statistika materi 9

32
Konsep Peubah Acak & Distribusi Peluang Diskrit Sri Astuti Thamrin, Ph.D SAThamrin MetStat 2014 1

description

konsep peubah acak

Transcript of statistika materi 9

Page 1: statistika materi 9

Konsep Peubah Acak & DistribusiPeluang Diskrit

Sri Astuti Thamrin, Ph.D

SAThamrin MetStat 2014 1

Page 2: statistika materi 9

Apa itu peubah acak (p.a)?

• Nilai-nilai peubah yang muncul menurut peluangnya masing-masing• Fungsi yang memetakan anggota-anggota ruang sampel pada himpunan

bilangan nyata.• Pemaknaan numerik atas kejadian-kejadian dalam ruang sampel.Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk

mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan setiap kejadian

dengan tepat ke satu bilangan riil.

Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang kejadiannya dapat disenaraikan sebagai berikut:

R = {S1,S2,S3,S4,S5,S6} Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah: X = munculnya sisi dadu yang bermata genap

= {0, 1}

Peubah acak X pada pelemparan koin, X={A,G}

SAThamrin MetStat 2014 2

Page 3: statistika materi 9

Sebaran Peubah Acak

• Nilai peluang p.a yang besarnnya bersesuaiandengan kejadian yang menghasilkannya.

• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.

SAThamrin MetStat 2014 3

No X P(X=x)

1 0 1/8

2 1 3/8

3 2 3/8

4 3 10

1/5

2/5

3/5

4/5

1

1 1/5

1 2 3 4

P(X

=x)

X

Sebaran Peubah Acak Pemunculan Angka TigaLemparan Koin

Page 4: statistika materi 9

Fungsi Peluang

• Peubah pengukuran: peubah yang dihasilkanmelalui proses pengukuran denganmenggunakan alat ukur tertentumenghasilkan p.a kontinu.

Misal: P(X=x)=0

• Peluang y=f(x) : sebaran peluang peubahpengukuran, yang secara visual ditampilkandalm bentuk kurva sebaran.

SAThamrin MetStat 2014 4

Page 5: statistika materi 9

100 200 300 400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Sebaran Fungsi Peluang

SAThamrin MetStat 2014 5

Page 6: statistika materi 9

Sifat-sifat fungsi peluang

1. Jumlah nilai fungsi selang peubah tertentu

sekurang-kurangnya 0 dan sebesar-besarnya 1;

2. Jumlah nilai fungsi seluruh wilayah X adalah 1;

3. Jumlah nilai fungsi seluruh wilayah diluar X adalah0;

SAThamrin MetStat 2014 6

Page 7: statistika materi 9

Nilai harapan & Ragam peubah acak

• Nilai harapan p.a : pusat peubah acak atau nilai tengahpopulasi, lambangnya μ

• Lambang nilai harapan peubah acak X; E(X): • Nilai harapan peubah acak diskrit X,

Jumlah hasil kali nilai peubah acak dengan masing-masingpeluangnya

• Nilai harapan peubah acak kontinu X,

Jumlah hasil kali x dengan f(x)

SAThamrin MetStat 2014 7

Page 8: statistika materi 9

• Nilai harapan kuadrat simpangan baku diskrit

• Nilai harapan kuadrat simpangan baku kontinu

• Nilai kuadrat simpangan peubah acak; ragampeubah acak: persebaran nilai-nilai peubah acakdari pusat peubah acak, μ, dilambangkan dengan

σ2 = Var(X)= E(X-E(X))2 = E(X2) – (E(X))2

Tunjukkan!

SAThamrin MetStat 2014 8

Page 9: statistika materi 9

Sifat-sifat dari ragam

Jika c konstanta maka V(c ) = 0

• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka Var(cX) = c^2 Var(X)

• Jika X dan Y p.a. Maka:

Var(X±Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2 Cov(X,Y)

Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

SAThamrin MetStat 2014 9

Page 10: statistika materi 9

Sifat-sifat nilai harapan:

• Jika c konstanta maka E(c ) = c

• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(X)

• Jika X dan Y peubah acak maka

E(X±Y) = E(X) ± E(Y)

SAThamrin MetStat 2014 10

Page 11: statistika materi 9

Contoh 1

• Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel disamping

• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:

E(X) = 0+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6= 15/6

E(3X) = 3 E(X) = 45/6

SAThamrin MetStat 2014 11

Nilai Peubah Acak X

X 0 1 2 3 4 5

P(X=xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Xi p(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

Page 12: statistika materi 9

Ragam Peubah Acak

• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

• V(X) = E(X-E(X))2

• = E(X2) - E2(X) tunjukkan !

