3-Mekanika-Fluida

PT PLN (Persero) JASDIK UNIT PENDIDIKAN DAN PELATIHAN SURALAYA Mekanika Fluida

UNJ/16/04/2010 1

BAB 1

SIFAT-SIFAT FLUIDA

1.1 Pendahuluan

Definisi dari fluida adalah suatu zat yang akan berubah (berdeformasi) secara

terus menerus apabila mengalami suatu tegangan geser, walaupun kecil sekali.

Mekanika fluida adalah subdisiplin dari mekanika kontinum yang mempelajari fluida

(yang dapat berupa cairan dan gas). Mekanika fluida dapat dibagi menjadi fluida statik

dan fluida dinamik. Fluida statis mempelajari fluida pada keadaan diam sementara

fluida dinamis mempelajari fluida yang bergerak. Sedangkan pengertian dari mekanika

fluida itu sendiri adalah kajian mengenai fluida yang bergerak ataupun diam dan akibat

yang ditimbulkan oleh fluida tersebut pada batasnya. Batas itu dapat berupa

permukaan yang padat atau fluida lain. Karena aliran fluida merupakan cabang dari

mekanika, maka ia memenuhi seperangkat asas kekekalan yang telah dikenal dengan

baik sehingga penelaahan teoritisnya pun telah banyak dilakukan. Dua hal yang

merupakan penghalang utama bagi pembangunan teori yang berlaku dalam praktek

ialah geometri dan kekentalan.

1.2 Konsep Fluida

Dari balik kacamata mekanika fluida, semua bahan tampak terdiri atas dua

keadaan saja, yakni fluida dan zat padat. Secara teknis perbedaan antara fluida dan

zat padat terletak pada reaksi kedua zat itu terhadap tegangan geser atau tegangan

singgung yang dialaminya. Zat padat dapat menahan tegangan geser dengan

deformasi statik, sedangkan fluida adalah sebaliknya. Setiap tegangan geser yang

dikenakan pada fluida betapa pun kecilnya, akan menyebabkan fluida itu bergerak.

Fluida bergerak dan berubah bentuk secara terus-menerus selama tegangan tersebut

bekerja. Maka fluida yang diam berada dalam kondisi tegangan geser nol. Dalam

analisis struktur keadaan ini sering disebut kondisi tegangan berubah menjadi titik, dan

tak ada tegangan geser pada sembarang bidang irisan dari bagian yang mengalami

tegangan itu.

Terdapat dua macam fluida yaitu zat cair dan gas. Perbedaan antara keduanya

bersifat teknik, yaitu berhubungan dengan gaya kohesif. Karena terdiri dari atas

molekul-molekul tetap rapat dengan gaya kohesif yang relatif kuat, zat cair cenderung

mempertahankan volumenya dan akan membentuk permukaan bebas dalam medan

gravitasi, jika tertutup dari atas. Pada gas, antara molekul-molekulnya besar dan gaya


UNJ/16/04/2010 2

kohesifnya terabaikan dan akan memuai dengan bebas sampai tertahan oleh dinding

yang mengungkungnya.

1.3 Fluida Sebagai Suatu Kontinum

Mekanika fluida biasanya dianggap subdisiplin dari mekanika kontinum, seperti

yang diilustrasikan pada tabel berikut:

Mekanika kontinum: studi fisika dari material kontinu

Mekanika solid: studi fisika dari material kontinu dengan bentuk tertentu.

Elastisitas: menjelaskan material yang kembali ke bentuk awal setelah diberi tegangan.

Plastisitas: menjelaskan material yang secara permanen terdeformasi setelah diberi tegangan dengan besar tertentu.

Reologi: studi material yang memiliki karakteristik solid dan fluida.

Mekanika fluida: studi fisika dari material kontinu yang bentuknya mengikuti bentuk wadahnya.

