−y − e−y +1

= 1− e−y −y e−y . (5.14)

5.2 Metode Transformasi

Pada bagian ini, kita akan membahas transformasi untuk peubah dalam dimensi satu. Misalu(x) adalah suatu fungsi bernilai real dari peubah real x. Jika persamaan y = u(x) dapatdiselesaikan secara tunggal, katakanlah x = w(y), maka transformasi ini dikatakan satu-satu(one-to-one). Berikut ini akan kita bahas metode transformasi satu-satu untuk kasus diskritdan kontinu.


5.2.1 Transformasi Satu-satu

Teorema 5.2 (Kasus Diskrit). Misal X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas(massa) peluang fX(x) dan Y = u(X) adalah transformasi satu-satu. Dengan kata lain, per-samaan y = u(x) dapat diselesaikan secara tunggal, katakanlah x = w(y). Maka fungsi densitas(massa) peluang Y adalah

fY (y) = fX(w(y)), y ∈ B; (5.15)

dimana B = y : fY (y) > 0.

Bukti: Fungsi densitas

FY (y) = P (Y = y)

= P (u(X) = y)

= P (X = w(y))

= fX(w(y)). (5.16)

Contoh 5.5. Misal peubah acak diskrit X ∼ GEO(p), dengan fungsi densitas peluang

fX(x) = pqx−1, x = 1, 2, 3, . . . . (5.17)

Misal kita tertarik dengan peubah acak Y = X − 1. Dalam hal ini y = u(x) = x− 1, sementaraitu diperoleh solusi x = w(y) = y + 1. Dengan demikian

fY (y) = fX(y + 1)

= pq(y+1)−1

= pqy, y = 0, 1, 2, . . . . (5.18)

Contoh 5.6. Misal peubah acak diskrit X ∼ BIN(r, p). Anda tertarik dengan peubah acakY = X − r. Fungsi densitas peluang X dinyatakan sebagai berikut

fX(x) =

(x− 1

r − 1

)prqr−1, x = r, r + 1, . . . . (5.19)

Dalam hal ini y = u(x) = x− r sehinga x = w(y) = y + r. Kita peroleh

fY (y) = fX(y + r) (5.20)

=

((y + 1)− 1

r − 1

)prq(y+r)−r (5.21)

=

((y + 1)− 1

r − 1

)prqy, y = 0, 1, 2, . . . . (5.22)

Teorema 5.3 (Kasus Kontinu). Misal X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densi-tas peluang fX(x) dan anggap Y = u(X) mendefinisikan suatu transformasi satu-satu dariA = x : fX(x) > 0 ke B = x : fY (y) > 0 dengan transformasi invers x = w(y). Jika turunan(d/dy)w(y) adalah kontinu dan tak nol pada B, maka fungsi densitas peluang Y adalah

fY (y) = fX(w(y))

∣∣∣∣ d

dyw(y)

∣∣∣∣, y ∈ B. (5.23)


Bukti: Jika y = u(x) adalah satu-satu, maka y naik monoton atau turun monoton. Pertama,kita asumsikan naik, maka u(x) ≤ y jika dan hanya jika x ≤ w(y). Dengan demikian

FY (y) = P (u(X) ≤ y)

= P (X ≤ w(y))

= FX(w(y)),

sehingga fungsi densitasnya menjadi

fY (y) =d

dyFX(w(y))

=d

dw(y)FX(w(y))

d

dyw(y)

= fX(w(y))

∣∣∣∣ d

dyw(y)

∣∣∣∣.Dalam hal ini (d/dy)w(y) > 0 karena y monoton naik. Sekarang, dalam kasus monoton turunu(x) ≤ y jika dan hanya jika w(y) ≤ x. Dengan demikian

FY (y) = P (u(X) ≤ y)

= P (X ≥ w(y))

= 1− P (X ≤ w(y))

= 1− FX(w(y)),

sehingga fungsi densitasnya menjadi

fY (y) =d

dy[1− FX(w(y))]

=d

dy(1)− d

dyFX(w(y))

= 0− d

dw(y)FX(w(y))

d

dyw(y)

= −fX(w(y))d

dyw(y)

= fX(w(y))

∣∣∣∣ d

dyw(y)

∣∣∣∣.Dalam hal ini (d/dy)w(y) < 0 karena y monoton turun.

Dalam konteks kasus kontinu, turunan w(y) disebut Jacobian dari transformasi dan dino-tasikan

J =d

dyw(y). (5.24)

Contoh 5.7. Misal peubah acak kontinu X memiliki fungsi densitas peluang

fX(x) = 2 e−2x, 0 < x <∞. (5.25)

Kita tertarik untuk mencari fungsi densitas peluang Y = eX . Dengan transformasi inversediperoleh x = w(y) = ln y, dan Jacobian

J = w′(y)

=d

dyw(y)

=d

dyln y

=1

y.


Dengan demikian fungsi densitas peluang Y adalah

fY (y) = fX(ln y)

∣∣∣∣1y∣∣∣∣

= 2 e−2 ln y

(1

y

)= 2 eln y−2 y−1

= 2y−2y−1

= 2y−3, y ∈ B = (1,∞).

Dalam masalah transformasi, sangatlah penting untuk mengidentifikasi himpunan B dimanafY (y) > 0, dalam contoh ini B = (1,∞) karena ex > 1 saat x > 0.

Contoh 5.8. Misal peubah acakk kontinu X ∼ N (µ, σ2) dan kita tertarik dengan peubah acakY = eX . Fungsi densitas peluang X dapat dinyatakan sebagai

fX(x) =1√2πσ

e−

1

2

(x− µ)2

σ2 ,−∞ < x <∞,−∞ < µ <∞, 0 < σ <∞. (5.26)

Dengan transformasi invers diperoleh x = w(y) = ln y dan Jacobian J = (d/dy)w(y) = 1/y.Dengan demikian fungsi densitas peluang Y adalah

fY = fX(ln y)

∣∣∣∣1y∣∣∣∣

=1√2πσ

exp

(−1

2

(ln y − µ)2

σ2

), 0 < y <∞

=1√

2πσyexp

(−1

2

(ln y − µ)2

σ2

), y ∈ B = (0,∞). (5.27)

Fungsi densitas peluang persamaan (5.27) adalah bentuk dari distribusi lognormal dengan rata-rata µ dan variansi σ2, ditulis LOGN(µ, σ2).

Contoh 5.9. Misal peubah acak kontinu X ∼ EXP(θ). Kita tertarik dengan distribusi daripeubah acak Y = exp(−X/θ). Fungsi densitas peluang X dapat dinyatakan sebagai

fX(x) =1

θe−x

θ , 0 < x <∞. (5.28)

Dengan transformasi invers diperoleh x = w(y) = −θ ln y sehingga Jacobian (d/dy)(−θ ln y) =−θ/y. Kita peroleh fungsi densitas peluang Y

fY (y) = fX(−θ ln y)

∣∣∣∣−θy∣∣∣∣

=1

θexp

(−θ ln y

θ

)θ

y

=1

θyθ

y, 0 < y < 1

= 1, y ∈ B = (0, 1). (5.29)

Bentuk persamaan (5.29) adalah fungsi densitas peluang dari distribusi seragam pada selang(0, 1), yakni Y ∼ UNIF(0, 1).


Teorema 5.4 (Peluang Transformasi Integral). Jika X adalah peubah acak kontinu denganfungsi distribusi kumulatif FX(x), maka U = FX(X) ∼ UNIF(0, 1). Sebaliknya, jika U berdis-tribusi secara seragam sepanjang interval (0, 1), maka X = F−1

X (U) memiliki fungsi distribusikumulatif FX(·).

Bukti: Akan dibuktikan untuk kasus FX(x) adalah satu-satu sehingga invers F−1X (u) ada.

FU (u) = P (U ≤ u)

= P (FX(X) ≤ u)

= P (X ≤ F−1X (u))

= FX(F−1X (u))

= u.

Karena 0 ≤ FX(x) ≤ 1, kita peroleh

FU (u) =

0, jika u ≤ 0;

0, jika u ≥ 1.

Sebaliknya,

FX(x) = P (X ≤ x)

= P (F−1X (U) ≤ x)

= P (U ≤ FX(x))

= FX(x).

Teorema 5.5. Misal FX(x) adalah suatu fungsi distribusi kumulatif dan GU (u) adalah fungsiyang didefinisikan oleh

G(u) = minx : u ≤ FX(x), 0 ≤ u ≤ 1. (5.30)

Jika U ∼ UNIF(0, 1), maka X = GU (U) ∼ FX(x).

Teorema (5.5) berguna untuk membangkitan bilangan acak dari distribusi dengan fungsidistribusi kumulatif FX(x).

5.2.2 Transformasi yang Tidak Satu-satu

Misal fungsi u(x) tidaklah satu-satu sepanjang himpunan A = x : fX(x). Meskipun hal iniberarti tidak terdapat penyelesaian tunggal pada persamaan y = u(x), namun biasanya mungkinuntuk mempartisi himpunan A menjadi himpunan bagian tak bersama (disjoint) A1, A2, . . .sedemikian hingga u(x) adalah satu-statu sepanjang Aj . Untuk setiap y di dalam range u(x),persamaan y = u(x) memiliki penyelesaian tunggal xj = wj(y) sepanjang himpunan Aj . Untukkasus diskrit, Teorema (5.2) dapat diperluas untuk suatu fungsi yang tidak satu-satu denganmengganti persamaan yang tidak satu-satu pada persamaan (5.15) dengan

fY (y) =∑j

fX(wj(y)). (5.31)

Dalam hal ini fY (y) =∑

j fX(xj) dimana jumlah keseluruhan sepanjang xj sedemikian hinggau(xj) = y. Sementara, dalam kasus kontinu, untuk fungsi yang tidak satu-satu diperoleh denganmemperluas persamaan (5.23) menjadi

fY (y) =∑j

fX(wj(y))

∣∣∣∣ d

dywj(y)

∣∣∣∣. (5.32)


Untuk transformasi Y = u(X), penjumlahan sepanjang nilai j yang mana u(xj) = y, meskipunJacobiannya masuk ke persamaan untuk kasus kontinu.

Contoh 5.10. Suatu peubah acak diskrit X memiliki fungsi densitas peluang

fX(x) =4

31

(1

2

)x; x = −2,−1, 0, 1, 2. (5.33)

Misal kita tertarik dengan peubah acak Y = |X|. Dalam hal ini himpunan B = 0, 1, 2 serta

fY (0) = fX(0) =4

31

(1

2

)0

=4

21; (5.34)

fY (1) = fX(−1) + fX(1) =4

31

(1

2

)−1

+4

31

(1

2

)1

=8

31+

2

31=

10

31; (5.35)

fY (2) = fx(−2) + fX(2) =4

31

(1

2

)−2

+4

31

(1

2

)2

=16

31+

1

31=

17

31. (5.36)

Cara lain untuk menyatakan fungsi densitas peluang ini adalah

fY (y) =

4

31, untuk y = 0;

4

31

[(1

2

)−y+

(1

2

)y], untuk y = 1, 2.

