38 Soal dengan Pembahasan, 426 Soal Latihan · PDF fileApril 2012 38 Soal dengan Pembahasan,...

April 2012

38 Soal dengan Pembahasan, 426 Soal Latihan

Galeri Soal

Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd

Email : [email protected] Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897 © Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…

MatikZone’s Series

Turunan www.matikzone.wordpress.com

Soal-soal Turunan dan Penyelesaiannya Tentukan turunan dengan menggunakan definisi dari:

1). 6=y

2). xy 2=

3). 23xy =

4). 3xy =

5). xy =

6). xxy 52 −=

Jawab:

Definisi: Turunan dari fungsi )(xfy = adalah dxdf

dxdy

xfy === )('' ( 'y dibaca ”y aksen”,

dst), didefinisikan sebagai: h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

−+=

→, sehingga

1). 6=y , 00lim0

lim66

lim)()(

lim'0000

===−

=−+

=→→→→ hhhh hhh

xfhxfy

2). xy 2= , 22lim2

lim222

lim2)(2

lim)()(

lim'00000

===−+

=−+

=−+

=→→→→→ hhhhh h

hh

xhxh

xhxh

xfhxfy

3). 23xy = ,

( )

( )xxhx

hhxh

hxhxhx

hxhxhx

hxhx

hxfhxf

y

hhh

hhh

60.3636lim36

lim3363

lim

323lim

3)(3lim

)()(lim'

00

222

0

222

0

22

00

=+=+=+

=−++

=

−++=

−+=

−+=

→→→

→→→

4). 3xy =

( )

( ) ( )222

22

0

22

0

322

0

33223

0

33

00

300.33

33lim33

lim33

lim

33lim

)(lim

)()(lim'

xxx

hxhxh

hxhxhh

hxhhxh

xhxhhxxh

xhxh

xfhxfy

hhh

hhh

=++=

++=++

=++

=

−+++=

−+=

−+=

→→→

→→→

5). xy =


( ) ( ) ( )

( ) ( ) xxxxx

xhxxhxhh

xhxhxhx

xhxxhx

hxhx

hxhx

hxfhxf

y

hhh

hhh

211

01

1limlimlim

limlim)()(

lim'

000

000

=+

=++

=

++=

++=

++−+

=

++++

⋅−+

=−+

=−+

=

→→→

→→→

6). xxy 52 −=

( )( ) ( )

( )

( ) 5205252lim52

lim

5552lim

55)(lim

)()(lim'

0

2

0

222

0

22

00

−=+−=+−=−+

=

+−−−++=

−−+−+=

−+=

→→

→

→→

xxhxh

hhxhh

xxhxhxhxh

xxhxhxh

xfhxfy

hh

h

hh

Rumus Turunan

Untuk n bilangan bulat; a, b, c konstanta; u dan v fungsi dalam variabel x , berlaku:

Soal-Soal:

7. 0'9 =⇒= yy

Turunan Fungsi Trigonometri xy sin= xy cos' =⇒ axy sin= axay cos' =⇒ xy cos= xy sin' −=⇒ axy cos= axay sin' −=⇒

xy tan= xy 2sec' =⇒ axy tan= axay 2sec' =⇒ uy sin= uuy cos'' =⇒ uy cos= uuy sin'' −=⇒ uy tan= uuy 2sec'' =⇒

Sifat –sifat: vuy ±= ''' vuy ±=⇒

vuy ⋅= ''' uvvuy +=⇒

vu

y = 2

'''

vuvvu

y−

=⇒

nuy = '' 1 unuy n ⋅=⇒ − )(xafy = )('' xafy =⇒

Rumus Turunan cy = 0' =⇒ y

naxy = 1' −=⇒ nanxy

Lainnya:

0,log >= xxy a ex

y a log1

' ⋅=⇒

uy a log= euu

y a log'

' ⋅=⇒

uey = ueuy '' =⇒

vay = vaavy ⋅⋅=⇒ ln''

xy ln= x

y1

' =⇒

uy ln= uu

y'

' =⇒


8. 22.1.2'2 011 ===⇒= − xxyxy

9. 3144 12.4.3'3 xxyxy ==⇒= −

10. 3 2

32

32

131

31

3 11.

31

.3'33xx

xxyxyxy ====⇒⋅=⇒⋅=−−

11. 2

152

15.

23

.5'5..55 21

123

23

21 x

xxyxxxyxxy ===⇒==⇒⋅=−

12. xxxx

xxyxx

yx

y.2

5

.2

5

.2

525

.21

.5'555

323

23

121

21

21

−=−=−=−=−=⇒==⇒=−−−−

13. 42151213523 5126.5.1.2.6.3.2'62 xxxxxxyxxxy −+=−+=⇒−+= −−−

14. ( )( )523 26 xxxxy −+=

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )42352

45223

5262123'''

52'2,123',6

xxxxxxxuvvuy

xvmakaxxvdanxxuxxu

−++−+=+=

−=−=+=+=⇒

( ) ( )

2367

62736273

368428

301252122436

xxxx

xxxxxxxx

++−−=

−+−+−+−=

15. 2

3

53

xxx

y+

=

( ) ( )( ) ( )

( ) 4

4242

22

322

2

223

2510301515

5

10.35.33'''

10',533',3

xxxxx

x

xxxxxv

uvvuy

xvxvdanxuxxu

−−+=

+−+=

−=⇒

==+=+=⇒

( )( ) 2

2

22

22

4

24

53

5535

25155

xx

xxxx

xxx −

=−

=−

=

16. ( )24sin xy = xuxu 8',4 2 ==⇒

( )24cos.8cos'' xxuuy ==⇒

17. ( )323 24cos xxy +=


( )( ) ( )( )( )232322 6824sin24cos3' xxxxxxy ++−+=⇒

( ) ( ) ( )322322 24cos24sin683 xxxxxx +++−=

18. xey 2= 2',2 ==⇒ uxu xu eeuy 2.2'.' ==⇒

19. ( ) ( ) 23',22ln 233 +=+=⇒+= xuxxuxxy

xx

xuu

y223'

'3

2

++

==

20. ( ) ( ) 66',6262log 2333 −=−=⇒−= xuxxuxxy

exx

xe

xxx

euu

y a log333

log6266

log.'

' 33

23

3

2

−−

=

−−

==

Aturan Rantai

Jika ( )ufy = fungsi dari u yang dapat diturunkan, ( )xgu = fungsi dari x yang dapat

diturunkan, serta ( )( )xgfy = fungsi dari x yang dapat diturunkan, maka

( )( ) ( )( ) ( )xgxgfxgfdxd

y ''' ⋅== atau dxdu

dudy

dxdy

⋅=

Soal-soal:

21. ( ) ⇒+=32 52 xxy misal xxu 52 2 += maka 3uy = sehingga diperoleh 23u

dudy

= dan

54 += xdxdu

. Kita dapatkan ( ) ( ) ( )5452354.3'222 ++=+=⋅== xxxxu

dxdu

dudy

dxdy

y

22. ( )⇒+= xxy 52sin 24 misal ( ) 42 52sin uyxxu =⇒+= ,dan

vuxxv sin52 2 =⇒+= . Kita peroleh 34ududy

= , vdvdu

cos= , dan 54 += xdxdv

.

