BAB VII

PENGGAMBARAN FUNGSI NON-LINEAR

Penggambaran fungsi non-linear tidak semudah fungsi linear. Meskipun prinsipnya secara umum sama, yakni dengan terlebih dahulu mencari sejumlah titik koordinat yang memenuhi persamaan fungsinya, namun prakteknya tidaklah mudah. Bukan saja karena kurvanya yang jelas akan tidak linear, sehingga relatif sulit untuk dilukiskan, tetapi juga karena terdapat tidak hanya satu macam fungsi non-linear. Masing-masing fungsi non-linear mempunyai bentuk khas mengenai kurvanya, sehingga harus diamati kasus demi kasus. Di bawah ini diperlihatkan beberapa bentuk gambar dari fungsi nonlinear, berdasarkan penggambaran melalui koordinat demi koordinat. Sesudah itu akan dibahas beberapa sifat tertentu kurva non-linear. Uraian lebih terinci mengenai fungsi non-linear dapat dijumpai di dalam bab tersendiri yang membahas tentang itu, yakni Bab 7 (Hubungan Non-Linear). Contoh (peng)-gambar-(an) fungsi non-linear 1) Fungsi kuadrat parabolic y = 8-4x+ x2

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Tri Wahyono SE, MM

MATEMATIKA EKONOMI

y 8

6

x y

0 8

1 5

2 4

3 5

4 8

4 2

1

2

3

4

x

Gambar 5.3 2) Fungsi kuadrat parabolic x -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 0 5 8 9 8 5 0

y = 8-2y-y22 8 9

0 -2

1

2

3

4

6

7

-4

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Tri Wahyono SE, MM

MATEMATIKA EKONOMI

3)

Fungsi Kubik x -1 0 1 2 3 4 y 3 -2 1 6 7 -2-1

y = - 2 + 4 x - x3

y 8 6 4

2

1

2

3

4

x

Gambar 5.5

Kurva non linear mempunyai sifat-sifat tertentu. Melalui sifat-sifat khas ini dapat diantisipasi atau diketahui pola kurvanya. Berdasarlam pengetahuan akan sifat-sifat ini, penggambaran suatu fungsi non linear dapat dilakukan dengan menggunakan lebih sedikit titik koordinat. Sifatsifat kurva non linear yang dibahas di sini melipluti penggal, simetri, perpanjangan, asimtot dan faktorisasi.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Tri Wahyono SE, MM

MATEMATIKA EKONOMI

5.4.1 PenggalPenggal sebuah kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbusumbu koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = 0 dalam persamaan yang bersangkutan, sehingga nilai x dapat dihitung. Penggal pada sumbu y dicari dengan memisalkan x = 0, sehingga nilai y dapat dihitung. Contoh : y = 16 - 8 x + x Penggal pada sumbu x : y = 0 x = 4 Penggal pada sumbu y : = 16

5.4.2 SimetriDua buah titik dikatakan simetrik' terhadap sebuah garis apabila garis tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegaklurus terhadap segmen garis yang menghubungkannya. Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik ketiga. Apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang menghubungkan kedua titik tadi.

y

y

y

A(x,y)

F (-x,y) (x,y)x x

G(x,y)

C 0B(x-y)

x 0

0H(-x,-y)

(a)

(b)

(c)

Gambar 5.6

Pada Gambar 5-6(a), titik A dan titik B simetrik terhadap sumbu x karena sumbu ini berjarak sama terhadap A dan B serta tegak lurus terhadap segmen garis AB. A dan B simtrik pula terhadap C karena yang terakhir ini terletakpersis di tengah segmen garis AB. Gambar 5.6(b) memperlihatkan titik D dan titik E simetrik terhadap sumbu y, serta terhadap titik F. Gambar paling kanan menunjukkan simetri G dan H terhadap titik pangkal O(0, 0). Berdasarkan pembuktianpembuktian grafis ini, dapat disimpulkan bahwa titik (x,y) terhadap titik : (x,-y) sehubungan dengan sumbu x (-x,y) sehubungan dengan sumbu y (-x, -y) sehubungan dengan titik pangkal Bertolak dari kesimpulan-kesimpulan diatas, dapat pula ditarik kesimpulan mengenai simetri sebuah kurva terhadap sumbu horizontal x, terhadap sumbu vertical y, atau terhadap titik pangkal. Sebuah kurva akan simetrik terhadap sumbu x jika untuk setiap titik (x, y) pada kurva itti titik simetri (x, -y) juga terdapat pada kurva tersebut, yakni jika penggantian y oleh -y dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen. Sebuah kurva akan simetrik terhadap sumbu y jika untuk setiap titik (x, y) pada kurva itti titik simetri (-x, y) juga terdapat pada kurva tersebut, yakni jika penggantian x oieh -x datarn persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen. Sebuah kurva akan simetrik terhadap titik pangkal jika untuk setiap titik (x, y) pada kurva itu titik simetri (-x, -y) juga terdapat pada kurva tersebut, yakni jika penggantian x oleh -x dan y oleh -y dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen. adalah simetrik

y

y

y

(x,y) (-x,y)