(5.37)

Jika kita lihat kembali Contoh (5.2), yakni teknik fungsi distribusi kumulatif, jika X adalahpeubah acak kontinu serta Y = X2, maka

FY (y) = FX(√y)− FX(−√y); (5.38)

dengan menurunkan diperoleh

fY (y) =1

2√y

[fX(√y) + fX(−√y)]. (5.39)

Contoh 5.11. Misal peubah acak X ∼ UNIF(−1, 1) dan misalkan pula Y = X2. Fungsidensitas peluang X dapat dinyatakan sebagai berikut

fX(x) =1

1− (−1)=

1

2, −1 < x < 1. (5.40)

Jika kita partisi himpunan A = (−1, 1) menjadi A1 = (−1, 0) dan A2 = (0, 1) maka y = x2

memiliki penyelesaian tunggal, yakni x1 = w1(y) = −√y dan x2 = w2(y) =√y sepanjang selang

ini. Kita dapat mengabaikan titik x = 0 dalam partisi ini karena x kontinu. Dengan demikian


fungsi densitas peluang Y adalah

fY (y) =2∑j=1

fX(wj(y))

∣∣∣∣ d

dywj(y)

∣∣∣∣= fX(w1(y))

∣∣∣∣ d

dyw1(y)

∣∣∣∣+ fX(w2(y))

∣∣∣∣ d

dyw2(y)

∣∣∣∣= fX(−√y)

∣∣∣∣ d

dy(−√y)

∣∣∣∣+ fX(√y)

∣∣∣∣ d

dy(√y)

∣∣∣∣= fX(−√y)

∣∣∣∣− 1

2√y

∣∣∣∣+ fX(√y)

∣∣∣∣ 1

2√y

∣∣∣∣=

1

2

∣∣∣∣ 1

2√y

∣∣∣∣+1

2

∣∣∣∣ 1

2√y

∣∣∣∣=

2

2

∣∣∣∣ 1

2√y

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ 1

2√y

∣∣∣∣=

1

2√y, y ∈ B = (0, 1).

Contoh 5.12. Suatu peubah acak kontinu X memiliki fungsi densitas peluang

fX(x) =

x2

3, jika − 1 < x < 2;


Misal kita tertarik dengan peubah acak Y = X2. Kita peroleh transformasi inverse x1 = w1(y) =−√y untuk x < 0 dan x2 = w2(y) =

√y untuk x > 0. Namun, untuk 0 < y < 1 terdapat dua

titik dengan fungsi densitas peluang tidak nol, yakni x1 = −√y dan x2 =√y yang terpetakan

ke y. Sementara untuk 1 < y < 4 hanya terdapat satu titik dengan fungsi densitas peluang tidaknol, x2 =

√y yang dipetakan ke y. (Ingat bahwa batas untuk y adalah 0 < y < 4). Dengan

demikian, fungsi densitas peluang Y adalah

fY (y) =1

2√y

(fX(√y) + fX(−√y)) (5.42)

fY (y) =

1

2√y

[(−√y)2

3+

(√y)2

3

], untuk 0 < y < 1;

1

2√y

[0 +

(√y)2

3

]=

1

2√y

[(√y)2

3

], untuk 1 < y < 4.

Catatan: persamaanfY (y) =

∑j

fX(wj(y))

danfY (y) =

∑j

fX(wj(y))

∣∣∣∣ d

dywj(y)

∣∣∣∣dapat disederhanakan menjadi

fY (y) =∑j

fX(xj)


danfY (y) =

∑j

fX(xj)

∣∣∣∣dxjdy

∣∣∣∣,dengan

xj = wj(y)

adalah fungsi dari y.

5.2.3 Transformasi Bersama

Misal X adalah suatu vektor peubah acak berdimensi k, yakni X = (X1, . . . , Xk), dan misalkanu1(x), . . . , uk(x) adalah fungsi dari x sebanyak k, sedemikian hingga Yi = ui(X) untuk i =1, . . . , k mendefinisikan suatu peubah acak lain yakni Y = (Y1, . . . , Yk) = u(X).

Teorema 5.6 (Kasus Diskrit). Jika X adalah suatu vektor peubah acak diskrit dengan fungsidensitas peluang bersama fX(x) dan Y = u(X) mendefinisikan suatu transformasi satu-satu,maka fungsi densitas peluang bersama Y adalah

fY(y1, . . . , yk) = fX(x1, . . . , xk) (5.43)

dimana x1, . . . , xk adalah penyelesaian dari y = u(x) dan bergantung pada y1, . . . , yk. Jikatransformasinya tidak satu-satu dan jika partisi ada katakanlah A1, A2, . . . , sedemikian hinggay = u(x) memiliki penyelesaian tunggal x = xj atau

xj = (x1j , . . . , xkj) (5.44)

sepanjang Aj , maka fungsi densitas peluang Y adalah

fY(y1, . . . , yk) =∑j

fX(x1j , . . . , xkj). (5.45)

Untuk kasus kontinu, transformasi peubah acak kontinu juga dapat diperoleh dengan mem-perluas notasi Jacobian. Suatu transformasi dengan k peubah y = u(x) dengan suatu penye-lesaian tunggal x = (x1, . . . , xk) memiliki Jacobian yang merupakan matriks turunan parsialk × k

J =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x1

∂y1

∂x1

∂y2· · · ∂x1

∂yk∂x2

∂y1

∂x2

∂y2· · · ∂x2

∂yk...

.... . .

...

∂xk∂y1

∂xk∂y2

· · · ∂xk∂yk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(5.46)

Teorema 5.7. Misal suatu vektor peubah acak kontinu X = (X1, . . . , Xk) dengan fungsi densi-tas peluang bersama fX(x1, . . . , xk) > 0 pada himpunan A, dan Y = (Y1, . . . , Yk) didefinisikanoleh transformasi satu-satu

Yi = ui(X1, . . . , Xk), i = 1, . . . , k. (5.47)

Jika Jacobiannya kontinu dan tak nol sepanjang rentang (range) dari transformasi, maka fungsidensitas peluang bersama Y adalah

fY(y1, . . . , yk) = fX(x1, . . . , xk)|J | (5.48)

dimana x = (x1, . . . , xk) adalah penyelesaian dari y = u(x).


Contoh 5.13. Misal X1 dan X2 adalah peubah-peubah acak kontinu bebas dan berdistribusieksponensial, yakni Xi ∼ EXP(1). Fungsi densitas peluang bersamanya adalah

fX1,X2(x1, x2) = exp(−(x1 + x2)), (x1, x2) ∈ A, (5.49)

dengan A = (x1, x2) : 0 < x1, 0 < x2. Misal peubah acak Y1 = X1 dan Y2 = X1 + X2. Halini bersesuaian dengan transformasi y1 = x1 dan y2 = x1 + x2, yang memiliki solusi tunggalx1 = y1 dan x2 = y2 − y1. Jacobian transformasi ini adalah

J =

∣∣∣∣∣∣∣∂x1

∂y1

∂x1

∂y2∂x2

∂y1

∂x2

∂y2

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ 1 0

−1 1

∣∣∣∣∣= (1 · 1)− ((−1) · 0)

= 1− 0

= 1.

Dengan demikian fungsi densitas peluang bersama Y1 dan Y2 adalah

fY1,Y2(y1, y2) = fX1,X2(y1, y2 − y1)

= exp(y1 + y2 − y1)

= exp(−y2), (y1, y2) ∈ B;

dan nol untuk y lainnya.Himpunan B diperoleh dengan mentransformasikan himpunan A yang bersesuaian dengan

y1 = x1 > 0 dan y2 − y1 = x2 > 0. Dengan demikian B = (y1, y2) : 0 < y1 < y2 <∞. Fungsidensitas marjinal Y1 dan Y2 adalah

fY1(y1) =

∫ ∞y1

e−y2 dy2

= − e−y2∣∣∣∣y2=∞

y2=y1

= − e−∞−(− e−y1)

= 0 + e−y1

= e−y1 , y1 > 0; (5.50)

dan

fY2(y2) =

∫ y2

0e−y2 dy1

= e−y2 y1

∣∣∣∣y1=y2

y1=0

= y2 e−y2 −0

= y2 e−y2 , y2 > 0. (5.51)

Dari fungsi densitas peluang (5.50) dan (5.51) diperoleh Y1 ∼ EXP(1) dan Y2 ∼ GAM(1, 2).


Contoh 5.14. Sehubungan dengan Contoh (5.13), misal kita tertarik dengan peubah acakY1 = X1−X2 dan Y2 = X1 +X2. Hal ini bersesuaian dengan transformasi x1 = (y1 + y2)/2 danx2 = (y2 − y1)/2. Dengan demikian Jacobiannya adalah

J =

∣∣∣∣∣∣∣∂x1

∂y1

∂x1

∂y2∂x2

∂y1

∂x2

∂y2

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ 1/2 1/2

−1/2 1/2

∣∣∣∣∣=

1

2· 1

2− 1

2·(−1

2

)=

1

4+

1

4

=2

4

=1

2.

Fungsi densitas peluang bersama Y1 dan Y2 adalah

fY1,Y2(y1, y2) = fX1,X2((y1 + y2)/2, (y2 − y1)/2)|1/2|= exp(−(y1 + y2)/2 + (y2 − y1)/2)(1/2)

= exp(−(y1 + y2 + y2 − y1)/2)(1/2)

= exp(−(2y2)/2)(1/2)

= (1/2) exp(−y2), (y1, y2) ∈ B.

Dalam hal ini B = (y1, y2) : −y2 < y1 < y2, y2 > 0 dengan batas-batas y2 = −y1 dan0 < y2 = y1. Fungsi marjinal Y1 dan Y2 adalah sebagai berikut. Pertama, untuk y1 < 0:

fY1(y1) =

∫ ∞−y1

1

2e−y2 dy2

= −1

2e−y2

∣∣∣∣y2=∞

y2=−y1

= −1

2e−∞−

(−1

2ey1)

= 0 +1

2ey1

=1

2ey1 . (5.52)


Kedua, untuk y1 > 0:

fY1(y1) =

∫ ∞y1

1

2e−y2 dy2

= −1

2e−y2

∣∣∣∣y2=∞

y2=y1

= −1

2e−∞−

(−1

2e−y1

)= 0 +

1

2e−y1

=1

2e−y1 . (5.53)

Bentuk persamaan (5.52) dan (5.53) dapat disederhanakan menjadi

fY1(y1) =1

2e−|y1|, −∞ < y1 <∞. (5.54)

Sementara,

fY2(y2) =

∫ y2

−y2

1

2e−y2 dy1

=y1

2e−y2

∣∣∣∣y1=y2

y1=−y2

=y2

2e−y2 −

(−y2

2e−y2

)=y2

2e−y2 +

y2

2e−y2

= y2 e−y2 , y2 > 0. (5.55)

Dari persamaan (5.55) diperoleh Y1 ∼ DE(1, 0) dan Y2 ∼ GAM(1, 2).Untuk transformasi yang tidak satu-satu Teorema (5.7) juga dapat dipeluas. Jika persamaan

y = u(x) dapat diselesaikan secara tunggal sepanjang setiap himpunan pada partisi A1, A2, . . . ,dan menghasilkan penyelesaian, dan jika penyelesaian ini memiliki Jacobian kontinu tak nol,maka

fY(y1, . . . , yk) =∑i

fX(x1i, . . . , xki)|Ji|, (5.56)

dimana Ji adalah Jacobian dari penyelesian sepanjang himpunan Ai.

