5 Grafik Komp-Transformasi 2D

Grafik Komputer : Transformasi Geometri 2D 1/11

Grafik Komputer dan Pengolahan Citra

Grafik Komputer :Transformasi Geometri

2 Dimensi

Universitas Gunadarma2006



Matriks dan Transformasi Geometri

• Representasi umum suatu Matriks adalah :

dimana pada Matriks Mrc, r adalah kolom dan c baris.

• Suatu Vektor direpresentasikan sebagai matriks kolom :

• Perkalian Matriks dan Vektor dapat digunakan untuk transformasi linier suatu vektor.

• Suatu sekuens transformasi linier berkorespondensi dengan matriks korespondennya :

dimana, Vektor hasil di sisi kanan dipengaruhi matriks transformasi linier dan vektor awal.

• Jadi….. Suatu Transformasi Linier :– Memetakan suatu vektor ke vektor lain– Menyimpan suatu kombinasi linier

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnm2m1

2n2221

1n1211

MMM

MMMMMM

M

L

MOMM

L

L

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

vvv

v1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=•

cba

z

y

x

vvv

MMMMMMMMM

vM333231

232221

131211

newold vvMMM =321



TRANSLASI

• Translasi adalah suatu pergerakan/perpindahan semua titik dari objek pada suatu jalur lurus sehingga menempati posisi baru.

• Jalur yang direpresentasikan oleh vektor disebut Translasi atau Vektor Geser.

• Pergeseran tersebut dapat ditulis :

• Untuk merepresentasikan translasi dalam matriks 3x3 kita dapat menulisnya :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡''

yx

yx

dcba

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=100

1001

y

x

TT

ranslationT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111001001

y

x

y

x

TyTx

yx

TT

Tx = 2Ty = 1



ROTASI• Rotasi adalah mereposisi semua titik dari objek sepanjang jalur

lingkaran dengan pusatnya pada titik pivot.

• Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan matriks:

Dimana : - sin(θ) dan cos(θ) adalah fungsi linier dari θ,- x’ kombinasi linier dari x dan y– y’ kombinasi linier dari x and y

x’ = x cos(θ) - y sin(θ)y’ = x sin(θ) + y cos(θ)

θ

(x, y)

(x’, y’)

φ

x = r cos (Φ)y = r sin (Φ)x’ = r cos (Φ + θ)y’ = r sin (Φ + θ)

Identitas Geometri…x’ = r cos(Φ) cos(θ) – r sin(Φ) sin(θ)y’ = r sin(Φ) sin(θ) + r cos(Φ) cos(θ)

Substitusi…x’ = x cos(θ) - y sin(θ)y’ = x sin(θ) + y cos(θ)

( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

yx

θθθθ

cossinsincos

''



SKALA• Penskalaan koordinat dimaksudkan untuk menggandakan

setiap komponen yang ada pada objek secara skalar. • Keseragaman penskalaan berarti skalar yang digunakan

sama untuk semua komponen objek.

• Ketidakseragaman penskalaan berarti skalar yang digunakan pada objek adalah tidak sama.

• Operasi Skala :

atau dalam bentuk matriks :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡byax

yx

''

× 2

X × 2,Y × 0.5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

ba

yx

00

''



CONTOH • Translasi :

• Skala :

• Rotasi :

Y

X0

1

1

2

2

3 4 5 6 7 8 9 10

3

4

5

6

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡12

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡13 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡26

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡29

23

==

y

x

ss

dx = 2dy = 3

Y

X0

1

1

2

2

3 4 5 6 7 8 9 10

3

4

5

6

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡12

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡44

6πθ =

Y

X0

1

1

2

2

3 4 5 6 7 8 9 10

3

4

5

6

θ



Koordinat Homogen• Koordinat Homogen adalah representasi koordinat 2 dimensi

dengan 3 vektor.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

1

coords shomogeneou yx

yx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000)cos()sin(0)sin()cos(

θθθθ

otationR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1000000

ba

Scale

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=100

1001

y

x

TT

ranslationT



Transformasi Gabungan (1/3)• Kita dapat merepresentasikan 3 transformasi

dalam sebuah matriks tunggal.– Operasi yang dilakukan adalah perkalian matriks– Tidak ada penanganan khusus ketika

mentransformasikan suatu titik : matriks • vector– Transformasi gabungan : matriks • matriks

• Tranformasi Gabungan :– Rotasi sebagai titik perubahan : translasi – rotasi-

translai– Skala sebgai titik perubahan : translasi – skala-

translasi– Perubahan sistem koordinat : translasi – rotasi –

skala

• Langkah yang dilakukan :1. Urutkan matriks secara benar sesuai dengan

transformasi yang akan dilakukan.2. Kalikan matriks secara bersamaan3. Simpan matriks hasil perkalian tersebut (2)4. Kalikan matriks dengan vektor dari verteks5. Hasilnya, semua verteks akan ter-transformasi

dengan satu perkalian matriks.



Transformasi Gabungan (2/3)

• Perkalian Matriks bersifat Asosiatif :

• Perkalian Matriks tidak bersifat Komutatif

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++++++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

dhlcfldgjcejdhkcfkdgiceibhlaflbgjaejbhkafkbgiaei

lkji

dhcfdgcebhafbgae

lkji

hgfe

dcba

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++++++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

•⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

dhldgjcflcejdhkdgicfkceibhlbgjaflaejbhkbgiafkaei

hlgjhkgiflejfkei

dcba

lkji

hgfe

dcba

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dhcfdgcebhafbgae

hgfe

dcba

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡hdgbhcgafdebfcea

dcba

hgfe



Transformasi Gabungan (3/3)Contoh :• Jika terdapat objek yang tidak terletak di titik pusat, maka bila

akan dilakukan pen-skala-an dan rotasi,kita perlu mentranslasikan objek tersebut sebelumnya ke titik pusat baru kemudian dilakukan pen-skala-an atau rotasi, dan terakhir dikembalikan lagi ke posisi semula.

• Rotasikan sebuah segment garis sebesar 45o dengan endpoint pada titik a !

– Posisi awal a

– Translasi ke titik pusat

– Rotasi 45o

– Translasi ke titik semula

HdydxTRdydxTHdydxTRHdydxTHHouse ),()(),(),()(),()( θθ −−

a

a

a

a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

1''

1100010301

1000)45cos()45sin(0)45sin()45cos(

100010301

y

x

y

x

aa

aa



Transformasi Lainnya

• Refleksi

• Shear

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

100010001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

100010001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

100010001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100001010

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

10001001 xsh

Arah y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

10001001

ysh

Arah x

5 Grafik Komp-Transformasi 2D

Documents

Transcript of 5 Grafik Komp-Transformasi 2D