Fluida non-Newtonian

Fluida Newtonian

Fluida disusun oleh molekul-molekul yang bertabrakan satu sama lain. Namun

demikian, asumsi kontinum menganggap fluida bersifat kontinu. Dengan kata lain,

properti seperti densitas, tekanan, temperatur, dan kecepatan dianggap terdefinisi

pada titik-titik yang sangat kecil yang mendefinisikan REV (Reference Element of

Volume) pada orde geometris jarak antara molekul-molekul yang berlawanan di

fluida. Properti tiap titik diasumsikan berbeda dan dirata-ratakan dalam REV. Dengan

cara ini, kenyataan bahwa fluida terdiri dari molekul diskrit diabaikan.

Hipotesis kontinum pada dasarnya hanyalah pendekatan. Sebagai akibatnya, asumsi

hipotesis kontinum dapat memberikan hasil dengan tingkat akurasi yang tidak

diinginkan. Namun demikian, bila kondisi benar, hipotesis kontinum menghasilkan hasil

yang sangat akurat. Masalah akurasi ini biasa dipecahkan menggunakan mekanika

statistik. Untuk menentukan perlu menggunakan dinamika fluida konvensial atau

mekanika statistik, angka Knudsen permasalahan harus dievaluasi. Angka Knudsen

didefinisikan sebagai rasio dari rata-rata panjang jalur bebas molekular terhadap suatu

skala panjang fisik representatif tertentu. Skala panjang ini dapat berupa radius suatu

benda dalam suatu fluida. Secara sederhana, angka Knudsen adalah berapa kali

panjang diameter suatu partikel akan bergerak sebelum menabrak partikel lain.


UNJ/16/04/2010 3

1.4 Dimensi dan Satuan

Dimensi adalah ukuran untuk menyatakan peubah fisika secara kuantitatif.

Satuan ialah suatu cara khusus untuk mengaitkan sebuah bilangan dengan dimensi

kuantitatif.

Sistem satuan senantiasa berbeda-beda dari satu negara ke negara lain,

walaupun kesepakatan Internasional telah tercapai. Pada tahun 1872 suatu pertemuan

Internasional di Perancis mengusulkan suatu perjanjian yang disebut Konvensi Metrik,

yang ditandatangani oleh 17 negara termasuk Amerika Serikat. Konferensi Umum

tentang Timbangan dan Ukuran yang dihadiri oleh 40 negara pada tahun 1960

mengusulkan Sistem Satuan Internasional (SI).

1.5 Besaran-Besaran Medan Kecepatan

Dalam suatu keadaan aliran, penentuan besaran-besarannya sebagai fungsi

tempat dan waktu, baik secara eksperimental ataupun secara teoritis, dianggap

sebagai penyelesaian soal aliran fluida tersebut. Dalam hampir semua kasus, distribusi

ruang waktu besaran-besaran fluida itulah yang ditekankan. Lintasan sesungguhnya

dari partikel fluida tertentu jarang ditelusuri. Pemberlakuan sifat atau besaran sebagai

fungsi medan kontinum inilah yang membedakan mekanika fluida dari mekanika zat

padat. Dalam mekanika zat padat kita biasanya lebih tertarik kepada lintasan partikel-

partikel, baik sendiri-sendiri atau sebagai suatu sistem.


UNJ/16/04/2010 4

BAB 2

STATIKA FLUIDA

2.1 Pendahuluan

Pengetahuan tentang statika fluida mencakup studi mengenai tekanan dan

variasinya pada seluruh bagian fluida dan studi tentang gaya-gaya pada permukaan-

permukaan yang terbatas besarnya. Studi tentang variasi tekanan memungkinkan

perhitungan perbedaan tekanan yang diukur dengan manometer, gaya-gaya pada

bendungan, gaya-gaya pengapungan pada benda-benda yang direndam, dan variasi

tekanan, massa jenis dan temperatur atmosfir akibat perubahan ketinggian. Perlu

diingat bahwa tekanan adalah besaran skalar, karena itu pada tiap titik tekanan

bekerja ke segala arah dan sama besarnya. Luas dan gaya adalah besaran-besaran

vektor. Arah vektor luas adalah tegak lurus bidang yang bersangkutan, dan besarnya

sama dengan harga luasnya.

Jadi gaya tekanan adalah suatu vektor yang besarnya sama dengan produk

antara intensitas tekanan dengan besarnya luas dan arahnya tegak lurus keluar dari

bidang yang bersangkutan. Dalam statika fluida tidak ada gerakan antara lapisan fluida

yang satu terhadap yang lain, karena itu tidak gaya geser di dalam fluida. Jadi semua

benda bebas dalam statika fluida hanya mengalami gaya-gaya normal (tegak lurus

pada bidang).