SAThamrin MetStat 2014 12

Page 13: statistika materi 9

Beberapa Sebaran Peluang Populasi

Sebaran Peluang Diskret • Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak

yang nilai-nilainya diperoleh dengan cara mencacah (counting)

Beberapa sebaran peluang diskret, antara lain: SeragamBernoulliBinomialHipergeometrikPoisson

SAThamrin MetStat 2014 13

Page 14: statistika materi 9

Sebaran peluang kontinu

• Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak yang nilai-nilainya diperoleh dengan menggunakan alat ukur

Beberapa sebaran p.a kontinu antara lain:

Normal

Weibull

Gamma

Beta

SAThamrin MetStat 2014 14

Page 15: statistika materi 9

Sebaran Peluang Diskrit

Sebaran Bernoulli

• Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal

• Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

• Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:

P(x,p)=px q(1-x) , x=0,1

SAThamrin MetStat 2014 15

Page 16: statistika materi 9

Sebaran Seragam

• P.a yang masing-masing nilainya berpeluang samauntuk muncul.

• Sebaran seragam bagi X dengan ukuran populasiukuran N:

• Fungsi peluang seragam

SAThamrin MetStat 2014 16

Page 17: statistika materi 9

Contoh 2

Pada pelemparan dadu seimbang, peluangmunculnya angka kurang dari 4:

P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=3(1/6)=1/2

SAThamrin MetStat 2014 17

Page 18: statistika materi 9

Sebaran Binom(ial)

Ciri percobaan Binomial

• Terdiri dari n kejadian (Bernoulli) yg saling bebas

• Setiap ulangan, hasilnya dpt digolongkan Sukses atau Gagal. P(S)=p dan P(G)=q=1-p

• Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n

• Bila tindakan binom diulang n kali, peluangsukses dari setiap ulangan tetap dan antarulangan bebas satu sama lain, maka ‘banyaknyasukses’ diantara n ulangan merupakan peuahacak binomial.

SAThamrin MetStat 2014 18

Page 19: statistika materi 9

• Fungsi sebaran peluang Binomial :

P(X=x)=b(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n

Dimana: C(n,x) = n!/x!(n-x)!

• Nilai Tengah p.a. binom: E(X)=μ=np

• Ragam p.a. binom: = npq

SAThamrin MetStat 2014 19

Page 20: statistika materi 9

Misal peluang sukses; p, dan peluang gagal

(1-p)

Banyak kejadian x sukses:

Peluang masing-masing kejadian

Berasal dari x sukses dan (n-x) gagal yang saling bebas.

Sebaran peluang p.a binomial

SAThamrin MetStat 2014 20

Page 21: statistika materi 9

Contoh 3

Apabila dalam suatu populasi mahasiswa diketahuiproporsi yang mengenakan kacamata adalah 0,2. Dari populasi tersebut ditarik sampel acak sebanyaksepuluh mahasiswa, maka peluang:

a. Sedikitnya ada empat orang dari sepuluh yang terpilih tersebut memakai kacamata:

b. Tak seorangpun yang memakai kacamata:

SAThamrin MetStat 2014 21

Page 22: statistika materi 9

Contoh 4

Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?

SAThamrin MetStat 2014 22

Page 23: statistika materi 9

Sebaran Hipergeometrik

Ciri percobaan Hipergeometrik adalah:

(1) Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N

(2) k dari N benda diklasifikasikan sebagai ‘sukses’ dan (N-k) benda diklasifikasikan ‘gagal’

SAThamrin MetStat 2014 23

Page 24: statistika materi 9

Sebaran peluang p.a. Hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya ‘sukses’ dalam contoh acak berukuran n, adalah :

SAThamrin MetStat 2014 24

Rataan & variansi distribusi hipergeometrikh(x;N,n,k)

Page 25: statistika materi 9

Contoh 5Sebuah panitia yang terdiri atas 5 orang diambil secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki-laki. Carilah sebaran peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia itu.

