1

DISTRIBUSI DISKRIT

Telah kita bicarakan teori dasar peluang, pengertian mengenai ruang sampel,

eksperimen, percobaan dan peristiwa. Peluang dilekatkan pada peristiwa itu, dan kepada

setiap hasil eksperimen e dapat ditunjuk suatu bilangan x yang merupakan fungsi hasil

eksperimen tersebut. Himpunan bilangan x(e) ini, x disebut variabel acak (random

variable). X adalah himpunan fungsi x(e) yang tertampung dalam ruang sampel dari semua

hasil eksperimen. Selanjutnya akan kita bicarakan pencaran atau distribusi variabel acak X

tersebut.

1. DISTRIBUSI DISKRIT

Bila suatu variabel acak X, dapat mengambil nilai tertentu x1, x2, x3, ..., xn dengan

peluang masing-masingnya p1, p2, p3, ..., pn yang memenuhi persyaratan peluang p1, p2,

p3, ..., pn =1 dan pi untuk i=1,2,3,...,n maka hal ini menetapkan suatu distribusi diskrit

peluang buat X. Peluang X mengambil nilai tertentu x dinyatakan dengan notasi P(X=x)

atau secara singkat P(x).

Suatu perubah acak disebut perubah acak diskrit jika himpunan kemungkinan hasilnya

terhitung. Pada contoh (3.1) nilai X adalah 0, 1, 2, 3, 4 maka X adalah perubah acak

diskrit. Perubah acak diskrit ini menggambarkan data cacah.

Lebih mudah jika semua probabilitas dari perubah acak X dinyatakan dalam

rumusan, misalnya f(x), g(x), h(x), dst. Kadang ditulis f(x)=P(X=x). Pasangan (x, f(x))

disebut fungsi peluang atau distribusi peluang perubah acak X.

Jadi sebuah tabel yang memuat perubah acak diskrit X beserta nilai fungsi

probabilitasnya disebut distribusi probabilitas diskrit. Dan distribusi kumulatif dari f(x)

dinyatakan sebagai F(x).

Peubah acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan tidak terhingga

disebut Peubah Acak Diskrit. Table atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan

nilai peubah acak berikut peluangnya disebut Distribusi Peluang Teoritis. Distribusi

peluang yang berhubungan dengan peubah acak diskrit disebut Distribusi Peluang

Diskrit. Pada distribusi peluang diskrit dikenal distribusi peluang Binomial.

2

Contoh 3.1

Suatu eksperimen dari pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 3 kali. Tentukan

distribusi probabilitas X yang menyatakan banyaknya sisi muka yang tampak dari hasil

eksperimen tersebut.

jawab

Pelemparan sebuah mata uang logam setimbang sebanyak 3 Kali.

S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}

dimana G = GAMBAR dan A = ANGKA

X: setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1)

S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}

3 2 2 2 1 1 1 0

Perhatikan bahwa X = {0,1,2,3}

Nilai x1= 0, x2= 1, x3= 2, x4= 3

Untuk x=0, artinya tidak ada sisi muka yg muncul

x=1, artinya ada 1-sisi muka yg muncul

x=2, artinya ada 1-sisi muka yg muncul

x=3, artinya ada 1-sisi muka yg muncul

Distribusi peluangnya dapat dilihat pada yabel 3.1.

Tabel 3.1 Distribusi peluang peubah acak X

Distribusi kumulatif perubah acak X

0 18

0n(x )

n(S)P(X )

1 38

1n(X )

n(S)P(X )

2 38

2n(X )

n(S)P(X )

3 18

3n(X )

n(S)P(X )

3

2. DISTRIBUSI BINOMIAL

Penemu Distribusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai

Distribusi Bernaulli. Distribusi Binomial menggambarkan fenomena dengan dua hasil atau

outcome. Contoh: peluang sukses dan gagal,sehat dan sakit, dsb.

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi

probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang

saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen

berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah

distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji

signifikansi statistik.

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada

jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni

pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi

hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial

merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

Suatu percobaan sering kali terdiri atas ulangan-ulangan dan masing-masing

mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama berhasil atau gagal. Misalnya

saja dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan

mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Dan salah satu di antara keduanya ditentukan

sebagai ‘berhasil’ dan yang lainnya sebagai ‘gagal’. Percobaan tersebut mempunyai ciri-ciri

bahwa ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan

tetap sama yaitu sebesar 1/2 . Percobaan semacam ini disebut percobaan binom.

Andaikan dalam suatu eksperimen dilakukan n kali percobaan yang saling bebas

dan kita kategorikan peristiwa hanya dalam dua peristiwa, yaitu Sukses dan Gagal.