Akhirnya kita peroleh:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xxxxx

xxxxxxvudxdv

dvdu

dudy

dxdy

y

52cos52sin544

5452cos52sin454cos4'

223

2323

+++=

+⋅+⋅+=+⋅⋅=⋅⋅==


Persamaan Garis Singgung Kurva

Gradien garis singgung kurva ( )xfy = di titik ( )11 , yxT adalah ( )1' xfm gs = . Maka

persamaan garis singgung kurva ( )xfy = di titik ( )11 , yxT adalah:

( )( ) ( )111

11

' xxxfyy

xxmyy gs

−⋅=−⇒

−=−

Soal-soal:

23. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( ) xxxfy 35 2 −== di titik (2, 14).

Jawab: ( ) 310' −= xxf maka ( ) 1732032102' =−=−⋅=f jadi ( ) 172' == fm gs .

Persamaan garis singgung kurva adalah ( ) ( )2171411 −=−⇒−=− xyxxmyy gs

2017

143417341714

−=⇒+−=⇒−=−⇒

xyxy

xy

24. Tentukan koordinat titik singgung dari garis singgung kurva ( ) 133 2 +−== xxxfy

yang bergradien 15.

Jawab: * ( ) ( ) 36'133 2 −=⇒+−= xxfxxxf

* ( ) 318631563615' 11111 =⇒=⇒+=⇒−⋅=⇒= xxxxxfm gs

* ( ) ( ) 19192713333 211 =+−=+⋅−== xfy

Jadi, titik singgungnya ( )19,3T

25. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( ) 322 −+= xxxf yang sejajar garis

52 +−= xy

Jawab: * Garis 52 +−= xy memiliki gradien 2−=m , karena sejajar 2−== mm gs

* ( ) 22)('322 +=⇒−+= xxfxxxf

* 242222)(' 1111 −=⇒−=⇒+=−⇒= xxxxfm gs

* ( ) ( ) ( ) 33443222 211 −=−−=−−+−== xfy

Titik singgungnya ( )3,2 −−T

Persamaan garis singgung kurva adalah ( )11 xxmyy gs −=−


( ) ( )( )( )

72423223

223

−−=⇒−−=+⇒+−=+⇒

−−−=−−⇒

xyxyxyxy

26. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( ) 242 +−= xxxf yang tegak lurus garis

062 =+− yx

Jawab: * Garis 062 =+− yx memiliki gradien 21

=m , karena tegak lurus

1−=⋅ mm gs

maka 22

111

−=−=−=m

m gs

* ( ) 42)('242 −=⇒+−= xxfxxxf

* 122422)(' 1111 =⇒=⇒−=−⇒= xxxxfm gs

* ( ) 124121.41211 −=+−=+−== xfy

Titik singgungnya ( )1,1−T

Persamaan garis singgung kurva adalah ( )11 xxmyy gs −=−

( ) ( )

12221121

+−=⇒+−=+⇒−−=−−⇒

xyxyxy

Dalil L’Hopital

Jika ( )( )xgxf

y = dimana ( )( ) 0

0lim =

→ xgxf

ax atau

( )( ) ∞

∞=

∞→ xgxf

xlim (bentuk tak tentu) maka

( )( )

( )( )xgxf

xgxf

axax ''

limlim→→

= dan ( )( )

( )( )xgxf

xgxf

xx ''

limlim∞→∞→

= .

Apabila masih diperoleh bentuk tak tentu, maka masing-masing pembilang dan penyebut

diturunkan kembali.

Soal-soal:

27. 00

42

lim22

=−

−→ x

xx

BTT, maka 41

221

21

lim4

2lim

222=

⋅==

−−

→→ xxx

xx


28. 00

42

lim42

23

0=

−−

→ xxxx

xBTT, mk

224

0240

48246

lim162

43lim

42

lim203

2

042

23

0−=−=

−−

=−

−=

−−

=−−

→→→ xx

xxxx

xxxx

xxx

29. 2

2 3lim

4 2x

xx x→∞

+ ∞=

+ − ∞ BTT, maka 02

422

lim24

32lim

2=

∞=

+=

−++

∞→∞→ xxxx

xx

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

a). ( ) 0' >xf untuk x∀ dalam ( )ba, , maka f adalah fungsi naik pada selang ( )ba,

b). ( ) 0' <xf untuk x∀ dalam ( )ba, , maka f adalah fungsi turun pada selang ( )ba,

c). ( ) 0' =xf untuk x∀ dalam ( )ba, , maka f adalah fungsi konstan pada selang ( )ba,

Soal-soal:

30. ( ) ( ) 0'9 =⇒= xfxf , maka ( ) 9=xf adalah fungsi konstan untuk setiap nilai x.

31. Tentukan interval dimana ( )xf naik dan ( )xf turun dari fungsi ( ) 1032 −+= xxxf

Jawab: * ( ) ( ) 32'1032 +=⇒−+= xxfxxxf

* ( )xf naik jika ( ) 0' >xf maka 23

32032 −>⇒−>⇒>+ xxx

Jadi ( )xf naik pada interval 23

−>x

* ( )xf turun jika ( ) 0' <xf maka 23

32032 −<⇒−<⇒<+ xxx

Jadi ( )xf turun pada interval 23

−<x

Ilustrasi Grafik

32. Tentukan interval fungsi naik dan fungsi turun dari .

Diturunkan 2x

23

−

( ) 0' <xf ( ) 0' >xf

( ) 3 21 34 5

3 2f x x x x= − − +


Jawab:

( ) ( )3 2 21 34 5 ' 3 4

3 2f x x x x f x x x= − − + ⇒ = − −

( )( )( )

2Pembuat nol ' 0 3 4 0

1 4 0

1 atau 4

f x x x

x x

x x

⇒ = ⇒ − − =

+ − =

= − =

Garis bilangan dari f’(x)

Cek titik:

x = -2 maka f’(-2) = (-2)(-2) – 3(-2) – 4 = 4 + 6 – 4 = 6 > 0

x = 0 maka f’(0) = 0.0 – 3.0 – 4 = 0 – 0 – 4 = - 4 < 0

x = 5 maka f’(-2) = 5.5 – 3.5 – 4 = 25 – 15 – 4 = 6 > 0

( )Jadi, naik pada interval 1atau 4 dan turun pada interval -1 4.f x x x x< − > < <

Titik Stasioner

Jika fungsi f mempunyai turunan pada selang I yang memuat c. Jika ( ) 0' =cf , maka

( )( )cfcT , adalah titik stasioner dari fungsi f.

a). Jika ( ) 0'' >cf maka ( )( )cfcT , titik Balik Minimum relatif dari fungsi f.

b). Jika ( ) 0'' <cf maka ( )( )cfcT , titik Balik Maksimum relatif dari fungsi f.

c). Jika ( ) 0'' =cf maka ( )( )cfcT , titik Belok Grafik fungsi f.

