8. pertidaksamaan.docx
-
Upload
aning-ifada-lutfi -
Category
Documents
-
view
11 -
download
6
Transcript of 8. pertidaksamaan.docx
1. Sifat-sifat pertidaksamaan
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau
dikurangidengan bilangan yang sama.
Jika a < b maka:
A + c < b + c
A – c < b – c
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau
dibagi denganbilangan positif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:
A.c < b.c
A/b < b/c
Tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali
atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:
A.c > b.c
A/c > b/c
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-
masingdikuadratkan
Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2
a. Pertidaksamaan linear
- variabelnya berpangkat 1
penyelesaian:
suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan
konstanta diletakkan di ruas kanan.
PERTI
DAKSA
contoh:
b. Pertidaksamaan kuadrat
- Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian :
1. Ruas kanan dibuat menjadi nol
2. Faktorkan
3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor
sama dengan nol
4. Gambar garis bilangannya
- Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan
titik hitam ( • ).
- Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan
titik putih ( ° ).
5. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan.
Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval
tersebut pada persamaan di ruas kiri. Tanda pada garis bilangan berselang-
seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau
sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas
rangkap tidak merubah tanda.
6. Tentukan himpunan penyelesaian
- jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang
diarsir adalah yang bertanda (+)
- jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang
diarsir adalah yang bertanda (–)
Contoh:
(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7
4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x2 + 4x + 5 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1
garis bilangan:
Menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
Jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
Karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif,
di kiri dan kanannya bernilai negatif
Karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif.
jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}
c. Pertidaksamaan tingkat tinggi
- variabel berpangkat lebih dari 2
penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
contoh:
(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0
harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
garis bilangan:
Menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
Jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
Karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
Karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai
harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2
juga bernilai positif
Selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif
berselang-seling
Karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}
d. Pertidaksamaan pecahan
- Ada pembilang dan penyebut :
Penyelesaian :
1. Ruas kanan dijadikan nol
2. Samakan penyebut di ruas kiri
3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya
sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada
langkah 4
Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu
digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama
dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)
6. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval
Contoh 1:
harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3
garis bilangan:
→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk
penyebut
jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}
contoh 2:
harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1
harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika
dihitung nilai diskriminannya:
d = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
nilai d-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real
(catatan: jika nilai d-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga
nol-nya)
garis bilangan:
jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}
e. Pertidaksamaan irasional/pertidaksamaan bentuk akar
- Variabelnya berada dalam tanda akar
penyelesaian :
1. Kuadratkan kedua ruas
2. Jadikan ruas kanan sama dengan nol
3. Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat
4. Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0
Contoh 1:
kuadratkan kedua ruas:
x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2
x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0
semua dikali –1:
2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4
syarat 1:
x2 – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0
harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1
syarat 2:
x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1
garis bilangan:
jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}
contoh 2:
kuadratkan kedua ruas:
x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4
x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0
–2x + 4 < 0
–2x < –4
semua dikalikan –1
2x > 4
x > 2
syarat:
x2 – 6x + 8 ≥ 0
(x – 4).(x – 2) ≥ 0
harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = 4 atau x = 2
garis bilangan:
jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}
f. Pertidaksamaan nilai mutlak
- variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–
3| = 3)
pengertian nilai mutlak:
penyelesaian:
jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0
jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0
contoh 1:
|2x – 3| ≤ 5
berarti:
–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8
semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4
contoh 2:
|3x + 7| > 2
berarti:
3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2
3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7
x < –3 atau x > –5/3
contoh 3:
|2x – 5| < |x + 4|
kedua ruas dikuadratkan:
(2x – 5)2 < (x + 4)2
(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 (ingat! A2 – b2 = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0
harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0
x = 1/3 atau x = 9
garis bilangan:
jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}
contoh 4:
|4x – 3| ≥ x + 1
kedua ruas dikuadratkan:
(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2
(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0
(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0
harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0
x = 2/5 atau x = 4/3
syarat:
x + 1 ≥ 0
x ≥ –1
garis bilangan:
jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}
contoh 5:
|x – 2|2 – |x – 2| < 2
misalkan |x – 2| = y
y2 – y < 2
y2 – y – 2 < 0
(y – 2).(y + 1) < 0
harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0
y = 2 atau y = –1
garis bilangan:
artinya:
–1 < y < 2
–1 < |x – 2| < 2
karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku
|x – 2| < 2
sehingga:
–2 < x – 2 < 2
–2 + 2 < x < 2 + 2
0 < x < 4