5.InduksiMatematik

7/21/2019 5.InduksiMatematik

1/31

Rinaldi Munir/IF091 Struktud Diskrit

1

Induksi Matematik

IF2151 MatematikaDiskrit
http://images.google.co.id/imgres?imgurl=http://nrich.maths.org/content/id/4718/DSCN0500.jpg&imgrefurl=http://nrich.maths.org/public/viewer.php%3Fobj_id%3D4718%26refpage%3Dmonthindex.php%26part%3Dindex%26nomenu%3D1&h=314&w=228&sz=8&hl=id&start=12&tbnid=yrNwXRBID8KmZM:&tbnh=117&tbnw=85&prev=/images%3Fq%3Dmathematical%2Binduction%26svnum%3D10%26hl%3Did%26lr%3D%26sa%3DG


2/31

Rinaldi Munir/IF091 S 2

Metode pembuktian untuk pernyataan perihalbilangan bulat adalah induksi matematik

!ontoh " p #n $" %&umlah bilangan bulat positi' dari 1sampai n adalah

n #n ( 1$/2) .

*uktikan p #n $ benar+


3/31


Contoh lainnya:1. Setiap ilan!an ulat positi" n #n 2$ dapat dinyatakan

se a!ai perkalian dari #satu atau le ih$ ilan!an pri%a.

2. &ntuk se%ua n 1' n3 ( 2 n adalah kelipatan 3.

3. &ntuk %e% ayar iaya pos se esar n sen dolar # n )$ selalu

dapat di!unakan hanya peran!ko 3 sen dan * sen dolar.

+. Di dala% se uah pesta' setiap ta%u er,a at tan!an den!anta%u lainnya hanya sekali. -ika ada n oran! ta%u %aka

,u%lah ,a at tan!an yan! ter,adi adalah n#n (1$/2.

*. anyaknya hi%punan a!ian yan! dapat di entuk dari se uahhi%punan yan! eran!!otakan n ele%en adalah 2 n


4/31

Rinaldi Munir/IF091 S +

Induksi matematik merupakan teknikpembuktian yang baku di dalam matematika

Melalui induksi matematik kita dapat mengurangilangkah,langkah pembuktian bah-a semuabilangan bulat termasuk ke dalam suatu

himpunan kebenaran dengan hanya se.umlahlangkah terbatas


5/31

Rinaldi Munir/IF091 S *

Prinsip Induksi Sederhana.Misalkan p #n $ adalah pernyataan perihalbilangan bulat positi'

ita ingin membuktikan bah-a p #n $ benar untuksemua bilangan bulat positi' n

ntuk membuktikan pernyataan ini kita hanyaperlu menun.ukkan bah-a"1 p #1$ benar dan2 .ika p #n $ benar maka p #n ( 1$ .uga benaruntuk setiap n 1


6/31

Rinaldi Munir/IF091 S

angkah 1 dinamakan basis induksi sedangkanlangkah 2 dinamakan langkah induksi

angkah induksi berisi asumsi #andaian$ yangmenyatakan bah-a p #n $ benar 3sumsi tersebutdinamakan hipotesis induksi

*ila kita sudah menun.ukkan kedua langkahtersebut benar maka kita sudah membuktikanbah-a p #n $ benar untuk semua bilangan bulatpositi' n


7/31 Rinaldi Munir/IF091 S

Induksi matematik berlaku sepertie'ek domino


8/31 Rinaldi Munir/IF091 S )


9/31 Rinaldi Munir/IF091 S 9

Contoh 1. unakan induksi %ate%atik untuk %e% uktikan ah au%lah n uah ilan!an !an,il positi" perta%a adalah n2.

enyelesaian:(i) Basis induksi : &ntuk n 4 1' ,u%lah satu uah ilan!an !an,il

positi" perta%a adalah 1 2 4 1. Ini enar karena ,u%lah satu uah ilan!an !an,il positi" perta%a adalah 1.


10/31


(ii) Langkah induksi : 5ndaikan p#n$ enar' yaitu pernyataan

1 ( 3 ( * ( 6 ( #2 n 7 1$ 4 n2

adalah enar #hipotesis induksi$ 8 atatlah ah a ilan!an !an,il

positi" ke n adalah #2 n 7 1$;.


11/31


Prinsip Induksi yangDirampatkan

Misalkan p #n $ adalah pernyataan perihalbilangan bulat dan kita ingin membuktikanbah-a p #n $ benar untuk semua bilangan bulat n n 0 ntuk membuktikan ini kita hanya perlumenun.ukkan bah-a"1 p #n 0 $ benar dan

2 .ika p #n $ benar maka p #n (1$ .uga benar untuk semua bilangan bulat n n 0


12/31


13/31


(ii) Langkah induksi . 5ndaikan ah a p#n$ enar' yaitu

20 ( 2 1 ( 2 2 ( 6 ( 2 n 4 2 n(1 1

adalah enar #hipotesis induksi$.


14/31

Rinaldi Munir/IF091 S 1+

atihan

Contoh 3. *uktikan dengan induksimatematik bah-a pada sebuah

himpunan beranggotakan n elemenbanyaknya himpunan bagian yangdapat dibentuk dari himpunan

tersebut adalah 2n


15/31

Rinaldi Munir/IF091 S 1*

Contoh 5. uktikan pernyataan >&ntuk %e% ayar iaya posse esar n sen #n )$ selalu dapat di!unakan hanya peran!ko 3 sendan peran!ko * sen? enar.

enyelesaian: (i) Basis induksi . &ntuk %e% ayar iaya pos ) sen dapat

di!unakan 1 uah peran!ko 3 sen dan 1 uah peran!ka * sen sa,a.Ini ,elas enar.