Dimana ( )xf ' adalah turunan pertama ( )xf dan ( )xf '' trurunan kedua dari ( )xf

c1 c2 c3 c4

f(c1) f(c2) f(c4) f(c3)

T (c1, f(c1)) titik balik maksimum T (c2, f(c2)) titik belok T (c3, f(c3)) titik balik minimum T (c4, f(c4)) titik belok

+++ --- +++ -1 4


Soal-soal:

33. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi ( ) xxxxf 1292 23 +−=

Jawab: Diketahui ( ) xxxxf 1292 23 +−= maka ( ) 12186' 2 +−= xxxf

( ) ( )( ) ( )( )216'

236' 2

−−=+−=

xxxfxxxf

Titik stasioner diperoleh jika ( ) 0' =xf ( )( ) 0216 =−−⇒ xx diperoleh 11 =x dan

22 =x

Untuk 11 =x ( ) 512921.121.91.2 231 =+−=+−=⇒ xf diperoleh )5,1(1T

Untuk 22 =x ( ) 42436162.122.92.2 232 =+−=+−=⇒ xf diperoleh )4,2(2T

Cara 1: Dengan Turunan Kedua:

( ) ( ) 1812''12186' 2 −=⇒+−= xxfxxxf

Untuk 11 =x ( ) 06181.121'' <−=−=⇒ f maka )5,1(1T Titik Balik Maksimum.

Untuk 22 =x ( ) 06182.122'' >=−=⇒ f maka )4,2(2T Titik Balik Minimum.

Cara 2: Dengan Diagram Grafik

Uji nilai:

Untuk x < 1 pilih x = 0 maka ( ) 012120.180.60' 2 >=+−=f , ( )xf Naik

Untuk 1<x< 2 pilih x = 23 mk ( ) ( ) 0

21

11223.182

3.623'

2<−=+−=f , ( )xf Turun

Untuk x > 2 pilih x = 3 maka ( ) 012123.183.63' 2 >=+−=f , ( )xf Naik

1 2

+ – + Sehingga:

)5,1(1T Titik Balik Maksimum.

)4,2(2T Titik Balik Minimum.


34. Fungsi ( ) 23 bxaxxf += memiliki titik stasioner (1, -1) tentukan nilai a dan b.

Jawab:

( ) ( ) bxaxxfbxaxxf 23' 223 +=⇒+=

Syarat stasioner ( ) 0230' 2 =+⇒= bxaxxf , untuk x = 1 maka

02301.21.3 2 =+⇒=+ baba

Titik stasioner (1, -1) maka ( ) 111.1.1 23 −−=⇒+=−⇒+= abbabaf

Subtitusi 1−−= ab ke 023 =+ ba

( )312

202230123−=−−=⇒

=⇒=−−⇒=−−+⇒baaaaa

Jadi a = 2 dan b = - 3

Nilai Stasioner

Jika ( )( )cfcT , adalah titik stasioner grafik fungsi f, maka ( )cf adalah nilai stasioner di titik

cx =

Soal-soal:

Dari soal di atas, )5,1(1T Titik Balik Maksimum. Nilai stasioner di titik x = 1 adalah 5.

Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Untuk mencari Nilai Maksimum dan Nilai Minimum mutlak fungsi f pada interval tertutup

[ ]ba, dapat dilakukan dengan cara:

a). Menentukan nilai stasioner fungsi f dalam interval tersebut.

b). Menentukan nilai fungsi ( )af dan ( )bf

c). Menyelidiki nilai maksimum (terbesar) dan minimum (terkecil) pada poin a). dan b).


Soal-soal:

35. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi ( ) xxxxf 36152 23 +−= dalam

interval 51 ≤≤ x

Jawab:

Nilai stasioner f diperoleh jika ( ) 0' =xf

( ) ( ) ( )( ) 0326036306'36152 223 =−−⋅⇒=+−=⇒+−= xxxxxfxxxxf

2=x atau 3=x

Terdapat dua titik stasioner pada interval 51 ≤≤ x

Untuk 2=x maka ( ) 282.362.152.22 23 =+−=f

Untuk 3=x maka ( ) 273.363.153.23 23 =+−=f

Menentukan nilai ( )1f dan ( )5f

( ) 231.361.151.21 23 =+−=f dan ( ) 555.365.155.25 23 =+−=f

Dari nilai-nilai tersebut dapat kita lihat bahwa nilai maksimumnya adalah 55 dan nilai

minimumnya adalah 23.

Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum dalam Kehidupan Sehari-hari

36. Kebun Pak Subur berbentuk persegi panjang dengan kelilingnya 60 meter. Jika

panjangnya x meter dan lebarnya y meter, tentukan:

a. Persamaan yang menyatakan hubungan antara x dan y

b. Ukuran kebun Pak Subur agar luasnya maksimum.

Jawab:

a). Keliling ABCD = 2 (x + y)

xy

yxyx

−=⇔=+⇔

+=⇔

3030

)(260

Jelaslah bahwa y > 0 untuk 300 ≤≤ x

Jadi xy −= 30 dengan 300 ≤≤ x

y x

D C A B


b). yxL ⋅=

( )

( ) 230

30

xxxL

xx

−=

−=

Harus dicari nilai maksimum L.

( ) xxLxxxL 230)('30 2 −=⇒−=

Nilai stasioner L didapat jika 0)(' =xL . Jadi 1502300)(' =⇒=−⇒= xxxL

Dengan menguji nilai )(' xL menggunakan garis bilangan, diperoleh

Untuk x = 15 terdapat nilai balik maksimum. ( ) 2252254501515.3015 2 =−=−=L

Nilai L pada ujung-ujung interval 150 ≤≤ x adalah ( ) 22515 =L dan ( ) 00 =L

Jadi, Luas maksimumnya adalah 225 2m , jika segi empat tersebut berbentuk persegi,

dengan lebar = panjang = 15 m.

Kecepatan dan Percepatan

Jika suatu benda bergerak sepanjang garis lurus, maka berlaku dtds

v = dan dtdv

a = , dimana:

v = kecepatan pada t detik ( )sm

s = panjang lintasan dalam t detik ( )m

a = percepatan pada t detik ( )2sm

Soal-soal:

37. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengan panjang lintasan s meter pada

waktu t detik, didefinisikan dengan persamaan 3125 tts −+= .

a. Tentukan rumus kecepatan saat t detik.

++ --

15


b. Tentukan t jika kecepatan sesaatnya nol.

c. Tentukan percepatan benda pada saat t detik.

d. Hitunglah jarak dan kecepatan sesaat jika percepatannya nol.

Jawab: 3125 tts −+=

Kecepatan sesaat = 2312 tdtds

−=

Kecepatan sesaat = ( )( ) 2022040312 22 ±=⇒=+−⇔=−⇔=− ttttt detik

Jadi, kecepatan sesaatnya nol setelah 2 detik.

Percepatan (a) = tdt

sddtds

dtd

dtdv

62

2

−==

= (turunan kedua dari s terhadap t)

0606 =⇔−=⇔−= ttta detik

Jarak 500.125125 33 =−+=−+= tts meter

Kecepatan sesaat = dtmtv 120.312312 22 =−=−=

Menggambar Kurva (Grafik)

Untuk menggambar grafik fungsi yang dapat didefferensialkan adalah dengan menentukan:

a). Titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y.

b). Titik stasioner dan nilai ekstrimnya.

c). Garis penunjuk arah kurva.