5.3 Jumlah Peubah Acak

5.3.1 Formula Konvolusi

MisalX1 danX2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama fX1,X2(x1, x2)dan jika kita hanya tertarik pada fungsi densitas peluang dari suatu jumlah S = X1 +X2 makakita dapat menggunakan

fS(s) =

∫ ∞−∞

f(t, s− t) dt. (5.57)

Jika X1 dan X2 saling bebas, maka kita akan memperoleh formula konvolusi

fS(s) =

∫ ∞−∞

fX1(t)fX2(s− t) dt. (5.58)


Contoh 5.15. Misal X1 dan X2 adalah peubah acak bebas dan berdistribusi seragam, yakniXi ∼ UNIF(0, 1), i = 1, 2. Misal pula S = X1 +X2. Fungsi distribusi peluang bersama X1 danX2 dapat dinyatakan sebagai

fX1,X2(x1, x2) = 1, 0 < x1 < 1; 0 < x2 < 1. (5.59)

Daerah B bersesuaian dengan transformasi t = x1 dan s = x1 + x2 adalah B = (s, t) : 0 < t <s < t+ 1 < 2. Dengan demikian diperoleh

fS(s) =

∫ s0 dt = s, untuk 0 < s < 1;∫ 1s−1 dt = 2− s, untuk 1 ≤ s < 2;

1− |s− 1|, untuk 0 < s < 2;

0, untuk s lainnya.

(5.60)

Contoh 5.16. Misal X1 dan X2 adalah peubah acak gamma bebas, yakni X1 ∼ GAM(1, α)dan X2 ∼ GAM(1, β). Misal peubah acak Y1 = X1 + X2 dan Y2 = X1/(X1 + X2). Fungsidensitas peluang bersama X1 dan X2 adalah

fX1,X2(x1, x2) =1

Γ(α)Γ(β)xα−1

1 xβ−12 exp(−x1 − x2), 0 < xi <∞, 0 < α, 0 < β. (5.61)

Dengan transformasi invers diperoleh x1 = y1y2 dan x2 = y1 − y1y2 = y1(1 − y2). Jacobiantransformasi ini adalah

J =

∣∣∣∣∣∣∣∂x1

∂y1

∂x1

∂y2∂x2

∂y1

∂x2

∂y2

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣y2 y1

1− y2 −y1

∣∣∣∣∣∣= y2(−y1)− (y1)(1− y2)

= −y1y2 − y1 + y1y2

= −y1.

Dengan demikian fungsi densitas peluang bersama X1 dan X2 adalah

fY1,Y2(y1, y2) =(y1y2)α−1

Γ(α)Γ(β)(y1(1− y2))β−1 exp(−y1y2 − (y1 − y1y2))| − y1|

=yα−1

1 yα−12 yβ−1

1 (1− y2)β−1

Γ(α)Γ(β)e−y1 y1

=yα−1

2 (1− y2)β−1

Γ(α)Γ(β)yα+β−1

1 e−y1 ;

jika (y1, y2) ∈ B = (y1, y2) : 0 < y1 <∞, 0 < y2 < 1 dan nol untuk y lainnya.

5.3.2 Metode Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen (moment generating function) dari suatu peubah acak secara unikmenentukan distribusinya. Pendekatan fungsi pembangkit momen berguna dalam menentukandistribusi jumlah peubah acak bebas dan bahkan lebih nyaman dibandingkan melakukan trans-formasi bersama. Jika fungsi pembangkit momen suatu peubah acak diperoleh, maka langkahselanjutnya adalah menentukan atau mengenali distribusi yang memiliki fungsi pembangkit mo-men tersebut.


Teorema 5.8. Jika X1, . . . , Xn adalah peubah acak bebas dengan fungsi pembangkit momenMXi(t), maka fungsi pembangkit momen Y =

∑ni=1Xi adalah

MY (t) = MX1(t) · · ·MXn(t). (5.62)

Bukti:

MY (t) = E(etY )

= E(et(X1+···+Xn))

= E(etX1 · · · etXn)

= E(etX1) · · ·E(etXn)

= MX1(t) · · ·MXn(t).

Apabila X1, . . . , Xn merupakan sampel acak dari suatu populasi dengan fungsi densitaspeluang fX(x) dan fungsi pembangkit momen MX(t) maka

MY (t) = MX(t) · · ·MX(t) = [MX(t)]n. (5.63)

Contoh 5.17. Misal X1, . . . , Xn adalah peubah-peubah acak berdistribusi Poisson yang salingbebas, yakni Xi ∼ POI(µi) dan misal pula Y =

∑ni=1Xi. Fungsi pembangkit momen Xi adalah

MXi(t) = exp[µi(et−1)]. Dengan demikian fungsi pembangkit momen Y adalah

MY (t) = MX1(t) · · ·MXn(t)

= exp[µ1(et−1)] · · · exp[µn(et−1)]

= exp[(µ1 + · · ·+ µn)(et−1)]. (5.64)

Bentuk (5.64) adalah fungsi pembangkit momen dari POI(µ1 + · · ·+ µn). Jadi Y =∑n

i=1Xi ∼POI(

∑ni=1 µi).

Contoh 5.18. Misal X1, . . . , Xn adalah peubah-peubah acak yang berdistribusi normal dansaling bebas, Xi ∼ N (µi, σ

2i ); i = 1, . . . , n. Misal Y =

∑ni=1Xi. Fungsi pembangkit momen Xi

adalah

MY (t) = MX1(t) · · ·MXn(t)

= exp(µ1t+ σ21t

2/2) · · · exp(µnt+ σ2nt

2/2)

= exp(µ1t+ · · ·+ µnt+ σ21t

2/2 + · · ·+ σ2nt

2/2)

= exp[(µ1 + · · ·+ µn)t+ (σ21 + · · ·+ σ2

n)t2/2]. (5.65)

Bentuk (5.65) adalah fungsi pembangkit momen dari Y ∼ N (∑n

i=1 µi,∑n

i=1 σ2i ).

5.4 Statistik Terurut

5.4.1 Penarikan Sampel Tersensor

Konsep tentang suatu sampel acak berukuran n telah dibicarakan pada bab sebelumnya, danfungsi denstias peluang bersama dari n peubah acak saling bebas dari X1, . . . , Xn diberikan oleh

fX1,...,Xn(x1, . . . , xn) = fX1(x1) · · · fXn(xn). (5.66)

Sebagai contoh suatu sampel acak enam bola lampu diuji dengan waktu kegagalan yang teramati(dalam bulan) katakanlah (x1, x2, x3, x4, x5, x6) = (6, 8, 11, 100, 5, 15). Nah, amatan sesungguh-nya akan mengambil posisi x5 = 5, x1 = 6, x2 = 8, x3 = 11, x6 = 15, dan x4 = 100. Akan


lebih bermanfaat apabila kita mengganggap sampel acak ”terurut” (ordered random sample)berukuran n, dinotasikan sebagai (x1:n, . . . , xn:n). Dalam hal ini, x1:6 = x5 = 5, x2:6 = x1 = 6,x3:6 = x2 = 8, x4:6 = x3 = 11, x5:6 = x6, dan x6:6 = x4 = 100. Mengingat kita tidak perdulibola lampu mana yang diberi label nomor 1, nomor 2, nomor 3, dan seterusnya, kita dapat sajadengan cara yang sama mencatat data terurut sebagaimana bahwa dia diambil tanpa mencatatpelabelan awal. Dalam beberapa kasus kita ingin berhenti setelah r amatan terurut terkecil darin telah teramati, karena hal ini berarti kita bisa menghemat waktu. Dalam ilustrasi di atasdiperlukan 100 bulan agar keenam bola lampu gagal, tetapi lima bola lampu gagal dalam tempo15 bulan.

Fungsi distribusi bersama dari peubah-peubah acak terurut tidaklah sama dengan fungsidensitas bersama peubah-peubah acak tidak terurut. Sebagai contoh, ilustrasi di atas ada 6!permutasi yang berbeda dari suatu sampel berukuran 6 bersesuaian dengan satu hasil terurut.Misal suatu transformasi yang mengurutkan nilai-nilai x1, . . . , xn yakni

y1 = u1(x1, . . . , xn) = min(x1, . . . , xn); (5.67)yn = un(x1, . . . , xn) = max(x1, . . . , xn). (5.68)

Secara umum yi = ui(x1, . . . , xn) menyatakan nilai terkecil ke-i dari x1, . . . , xn. Ilustrasi bolalampu di atas memperlihatkan contoh transformasi ini. Apabila transformasi ini diterapkan padasuatu sampel acak X1, . . . , Xn, kita akan mendapatkan sampel acak terurut, disebut statistikterurut (order statistics) dinotasikan sebagai X1:n, . . . , Xn:n atau Y1, . . . , Yn.

Teorema 5.9. Jika X1, . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu populasi dengan fungsidensitas peluang kontinu fX(x), maka fungsi densitas peluang bersama dari statistik terurutY1, . . . , Yn adalah

gY1,...,Yn(y1, . . . , yn) =

n!fY1(y1) · · · fYn(yn), jika y1 < y2 < · · · < yn;

0, jika y lainnya.(5.69)

Jika transformasi peubah acak kontinu tidak satu-satu maka perlu dilakukan partisi pada do-main menjadi himpunan-himpunan bagian A1, A2, . . . , sedemikian hingga transformasi menjadisatu-satu pada masing-masing himpunan bagian dan menjumlahkannya, yakni

gY1,...,Yn(y1, . . . , yn) =∑i

fY1(y1) · · · fYn(yn)|Ji|. (5.70)

Untuk memahami Teorema (5.9), sebagai ilustrasi kita ambil kasus n = 3. Dalam hal ini ruangsampel dapat dibagi menjadi 3! = 6 himpunan disjoint :

A1 = (x1, x2, x3) : x1 < x2 < x3,A2 = (x1, x2, x3) : x2 < x1 < x3,A3 = (x1, x2, x3) : x1 < x3 < x2,A4 = (x1, x2, x3) : x2 < x3 < x1,A5 = (x1, x2, x3) : x3 < x1 < x2,A6 = (x1, x2, x3) : x3 < x2 < x1,

dan rentang (range) transformasi adalah B = (y1, y2, y3) : y1 < y2 < y3. Dalam mentransfor-masi menuju sampel acak terurut kita peroleh transformasi satu-satu:

Y1 = X1, Y2 = X2, Y3 = X3, dengan J1 = 1 pada A1;

Y1 = X2, Y2 = X1, Y3 = X3, dengan J2 = −1 pada A2;




Y1 = X3, Y2 = X2, Y3 = X1, dengan J6 = −1 pada A6.