Biarkanlah peluang Sukses yaitu P(Sukses) = p, maka peluang Gagal yaitu P(Gagal) = (1 -

p). Banyak kali Sukses yang terpantau dapat bervariasi antara bilangan-bilangan bulat 0

sampai n. Peluang memperoleh r sukses dari n kali percobaan adalah :

( ) ( )( ) ( )

Distribusi diskrit seperti ini disebut distribusi binomial

4

Jika suatu ulangan binomial mempunyai peluang keberhasilan p dan pelang kegagalan

q = 1 – p, maka distribusi probabilitas bagi peubah acak binomial X, yaitu bayaknya

keberhasilan dalam n ulangan bebas, adalah secara ringkas, Percobaan Binomial adalah

percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

1. Percobaan diulang n kali

2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas;

Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL"

("YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED")

3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah.

Peluang gagal = q = 1- p.

4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.

Contoh 3.2

Lemparkan dua buah mata uang logam, tuliskanlah distribusi peluang.

Contoh 3.3

Lemparkan tiga buah dadu. Carilah distribusi peluang variabel acak X, dimana

X=banyaknya mata dua yang naik.

Contoh 3.4

Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah

dadu setimbang!

Contoh 3.5

Dari pengamatan masa lalu terhadap sejenis komponen listrik, diketahui bahwa

peluang komponen itu berfungsi baik adalah 0.98. Carilah peluang menemui dua atau

lebih komponen rusak dari sampel jenis komponen ini yang besarnya 5 buah.

3.3.1 Syarat Distribusi Binomial

a. Jumlah trial merupakan bilangan bulat. Contoh melemparkan coin 2 kali,

tidak mungkin 2 ½ kali.

b. Setiap eksperimen mempunyai dua outcome (hasil). Contoh sukses/gagal,

laki/perempuan, sehat/sakit, setuju/tidak setuju.

5

c. Peluang sukses sama setiap eksperimen. Contoh pada pelemparan pertama

peluang keluar mata H? sukses adalah ½, pada lemparan seterusnya juga

½. Jika sebuah dadu yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka

dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah

5/6.Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal

adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

3.3.2 Model distribusi binomial

Distribusi binomial dapat diterapkan bilamana pada suatu eksperimen, serentetan

percobaan yang dilakukan memenuhi persyaratan :

(1) Pada setiap percobaan terdapat hanya dua hasil yang mungkin, yang biasanya

dikategorikan sebagai sukses (S) dan gagal (G).

(2) Peluang sukses P(S) pada setiap percobaan tetap, biasa dinyatakan dengan

P(S) = p. Jadi peluang gagal pada setiap percobaan juga tetap, P(G) = (1-p) = q

(3) Hasil masing-masing percobaan saling bebas

3.3.3 Nilai rata-rata atau nilai harapan

Jika X B (n,p) (X variabel random berdistribusi Binomial), maka nilai harapan dari

X adalah :

6

Misalkan m = n – 1 dan s = x – 1, maka persamaan di atas menjadi

Sehingga di dapat mean dari X, E(X) = np

Bila X adalah variabel acak diskrit yang dapat bernilai x1, x2, x3, ..., xn dengan

peluang masing-masingnya p1, p2, p3, ..., pn maka nilai rata-rata atau nilai harapan variabel

acak X didefinisikan sebagai :

( ) ∑ ( )

i

Bila X mengikuti distribusi binomial dengan peluang sukses p, dan banyak

percobaan n, maka nilai harapan frekuensi sukses μ np.

Contoh 3.6

Lemparkan dua buah mata uang logam, dan biarkan X=banyaknya lambang gambar yang

naik. Jelas diharapkan satu lambang yang naik, tentukan nilai harapannya?

Contoh 3.7

Seorang penjudi memasang Rp. 1000,- dan mengharapkan menang Rp. 20.000,-Peluang

menang 0,1. Berapa besarkah perolehan yang diharapkan?

3.3.4 Varians

Dalam mencari Var(X), kita harus tahu nilaiharapan dari X2 ,

7

Misalkan m = n – 1 dan s = x – 1, maka persamaan di atas menjadi

Sehingga didapat variansi dari X, Var (X) = n.p.(1-p) = n.p.q

8

Biarkanlah X variabel acak diskrit yang bernilai rata-rata μ, dan bisa bernilai x1, x2, x3, ..., xn

dengan peluang masing-masingnya p1, p2, p3, ..., pn maka

arians ( ) ∑(xi μ) p

i

i

( )

Varians itu adalah ukuran tebaran distribusi di sekitar μ. Sesuai dengan definisi nilai

harapan, maka terlihat bahwa varians adalah nilai harapan dari (x- μ)2 yaitu :

Varians (X) = E [(x- μ)2] ..........................................(4)

Yang akan memberi :

2 = np(1-p) = np q ................................................(5)

Deviasi standar distribusi binomial

√ ( ) ( )