2.2 Hidrostatika & Hidrodinamika

2.2.1 Hidrostatika

Hidrostatika adalah ilmu yang membahas perihal fluida atau zat alir baik itu zat

cair atau gas yang diam (tidak bergerak). Namun pada pembahasannya, zat cair dan

gas dipisahkan secara eksplisit karena menyangkut sifat air yang tidak termampatkan

(incompressible) dan sifat gas yang termampatkan (compressible). Dalam membahas

fluida dalam konteks hidrostatika, maka tak lepas pada pembahasan mengenai massa

jenis (kerapatan), berat jenis, berat jenis relatif, tekanan dalam fluida, prinsip Pascal

dan azas Archimedes.


UNJ/16/04/2010 5

a. Massa Jenis

Massa jenis atau kerapatan suatu zat khususnya fluida didefinisikan sebagai

perbandingan massa fluida dengan volume fluida tersebut.

= VolumeMassa

= VM

............................................. (1)

b. Volume jenis

Volume jenis didefinisikan sebagai perbandingan antara volume fluida dengan

massa fluida tersebut.

v = MV

= 1

(m3/kg) ........................................... (2)

c. Berat Jenis

Berat jenis didefinisikan sebagai perbandingan berat fluida dengan volume

fluida tersebut.

= VolumeBerat

= VW

= Vmg

= g ........................................ (3)

Dengan g adalah percepatan gravitasi.

Hubungan antara dan adalah:

= g (N/m3) .......................................................... (4)

d. Berat Jenis Relatif

Berat jenis relatif didefinisikan sebagai perbandingan berat jenis suatu fluida

dengan berat jenis air murni pada suhu 4 0C.

relatif = berat jenis benda/berat jenis air pada suhu 4 0C = benda/ air murni pada 4

0C ....(5)

e. Gravitasi Jenis

s = cairan,T/H2O, 600F = cairan,T/62,37 ...................................... (6)

Agar praktis, dalam industri minyak, hidrometer ditera dengan skala gravitasi

yang khusus. The American Petroleum Institue (API) mendefinisikan:

APIgravity (0) = 141,5/sp.gr.60/60 0F 131,5 ............................. (7)

Dimana sg.gr.60/60 0F adalah perbandingan massa jenis fluida pada 60 0F

dengan massa jenis air pada 60 0F


UNJ/16/04/2010 6

f. Tekanan Fluida

Pada tekanan di dalam zat cair yang dikenakan pada suatu benda didefinisikan

sebagai fungsi dari posisinya terhadap permukaan fluida dengan konstanta massa jenis

fluida dan percepatan gravitasi ditambah dengan tekanan atmosfir, atau secara

matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Pbenda = Patm + Pfluida cair .......................................................... (8)

Karena tekanan fluida:

Pfluida cair = g (y2 y1) = g h, maka persamaan tekanan di dalam fluida dapat ditulis:

Pbenda = Patm + g h ............................................................... (9)

Sedangkan tekanan pada gas jika diasumsikan gas merupakan gas ideal, maka

persamaan tekanannya diberikan oleh persamaan gas ideal yaitu:

P V = R T ............................................................................... (10)

Dimana:

P = tekanan gas

V = volume gas

R = konstanta gas ideal yaitu 8.314 Joule kg-1 K-1

T = temperatur gas

g. Prinsip Pascal

Prinsip Pascal menyatakan bahwa tekanan yang dikerjakan pada suatu fluida

akan menyebabkan kenaikan tekanan seragam ke segala arah. Dengan prinsip ini,

sebuah gaya yang kecil dapat digunakan untuk menghasilkan gaya yang besar dengan

membuat luas penampang keluaran lebih besar daripada luas penampang masukan.

Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut:

Pin = Pout

AinFin

= AoutFout

AinAout

= Fin

Fout ......................................................................... (11)

Dimana:

Fin = gaya yang diberikan pada fluida

Fout = gaya yang diberikan oleh fluida

Ain = luas penampang masukan

Aout = luas penampang keluaran


UNJ/16/04/2010 7

h. Azas Archimedes

Azas Archimedes menyatakan bahwa gaya apung suatu benda yang dicelupkan

ke dalam suatu fluida sama dengan berat fluida yang dipindahkan oleh benda tersebut.

Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Fapung benda = Wfluida

Mbenda g = Mfluida g

benda Vbenda g = fluida Vfluida g .................................................... (12)

i. Kompresibilitas

= -

pv

v

1.................................................................. (13)

Volume cairan hanya dapat diubah dengan tekanan yang sangat tinggi. Untuk

hampir semua situasi aliran yang dijumpai dalam teknik volume cairan dianggap

konstan, sehingga dengan demikian cairan disebut inkompresibel, yang secara harfiah

dapat diterjemahkan sebagai hampir tidak ada perubahan volume oleh tekanan, atau

massa jenis cairan dapat dianggap konstan.

Berbeda halnya untuk gas; gas disebut kompresibel karena massa jenis gas

selalu berubah dengan perubahan temperatur (suhu).

2.2.2 Hidrodinamika

Hidrodinamika adalah tentang fluida (zat cair) yang bergerak. Dalam

pembahasan awal, fluida diidealisasikan sebagai fluida sempurna, yaitu fluida yang

tidak termampatkan (incompressible) dan tidak mempunyai gesekan dakhil atau

kekentalan(viskositas). Dalam pembahasan awal ini, gas pun dianggap sebagai fluida

yang tidak termampatkan asal saja mengalir sedemikian rupa sehingga perbedaan

tekanan di semua titik tidak terlalu besar (kecil).

Lintasan yang ditempuh sebuah fluida yang sedang bergerak disebut garis alir.

Pada umunya kecepatan fluida itu berubah besar dan arahnya sepanjang garis alirnya

terutama pada awal, dimana fluida mengalami kondisi tidak tenang tetapi dalam

banyak kejadian selang waktu tertentu, fluida kemudian menjadi tenang. Pada saat

aliran menjadi tenang, kecepatan di semua titik ruang lama kelamaan menjadi

konstan. Aliran fluida dimana kecepatan di semua titik ruang yang konstan ini disebut

aliran stasioner.


UNJ/16/04/2010 8

Sedang garis arus (stream line) didefinisikan sebagai sebuah kurva yang garis

singgungnya di setiap titik merupakan arah kecepatan fluida yang bersangkutan. Pada

aliran yang tenang (aliran stasioner) garis arus berhimpit dengan garis alir (arah

kecepatan). Untuk hidrodinamika khususnya pada aliran fluida yang stasioner dan tidak

termampatkan (incompressible), ada beberapa acuan yang sering digunakan dalam

proses perekayasaannya, yaitu antara lain:

A. Persamaan Kontinuitas

Persamaan kontinuitas merupakan ungkapan matematis mengenai pembahasan

jumlah netto massa yang mengalir ke dalam sebuah permukaan terbatas (sebuah pipa)

sama dengan pertambahan massa di dalam permukaan tersebut. Untuk fluida yang tak

termampatkan dengan aliran yang tenang (stasioner), persamaan kontinuitasnya

berbentuk sebagai berikut:

A1 v1 dt = A2 v2 dt ................................................................. (14)

Dimana:

= massa jenis fluida

dt = selang waktu pada saat fluida mengalir

A1 = luas penampang pipa masuk fluida

v1 = kecepatan fluida masuk

A2 = luas penampang pipa keluar fluida

v2 = kecepatan fluida keluar

Atau dapat ditulis kembali dengan bentuk sebagai berikut:

A1 v1 = A2 v2 .............................................................................. (15)

B. Persamaan Bernoulli

Bila fluida yang tidak dimampatkan mengalir sepanjang pembuluh aliran yang

penampangnya tidak sama besar, maka kecepatannya dan tekanannya akan berubah

yaitu dapat bertambah atau berkurang yang secara berurutan merupakan faktor dari

energi kinetik dan kerja fluida apabila diterapkan pada penggunaan mekanis. Di sisi

lain elevasi antara penampang masuk (fluida masuk) dan penampang keluar (fluida

keluar) juga mempengaruhi energi potensial fluida yang merupakan hal penting

pengkajiannya pada penggunaan pompa.