Catatan: masing-masing Jacobian dapat dihitung sebagai berikut, misalnya untuk J3:

J3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x1

∂y1

∂x1

∂y2

∂x1

∂y3∂x2

∂y1

∂x2

∂y2

∂x2

∂y3∂x3

∂y1

∂x3

∂y2

∂x3

∂y3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 0 1

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 + 0 + 0− 0− 1− 0

= −1.

Pada setiap kasus |Ji| = 1. Lebih lanjut, untuk setiap daerah, fungsi densitas peluang bersamanyaadalah produk dari faktor-faktor fYi(yi) dikalikan menurut urutan. Namun, dapat dituliskansebagai fY1(y1)fY2(y2)fY3(y3), mengabaikan urutan. Jika kita jumlahkan semuanya maka terda-pat 3! = 6 himpunan bagian. Dengan demikian, fungsi densitas peluang bersama Y1, Y2, dan Y3

adalah

gY1,Y2,Y3(y1, y2, y3) =6∑i=1

fY1(y1)fY2(y2)fY3(y3)

= 3!fY1(y1)fY2(y2)fY3(y3), y1 < y2 < y3;

dan nol untuk y lainnya.

Contoh 5.19. Misal X1, X2, dan X3 menyatakan suatu sampel acak berukuran tiga dari suatupopulasi dengan fungsi densitas peluang

fX(x) =

2x, jika 0 < x < 1;


Fungsi densitas peluang bersama dari statistik terurut Y1, Y2, dan Y3 adalah

gY1,Y2,Y3(y1, y2, y3) = 3!(2y1)(2y2)(2y3)

= 6 · 8y1y2y3

= 48y1y2y3, 0 < y1 < y2 < y3 < 1,

dan nol untuk y lainnya.

Jika kita tertarik dengan fungsi densitas marjinal dari suatu statistik terurut tunggal, mis-alnya Yk, maka hal ini dapat diperoleh dengan mengintegralkan sepanjang peubah lain. Misal


fungsi peluang marjinal dari statistik terurut terkecil Y1.

gY1(y1) =

∫ 1

y1

∫ 1

y2

48y1y2y3 dy3 dy2

= 48y1y2

∫ 1

y1

∫ 1

y2

y3 dy3 dy2

= 48y1y2

∫ 1

y1

[1

2y2

3

∣∣∣∣y3=1

y3=y2

]dy2

= 48y1y2

∫ 1

y1

(1

2(12 − y2

2)

)dy2

= 48y1y2

∫ 1

y1

(1

2− 1

2y2

2

)dy2

= 48y1

∫ 1

y1

y2

(1

2− 1

2y2

2

)dy2

= 48y1

∫ 1

y1

(1

2y2 −

1

2y3

2

)dy2

= 48y1

[1

4y2

2 −1

8y4

2

∣∣∣∣y2=1

y2=y1

]dy2

= 48y1

[1

4− 1

8−(

1

4y2

1 −1

8y4

1

)]= 48y1

[(1

4− 1

8

)− 1

8

(2y2

1 − y41

)]= 48y1

[(1

8− 1

8

(2y2

1 − y41

)]=

48y1

8[1− (2y2

1 − y41)]

= 6y1(1− 2y21 + y4

1)

= 6y1(1− y21)2, 0 < y1 < 1.

Untuk mendapatkan formula umum dari distribusi ke-k dari statistik terurut dalam fungsi den-sitas peluang fX(x) dan fungsi distribusi kumulatif FX(x). Jika X adalah peubah acak kontinudengan fungsi peubah acak fX(x) > 0 pada a < x < b (a mungkin −∞ dan b mungkin∞) maka


untuk n = 3:

gY1(y1) =

∫ b

y1

∫ b

y2

3!fY1(y1)fY2(y2)fY3(y3) dy3 dy2

= 3!fY1(y1)fY2(y2)

∫ b

y1

∫ b

y2

fY3(y3) dy3 dy2

= 3!fY1(y1)fY2(y2)

∫ b

y1

[∫ 0

y2

fY3(y3) dy3 +

∫ b

0fY3(y3) dy3

]dy2

= 3!fY1(y1)fY2(y2)

∫ b

y1

[∫ b

0fY3(y3)−

∫ y2

0fY3(y3) dy3 dy3

]dy2

= 3!fY1(y1)fY2(y2)

∫ b

y1

[F (b)− F (y2)

]dy2

= 3!fY1(y1)

∫ b

y1

fY2(y2)

[F (b)− F (y2)

]dy2

= −3!fY1(y1)[1− FY2(y2)]2

2

∣∣∣∣y2=b

y2=y1

= 3fY1(y1)[1− FY1(y1)]2, a < y1 < b.

Teorema 5.10. Misal X1, . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari fungsi densitas peluangkontinu fX(x), dimana fX(x) > 0 untuk a < x < b. Maka fungsi densitas peluang statistikterurut ke-k, yakni Yk, diberikan oleh

gk(yk) =n!

(k − 1)!(n− k)![FYk(yk)]

k−1[1− FYk(yk)]n−kfYk(yk), (5.72)

jika a < yk < n, dan nol untuk yk lainnya.

Untuk memahami Teorema (5.10) perhatikan bahwa untuk mendapatkan Yk = yk, kita harusmempunyai k − 1 amatan kurang dari yk, satu amatan pada yk, dan n − k amatan yang lebihbesar daripada yk, dimana P (X ≤ yk) = FX(yk) , P (X ≥ yk) = 1−FX(yk), dan likelihood padaamatan saat yk adalah fYk(yk). Terdapat n!/(k − 1)!1!(n − k)! pengurutan yang mungkin darin amatan peubah acak bebas, sehingga gk(yk) diberikan oleh persamaan

gk(yk) =n!

(k − 1)!(n− k)![FYk(yk)]

k−1[1− FYk(yk)]n−kfYk(yk).

Dengan argumentasi yang sama kita juga dapat memperoleh sembarang fungsi densitas peluangbersama statistik terurut. Misalkan suatu pasangan statistik terurut Yi dan Yj dimana i < j.

Untuk mendapatkan Yi = yi dan Yj = yj , kita harus memiliki i − 1 amatan kurang dariyi, satu amatan pada yi, j − i − 1 antara yi dan yj , satu observasi pada yj , dan n − j amatanlebih besar daripada yj . Dengan menerapkan bentuk multinomial kita akan memperoleh fungsidensitas peluang bersama Yi dan Yj

gij(yi, yj) =n!

(i− 1)!1!(j − i− 1)!1!(n− j)![FYi(yi)]

i−1fYi(yi)[FYj (yj)− FYi(yi)]j−i−1

× [1− FYj (yj)]n−jfYj (yj), (5.73)

jika a < yi < yj < b dan nol untuk yi dan yj lainnya. Dalam statistika dasar, kita telah mengenalmedian dan rentang sampel. Median sampel didefinisikan sebagai

Yk =

Y(n+1)/2, jika n ganjil;Y(n/2) + Y(n/2+1)

2, jika n genap.


Sementara, rentang sampel adalah selisish antara amatan terbesar dan terkecil, yakni R =Yn − Y1.

Fungsi densitas peluang untuk amatan minimum dan maksimum, yakni Y1 dan Yn dapatditentukan sebagai kasus khusus dari Teorema (5.10) yakni

g1(y1) =n!

(1− 1)!(n− 1)![FY1(y1)]i−1[1− FY1(y1)]n−1fY1(y1)

=n!

0!(n− 1)![FY1(y1)]0[1− FY1(y1)]n−1fY1(y1)

=n(n− 1)!

1(n− 1)!1[1− FY1(y1)]n−1fY1(y1)

= n[1− FY1(y1)]n−1fY1(y1), a < y1 < b;

dan

gn(yn) =n!

(n− 1)!(n− n)![FYn(yn)]n−1[1− FYn(yn)]n−nfYn(yn)

=n!

(n− 1)!0![FYn(yn)]n−1[1− FYn(yn)]0fYn(yn)

=n(n− 1)!

(n− 1)!1[FYn(yn)n−1]1fYn(yn)

= n[FYn(yn)]n−1fYn(yn), a < yn < b.

Fungsi distribusi kumulatif peubah acak diskrit dan kontinu untuk nilai sampel minimum danmaksimum dapat dihitung dengan teknik fungsi distribusi kumulatif. Untuk nilai amatan min-imum, fungsi distribusi kumulatifnya adalah

G1(y1) = P (Y1 ≤ y1)

= 1− P (Y1 > y1)

= 1− P (semua Xi > y1)

= 1− [1− FY1(y1)]n;

sementara untuk nilai amatan maksimum

Gn(yn) = P (Yn ≤ yn)

= P (semua Xi ≤ yn)

= [FYn(yn)]n.

Dengan argumentasi yang sama diperoleh fungsi distribusi kumulatif untuk statistik terurutke-k.

Teorema 5.11. Untuk suatu sampel acak berukuran n dari suatu fungsi distribusi kumulatifdiskrit atau kontinu FX(x), maka fungsi distribusi kumulatif marjinal dari statistik terurut ke-kdiberikan oleh

Gk(yk) =n∑j=k

(n

j

)[FYk(yk)]

j [1− FYk(yk)]n−j . (5.74)

Contoh 5.20. Misal suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi densitaspeluang fX(x) = 2x, 0 < x < 1 dan fungsi distribusi kumulatif

FX(x) = x2; 0 < x < 1. (5.75)


Fungsi densitas peluang untuk sampel minimum dan maksimum diperoleh

g1(y1) = n[1− FY1(y1)]n−1fY1(y1)

= n(1− y21)n−12y1

= 2ny1(1− y21)n−1, 0 < y1 < 1,

dan

gn(yn) = n(y2n)n−12yn

= 2nyn(y2n)n−1

= 2ny2n−1n , 0 < yn < 1.

Untuk fungsi distribusi kumulatifnya diperoleh

G1(y1) = 1− [1− FY1(y1)]n

= 1− [1− y21]n;

sedangkan untuk fungsi distribusi maksimum diberikan oleh

Gn(yn) = [FYn(yn))]n

= [y2n]n

= y2nn .

Contoh 5.21. Misal kita tertarik pada fungsi densitas peluang dari rentang sampel R = Yn−Y1.Fungsi densitas peluang bersama Y1 dan Yn diberikan oleh

g1,n(y1, yn) =n!

(1− 1)!(n− 1− 1)!(n− n)![FY1(y1)]1−1fY1(y1)[FYn(yn − FYn(y1))]n−1−1[1− FYn(yn)]n−nfYn(yn)

=n!

0!(n− 2)!0![FY1(y1)]0fY1(y1)[FYn(yn)− FY1(y1)]n−2[1− FYn(yn)]0fYn(yn)

=n!

(n− 2)!(2y1)[y2

n − y21]n−2(2yn)

=n!

(n− 2)!2y1[y2

n − y21]n−22yn

=n!

(n− 2)!4y1yn(y2

n − y21)n−2, 0 < y1 < yn < 1.