Soal-soal:

38. Gambarlah kurva dari fungsi ( ) 82 2 −= xxf .

Jawab:

( ) 82 2 −== xxfy memotong sumbu X jika y = 0

( )( ) 0222082 2 =+−⇒=−⇒ xxx diperoleh 2±=x , jadi )0,2(1 −T dan )0,2(2T

( ) 82 2 −== xxfy memotong sb Y jika x = 0 880.2 2 −=−=⇒ y , jadi )8,0(3 −T

( ) xxfxxf 4)('82 2 =⇒−=


Titik stasioner diperoleh jika 0)(' =xf sehingga diperoleh 004 =⇒= xx

Untuk x = 0 880.2 2 −=−=⇒ y . Jadi titi stasionernya adalah )8,0( −T

Bentuk grafik

xxf 4)(' =

Uji titik: Untuk x = – 1 maka ( ) 414)1(' −=−=−f < 0 Grafik Turun

Untuk x = 1 maka ( ) 414)1(' ==f > 0 Grafik Naik

Sketsa Grafik

Catatan:

a. m dan h dua garis yang sejajar maka hg mm =

b. m dan h dua garis yang saling tegak lurus maka 1−=⋅ hg mm

c. Persamaan garis adalah cmxy += (gradien m) atau 0=++ cbyax (gradien m = ba

− )

d. Persamaan garis lurus melalui satu titik ( )11 , yx dengan gradien m adalah

( )11 xxmyy −=−

-- ++ 0

– 2 2 – 8

x

y


Soal-soal Latihan Turunan

Carilah turunan dari fungsi-fungsi

berikut menggunakan definisi

hxfhxf

xfh

)()(lim)('

0

−+=

→

1. ( ) 3−=xf

2. ( ) 9−=xf

3. ( ) 11=xf

4. ( ) 50=xf

5. ( )645

=xf

6. ( ) xxf 18=

7. ( ) xxf 10−=

8. ( ) xxf 2=

9. ( ) xxf21

=

10. ( ) xxf 15=

11. ( ) 25xxf =

12. ( ) 25xxf −=

13. ( ) 220xxf =

14. ( ) 2

25

xxf =

15. ( ) 34xxf =

16. ( ) 310xxf −=

17. ( ) 37xxf −=

18. ( ) 3

31

xxf =

19. ( ) xxf 6=

20. ( ) xxf 2−=

21. ( ) 25 += xxf

22. ( ) 52 −= xxf

23. ( )x

xf1

=

24. ( )x

xxf1

+=

25. ( ) xxxf 22 +=

Carilah turunan dari fungsi-fungsi

berikut dengan menggunakan rumus:

26. ( ) 2xxf =

27. ( ) 24xxf =

28. ( ) xxf 9=

29. ( ) xxf 11−=

30. ( ) xxf51

=

31. ( ) 2

65

xxf −=

32. ( ) 106xxf −=

33. ( ) 75xxf =

34. ( )x

xxf

75=

35. ( )3 22

12

xxxf

−=

36. ( )3

5xxx

xf =

37. ( ) xxxf 35=


38. ( ) 3

32

xx

xf +=

39. ( ) 25 3xxxf −=

40. ( )x

xxf2

−=

41. ( ) xxxf 65 2 −=

42. ( ) 35 294 xxxxf −+=

43. ( ) 1023 3 −+= xxxf

44. ( ) 86 345 xxxf +−=

45. ( ) 31

23

21

24−

−+= xxxxg

46. ( ) xxxxg −+=−− 2

12 23

47. ( )x

xxg2

12 +=

48. ( )72

87xx

xg +=

49. ( ) 321

31 23 +−= xxxg

50. ( )2

331

4

+= xxxg

51. ( ) ( )( )3522 +−= xxxxg

52. ( ) ( )( )3223 +−= xxxg

53. ( ) ( )( )5413 +−= xxxg

54. ( ) ( )52 2 += xxxg

55. ( ) ( )( )2333 4287 xxxxxg +−+= −−

56. ( ) ( )( )1433 22 +−+= xxxxxg

57. ( ) ( )32 −= xxxxg

58. ( ) ( )123 2 +⋅= xxxg

59. ( ) ( )( )1

2−+

=xx

xg

60. ( ) ( )( )1

23

2

−−

=x

xxxg

61. ( )x

xxg

6583

−+

=

62. ( )5

132

2

+−+

=x

xxxg

63. ( )75

534 2

−−−

=x

xxxg

64. ( )734

5

23

−−

=x

xxxg

65. ( )xx

xg−+

=11

66. ( )x

xxg

−=

12 2

67. ( )3

2

332

xxx

xg−

+=

68. ( )32

5

xxx

xg−

=

69. ( )x

xxg

−+

=5

15

70. ( )xxx

xg+

−=

4

21

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi

di bawah ini:

71. ( ) ( )42 5xxxf −=

72. ( ) ( )432 −= xxf

73. ( ) ( )514 += xxf

74. ( ) ( )336 xxf −=

75. ( ) ( )62 16 +−= xxxf

76. ( ) ( )632 43 xxxf +−=


77. ( ) ( )72 1054 −+= xxxf

78. ( ) ( ) 253 −+= xxf

79. ( ) ( ) 322−

−= xxxf

80. ( ) ( ) 52 76−

−+= xxxf

81. ( ) ( ) 723 42−

+−= xxxxf

82. ( )( )252

4−

=x

xf

83. ( )( )334

5x

xg−

=

84. ( )( )52 253

9

+−

−=

xxxg

85. ( ) xxxg 42 +=

86. ( ) xxxxg −+= 34 4

87. ( ) ( )52 4+= xxg

88. ( ) 3 261 xxg −=

89. ( ) 3 2874 xxxg −+=

90. ( ) ( )3 24 xxg −=

91. ( ) ( )3 22 143 −+= xxxg

92. ( ) ( )5 21−= xxg

93. ( )26

1

xxg

−=

94. ( )xx

xg25

82 +

=

95. ( )3 33

7

xxg

−=

96. ( )( )3 22 2

2

xxxg

−=

97. ( )3 32351

10

xxxxg

−+−=

98. ( )8

1215

−+

=xx

xg

99. ( )9

531

+−

=x

xxg

100. ( )4

11 −

+−

=x

xxg

101. ( )5

2

2

1

−

+

=x

xxg

102. ( ) ( ) ( )53 134 ++= xxxg

103. ( ) ( ) ( )54 321 +−= xxxg

104. ( ) ( ) ( )44 652 +−= − xxxg

105. ( )2

32

2

+

+=

x

xxg

106. ( )( )32

2

4

2

xx

xxg

+

−=

107. ( ) ( ) 21

2 6−

+= xxxg

108. ( ) ( )31

243 xxg −=

109. ( )3

2 1

+=

xxxg

110. ( )3

2

14

−=

xxxg

Tentukan rumus turunan dari fungsi

berikut:

111. ( ) xxh sin2=

112. ( ) xxh sin8−=

113. ( ) xxh 5sin=


114. ( ) xxh cos5=

115. ( ) xxh cos9−=

116. ( ) xxh 8cos=

117. ( ) xxh tan3=

118. ( ) xxh tan4−=

119. ( ) xxh 7tan=

120. ( ) xxf sec=

121. ( ) xxf seccos=

122. ( ) xxf cot=

123. ( ) ( )3sin −= xxh

124. ( ) ( )xxxh 2sin 2 +=

125. ( ) ( )xxxxh +−= 23 32sin

126. ( ) ( )223 3sin xxxh −=

127. ( ) ( )323sin xxxh −=

128. ( ) ( )5cos += xxh

129. ( ) ( )xxxh 3cos 3 +=

130. ( ) ( )xxxxh 235cos 23 −+=

131. ( ) ( )32 52cos xxxh +=

132. ( ) ( )423cos xxxh −=

133. ( ) ( )xxh −= 5tan

134. ( ) ( )xxxh += 3tan

135. ( ) ( )xxxxh 235tan 23 −−=

136. ( ) ( )22 52tan xxxh +=

137. ( ) ( )42 23tan xxxh −=

138. ( ) xxxf cossin −=

139. ( ) xxxf 2cos5sin +=

140. ( ) xxxf 5tan5cos −=

141. ( ) xxxf 2sin3tan2 −=

142. ( ) xxxf 6sin4 2 +=

143. ( ) xxxf sin=

144. ( ) xxxf sin2=

145. ( ) ( ) xxxf tan25 +=

146. ( ) ( ) xxxxf 3cos52 −=

147. ( ) xxxf cossin=

148. ( ) xxxf 3cos3sin=

149. ( ) ( )53tan2sin −= xxxf

150. ( ) ( ) ( )53tan42cos −−= xxxf

151. ( ) ( ) xxxxf 2cos43sin 2 ⋅−=

152. ( ) ( ) ( )23sin3sin 2 −⋅−= xxxxf

153. ( )xx

xf+

=1sin

154. ( )x

xxf

cos

2

=

155. ( )xx

xfcossin

=

156. ( )xx

xfsincos

=

157. ( )xxxx

xfsincossincos

−+

=

158. ( )xxxx

xfsincoscossin

+−

=

159. ( )x

xxf

cos3sin+

=

160. ( )x

xxf

sin42 +

=

161. ( )xx

xxf

cossincos

+=

162. ( )( )32 3

cos

xx

xxf

+=


163. ( )xx

xftan2tan2

−+

=

164. ( )xx

xxf

sin1 2+

=

165. ( )x

xxf

cos21sin

−=

166. ( )x

xxf

3cos2sin

=

167. ( ) ( )xxg cossin=

168. ( ) ( )xxg sincos=

169. ( ) xxg 3sin=

170. ( ) xxg 4cos5=

171. ( ) xxg 2tan3 5=

172. ( ) ( )24 2sin3 xxxg −−=

173. ( ) ( )xxg cossin4 3=

174. ( ) ( )xxg 5sincos4 3−=

175. ( ) ( )( )25 2coscos7 xxxg −=

Soal-soal persamaan garis singgung

kurva.

Tentukan gradien dan persamaan

garis yang menyinggung kurva berikut

pada titik yang telah ditentukan.

176. ( ) 132 ++= xxxf di titik (1, 5)

177. ( ) 352 2 +−= xxxf di titik (2, 1)

178. ( ) 23 ++= xxxf di titik (–1, 0)

179. ( )x

xf4

= di titik (1, 4)

180. ( ) 2xxf = di titik (3, 9)

181. ( ) xxf = di titik (4, 2)

182. ( ) ( )( )23 2 +−= xxxf di titik (1, –6)

183. ( ) 21 xxf −= di titik (2, 0)

184. ( ) 543 23 −−= xxxf di titik (2, 3)

185. ( ) 542 −−= xxxf di titik (-2, 7)

186. ( ) 3 5 xxf −= di titik (-3, 2)

187. l. ( )x

xf8

−= di titik (4, -4)

188. ( ) 72 −= xxf di titik (3, 2)

189. ( ) ( )( )2

53x

xxxf

−+= di titik (5, 0)

190. ( ) 164 2 −= xxf di titik (-2, 0)


garis singgung kurva-kurva berikut:

191. ( ) 32 −= xxf di x = 1

192. ( ) 23 2 −= xxf di x = 3

193. ( ) ( )( )43 +−= xxxf di x = -1

194. ( ) ( )( )132 +−= xxxf di x = 0

195. ( )x

xf1

1 −= di x = 3

196. ( ) 473 −+= xxxf di x = -3

197. ( )x

xf1

= di x = 3

198. ( ) 321 2 +−= xxf di x = -2

199. ( )322 −= xxf di x = 1

200. ( ) xxf 3= di x = 9



garis singgung kurva-kurva berikut:

201. 3xy = di titik berordinat 8.

202. 552 ++= xxy di titik berordinat

–1.

203. 2

4x

y = di titik berordinat 4

204. 21 xy −= di titik berordinat –15

205. 23xy = di titik berordinat 12

206. xy = di titik berordinat 3

207. ( ) 452 ++= xxxf , di titik berabsis

–3.

208. xxy 52 −= di titik berabsis 5.

209. 533 +−= xxy di titik berabsis 1.

210. 3210 xy −= di titik berabsis 2.

211. 232 +−= xxy di titik berabsis 2.

Tentukan persamaan garis singgung

kurva:

212. ( ) 232 2 +−= xxxf dengan m = 5

213. ( ) 433 2 ++= xxxf dengan m = -3

214. ( ) 23 23 ++−= xxxxf dengan m =

-2

215. ( ) 24 ++= xxxf dengan m = -3

216. ( ) 32 +−= xxxf dengan m = 1

217. ( ) 2235 xxxf −+= dengan m = -3

218. ( ) ( )( )11 +−= xxxf dengan m = 2

219. ( ) ( )( )53 −+= xxxf dengan m = 0

220. ( ) 23 xxxf += dengan m = 1

221. ( ) 17331 23 +++= xxxxf , m = -1

222. ( ) 3xxf = , dengan m = -1

223. ( )3

1x

xf = , dengan m = -3

224. ( )2

1x

xf = , dengan m = 1/4

225. ( )x

xf1

1 −= , dengan m = 4

226. ( ) 321 2 +−= xxf yang sejajar garis

0462 =+− yx

227. ( ) xxxxf 1021

31 23 −−= yang

sejajar garis xy 2=

228. ( ) xxxf 32 −= yang sejajar garis

72 += xy

229. ( ) 32 2 += xxf yang sejajar garis

038 =+− yx

230. ( ) xxxf 43 2 −= yang sejajar garis

032 =+− yx

231. ( )x

xf4

= yang sejajar garis

5+−= xy

232. ( ) 23 xxxf −−= yang sejajar garis

5+−= xy

233. ( )x

xxf8

21 2 += yang sejajar

sumbu x.

234. ( ) 652 +−= xxxf yang sejajar

garis 53 −= xy .


235. ( ) 132 2 +−= xxxf yang sejajar

sumbu x.

236. ( ) 132 2 +−= xxxf yang tegak

lurus trehadap garis xy =

237. ( ) 34 −= xxf yang tegak lurus

garis 0112 =−+ yx

238. ( ) 24 xxxf −= yang tegak lurus

garis 421

+−= xy

239. ( ) 556 23 ++−= xxxxf yang

tegak lurus garis 014 =+− yx

240. ( ) xxxf 64 −= yang tegak lurus

garis 062 =+− yx

241. ( ) ( ) 31

67 −−= xxf yang tegak lurus

garis 02748 =+− yx

242. ( )2

12

xxxf −= yang tegak lurus

garis 931

−−= xy

243. ( ) 523 2 +−= xxxf yang tegak

lurus garis 24 =+ xy

244. ( ) 3186 23 ++−= xxxxf yang

tegak lurus garis 029 =++ xy

245. ( ) 243 2 +−= xxxf yang tegak

lurus garis 032 =++ xy

246. ( ) 622 +−= xxxf yang tegak lurus

garis 023 =+− yx

Soal-soal Lainnya:

247. Garis yang menyinggung kurva

( ) 6483 23 −+−= xxxxf di titik

(2, -2) juga menyinggung kurva

( ) xxxf 22 −= di titik P. Tentukan

koordinat titik P!

