II. Materi PembelajaranC. Aturan SINUS dan COSINUS

1. Aturan SINUS C

Pada segitiga sembarang ABC berlaku aturan sinus :

a = b = c SIN A SIN B SIN C

A c B

Contoh :1. Diketahui segitiga ABC dengan besar sudut A 30 derajat, sudut B 45 derajat,dan sisi b 10

cm. Tentukan :a) besar sudut C b) pnjang a c) panjang c

2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisis a adalah 10 cm, c 12 cm, dan besar sudut C 60 derajat. TEntukan :a) sudut A b) sudut B c) panjang b

Jawaban :1. sudut A = 30, sudut B= 45 dan panjang b = 10 cm

a) sudut C = 180 – ( 30 + 45 ) = 180 – 75 = 105.

b) a = b c) b = c Sin A Sin B Sin B Sin C a = b X Sin A c = b X Sin C Sin B Sin B

a = 10 X Sin 30 c = 10 X sin 105 Sin 45 Sin 45 a = 10 X ½ c = 10 X 0,966 1/2 2 0,707

a = 10 2 c = 13,66 cm 2

a = 52 cm

2. Sisi a = 10 cm, sisi c = 12 cm dan sudut C = 60 derajata) a = c c) b = c

Sin A Sin C Sin B Sin C Sin A = a . Sin C b = c X Sin B c Sin C

Sin A = 10 . Sin 60 b = 12 X sin 73,78 12 Sin 60 Sin A = 10 ( 0,866 ) b = 12 X 0,960 12 0,866

Sin A = 0,722 b = 13,30 cm A = 46,22 derajat

b) Sudut B = 180 - ( 60 + 46,22 ) = 73,78 derajat.

2. Aturan COSINUSUntuk segitiga sembarang berlaku aturan cosinus :

i. a2 = b2 + c2 – 2bc cos Aii. b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

iii. c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Aturan cosinus diatas dapat diubah menjadi :

a . Cos A =

b2+ c2 - a2

2ab b . Cos B =

a2+ c2 - b2

2ac c . Cos C = a2+ b2 - c2

2 ab

Contoh:

b a

1) diketahui segitiga ABC dengan sisi b = 5 cm, sisi c = 6 cm, dan sudut A = 52 derajat, hitunglah panjang sisi A !

2) Diketahui sisi a = 5 cm, sisi b = 213, dan sisi c = 9 cm. Hitunglah besar sudut A!

Jawab :1) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 52 + 62 – 2.5.6 cos 52 = 25 + 36 – 60 . 0,6157 = 61 – 36,9 = 24,1 a = 24,1 = 4,91 cm.

2) a = 5, b = 213 , c = 9 Cos A = b 2 + c 2 –a 2 2bc = 213 2 + 9 2 – 5 2 2 . 213 . 9. = 52 + 81 – 25 3613

= 108 3613 = 0,832

A = 33,7 derajat.

Soal1. Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30. Hitunglah unsure-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus !

Kunci jawabanJawab:a

sin A= b

sinB= c

sinC

(i)

asin A

= bsinB sin A =

a .sin Bb

=15 . sin 30°20

=15 . 1

2

20=15

40=0 ,375

A = sin -1 0,375 = 22(ii) C = 180 – (A + B) = 180 - (22 + 30) = 180 - 52 = 128.

(iii)

bsin B

= csinC c =

b .sinCsin B

=20 .sin 128 °sin 30 °

=20.0 ,7880,5

=15 ,760,5

=31 ,5 cm

B. Tes Tertulis ( Post test )

1. Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus ! Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan B = 30 !

2. Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan B = 30 !

Kunci Jawaban

1. (i) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C = 202 + 302 – 2(20)(30) cos 64 = 400 + 900 – 1200(0,44) = 1300 – 526 = 774 c = 27,8

(ii) b2 = a2 + c2 – 2ac cos B cos B =

a2+c2−b2

2ac=

202+(27 ,8 )2−302

2(20 )(27 ,8 )=274

1112=0 ,25

B = 75,7 (iii) A = 180 - (C + B) = 180 - (64 + 75,7) = 40,2

2. L ABC =

12 ac sin B

=

12 . 4 . 3 . sin 30

=

12 . 4 . 3 .

12

= 3 cm2.

C. Tugas ( Post test )

1. Jika Sin =

610 dan Cos =

1213 dengan dan sudut lancip, hitunglah :

a. Sin ( )b. Cos ( )c. Tg ( )

2. Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 !

Kunci jawaban

1. Sin =

610 ; Cos =

810 ; Tg =

68

Cos =

1213 ; Sin =

513 ; Tg =

512

a. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin

=

610 .

1213 +

810 .

513 =

72130

+40130

=112130

=5665

b. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin

=

810 .

1213

610 .

513 =

96130

−30130

=66130

=3365

c. Tg ( ) =

Tg α+Tg β1−Tgα .Tg β

=

68+ 5

12

1−68

.5

12 =

112966696

=11266

=5633

2. Cos 75 = Cos (45 + 30) = Cos 45 . Cos 30 Sin 45 . Sin 30

=

12 √2 .

12 √3

12 √2 .

12

=

14

√6− 14

√2

=

14(√6−√2)