Mis.:p.a. X=banyaknya perempuan dalam panitia X 0 1 2 3

P(x) 1/56 15/56 30/56 10/56 E(X)=μ=15/8 dan σ2 = 225/448

Contoh 6. Diduga 4000 diantara 10000 pemilih tidak menyetujui pajak penjualan yang baru. Bila 15 pemilih diambil secara acak dan ditanyai pendapatnya, berapa peluang bahwa sebanyak-banyaknya 13 orang menyetujui pajak yang baru tersebut?

Note: Jika N>>>n, Hipergeometrik dpt didekati dgn binom; dimana P=k/N dan q= 1 – k/N

SAThamrin MetStat 2014 25

Page 26: statistika materi 9

Sebaran Poisson

• Kejadian binom yang diamati pada selang waktu atauluasan tertentu, maka banyaknya sukses pada selangwaktu atau luasan tersebut menyebar menurutsebaran Poisson.

• Bila rataan banyaknya sukses diketahui, μ, makasebaran poisson yang menyatakan peluangdiperolehnya sukses sebanyak x:

SAThamrin MetStat 2014 26

Page 27: statistika materi 9

Contoh 6

Apabila banyaknya kecelakaan pada suatuperempatan jalan diketahui bersebaran Poisson dengan rataan dua kali per tahun, maka:

a. Peluang tidak terjadi satupun kecelakaan padaperempatan tersebut pada tahun tertentu:

b. Peluang ada empat kecelakaan atau lebih padatahun tertentu:

SAThamrin MetStat 2014 27

Page 28: statistika materi 9

Pendekatan Binomial Melalui Poisson

• Ulangan yang besar dengan peluang sukses p yang sangat kecil atau sangat besar.

• Untuk p yang sangat kecil; gunakan

μ=np

• Untuk p yang sangat besar, sebaran poissonuntuk peubah 1-X, banyak gagal; gunakanμ=n(1-p)

SAThamrin MetStat 2014 28

Page 29: statistika materi 9

Contoh 7

Peluang seorang perempuan mengalami masalahpada waktu melahirkan yang memerlukanpananganan bedah sesar adalah 0,0032. Dari 357 perempuan yang melahirkan disuatukota, berapakah peluang banyaknya yang mengalami masalah tersebut lebih dari 5 orang?

Jawab

n=357, p=0,0032, peluang yang sangat kecilsehingga μ=1,1424. Untuk X=p(x;1,1424)

=P(x>5)=1-P(x<=5)=1-0,9936=0,0063

SAThamrin MetStat 2014 29

Page 30: statistika materi 9

Pendekatan Binomial Melalui Poisson

• Distribusi poisson dapat dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binom.

• Apabila pada distribusi binom, N cukup besar sedangkan p = peluang terjadinya peristiwa A sangat dekat kepada nol, sedemikian sehingga λ= Np tetap, maka distribusi Binom dapat didekati oleh distribusi poisson.

• Untuk penggunaannya, sering dilakukan pendekatan ini, jika N ≥ 50 dan Np < 5.

• Ulangan yang besar dengan peluang sukses p yang sangatkecil atau sangat besar.

• Untuk p yang sangat kecil; gunakan μ=np• Untuk p yang sangat besar, sebaran poisson untuk peubah

1-X, banyak gagal; gunakan μ=n(1-p)

SAThamrin MetStat 2014 30

Page 31: statistika materi 9

Contoh 8

• Misalkan dari 50 siswa SD kelas 1 ada 2 orang yang dapat berenang. Sebuah sampel berukuran 100 siswa telah diambil, Jika x = banyak siswa SD kelas 1 yang dapat berenang. Berapa peluangnya siswa SD kelas 1yang tidak dapat berenang?

• X = siswa yang dapat berenang = 0, λ = Np =

Peluang siswa SD kelas 1 yang tidak dapat berenang adalah

Page 32: statistika materi 9

Contoh 9

Peluang seorang perempuan mengalami masalahpada waktu melahirkan yang memerlukanpananganan bedah sesar adalah 0,0032. Dari 357 perempuan yang melahirkan disuatu kota, berapakahpeluang banyaknya yang mengalami masalahtersebut lebih dari 5 orang?

Jawab

n=357, p=0,0032, peluang yang sangat kecil sehinggaμ=1,1424. Untuk X=p(x;1,1424)

=P(x>5)=1-P(x<=5)=1-0,9936=0,0063

SAThamrin MetStat 2014 32