248. Garis yang menyinggung kurva

( ) 4xxf = di titik (1, 1) juga

menyinggung kurva

( ) kxxxf ++= 22 di titik P.

Tentukan koordinat titik P dan nilai

k.

249. Tentukan nilai k jika garis

56 += xy menyinggung kurva

( ) kxxxf ++= 22 .

250. Tentukan nilai k jika garis

kxy += 2 menyinggung kurva

( ) 453 23 −++= xxxxf .

251. Kurva ( ) 23 3xxxf −= memotong

sumbu Y positif di titik P. Tentukan

persamaan garis yang menyinggung

kurva ( ) 23 3xxxf −= di titik P.

252. Kurva ( ) 222 ++= xxxf

memotong sumbu Y di titik P.

Tentukan persamaan garis yang

menyinggung kurva

( ) 222 ++= xxxf di titik P.

253. Kurva ( ) 322 −−= xxxf

memotong sumbu X positif di titik

P. Tentukan persamaan garis yang

menyinggung kurva

( ) 322 −−= xxxf di titik P.


254. Kurva ( ) xxb

axf

+= melalui

titik P(4, 8), gradien garis singgung

di P adalah 2. Tentukan a dan b.

255. Garis k tegaklurus garis

033 =+− xy dan menyinggung

kurva ( ) 132 2 −+= xxxf di Q.

Tentukan titik Q.

256. Jika titik P mempunyai absis dan

ordinat sama, maka tentukan

gradien garis singgung kurva

( ) 2

21

xxf = di P.

257. Garis singgung titik Q pada kurva

( ) 72 2 +−= xxxf sejajar garis

012 =+− yx . Tentukanlah

koordinat titik Q.

258. Tentukan nilai a dan b, jika garis

singgung kurva bxaxy += 2

melalui titik (1, 5) dan bergradien 8.

259. Tentukan persamaan garis singgung

kurva 2xy = yang sejajar dengan

garis yang me-motong kurva

tersebut di x = -1 dan x = 4.

260. Suatu kurva mempunyai persamaan

qpxxy ++= 2 dengan p dan q

konstan. Jika garis xy 2=

menyinggung kurva di titik (4, 2),

tentukanlah nilai p dan q.

261. Buktikanlah bahwa gradien garis

singgung kurva

1126 23 ++−= xxxy tidak pernah

negatif. Tentukanlah titik-titik pada

kurva tersebut sehingga garis

singgung di titik itu mempunyai

gradien nol.

262. Tunjukkan bahwa kedua garis

singgung kurva 3xy = pada titik

dengan x = 1 dan pada titik dengan

x = -1 adalah sejajar. Tentukan

koordinat titik-titik potong kedua

garis singgung itu dengan sumbu X

dan sumbu Y.

263. Buktikan bahwa tidak ada garis

yang melalui titik (1, 2) merupakan

garis singgung kurva 24 xy −= .

264. Kurva ( )( )( )432 −−−= xxxy

memotong sumbu X di titik-titik

P(2,0), Q(3,0) dan R(4,0). Buktikan

bahwa gradien pada P dan R sama,

dan tentukan persamaan garis

singgung di titik Q.

265. Tentukan koordinat suatu titik pada

kurva 2126 23 ++−= xxxy yang

gradiennya sama dengan gradien

garis 04 =− yx .

266. Garis singgung di A pada

1642 −+= xxy sejajar garis

23 =− yx . Tentukan koordinat

titik A.

267. Jika garis singgung kurva xy 62 =

di titik P membentuk sudut 045

dengan sumbu X positif, tentukan

koordinat titik P.



terhadap kurva fungsi

( ) xxxxf 223 −+= pada titik yang

absisnya merupakan titik potong

kurva dengan sumbu X.


kurva 1683 23 +−−= xxxy yang

membuat sudut 045 terhadap

sumbu X positif.

270. Tentukan titik-titik singgung pada

kurva 432 2 −+= xxy dan

persamaan garis singgung kurva

tersebut, sehingga garis singgung

kurva di titik itu membentuk sudut 0135 dengan sumbu X positif.


kurva di titik

21

,6π

K pada kurva

( ) xxf sin= .

272. Tunjukkan bahwa tidak ada garis

yang melalui titik (1, 2) merupakan

garis singgung kurva 24 xy −=

Tentukan interval fungsi naik dan

fungsi turun dari fungsi-fungsi

berikut:

273. ( ) 2xxf =

274. ( ) 23xxf =

275. ( ) 3 2xxf =

276. ( ) xxxf 62 +=

277. ( ) 2xxxf −=

278. ( ) 223 xxxf −=

279. ( ) 33 xxxf −=

280. ( ) xxxf 123 2 +=

281. ( ) 542 +−= xxxf

282. ( ) 23 −= xxf

283. ( ) 23 3xxxf −=

284. ( ) 83 23 +−= xxxf

285. ( ) xxxxf 1292 23 +−=

286. ( ) 4331 23 +−−= xxxxf

287. ( ) 5122 +−= xxxf

288. ( ) ( )22−= xxf

289. ( ) ( )242 += xxf

290. ( ) ( )23−= xxxf

291. ( ) ( )32−= xxxf

292. ( ) ( )( )2971 2 −+−= xxxxf

293. ( ) xxxxf 621

31 23 −−=

294. ( ) 53 23 ++= xxxf

295. ( ) xxxxf 2492 23 −+=

296. ( ) xxxxf 156 23 −+=

297. ( ) 193 23 −−+= xxxxf

298. ( ) 321 xxxxf −−+=

299. ( ) 1033 23 −+−= xxxxf

300. ( ) 34 43 xxxf −=

301. ( ) xxxf 44 +=

302. ( ) 234 44 xxxxf +−=


303. ( ) 630152 345 −+−= xxxxf

304. ( )x

xf1

=

305. ( ) 12 −+= xxxf

306. ( ) 1,1

−≠+

= xx

xxf

307. ( )x

xxf

2122

−−

=

308. ( )92 +

=x

xxf

309. ( )42

2

+=

xx

xf

310. ( )( )22

6−

=x

xf

311. ( ) π20;sin ≤≤= xxxf

312. ( ) π20;sincos ≤≤+= xxxxf

Untuk setiap fungsi berikut, nyatakan

apakah fungsinya naik atau turun.

313. ( ) 112 2 −= xxf pada x = 3

314. ( ) 32 2xxxf −= pada x = –1

315. ( ) 94 36 ++= xxxf pada x = 1

Lainnya:

316. Tunjukkan secara aljabar bahwa

fungsi ( ) 1033 23 −+−= xxxxf

tidak pernah turun.

317. Tunjukkan bahwa grafik fungsi

( ) xxxxf ++= 23

31

tidak pernah

turun.