UNJ/16/04/2010 9

Secara matematis persamaan Bernoulli dapat ditulis:

P1 V1 + m1 g y1 + m1 v12 = P2 V2 + m2 g y2 + m2 v2

2 ........... (16)

Dimana:

m1 = massa fluida pada penampang masuk fluida

V1 = volume fluida pada penampang masuk fluida

y1 = elevasi penampang masuk fluida

m2 = massa fluida pada penampang keluar fluida

V2 = volume fluida pada penampang keluar fluida

y2 = elevasi penampang keluar fluida

Karena m = V dan fluida bersifat tidak termampatkan (incompressible)

dimana V1 = V2 sehingga m1 = m2, maka persamaan Bernoulli dapat ditulis kembali,

yaitu:

P1 + g y1 + v12 = P2 + g y2 + v2

2 ................................. (17)

2.3 Manometer

Bentuk yang paling sederhana dari manometer adalah barometer, Gbr.1 Yang

digunakan untuk menentukan tekanan atmosfer absolut. Untuk barometer ini

Pv + b g hb = Pa

Gbr.1 Barometer


UNJ/16/04/2010 10

Umumnya sebagai fluida digunakan merkuri (air raksa), karena massa jenisnya yang

besar dan tekanan uapnya yang sangat kecil (dapat diabaikan). Manometer diferensial

digunakan untuk mengukur perbedaan tekanan antara suatu titik dengan atmosfer,

atau antara dua titik yang masing-masing tidak pada tekanan atmosfer.

Contoh 1:

Berapa besarnya tekanan isap pada suatu pompa sentrifugal yang diukur

dengan manometer merkuri seperti terlihat pada Gbr.2

Gbr.2 Pompa Sentrifugal

Jawaban: Dengan menggunakan persamaan hidrostatik antara ujung manometer yang

terbuka dengan pipa masuk, diperoleh:

P1 pi = m g hm + g yi

P2 = Pa , sedangkan P2 = P1, karena terletak pada satu bidang datar di dalam fluida

Jadi: pi = pa - m g hm - g yi


UNJ/16/04/2010 11

2.4 Kesetimbangan Relatif

Dalam statika fluida, variasi tekanan mudah dihitung karena tidak adanya

tegangan geser. Untuk gerak fluida dimana tidak ada gerakan antara lapisan fluida

yang satu relatif terhadap yang lain, tegangan gesernya juga nol pada seluruh fluida.

Fluida yang mengalami translasi pada kecepatan tetap dan seragam masih memenuhi

hukum tekanan yang bervariasi statis. Bila sejumlah massa fluida mengalami gerakan

percepatan tetapi tanpa gerakan relatif antara partikel yang bila fluida bergerak seperti

bila ia bersifat padat, tidak terjadi tegangan geser dan variasi tekanan dapat

ditentukan dengan menuliskan persamaan gerak untuk benda bebas yang sesuai.

Suatu analisa statik dapat dibuat bila gaya inersia diperhitungkan. Ada dua kasus

yang akan dibahas, yaitu percepatan linier seragam dan gerak rotasi dengan kecepatan

sudut seragam terhadap poros yang vertikal. Dalam gerakan ini fluida dikatakan ada

pada keadaan kesetimbangan relatif.

2.5 Gaya-gaya Pada Bidang Datar

Bila ada permukaan benda padat di dalam fluida, maka pada tiap elemen luas

pada permukaan tersebut terdapat gaya akibat tekanan yang bekerja tegak lurus pada

permukaan. Pada Gbr.3 di bawah ini menunjukkan permukaan yang demikian CD

dengan proyeksi CD pada bidang yz. Gaya total F pada permukaan sama dengan F,

dimana F adalah hasil kali tekanan p akibat kolom fluida h, dengan elemen luas A.