Dengan membuat transformasi R = Yn−Y1, dan S = Y1 transformasi invers y1 = s, yn = r+ s,dan

J =

∣∣∣∣∣∣∣∂s

∂y1

∂s

∂yn∂r

∂y1

∂r

∂yn

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣1 1

0 1

∣∣∣∣∣= 1− 0

= 1.


Dengan demikian, fungsi densitas peluang bersama R dan S adalah

hR,S(r, s) =n!

(n− 2)!4s(r + s)[(r + s)2 − s2]n−2

=4n!

(n− 2)!s(r + s)[r2 + 2rs+ s2 − s2]n−2

=4n!

(n− 2)!s(r + s)(r2 + 2rs), 0 < s < 1− r, 0 < r < 1.

Fungsi densitas peluang marjinal rentang diberikan oleh

hR(r) =

∫ 1−r

0h(r, s) ds (5.76)

dan

hS(s) =

∫ 1

0h(r, s) dr. (5.77)

Misal untuk n = 3 kita peroleh

hR(r) =

∫ 1−r

0

4 · 3!

(3− 2)!s(r + s)[r + 2rs]3−2 ds

=

∫ 1−r

0

4 · 3!

1!s(r + s)[r + 2rs]3−2 ds

=

∫ 1−r

024s(r + s)(r + 2rs) ds

= 24

∫ 1−r

0(sr2 + 2r2s2 + rs2 + 2rs3) ds

= 24

(1

2s2r2 +

2

3r2s3 +

r

3s3 +

1

2s4r

)∣∣∣∣s=1−r

s=0

= 24s2r

(1

2r +

2

3rs+

1

3s+

1

2s2

)∣∣∣∣s=1−r

s=0

= 24(1− r)2r

(1

2r +

2

3r(1− r) +

1

3(1− r) +

1

2(1− r)2 − 0

)= 24(1− r)2r

(1

2r +

2

3r − 2

3r2 +

1

3− 1

3r +

1

2(1− 2r + r2)

)= 24

[(1− r)2r

(1

2r +

2

3r − 2

3r2 +

1

3− 1

3r +

1

2− r +−r

2

2)

)]= 24

[(1− r)2r

(1

2r +

2

3r − 1

3r − r − 2

3r2 +

r2

2+

1

3+

1

2)

)]= 24(1− r)2r

(−2

2r − 2

3r − 2

3r2 +

r2

2+

5

6

)= 24(1− r)2r

(−5

3r − 1

6r2 +

5

6

).

5.4.2 Pengambilan Sampel Tersensor

Dalam beberapa maslah seperti percobaan uji hidup (life testing) untuk memperoleh informasireliabilitas benda, amtan terururut adalah hal yang terjadi secara alami. Dalam kasus seperti itupenghematan dalam waktu dan biaya dapat dilakukan dengan menghentikan percobaan setelah


r amatan terurut terjadi, dibandingkan menunggu sampai semua n amatan gagal terjadi. Hal inidisebut pengambilan sampel tersensor tipe II (Type II censored sampling). Pada kasus ini, fungsidensitas marjinal dari statistik terurut diperoleh dengan mengintegralkan sepanjang peubah.

Teorema 5.12 (Pengambilan Sampel Tersensor Tipe II). Fungsi densitas bersama fungsi dari rstatistik terurur pertama dari suatu sampel acak berukuran n dari suatu fungsi densitas peluangkontinu fX(x) diberikan oleh

gY1,...,Yr(y1, . . . , yr) =

n!

(n− r)![1− F (yr)]

n−r∏ri=1 f(yi), jika −∞ < y1 < · · · < yr <∞;

0, jika ylainnya.(5.78)

Dalam pengambilan sampel tersensor tipe II, jumlah amatan r adalah tetap, namun lamaeksperimen, Yr adlaha peubah acak jika pelaku percobaan menghentikan percobaan setelahwaktu tertentu t0, maka prosedur ini disebut pengambilan sampel tersensor tipe I (Type I cen-sored sampling).

Teorema 5.13 (Pengambilan Sampel Tersensor Tipe I). Jika Y1, . . . , Yr menyatakan nilai-nilaiamatan pada suatu sampel acak berukuran n dari fX(x), yakni tersensor tipe I pada sebelahkanan saat t0, maka fungsi densitas peluang bersama Y1, . . . , Yr diberikan oleh

fY1,...,Yr(y1, . . . , yr) =n!

(n− r)![1− F (t0)]n−r

n∏i=1

f(yi)[1− F (t0)]n, (5.79)

jika < y1 < · · · < yr < t0 dan r = 1, . . . , n.

5.5 Latihan Soal

5-1 Misal X adalah peubah acak dengan dengan fungsi densitas peluang

fX(x) =

4x3, jika 0 < x < 1;

0, jika x lainnya.

Gunakan teknik fungsi distribusi kumulatif untuk menentukan fungsi densitas peluang darimasing-masing peubah acak berikut:

a) Y = X4;

b) W = eW ;

c) Z = lnX;

d) U = (X − 1/2)2;

5-2 Misal X adalah peubah acakyang berdistribusi secara seragam, Xi ∼ UNIF(0, 1). Gunakanteknik fungsi distribusi kumulatif untuk menentukan fungsi densitas peluang dari masing-masing peubah acak berikut:

a) Y = X1/4;

b) W = e−X ;

c) Z = 1− e−X ;

d) U = X(1−X).


5-3 Jika X berdistribusi Weibull, yakni X ∼WEI(θ, β) , carilah fungsi distribusi kumulatif danfungsi densitas peluang dari peubah-peubah acak berikut:

a) Y = (X/θ)β ;

b) W = lnX;

c) Z = (lnX)2.

5-4 Kerjakan kembali Soal No. 1 dan 2 menggunakan metode transformasi.

5-5 Misal X ∼ BIN(n, p). Tentukan fungsi densitas peluang Y = n−X.

5-6 Misal X ∼ NB(r, p). Tentukan fungsi densitas peluang Y = X − r.

5-7 Misal X memiliki fungsi densitas peluang

fX(x) =

x2

24, jika − 2 < x < 4;

0, jika x lainnya.

Carilah fungsi densitas peluang dari Y = X2.

5-8 Misal X dan Y memiliki fungsi densitas peluang bersama

fX,Y (x, y) =

4 e−2(x+y), jika 0 < x <∞, 0 < y <∞;

0, x dan y lainnya.

a) Carilah fungsi distribusi kumulatif W = X + Y .

b) Carilah fungsi densitas peluang bersama U = X/Y dan V = X.

c) Carilah fungsi densitas peluang marjinal U .

5-9 Jika X1 dan X2 menyatakan sampel acak berukuran dua dari suatu distribusi Poisson,Xi ∼ POI(λ), carilah fungsi densitas peluang bersama Y = X1 +X2.

BAB 6

LIMIT DISTRIBUSI

Kompetensi DasarMenilai berdasarkan sifat konvergensi distribusi.

Indikator PencapaianMemperbandingkan sifat-sifat konvergensi distribusi meliputi barisan peubah acak, teoremalimit pusat, distribusi normal asimtotis, sifat konvergen, dan teorema limit tambahan.

Materi Pokok

6.1 Barisan Peubah Acak

6.2 Teorema Limit Pusat

6.3 Pendekatan Distribusi Binomial

6.4 Distribusi Normal Asimtotik

6.5 Sifat-sifat Konvergensi Stokastik

6.6 Teorema-teorema Limit Tambahan

6.7 Latihan Soal

Pada Bab 5, kita telah membahas metode-metode umum untuk mendapatkan distribusi darisuatu fungsi dari n peubah acak, katakanlah Wn = u(X1, . . . , Xn). Dalam beberapa kasus,fungsi densitas peuang Wn mudah diperoleh, tetapi dalam beberapa kasus penting penurunandistribusi tidaklah terlacak (not tractable). Untuk mengatasi hal ini, sangatlah mungkin untukmemperoleh hasil-hasil yang mendekati yang bisa diterapkan saat n besar. Hasil ini berdasarkankonsep konvergensi dalam distribusi dan limit distribusi.

6.1 Barisan Peubah Acak

Misal suatu barisan peubah acak W1,W2, . . . dengan barisan distribusi kumulatif yang bers-esuain G1(w), G2(w), . . . sedemikian hingga untuk setiap n = 1, 2, . . .

Gn(w) = P (Wn ≤ w). (6.1)

Definisi 6.1 (Konvergensi dalam Distribusi). Jika Wn ∼ Gn(w) untuk setiap n = 1, 2, . . . , danjika untuk beberapa fungsi distribusi kumulatif G(w),

limn→∞

Gn(w) = G(w) (6.2)

70

BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 71

untuk semua nilai w yang mana G(w) adalah kontinu, maka barisan W1,W2, . . . dikatakankonvergen dalam distribusi (converge in distribution) ke W ∼ G(w), dinotasikan

Wnd−→W. (6.3)

Distribusi yang bersesuaian dengan fungsi distribusi kumulatif G(w) disebut limit distribusidari Wn (limiting distribution of Wn)

Contoh 6.1. Misal X1, . . . , Xn adalah sampel acak dari suatu distribusi seragam, yakni Xi ∼UNIF(0, 1) dan misal Wn = Xn:n adalah statistik terurut terbesar. Dari Bab 5 kita tahu bahwafungsi distribusi kumulatif Wn adalah

Gn(w) =

0, jika w ≤ 0;

wn, jika 0 < w < 1;

1, jika w ≥ 1.

(6.4)

Pada saat 0 < w < 1, bentuk wn mendekati 0 sebagaimana n mendekati ∞; pada saat w ≤ 0atau w ≥ 1 maka Gn(w) adalah suatu barisan konstan, dengan batas-batas bersesuaian 0 atau1. Dengan dmeikian limn→∞Gn(w) = G(w) dimana

G(w) =

0, jika w < 1;

1, jika w ≥ 1.(6.5)

Contoh 6.2. Misal suatu sampel acak dari suatu sampel berukuran n dari suatu distribusidengan fungsi distribusi kumulatif

FX(x) =

1− 1/x, jika 1 ≤ ∞;


Misal Wn = X1:n. Dari Bab 5 kita tahu bahwa fungsi distribusi W adalah

Gn(w) =

1− [1− (1− 1/w)]n, jika 1 ≤ w ≤ ∞,0, jika w lainnya,

=

1− (1/w)n, jika 1 ≤ w ≤ ∞,0, jika w lainnya,

Kita peroleh limn→∞Gn(w) = 1 jika 1 ≤ w ≤ ∞ karena 1/wn = 0, dan limn→∞ = 0 jika wlainnya.

Definisi 6.2 (Distribusi Degenerasi). Fungsi G(w) adalah fungsi distribusi kumulatif dari suatudistribusi degenerasi (degenerate distribution) pada nilai w = c jika

G(w) =

0, jika w < c;

1, jika w ≥ c.(6.7)

Dengan kata lain, G(w) adalah fungsi distribusi kumulatif dari suatu distribusi diskrit yangmenugaskan peluang satu pada saat w = c dan nol untuk yang lainnya.