(x,y)

x(x,-y)

x

x

(a)

(b)

(c)

Secara ringkas dapat dirumuskan bahwa kurva dari suatu persamaan f (x,y) = 0 adalah simetrik terhadap sumbu x jika f (x, y) f(x, -y) = 0 sumbu y jika f (x, y) = f(-x, y) = 0 titik pangkal jika f (x, y) = f(-x, -y) = 0. Sebuah kurva yang simetrik terhadap kedua sumbu x dan sumbu y, dengan sendirinya akan simetrik pula terhadap titik pangkal. Akan tetapi simetrik terhadap titik pangkal tidak berarti dengan sendirinya simetrik terhadap salah satu, apa lagi kedua, sumbu. Pada umumnya simetri dalam dua di antara tiga hal (sumbu x, sumbu y, dan titik pangkal) senantiasa membuahkan kesimetrian terhadap hal yang ketiga. Suatu kurva memiliki kemungkinan untuk simetrik terhadap tidak satupun, salah satu, atau ketiga hat tersebut: tetapi tidak akan pernah simetrik terhadap hanya dua hal saja.

PENERAPAN EKONOMI Sebagaimana telah diainggung di awal bab ini, fungsi linear yangat lazim diterapkan dalam ilmu ekonomi, baik dalam pembahasan ekonomi ikro maupun ekonomi makro. Dua variabel ekonomi, atau lebih, yang ating berhubungan acapkali diterjemahkan ke dalam bentuk sebuah persamaan linear. Seksi-seksi berikut ini akan menguraikan penerapan fungsi linear alam ekonomi: Secara bertahap akan dibahas :

Penerapan Fungsi Linear dalam Teori Ekonomi Mikro 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan seimbangan pasar Pengaruh pajak-spesifik terhadap keseimbangan pasar Pengaruh pajak-proporsional terhadap keseimbangan pasar Pengaruh subsidi terhadap,keseimbangan pasar Keseimbangan pasar kasus dua macam barang Fungsi biaya dan fungsi penerimaan Keuntungan, kerugian dan pulang-pokok Fungsi anggaran Penerapan Fungsi Linear dalam Teori Ekonomi Makro 9. Fungsi konsumsi, fungsi tabungan dan angka-pengganda 10. 11. 12. 13. 14. 15. 6.5.1 Pendapatan diaposable Fungsi pajak Fungsi investasi Fungsi impor Pendapatan nasional Analiaia IA-LM.

Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar Fungsi Permintaan Permintaan dan penawaran. Fungsi permintaan menghubungkan antara variabel harga dan variabel jumlah (barang/jasa) yang diminta. Sedangkan fungsi penawaran menghubungkan antara variabel harga dan variabeI jumlah (barang/jasa) yang ditawarkan. Qd = a bP Dalam bentuk persamaan di atas terlihat bahwa variabel Price, harga) dan variabel Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan hukum permintaan, bahwa apabila harga naik jumlah yang diminta akan turun. Bentuk umum fungsi permintaan

berlereng negatif. Qd = a bP Atau: P = a/b 1/b Q Fungsi Penawaran Dalam bentuk persamaan di atas terlihat bahwa variabel P (harga) dan variabel Q (jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan hukum penawaran, bahwa apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang. Gerakan harga searah dengan gerakan jumlah, oleh karena itu kurva penawaran berlereng positif. Qd = a + bP Atau : P = a/b + 1/bQ Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variabel P (harga) dan variabel Q (jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencermintak hukum penawaran, bahwa apabila harga naik jumlah naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga naik jumlah yang ditawakan akan tambah dan apabila harga naik jumlah yang akan berkurang. Gerakan harga searah dengan gerak jumlah yang ditawarkan akan Dalam menggambarkan kurva permintaan dan kurva penawaran sebetulnya dibenarkan meletakkan variabel harga (P) pada sumbu horizontal dan variabel jumlah (Q) pada sumbu vertikal. Jadi tidak harus variabel harga ditempatkan pada sumbu vertikal dan variabel jumlah pada sumbuh horizontal, sebagaimana dicontohkan di atas. Akan tetapi

terdapat semacam tradisi menempatkan P pada sumbu vertikal dan Q pada sumbu -horizontal, dan uraian-uraian di dalam buku ini mengikuti tradisi tersebut.