Jadi:

F = F = p A

= g/gc h A .......................................................... (18)


UNJ/16/04/2010 12

Gbr.3 Gaya Pada Bidang Datar

2.6 Gaya-gaya Pada Permukaan Lengkung

Pada bidang lengkung, seperti pada Gbr.4a analisa di atas tidak dapat langsung

digunakan karena gaya pada elemen bidang tidak sejajar. Akan tetapi, komponen

resultan yang horisonatal dan vertikal dapat ditentukan, dengan titik lengkapnya, jadi

momennya juga dapat ditentukan.

Gbr.4 Gaya Pada Permukaan Lengkung


UNJ/16/04/2010 13

Perhatikan suatu elemen luas infinitesimal dA pada suatu titik, yang membentuk

sudut dengan bidang horisontal. Luas bidang dapat dinyatakan dengan komponen

normal yang menjauhi bidang tersebut. Jadi dAx = -dA dan dAz = dA.k. Gaya pada

permukaan yang disebabkan oleh tekanan dan arahnya menuju permukaan. Jadi dF =

-pdA. Karena itu:

dFx = -p(-dA.i) = p dAx = p dA sin ...................... (19)

dFz = -p dA.k = -p dAz = -p dA cos ...................... (20)

Gaya total dalam arah x dan z adalah:

Fx = p dAx ............................................................. (21)

Fz = - p dAz ............................................................ (22)

Proses ini sama dengan penjumlahan terpisah dari gaya pada permukaan infinitesimal

dAx dan dAz, yang diperlihatkan pada Gbr. 4c.

Tekanan pada tiap titik disebabkan oleh tinggi fluida h yang diukur dari permukaan

bebas yaitu p = g h/gc. Jadi:

Fx = g/gc h dAx ................................................. (23)

Fz = - g/gc h dAz ............................................... (24)

Disini h dAz = V, volume fluida di atas bidang lengkung yang bersangkutan.

Jadi fz sama dengan berat fluida yang terletak di antara permukaan bebas dengan

bidang lengkung. Garis kerjanya harus melalui centroid dari volume tersebut.

2.7 Pengapungan Dan Gaya Apung

Tinjau suatu benda yang seluruhnya terendam di dalam cairan yang massa

jenisnya tetap yaitu f seperti terlihat pada Gbr.5. Kita telah pernah mendengar

tentang hukum Archimedes yang mengatakan bahwa suatu benda yang terendam

mengalami gaya apung yang arahnya vertikal ke atas dan besarnya sama dengan

berat fluida yang dipindahkan oleh benda tersebut. Hal ini dapat dibuktikan dengan

hukum statika fluida.


UNJ/16/04/2010 14

Gbr.5 Benda Yang Terendam

Pada suatu elemen prisma tegak dengan penampang dA, bekerja gaya ke atas sebesar

dFz, akibat tekanan (p2 p1), jadi:

dFz = (p2 p1) dA ................................... (25)

Bila p = f g h/gc, maka:

dFz = f g/gc (h2 h1) dA ........................ (26)

Penjumlahan semua elemen prisma yang membentuk seluruh benda menghasilkan:

Fz = f g/gc (h2 h1) dA = f g/gc dV = f g/gc V ................... (27)

Dimana V adalah volume benda. Suku f g/gc V menyatakan berat dari fluida yang

dipindahkan oleh benda.

Jadi: Fz = Wf

Yang merupakan hukum Archimedes. Dengan elemen prisma tegak, tekanan pada

sisinya sama, jadi tidak ada gaya resultan horisontal. Jadi Fz = Fb, gaya apung.

Titik tangkap gaya apung disebut titik pusat apung. Untuk menentukan letak titik ini,

dihitung momen sekitar sumbu x dan y.

Bila suatu benda ada dalam keadaan setimbang pada suatu permukaan fluida, atau

muka antara fluida, jadi sebagian saja yang terendam dalam fluida yang satu sedang

sebagian yang lainnya terendam dalam fluida yang lainnya, gaya apung resultan untuk

tiap fluida harus dihitung. Garis kerja gaya resultan harus ditentukan dari momen gaya


UNJ/16/04/2010 15

yang bekerja. Contoh yang umum adalah benda yang berada pada muka antara air

dan udara, dan dikatakan terapung. Gaya apung akibat udara dapat diabaikan

dibandingkan dengan gaya apung akibat air. Disini timbul persoalan stabilitas benda

yang terapung.