Contoh 6.3. Misal X1, . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi eksponensialXi ∼ EXP(θ) dan misalkan Wn = X1:n adalah statistik terurut terkecil. Dari Bab 5, kita tahu


bahwa fungsi distribusi kumulatif untuk statistik terurut terkecil adalah

Gn(w) = 1− [1− F (w1)]n

= 1− [1− (1− e−w/θ)]n

= 1− [1− 1 + e−w/θ]n

= 1− [e−w/θ]n

= 1− e−wn/θ, untuk w > 0,

dan nol untuk w lainnya. Kita peroleh limn→∞Gn(w) = 1 jika w > 0 karena e−w/θ < 1 dalamhal ini. Dengan demikian limit ini nol jika w < 0 dan 1 jika w > 0, yang bersesuaian dengandistribusi degenerasi pada nilai w = 0.

Definisi 6.3 (Konvergen Secara Stokastik). Suatu barisan peubah acak W1,W2, . . . , dikatakankonvergen secara stokastik (converge stochastically) ke suatu konstan c apabila memiliki suatulimit distribusi yang degenarasi pada w = c.

Berikut ini limit yang penting untuk diketahui:

limn→∞

(1 +

c

n

)nb= ecb; (6.8)

limn→∞

[1 +

c

n+d(n)

n

]nb= ecb, jika lim

n→∞d(n) = 0. (6.9)

Contoh 6.4. Misal X1, . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi Pareto, yakniXi ∼ PAR(1, 1), dan misal Wn = nX1:n. Fungsi distribusi kumulatif Xi diberikan oleh FX(x) =1− (1 + x)−1, x > 0. Dengan demikian fungsi distribusi kumulatif Wn adalah

Gn(w) = 1− [1− F (w/n)]n

= 1− [1− (1− (1 + w/n)−1)]n

= 1− [1− 1 + (1 + w/n)−1]n

= 1− [(1 + w/n)]n

= 1− (1 + w/n)−n, w > 0.

Untuk w > 0 kita peroleh limn→∞Gn(w) = 1 − e−w dan nol untuk w lainnya. Ini merupakanfungsi distribusi kumlulatif dari EXP(1).

Contoh 6.5. Jika kita lihat kembali Contoh 6.4 misal Wn = Xn:n. Fungsi distribusi kumulatifWn = Xn:n. Fungsi distribusi kumulatif Wn adalah

Gn(w) = [F (w)]n

= [1− 1/(1 + w)]n

=

[(1 + w)− 1

(1 + w)

]n=

(w

1 + w

)n, w > 0,

dan nol untuk w lainnya. Mengingat w/(1+w) < 1 maka kita peroleh limn→∞Gn(w) = G(w) =0 untuk semua w, yang tentu bukan suatu fungsi distribusi kumulatif karena tidak mendekatisatu sebagaimana w →∞.


Contoh 6.6. Lihat kembali Contoh 6.5. Jika sekarang Anda tertarik dengan Wn = (1/n)Xn:n

maka fungsi distribusi kumulatinya

Gn(w) =

(nw

1 + nw

)n=

(1 + nw

nw

)−n=

(1

nw+ 1

)−n=

(1 +

1

nw

)−n.

Kita peroleh limn→∞Gn(w) = e−1/w. Ingat bahwa

limn→∞

(1 +

1

nw

)= e1/w(−1) = e−1/w, w > 0. (6.10)

Jadi kita peroleh fungsi distribusi kumulatif G(w) = e−1/w, w ≥ 0.

6.2 Teorema Limit Pusat

Dalam contoh sebelumnya, fungsi distribusi kumulatif yang pasti telah diketahui untuk setiapn tertentu (terbatas), dan distribusi limit diperoleh secara langsung dair barisan ini. Salahsatu keuntungan limit distribusi adalah bahwa dimungkinkan untuk menentukan limit distribusitanpa mengetahui bentuk pasti dair fungsi distribusi kumulatif untuk n terbatas. Limit distribusimenyediakan informasi yang berguna apabila peluang eksak tidak tersedia.

Teorema 6.1. Misal W1,W2, . . . , adalah suatu barisan peubah acak dengan fungsi distribusikumulatif bersesuaian G1(w), G2(w), . . . , dari fungsi pembangkit momenM1(t),M2(t), . . . . JikaM(t) adalah fungsi pembangkit momen dari suatu fungsi distribusi kumulatif G(w) dan jikalimn→∞Mn(t) = M(t) untuk semua t dalam interval terbuka yang berisi nol, −h < t < h, makalimn→∞Gn(w) = G(w) untuk semua titik-titik kontinu dari G(w).

Contoh 6.7. Misal X1, . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi Bernoulli, yakniXi ∼ BIN(1, p), dan misalkan Wn =

∑ni=1Xi. Jika p → 0 sebagaimana n → ∞ sedemikian

hingga np = µ, maka untuk µ > 0 diperoleh

Mn(t) = (p et +q)n

= (p et +1− p)n

=

(µ et

n+ 1− µ

n

)n=

(1 +

µ(et−1)

n

)n.

Dengan demikian diperoleh limn→∞Mn(t) = eµ(et−1) yang merupakan fungsi pembangkit mo-men dari distribusi Poisson dengan rata-rata µ. Hal ini berarti Wn

d−→ W ∼ POI(µ). Contohini menyarankan bahwa peubah acak binomial Wn ∼ BIN(n, p), jika n besar dan p kecil, makaWn ∼ POI(np).

Contoh 6.8. Lihat kembali Contoh 6.7. Misal kita buat p tetap (fixed) dan anggap barisanproporsi sampel Vn = pn = Wn/n. Dengan menggunakan ekspansi deret eu = 1 +u+u2/2 + · · ·


dengan u = t/n, kita peroleh

MWn(t) = (p et/n +q)n

= (p(1 + t/n+ t2/2n2 + · · · ) + (1− p))n

= (p+ p(t/n+ t2/2n2 + · · · ) + 1− p)n

= (1 + pt/n+ p(t2/2n2 + · · · ))n

= (1 + pt/n+ d(n)/n)n

dengan d(n) melibatkan suku-suku yang diabaikan dan d(n)→ 0 sebagaimana n→∞, sehinggadiperoleh limn→∞MWn(t) = ept yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusidegenerasi pada w = p. Jadi pn konvergen secara stokastik ke p sebagaimana n mendekati takberhingga.

Contoh 6.9. Sekarang kita lihat apabila

Zn =Wn − np√

npq. (6.11)

Dengan menyederhanakan notasi σn =√npq kita peroleh Zn = Wn/σn− np/σn. Menggunakan

ekspansi deret sebelumnya diperoleh

MZn(t) = E(exp(tZn))

= E[exp(Wn/σn − np/σn)t]= exp(−npt/σn)E(exp(Wn/σn)t)

= exp(−npt/σn)MWn/σn(t)

= exp(−npt/σn)MWn(t/σn)

= exp(−npt/σn)[p e(t/σn) +q]n

=

[(1− pt

σn+p2t2

2σ2n

+ · · ·)×(

1 +pt

σn+pt2

2σ2n

+ · · ·)]

=

[(1 +

pt

σn+pt2

2σ2n

+ · · · − pt

σn− pt2

2σ2n

+p2t2

2σ2n

+p3t3

2σ2n

)]n=

[1 +

t2

2n+d(n)

n

]ndimana d(n)→ 0 sebagaimana n→∞. Sehingga

limn→∞

MZn(t) = et2/2, (6.12)

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal standar. Jadi Znd−→ Z ∼

N (0, 1). Contoh ini mengilustrasikan bahwa untuk n besar dan p tertentu (fixed) maka Wn

mendekati normal yakni Wn ∼ N (np, npq).

Teorema 6.2 (Teorema Limit Pusat). Jika X1, . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari distribusidengan rata-rata µ dan variansi σ2 <∞, maka limit distribusi (limiting distribution) dari

Zn =

∑ni=1Xi − nµσ√n

(6.13)

adalah normal standar, yakni Znd−→ Z ∼ N (0, 1) sebagaimana n→∞.

Bentuk persamaan (6.13) dapat juga dihubungkan dengan rata-rata sampel, yakni

Zn =Xn − µσ/√n. (6.14)


6.3 Pendekatan Distribusi Binomial

Pendekatan binomial seperti pada contoh di atas akan bagus jika p dekat 0,5, karena distribusibinomial simetris saat p = 0,5. Akurasi yang diperlukan dalam pendekatan tergantung padaaplikasi. Salah satu panduan adalah menggunakan pendekatan normal apabila np ≥ 5 dannq ≥ 5. Namun, sekali lagi, ini tergantung pada akurasi yang diperlukan.

Contoh 6.10. Peluang bahwa seorang pemain basket memasukkan bola adalah p = 0,5. Jikaia mengambil 20 kali lemparan, berapakah peluang ia memasukkan bola paling tidak sembilankali? Peluang eksaknya adalah

P (W20 ≥ 9) = 1− P (W20 ≤ 8)

= 1−8∑

w=0

(20

w

)0,5w0,520−w

= 0,7483

Pendekatan normalnya adalah

P (W20 ≥ 9) = 1− p(W20 ≤ 8)

≈ 1− Φ

(8− 10√

5

)≈ 1− Φ(−0,89)

≈ 0,8133.

Ingat bahwa Zn = (Wn − np)/(√npq) dengan n = 20, p = 0,5, dan q = 0,5.

Mengingat distribusi binomial adalah diskrit dan distribusi normal adalah kontinu, makapendekatan dapat diperbaiki dengan membuat koreksi kontinuitas (continuity correction). Se-cara khusus masing-masing peluang binomial b(w, n, p) memiliki nilai yang sama seperti areapersegi panjang dengan tinggi b(w, n, p) dan dengan interval [w−0,5, w+ 0,5] sebagai dasarnya,karena panjang unitnya satu unit. Luas persegi panjang ini dapat didekati dengan area dibawahfungsi densita peluang W ∼ N (np, npq). Dengan menerapkan koreksi kontinuitas, kita peroleh

P (W20 ≥ 9) = 1− P (W20 ≤ 8)

≈ 1− Φ

(8,5− 10√

5

)≈ 1− Φ(−0,67)

≈ 0,7486,

yang lebih mendekati hasil eksaknya dibandingkan tanpa koreksi kontinuitas. Secara umum, jikaWn ∼ BIN(n, p) dan a ≤ b adalah bilangan-bilangan bulat, maka

P (a ≤Wn ≤ b) ≈ Φ

(b+ 0,5− np√npq

)− Φ

(a− 0,5− np√npq

). (6.15)

6.4 Distribusi Normal Asimtotik

Definisi 6.4 (Distribusi Normal Asimtotik). JikaW1,W2, . . . adalah suatu barisan peubah acakdan m serta c adalah konstanta sedemikian hingga

Zn =Wn −mc/√n

d−→ Z ∼ N (0, 1) (6.16)

bilamana n→∞, maka Wn dikatakan memiliki distribusi normal asimtotik (asymptotic normaldistribution) dengan rata-rata asimtotik m dan variansi asimtotik c2/n.


6.5 Sifat-sifat Konvergensi Stokastik

Dalam contoh-contoh sebelumnya kita menemukan bahwa barisan peubah acak konvergen se-cara stokastik ke suatu konstanta. Teorema berikut memberikan kriteria alternatif untuk me-nunjukkan konvergensi stokastik.