16/31


(ii) Langkah induksi . 5ndaikan p#n$ enar' yaitu untuk%e% ayar iaya pos se esar n #n )$ sen dapat di!unakan

peran!ko 3 sen dan * sen #hipotesis induksi$.


17/31


atihan

Contoh 6. Sebuah 34M #3n.ungan4unai Mandiri$ hanya menyediakan

pe ahan uang Rp 20 000 , dan Rp50 000 , elipatan uang berapakahyang dapat dikeluarkan oleh 34M

tersebut6 *uktikan .a-aban andadengan induksi matematik


18/31

Rinaldi Munir/IF091 S 1)

Prinsip Induksi KuatMisalkan p(n) adalah pernyataan perihalbilangan bulat dan kita ingin membuktikanbahwa p(n) benar untuk semua bilanganbulat n n 0 . Untuk membuktikan ini, kitahanya perlu menunjukkan bahwa:1. p(n 0 ) benar, dan

2. jika p(n 0 ), p(n 0+1), , p(n) benarmaka p(n+1) juga benar untuk semuabilangan bulat n n 0 ,.


19/31


Contoh 7. ilan!an ulat positi" dise ut pri%a ,ika dan hanya ,ika ilan!an ulat terse ut ha is di a!i den!an 1 dan dirinya sendiri.


20/31


Langkah induksi . Misalkan pernyataan ah a ilan!an 2' 3' 6'n dapat dinyatakan se a!ai perkalian #satu atau le ih$ ilan!an

pri%a adalah enar #hipotesis induksi$.


21/31


Contoh 8. 7 I 85 4eka,teki susun potongangambar # jigsaw pu!!le $ terdiri dari se.umlahpotongan #bagian$ gambar #lihat :ambar$ Duaatau lebih potongan dapat disatukan untukmembentuk potongan yang lebih besar ebihtepatnya kita gunakan istilah blok bagi satupotongan gambar *lok,blok dengan batas yang

o ok dapat disatukan membentuk blok yang lainyang lebih besar 3khirnya .ika semua potongantelah disatukan men.adi satu buah blok teka,tekisusun gambar itu dikatakan telah dipe ahkanMenggabungkan dua buah blok dengan batas yang

o ok dihitung sebagai satu langkah :unakanprinsip induksi kuat untuk membuktikan bah-auntuk suatu teka,teki susun gambar dengan n potongan selalu diperlukan n ; 1 langkah untukmeme ahkan teki,teki itu


22/31



23/31


enyelesaian:(i) Basis induksi . &ntuk teka teki susun !a% ar den!an satu

poton!an' tidak diperlukan lan!kah apa apa untuk %e%e ahkanteka teki itu.


24/31

Rinaldi Munir/IF091 S 2+

(ii) Langkah induksi . Misalkan pernyataan ah a untuk tekateki den!an n poton!an # n 4 1' 2' 3' 6' k $ diperlukan se,u%lah n 71 lan!kah untuk %e%e ahkan teka teki itu adalah enar #hipotesis

induksi$.


25/31

Rinaldi Munir/IF091 S 2*

Soal latihan

1 &ika " 1 " 2 < " n masing,masingadalah himpunan buktikan dengan

induksi matematik hukum DeMorgan rampatan berikut"

nn A A A A A A =

2121


26/31


2 *uktikan dengan induksimatematik bah-a n 5 ; n habis

dibagi 5 untuk n bilangan bulatpositi'


27/31


= Di dalam sebuah pesta setiaptamu ber.abat tangan dengan

tamu lainnya hanya sekali sa.a*uktikan dengan induksimatematik bah-a .ika ada n orang

tamu maka .umlah .abat tanganyang ter.adi adalah n #n ; 1$/2


28/31

Rinaldi Munir/IF091 S 2)

+. erlihatkan ah a 8# p1 p2$ # p2 p3$ 6 # p n 71 p n $; 8# p1 p2 6 p n 71$

p n ; adalah tautolo!i ila%ana p1' p2' 6' p n adalah proposisi.


29/31


3pa yang salah dari pembuktianinduki ini6

4un.ukkan apa yang salah dari pembuktian diba-ah ini yang menyimpulkan bah-a semua kudaber-arna sama6

Misalkan p #n $ adalah pernyataan bah-a semuakuda di dalam sebuah himpunan ber-arna sama

#asis induksi " .ika kuda di dalam himpunan hanyaseekor .elaslah p #1$ benar


30/31


$angkah induksi " Misalkan p #n $ benar yaituasumsikan bah-a semua kuda di dalamhimpunan n ekor kuda ber-arna sama 4in.au

untuk himpunan dengan n ( 1 kuda> nomorikuda,kuda tersebut dengan 1 2 = < n n (14in.au dua himpunan yaitu n ekor kuda yangpertama #1 2 < n $ harus ber-arna sama dan n ekor kuda yang terakhir #2 = < n n (1$ .uga

harus ber-arna sama arena himpunan n kudapertama dan himpunan n kuda terakhir beririsanmaka semua n (1 kuda harus ber-arna samaIni membuktikan bah-a % #n (1$ benar


31/31


enyelesaian: lan!kah induksi tidak enar ,ika n ( 1 4 2' se a dua

hi%punan #yan! %asin! %asin! eran!!otakann

4 1 ele%en$tidak eririsan.

5.InduksiMatematik

Documents

Transcript of 5.InduksiMatematik