( ) 326152 xxxxf −+−= selalu

turun.


( ) xxxxf ++= 35

32

51

selalu naik.

320. Tunjukkan secara aljabar bahwa

fungsi ( ) xxxxf 232 23 −+−=

selalu turun.


( ) 563 23 ++−= xxxxf selalu

naik untuk semua x bilangan real.

322. Tunjukkan bahwa fungsi

( ) xxxf sin+= tidak pernah turun.

323. Tunjukkan bahwa fungsi

( ) xxxf sin3 +−= selalu turun.


( ) xxxf cos2 += selalu naik untuk

semua x bilangan real.

325. Jika ( ) 623 +++= pxpxxxf

selalu naik untuk setiap nilai x,

maka tentukan nilai p.

326. Jika ( ) 842 23 −++−= xpxpxxf

selalu turun untuk setiap nilai x,

maka tentukan nilai p.

327. Jika grafik fungsi

( ) cbxaxxxf +++= 23 hanya

turun pada interval 35 ≤≤− x ,

maka nilai a + b = ....

Nilai Maksimum dan Minimum


Tentukan nilai maksimum dan minimum

dari fungsi- fungsi berikut untuk interval

yang diberikan:

328. ( ) 22xxf = pada 22 ≤≤− x .

329. ( ) 162 −= xxf pd 22 ≤≤− x .

330. ( ) 322 −−= xxxf pada 42 ≤≤ x .

331. ( ) 362 +−= xxxf pada

21 ≤≤− x .

332. ( ) 6126 23 −+−= xxxxf pd

30 ≤≤ x .

333. ( ) 23 6xxxxf −−= pada

31 ≤≤− x .

334. ( ) xxxxf 36152 23 +−= pd

51 ≤≤ x .

335. ( ) ( )xxxf −= 6 pada 24 ≤≤− x .

336. ( ) ( )( )52 −+= xxxf pada

42 ≤≤ x .

337. ( ) 2100 xxf −= pada 86 ≤≤− x

338. ( ) ( )31−= xxf pada 41 ≤≤− x .

339. ( ) 63 24 −+= xxxf pd 42 ≤≤− x .

340. ( ) 242 xxxf −= pd 43 ≤≤− x .

341. ( ) xxxf cossin += pd

ππ 22 ≤≤− x .

Titik Stasioner.

Carilah titik balik dan jenisnya dari

fungsi-fungsi berikut:

342. ( ) 22xxf −=

343. ( ) 5xxf =

344. ( ) 652 −+= xxxf

345. ( ) 322 +−= xxxf

346. ( ) 355 +−= xxxf

347. ( ) ( )xxxf −= 43

348. ( ) 34 4xxxf −=

349. ( ) ( )41−= xxf

350. ( ) ( )( )51 −+= xxxf

351. ( ) ( ) ( )43 23 +−= xxxf

352. ( ) ( ) ( )( )321 2 −−−= xxxxf

353. ( ) 0;162 ≠+= xx

xxf

354. ( )43 +

=x

xxf

355. ( )x

xxf

12 +=

356. ( )11

2

2

+−

=xx

xf

357. ( ) xxxf −+= 1

358. ( ) 263 24 +−= xxxf

359. ( ) 5432 23 −−−= xxxxf

360. ( ) 32 421243 xxxxf −−+=

361. ( ) 162

112

41 234 +−+−= xxxxxf

362. ( ) 3625

31 23 ++−= xxxxf

363. ( ) 2223

31 23 ++−= xxxxf

364. ( ) 1292 23 +−= xxxf

365. ( ) 433 23 ++−= xxxxf


Soal lainnya:

366. Fungsi ( ) 23 bxaxxf += memiliki

titik stasioner (1, -1). Tentukan nilai

a dan b.

367. Jika absis stasioner dari

( ) 123 −−−= pxpxxxf adalah x =

p, tentukan nilai p yang mungkin!

368. Diketahui ( ) axxxf +−= 42

mempunyai ekstrim -6. Tentukan

jenis ekstrim dari fungsi

( ) 122 +−= axaxxf .

Aplikasi Turunan, Nilai Maksimum/

Minimum, Nilai Stasioner.

369. Tinggi silinder adalah dua kali jari-

jari alasnya. Jika jari-jarinya

berkurang dengan laju 0,1 cm/s,

laju perubahan volume dari silinder

ketika jari-jarinya 5 cm adalah....

370. Jumlah dua bilangan adalah 18.

Tentukan kedua bilangan itu agar

menghasilkan perkalian yang

terbesar.

371. Jumlah dua bilangan adalah 16.

Tentukan kedua bilangan itu agar

menghasilkan perkalian yang

terbesar.

372. Jumlah dua bilangan positif sama

dengan 10. Tentukan kedua

bilangan itu agar menghasilkan

perkalian yang terbesar.

373. Tentukan dua bilangan yang hasil

kalinya 12 dan jumlah kuadratnya

minimal.

374. Jumlah dua bilangan asli adalah

150. Tentukan hasil kali terbesar

antara bilangan yang satu dengan

kuadrat bilangan yang lainnya.

375. Jika x dan y merupakan bilangan

positif yang jumlahnya 48, tentukan

nilai 2xy agar maksimum.

376. Jika x dan y merupakan bilangan

positif yang jumlahnya 36, tentukan

nilai yx 2 terbesar dan terkecil.

377. Jika a dan b bilangan real

sedemikian sehingga jumlahnya 8,

tentukan nilai 33 ba + terbesar dan

terkecil.

378. Luas permukaan kotak tanpa tutup

dengan alas persegi adalah 108 2cm . Tentukan ukuran-ukuran

kotak agar volumnya maksimum.

379. Sebuah perusahaan akan membuat

kontainer tertutup yang berbentuk

balok yang alasnya persegi dengan

volum 2.000 3m . Tentukan

ukurannya agar volumnya

maksimum.

380. Tentukan jarak terdekat titik (8, 2)

terhadap parabola 2xy = .


381. Sebuah perusahaan susu akan

membuat kaleng susu yang

berbentuk tabung tertutup dari

bahan logam dengan volume 8 3cm . Tentukan ukuran kaleng agar

luas bahan yang dibutuhkan

seminimal mungkin.

382. Carilah ukuran persegi panjang

dengan keliling 100 meter, agar

luasnya maksimum.

383. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang

alasnya persegi adalah 432 2cm .

Agar volum kotak tersebut

mencapai maksimum, tentukanlah

panjang rusuk persegi itu.

384. Yudha akan membuat sebuah kotak

tanpa tutup atas dengan tinggi kotak

sama dengan dua kali salah satu sisi

alasnya. Jika volume kotak harus

400 3cm , tentukan ukuran kotak

agar bahan yang dibutuhkan

sesedikit mungkin.

385. Volume sebuah kotak yang alasnya

persegi adalah 2 liter. Biaya

pembuatan per satuan luas bidang

alas dan atas kotak adalah dua kali

biaya pembuatan bidang sisinya.

Biaya pembuatan yang minimum

tercapai jika luas permukaan kotak

adalah...

386. Sebuah bak air tanpa tutup dibuat

dengan alas berbentuk persegi.

Jumlah luas keempat dinding dan

alasnya 27 2m . Volume terbesar

diperoleh jika luas alasnya.....