Teorema 6.3 (Konvergen dalam Peluang). Barisan W1,W2, . . . konvergen secara stokastik kec jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0,

limn→∞

P (|Wn − c| < ε) = 1. (6.17)

Suatu barisan peubah acak yang memenuhi Teorema 6.3 disebut juga konvergen dalam pelu-ang ke konstanta c, dinotasikan Wn

p−→ c.

Contoh 6.11. Dalam contoh Hukum Bernoulli Bilangan Besar (Bernoulli Law of Large Num-bers), diperoleh rata-rata dan variansi dari pn adalah E(pn) = p dan var(pn) = pq/n sehingga

P (|pn − p| < ε) ≥ 1− pq

ε2n(6.18)

untuk setiap ε > 0. Jadi limn→∞ P (|pn − p| < ε) = 1.

Teorema 6.4 (Hukum Bilangan-Bilangan Besar). Jika X1, . . . , Xn adalah suatu sampel acakdari suatu distribusi dengan rata-rata terbatas (finite) µ dan variansi σ2, maka barisan rata-ratasampel konvergen dalam peluang ke µ, yakni

Xnp−→ µ. (6.19)

Teorema 6.4 ini menunjukkan bahwa rata-rata sampel memberikan suatu pendugaan yangbagus dari rata-rata populasi, dalam hal bahwa peluang mendekati 1 sebagaimana secara per-lahan Xn dekat µ bila n→∞.

Teorema berikut menunjukkan bahwa suatu barisan peubah acak yang normal asimtotiskonvergen dalam peluang ke rata-rata asimtotis.

Teorema 6.5. Jika Zn =√n(Wn −m)/c

d−→ Z ∼ N (0, 1), maka Wnp−→ m.

6.6 Teorema-teorema Limit Tambahan

Definisi 6.5 (Konvergensi dalam Peluang). Barisan peubah acak Wn dikatakan konvergendalam peluang ke W , ditulis Wn

p−→W jika

limn→∞

P (|Wn −W | < ε) = 1. (6.20)

Konvergensi dalam peluang memiliki sifat yang lebih kuat dibandingkan konvergensi dalamdistribusi.

Teorema 6.6. Untuk suatu barisan peubah acak, jika Wnp−→W maka Wn

d−→W .

Kasus khusus untuk Teorema 6.6, jika W = c maka limit distribusi adalah distribusi degen-erasi P (W = c) = 1.


6.7 Latihan Soal

6-1 Misal suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi distribusi

FX(x) =

1− 1

x, jika 1 ≤ x ≤ ∞;

0, x lainnya.

a) Carilah fungsi distribusi dari statistik terurut minimum, X1:n.

b) Carilah limit distribusi X1:n.

c) Carilah limit distribusi Xn1:n.

6-2 Misal suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi distribusi FX(x) =(1 + e−x)−1 untuk semua bilangan real x.

a) Apakah statistik terurut terbesar Xn:n memiliki limit distribusi?

b) Apakah Xn:n − lnn memiliki limit distribusi? Jika demikian, apa limit distribusinya?

6-3 Misal suatu sampel acak berukuran n berasal dari distribusi dengan fungsi distribusi FX(x) =1−x−2 jika x > 1 dan nol untuk x lainnya. Periksalah apakah barisan-barisan berikut memi-liki limit distribusi; jika demikian, berikan distribusi limit

a) X1:n.

b) Xn:n.

c) n−1/2Xn:n

6-4 Misal Zi ∼ N (0, 1) dan Z1, Z2, . . . saling bebas. Gunakan fungsi pembangkit momen untukmencari limit distribusi

∑ni=1(Zi + 1/n)/

√n.

6-5 Misal Xn menyatakan rata-rata dari suatu sampel acak dari distribusi N (µ, σ2). Carilahlimit distribusi Xn.

6-6 Misal X1, . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari distribusi N (µ, σ2). Tunjukkanbahwa jumlah Vn =

∑ni=1Xi tidak memiliki limit distribusi.

6-7 Misal suatu sampel acak berasal dari distribusi Poisson, yakni Xi ∼ POI(µ).

a) Tunjukkan bahwa Yn = e−Xn konvergen secara stokastik ke P (X = 0) = e−µ.

b) Carilah distribusi normal asimtotis dari Yn.

c) Tunjukkan bahwa Xn exp(−Xn) konvergen secara stokastik ke P (X = 1) = µ e−µ.

6-8 Misal S2n menyatakan varians of sampel acak berukuran n dari distribusiN (µ, σ2). Buktikan

bahwa nS2n/(n− 1) konvergen dalam peluang ke σ2.

6-9 Misal Xn berdistribusi gamma dengan parameter κ = n dan θ, dengan θ bukan fungsi darin. Misal Vn = Xn/n. Carilah limit distribusi Vn.

6-10 Misal Xn berdistribusi χ2(n) dan dan misal Vn = Xn/n2. Carilah limit distribusi Vn.

BAB 7

STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILANSAMPEL

Kompetensi DasarMenilai berdasarkan sifat teori pengambilan sampel.

Indikator PencapaianMembandingkan sifat-sifat sampel acak, statistik dan distribusi pengambilan sampel,distribusi t, distribusi F, distribusi beta, pendekatan sampel besar, dan statistik terurut.

Materi Pokok

7.1 Statistik

7.2 Distribusi-distribusi Pengambilan Sampel

7.3 Pendekatan-pendekatan Sampel Besar

7.4 Latihan Soal

Konsep sampel acak telah diperkenalkan pada bab-bab sebelumnya. Kemudian konsep tentangfungsi distribusi empiris dikenalkan untuk kemudian digunakan untuk mencari informasi tentangrata-rata sampel dan varians sampel sebagai penduga yang intuitif untuk rata-rata dan variansdistribusi populasi.

Bab ini akan membicarakan tentang konsep statistik yang menyertakan rata-rata sampel danvarians sampel. Sifat-sifat statistik dan distribusinya akan dibahas secara mendalam, terutamasifat-sifat distribusi normal dan turunannya.

7.1 Statistik

Pada bagian ini akan dibahas pengertian statistik beserta contoh-contohnya.

Definisi 7.1. Suatu fungsi dari peubah acak yang teramati, T = `(X1, . . . , Xn), yang tidakbergantung pada parameter yang tidak diketahui, disebut statistik.

Pada Definisi 7.1, huruf ` adalah fungsi yang diterapkan pada X1, . . . , Xn untuk mendefin-isikan statistik, yang dinotasikan oleh huruf kapital T .

Contoh 7.1. Misal X1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari suatu populasi denganfungsi densitas peluang fX(x). Rata-rata sampel merupakan salah satu contoh statistik yang

78

BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 79

didefinisikan oleh fungsi `(x1, . . . , xn) = (x1 + · · · + xn)/n. Statistik ini biasanya dinotasikanoleh

X =n∑i=1

Xi

n. (7.1)

Apabila suatu sampel acak teramati, maka nilai X dihitung dari data yang biasanya dinotasikanoleh x.

Sifat-sifat rata-rata sampel dan varians dapat dilihat pada teorema berikut.

Teorema 7.1. Jika X1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari fX(x) dengan E(X) = µdan var(X) = σ2, maka

E(X) = µ (7.2)

dan

var(X) =σ2

n. (7.3)

Bukti: Untuk menunjukkan Persamaan (7.2), gunakan sifat-sifat nilai harapan sampel acak.

E(X) = E

(1

n

n∑i=1

Xi

)

=1

nE

( n∑i=1

Xi

)=

1

n(E(X1) + · · ·+ E(Xn))

=1

n(nE(X))

=1

n(nµ)

= µ.

Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan Persamaan (7.3), gunakan sifat-sifat varians untuksampel acak, yakni var(

∑ni=1 aiXi) =

∑ni=1 a

2i var(Xi).

var(X) = var

(1

n

n∑i=1

Xi

)

=1

n2var

( n∑i=1

Xi

)

=1

n2

n∑i=1

var(Xi)

=1

n2

n∑i=1

var(X)

=1

n2n var(X)

=1

nσ2

=σ2

n.


Contoh 7.2. Fungsi `(x1, . . . , xn) = [(x1− x)2 + · · ·+ (xn− x)2]/(n−1) ketika diterapkan padadata bersesuaian dengan varians sampel. Lebih khusus lagi hal ini dinyatakan sebagai

S2 =

∑ni=1(Xi − X)2

(n− 1). (7.4)

Teorema 7.2. Jika X1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak berukuran n dari fX(x) denganE(X) = µ dan var(X) = σ2, maka

E(S2) = σ2 (7.5)

dan

var(S2) =

(µ4 −

n− 3

n− 1σ4

)n

, n > 1. (7.6)

7.2 Distribusi-distribusi Pengambilan Sampel

Statistik juga merupakan suatu peubah acak, distribusi yang bergantung pada distribusi darisuatu sampel acak dengan bentuk fungsi `(x1, . . . , xn). Distribusi dari suatu statistik disebutdistribusi turunan (derived distribution) atau distribusi pengambilan sampel (sampling distribu-tion).

7.2.1 Kombinasi Linear Peubah-peubah Normal

Teorema 7.3. Jika Xi ∼ N (µi, σ2i ), i = 1, . . . , n menyatakan peubah normal bebas, maka

Y =n∑i=1

aiXi ∼ N( n∑i=1

aiµi,n∑i=1

a2iσ

2i

). (7.7)

Bukti:

MY (t) = M∑ni=1 aiXi

(t)

=

n∏i=1

MXi(ait)

=

n∏i=1

exp(aiµit+ a2i t

2σ2i /2)

= exp

(t

n∑i=1

aiµi + t2n∑i=1

a2iσ

2i /2

),

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari peubah acak normal dengan rata-rata∑n

i=1 aiµidan varians

∑ni=1 a

2iσ

2i .

Korolari 1. JikaX1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dariN (µ, σ2), maka X ∼ N (µ, σ2/n).

7.2.2 Distribusi Khi Kuadrat

Misal suatu distribusi gamma khusus dengan θ = 2 dan κ = v/2. Peubah acak Y dikatakanberdisttribusi khi kuadrat (chi-square) dengan derajat kebebasan v jika Y ∼ GAM(2, v/2),dinotasikan sebagai

Y ∼ χ2(v). (7.8)


Teorema 7.4. Jika Y ∼ χ2(v), maka

MY (t) = (1− 2t)−v/2, (7.9)

E(Y r) = 2rΓ(v/2 + r)

Γ(v/2), (7.10)

E(Y ) = v, (7.11)

dan

var(Y ) = 2v. (7.12)

Bukti: Mengingat Y ∼ GAM(2, v/2), maka sifat-sifat distribusi gamma pun berlaku. Untukmembuktikan Persamaan (7.9), diketahui bahwa fungsi pembangkit momen distribusi gammaadalah (1− θt)−κ untuk t < 1/θ. Sehingga untuk θ = 2 dan κ = v/2

MY (t) = (1− 2t)−v/2.