387. Suatu kotak terbuka dengan alas

persegi berisi x cm dibuat dari

selembar kertas yang luasnya 75 2cm . Tunjukkan bahwa volume, V 3cm , diberikan oleh

( )37541

xxV −= . Tentukan nilai x

yang menyebabkan V maksimum

dan tentukan nilai maksimumnya.

388. Diketahui secarik kertas yang

luasnya 2 2m . Garis tepi atas,

bawah dan sisinya berturut-turut 21

cm, 21 cm, dan 14 cm. Berapa

ukuran poster jika luas bagian yang

dicetak harus maksimum?

389. Tentukan jari- jari kerucut dengan

volume maksimum yang dapat

dimasukkan ke dalam sebuah bola

berjari- jari r.

390. Tentukan ukuran kerucut dengan

volume terkecil yang dapat

dilingkupkan di sekeliling bola

dengan jari-jari 20 cm.

391. Dian membuat suatu silinder yang

berkapasitas 1.000 3cm . Tentukan

ukuran tanung itu (tanpa tutup atas)

agar bahan yang dipakai minimum.

392. Cari dua buah bilangan positif

dengan hasil kalinya 12 dan jumlah

kuadratnya minimum.


393. Bilangan 120 dibagi menjadi dua

bagian sehingga perkalian satu

bagian dengan kuadrat bagian

lainnya maksimum. Tentukan

bilangan-bilangan itu.

394. Jika AB = 12 dan CD = 6, tentukan

x dan y agar luas persegi panjang

maksimum.

395. Sebuah persegi panjang yang

mempunyai lebar (8 – x) cm dan

memiliki keliling (2x + 24) cm.

Agar luasnya maksimum

tentukanlah panjangnya.

396. Suatu perusahaan menghasilkan

produk yang dapat diselesaikan

dalam x jam, dengan biaya per jam

+−

xx

1208004 ratus ribu rupiah.

Agar biaya yang dikeluarkan

minimum, dalam waktu berapa

jamkah produk tersebut harus

diselesaikan?

397. Seekor semut merayap dalam

bidang XOY. Pada saat t ia berada

di titik ( ) ( )( )tytx , dengan ( ) 2ttx =

dan ( ) 542 +−= tttx . Tentukan

jarak semut itu dari sumbu Y agar

jarak semut ke sumbu X

maksimum.

398. Sebuah prisama tegak yang alasnya

berbentuk segitiga siku-siku sama

kaki memiliki volume ( ) 3224 m− .

Jika prisma itu dibuat sehingga luas

seluruh permukaannya sekecil

mungkin, tentukanlah luas alasnya.

399. Selembar seng yang panjangnya p

meter mempunyai lebar 64 cm.

Kedua sisi panjangnya harus dilipat

ke atas untuk membuat talang.

Dengan memisalkan lebar lipatan

pada tiap sisi adalah x, tentukan: a).

Kapasitas talang dalam x, b). Lebar

lipatan tiap sisi agar kapasitas

maksimum, c). Kapasitas

maksimum jika panjang seng

adalah 3 m.

400. Segitiga ABE merupakan segitiga

sama sisi serta BCDE merupakan

persegi panjang. Jika keliling

bangun tersebut 18 cm, tentukan

ukuran bangun tersebut agar

luasnya maksimum.


401. Sebuah lingkaran berjari-jari R

dipotong sebagian sehingga

menjadi juring seperti pada gambar.

Juring tersebut akan dibentuk

sebuah kerucut, tentukan volume

maksimum kerucut yang terjadi.

402. Sebuah tabung akan dibentuk di

dalam sebuah bola yang berjari-jari

R sedemikian sehingga tepi alas dan

tepi atasnya menyinggung sisi

dalam bola. Hitunglah volume

maksimum tabung yang terjadi.

403. Sebuah tabung akan dibentuk di

dalam sebuah kerucut sedemikian

sehingga alasnya berimpit dengan

alas kerucut dan bidang atasnya

menyinggung apotema kerucut.

Buktikan bahwa volum maksimum

tabung yang terjadi besarnya 4/9

volum kerucut.

404. Sepetak tanah berbentuk persegi

panjang yang luasnya 64 2m .

Berapakah ukuran dari sepetak

tanah tersebut agar dapat dipagari

dengan bahan sehemat mungkin?

405. Selembar karton dengan luas 24 2cm yang berbentuk persegi

panjang, ujung-ujungnya dipotong

berbentuk bujursangkar yang

ukurannya sama. Sisi-sisi karton

tersebut dilipat ke atas sehingga

diperoleh sebuah kotak tanpa tutup.

Tentukan volume paling besar dari

kotak yang dapat dibuat dari karton

tersebut.

406. Sepotong kawat yang panjangnya

16 cm dipotong menjadi dua

bagian. Satu potong dilipat menjadi

bujur sangkar dan sisanya dilipat


untuk dijadikan lingkaran. Pada

bagian manakah kawat tadi harus

dipotong supaya jumlah luas bujur

sangkar dan lingkaran sesempit

mungkin?

407. Sepotong kawat yang panjangnya

16 cm dipotong menjadi dua

bagian. Satu bagian sepanjang 8x

cm dibengkokkan dan dibuat

persegi panjang dengan ukuran 3x

cm x x cm. Bagian lainnya

dibengkokkan dan dibuat persegi.

Tentukan luas minimum gabungan

persegi panjang dan persegi

tersebut.

408. Sebuah kawat yang panjangnya 10

meter akan dibuat bangun yang

berbentuk 3 persegi panjang seperti

pada gambar. Tentukan luas

maksimum daerah yang dibatasi

kawat tersebut.

409. Satu lembar karton berbentuk

persegi panjang dengan ukuran 40

cm x 25 cm akan dibuat kardus

yang berbentuk balok tanpa tutup

dengan cara memotong tiap

sudutnya sepanjang x cm. Tentukan

tinggi kardus agar volumenya

maksimal.

Menggambar Grafik

Gambarlah grafik dari fungsi berikut:

410. ( ) 2xxf =

411. ( ) 3xxf =

412. ( ) 25xxf =

413. ( ) xxxf 82 2 +=

414. ( ) 382 2 +−= xxxf

415. ( ) 266 xxxf −+=

416. ( ) 34 4xxxf −=

417. ( ) 4383 24 +++= xxxxf

418. ( ) ( )23−= xxxf

419. ( ) ( )( )2112 −+= xxxf

420. ( ) 652 −+= xxxf

421. ( ) 322 +−= xxxf

422. ( ) ( )( )51 −+= xxxf

423. ( ) 38 xxf −=

424. ( ) 33 xxxf −=

425. ( ) 323 xxxf −=

426. ( ) xxxf 93 −= .

Soal-soal Spesial:


1. Tentukan turunan dari

( )

+

+=x

xxf

11

2. Tentukan turunan dari ( )

11

1

++

=

xx

xf

3. Jika xa

ax

y += , buktikan bahwa

( )

−=

xa

ax

dxdy

xy2

38 Soal dengan Pembahasan, 426 Soal Latihan · PDF fileApril 2012 38 Soal dengan Pembahasan,...

Documents

Transcript of 38 Soal dengan Pembahasan, 426 Soal Latihan · PDF fileApril 2012 38 Soal dengan Pembahasan,...