Untuk ekspektasi ke-r pada Persamaan (7.10) juga berdasarkan hasil dari distribusi gamma.Jika X ∼ GAM(θ, κ) maka

E(Xr) = θrΓ(κ+ r)

Γ(κ).

Untuk θ = 2 dan κ = v/2, ekspektasi ke-r menjadi

E(Y r) = 2rΓ(v/2 + r)

Γ(v/2).

Selanjutnya untuk menunjukkan Persamaan (7.11), diketahui bahwa jika X ∼ GAM(θ, κ) makaE(X) = θκ. Dengan demikian,

E(Y ) = 2(v/2) = v.

Untuk menghitung varians pada Persamaan (7.12), gunakan varians dari X, yakni

var(X) = θ2κ.

Sehingga, untuk θ = 2 dan κ = v/2

var(Y ) = 22(v/2)

= 4(v/2)

= 2v.

Persentil (percentiles), χ2γ(v), adalah nilai yang didefinisikan sebagai

P (Y ≤ χ2γ(v)) = γ. (7.13)

Teorema 7.5. Jika X ∼ GAM(θ, κ), maka Y = 2X/θ ∼ χ2(2κ).

Bukti: Akan digunakan teknik fungsi pembangkit momen untuk menentukan distribusi dariY = 2X/θ.

MY (t) = M2X/θ(t)

= MX(2t/θ)

= (1− 2t)−2κ/2,

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi kuadrat dengan derajatkebebasan2κ.


Teorema 7.6. Jika Yi ∼ χ2vi ; i = 1, . . . , n adalah peubah-peubah acak khi kuadrat yang bebas,

maka

V =n∑i=1

Yi ∼ χ2

( n∑i=1

vi

). (7.14)

Bukti: Akan digunakan teknik fungsi pembangkit momen untuk menentukan distribusi dari V .

MV (t) = M∑ni=1 Yi

(t)

= (1− 2t)−v1/2 · · · (1− 2t)−vn/2

= (1− 2t)−∑ni=1 vi/2,

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari χ2

(∑ni=1 vi

).

Teorema berikut memberikan hubungan antara peubah acak normal standar dengan peubahacak khi kuadrat.

Teorema 7.7. Jika Z ∼ N (0, 1), maka Z2 ∼ χ2(1).

Bukti:

MZ2(t) = E(etZ2)

=

∫ ∞−∞

1√2πetz

2−z2/2 dz

=1√

1− 2t

∫ ∞−∞

√1− 2t√

2πe−z

2(1−2t)/2 dz

= (1− 2t)−1/2,

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasansatu, yakni χ2(1).

Korolari 2. Jika X1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari N (µ, σ2), maka

n∑i=1

(Xi − µ)2

σ2∼ χ2(n),

dan

n(X − µ)2

σ2∼ χ2(1).

Teorema 7.8. Jika X1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari N (µ, σ2), maka

1. statistik X dan suku-suku Xi − X; i = 1, . . . , n adalah saling bebas;

2. statistik X dan S2 saling bebas;

3. kuantitas (n− 1)S2/σ2 ∼ χ2(n− 1).


7.2.3 Distribusi Student t

Kita tahu bahwa S2 dapat digunakan untuk membuat inferensi tentang parameter σ2 di dalamsuatu distribusi normal. Demikian pula X yang berguna untuk parameter µ. Namun, distribusiX juga bergantung pada parameter σ2. Hal ini berarti bahwa tidaklah mungkin menggunakanX untuk prosedur statistika tertentu tentang rata-rata apabila σ2 tidak diketahui. Sehingga,jika σ digantikan S pada kuantitas

√n(X−µ)/σ, maka distribusinya tidak lagi normal (namun,

tetap tidak bergantung pada θ).

Teorema 7.9. Jika peubah acak Z ∼ N (0, 1) dan V ∼ χ2(v) saling bebas, maka distribusi dari

T =Z√V/v

(7.15)

disebut distribusi Student t dengan derajat kebebasan v, dinotasikan sebagai T ∼ t(v). Fungsidensitas peluangnya diberikan oleh

f(t, v) =Γ((v + 1)/2)

Γ(v/2)

1√vπ

(1 + (t2/v))−(v+1)/2.

Teorema 7.10. Jika T ∼ t(v), maka untuk v > 2r,

E(T 2r) =Γ((2r + 1)/2)Γ((v − 2r)/2)

Γ(1/2)Γ(v/2)vr; (7.16)

E(T 2r−1) = 0, r = 1, 2, . . . ; (7.17)

var(T ) =v

v − 2, 2 < v. (7.18)

Teorema 7.11. Jika X1, . . . , Xn menyatakan sampel acak dari N (µ, σ2), maka

X − µS/√n∼ t(n− 1). (7.19)

7.2.4 Distribusi Snedecor F

Teorema 7.12. Jika peubah-peubah acak V1 ∼ χ2(v1) dan V2 ∼ χ2(v2) saling bebas makapeubah acak

X =V1/v1

V2/v2(7.20)

berdistribusi Snedecor F dengan derajat kebebasan v1 dan v2, dinotasikan F(v1, v2), denganfungsi densitas peluang untuk x > 0

f(x; v1, v2) =

Γ

(v1 + v2

2

)Γ

(v1

2

)Γ

(v2

2

)(v1

v2

)v1/2x(v1/2)−1

(1 +

v1

v2x

)−(v1+v2)/2

(7.21)

Teorema 7.13. Jika X ∼ F(v1, v2), maka

E(Xr) =

(v2

v1

)rΓ

(v1

2+ r

)Γ

(v2

2− r)

Γ

(v1

2

)Γ

(v2

2

) , v2 > 2r; (7.22)

E(X) =v2

v2 − 2, 2 < v2; (7.23)

var(X) =2v2

2(v1 + v2 − 2)

v1(v2 − 2)2(v2 − 4), 4 < v2. (7.24)


Persentil X ∼ F(v1, v2), yakni, fγ(v1, v2) adalah suatu nilai yang didefinisikan sebagai

P (X ≤ fγ(v1, v2)) = γ. (7.25)

Jika X ∼ F(v1, v2), maka Y = 1/X ∼ F(v2, v1). Dengan demikian

1− γ = P (X < f1−γ(v1, v2))

= P

(Y >

1

f1−γ(v1, v2)

)= 1− P

(Y ≤ 1

f1−γ(v1, v2)

); (7.26)

sehingga

1

f1−γ(v1,v2)= fγ(v2, v1) (7.27)

atau

f1−γ(v1, v2) =1

fγ(v2, v1). (7.28)

7.2.5 Distribusi Beta

Teorema 7.14. Jika peubah acak X ∼ F(v1, v2), maka peubah acak

Y =(v1/v2)X

1 + (v1/v2)X(7.29)

berdistribusi beta, dinotasikan BETA(a, b) untuk a > 0 dan b > 0, dengan fungsi densitaspeluang

f(y; a, b) =Γ(a+ b)

Γ(a)Γ(b)ya−1(1− y)b−1, 0 < y < 1; (7.30)

dengan a = v1/2 dan b = v2/2.

Persentil distribusi beta dapat dinyatakan dalam persentil distribusi F sebagai

yγ(a, b) =afγ(2a, 2b)

b+ afγ(2a, 2b). (7.31)

7.3 Pendekatan-pendekatan Sampel Besar

Teorema 7.15. Jika Yv ∼ χ2(v), maka

Zv =Yv − v√

2v

d−→ Z ∼ N (0, 1) (7.32)

sebagaimana v →∞.

7.4 Latihan Soal

7-1 Misal X menyatakan berat dalam kg suatu tepung terigu dengan X ∼ N (101, 4).

7-2 Misal X1, . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari suatu distribusi normal, yakni Xi ∼N (µ, σ2) dan definisikan U =

∑ni=1Xi dan W =

∑ni=1X

2i .


a) Carilah suatu statistik yang merupakan fungsi U danW dan tak bias untuk parameterθ = 2µ− 5σ2.

b) Carilah suatu statistik yang tak bias untuk σ2 + µ2.

7-3 Misal X1 dan X2 adalah peubah acak normal bebas,Xi ∼ N (µ, σ2), dan misal Y1 = X1 +X2

dan Y2 = X1 −X2. Tunjukkan bahwa Y1 dan Y2 saling bebas dan berdistribusi normal.

7-4 Suatu komponen mesin baru sedang diservis dan sembilan suku cadang tersedia. Waktumenuju kegagalan dalam hari adalah peubah acak eksponensial bebas, Ti ∼ EXP(100).

a) Apakah distribusi dari∑10

i=1 Ti?

b) Berapakah peluang bahwa operasi yang sukses dapat dipelihara sampai paling tidak1,5 tahun?

c) Berapa banyak suku cadang yang diperlukan agar yakin 95% yakin operasi sukses untukpaling tidak dua tahun?

7-5 Misal Xi ∼ N (µ, σ2), i = 1, . . . , n dan Zi ∼ N (0, 1), i = 1, . . . , k dan semua peubahnyasaling bebas. Tentukan distribusi dari peubah- peubah acak berikut apakah berasal daridistribusi yang diketahui (bernama) atau tidak diketahui.

(a) X1 −X2

(b) X1 + 2X3

(c)X1 −X2

σSZ√

2

(d)X1

X2

(e)X1 +X2

X3

(f) Z2i

(g)√n(X − µ)

σSZ

(h) Z21 + Z2

2

(i) Z21 − Z2

2

(j)Z1√Z2

2

(k)Z1

Z2

(l)X

Z

(m)√nk(X − µ)

σ√∑k

i=1 Z2i

(n)∑n

i=1(Xi − µ)2

σ2+

k∑i=1

(Zi − Z)

(o)X

σ2+

∑ki=1 Zik

(p) kZ2


(q)(k − 1)

∑ni=1(Xi − X)2

(n− 1)σ2∑k

i=1(Zi − Z)2

7-6 Misal X ∼ χ2(m), Y ∼ χ2(n), dan X serta Y saling bebas. Apakah Y − X ∼ χ2 jikan > m?

7-7 Misal X ∼ χ2(m), S = X + Y ∼ χ2(m+ n), dan X serta Y saling bebas. Gunakan teknikfungsi pembangkit momen untuk menunjukkan bahwa S −X ∼ χ2(n).

7-8 Jika T ∼ t(v), tentukanlah distribusi dari T 2.

DAFTAR PUSTAKA

Lee J. Bain and Max Engelhardt. Introduction to Probability and Mathematical Statistics.Duxbury Press, California, second edition, 1992. ISBN 0-534-92930-3.

Robert V. Hogg and Allen T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics. Prentice–Hall,Inc., New Jersey, fifth edition, 1995. ISBN 0-02-355722-2.

John A. Rice. Mathematical Statistics and Data Analysis. Duxbury, Belmont, California, thirdedition, 2007.

Dennis D. Wackerly, William Mendenhall III, and Richard L. Scheaffer. Mathematical Statisticswith Applications. Duxbury Press, sixth edition, 2002.

87

95329187 Materi Statistika Matematika

Documents

Transcript of 95329187 Materi Statistika Matematika