Suatu benda yang terendam sempurna akan stabil bila titik pusat gravitasinya

(titik berat) terletak di bawah titik pusat apung. Gbr.6a menunjukkan bahwa tiap

perpindahan sudut akan menghasilkan momen (kopel) yang berusaha untuk

mengembalikan sistem ke kedudukan semula yang setimbang stabil. Sebailknya

Gbr.6b menunjukkan bahwa walaupun sistem memiliki kesetimbangan, sistem tidak

stabil karena perubahan sudut yang sedikit saja akan menghasilkan kopel yang akan

membalikkan kedudukannya.

Gbr.6 Stabilitas Benda Terendam


UNJ/16/04/2010 16

BAB 3

DINAMIKA FLUIDA

3.1 Ciri-ciri Jenis Aliran Fluida

Bila fluida mengalir maka berbagai sifat-sifat (properties) fluida menjadi cukup

penting. Sebagaimana diketahui, aliran fluida di alam nyata begitu rumit dan

permasalahan yang ingin diketahui dari aliran fluida ini tidak selalu dapat diselesaikan

secara pasti dengan hanya mengandalkan analisa matematika belaka, sehingga sering

diambil jalan lain yaitu dengan mengadakan eksperimen secara langsung. Meski

demikian, beberapa masalah yang ingin diketahui dalam suatu aliran fluida dapat

diselesaikan secara analisa matematika dengan membuat asumsi-asumsi untuk

menyederhanakan permasalahan yang ada.

Suatu fluida tidak seperti benda padat (solid), fluida adalah kumpulan berbagai

macam partikel yang bergerak dengan berbagai kecepatan dan juga berbagai macam

percepatan. Kecepatan dan percepatan fluida ini dapat berubah-ubah menurut ruang

dan waktu, karena itu mempelajari aliran suatu fluida membutuhkan pengamatan

terhadap gerakan partikel fluida pada berbagai titik dalam ruang dalam waktu sesaat.

Dikenal dua macam metoda untuk menguraikan gerakan aliran suatu fluida,

yaitu dengan metoda Langrangian dan Eulerian. Pada metoda langrangian, setiap

partikel fluida dipilih selanjutnya semua gerak alir partikel ini diikuti dan kelakuannya

selama bergerak dalam ruang diamati. Sedangkan pada metoda Eulerian, suatu titik

dalam ruang aliran fluida diambil lalu fluida ditempatkan dalam titik ini serta diamati

mengenai perubahan kecepatan, density dan tekanan di titik ini.

Aliran fluida dapat digolongkan sebagai berikut:

1. Aliran steady dan unsteady

2. Aliran uniform dan non uniform

3. Aliran satu, dua dan tiga dimensi

4. Aliran laminar dan turbulen


UNJ/16/04/2010 17

3.1.1 Aliran steady dan unsteady

3.1.1.1 Aliran steady

Suatu aliran dikatakan steady, jika berbagai karakter seperti kecepatan,

tekanan, kerapatan, temperatur dan lain sebagainya pada tiap titik alirannya tidak

berubah dengan perubahan waktu, meskipun karakternya boleh jadi berbeda-beda

besarnya pada berbagai titik sepanjang aliran. Secara matematis setiap titik pada aliran

steady dapat ditulis sebagai berikut:

(t

u

) = 0 ; (t

v

) = 0 ; (t

w

) = 0 ; (t

p

) = 0 ; (t

) = 0

3.1.1.2 Aliran Unsteady

Jika salah satu atau seluruh karakter fluida dalam gerakannya berubah dengan

perubahan waktu pada tiap titik dalam fluida atau secara matematika dapat dinyatakan

sebagai:

(t

v

) 0 dan atau (t

p

) 0 ; dan karakteristik lainnya.

Jelas bahwa aliran steady lebih mudah dianalisa daripada aliran unsteady, dan

umumnya secara praktek persoalan-persoalan engineering melibatkan kondisi aliran

steady sehingga perhatian utama dibatasi pada aliran steady.

3.2 Aliran Uniform

Jika kecepatan fluida baik arah maupun besarnya, tidak berubah dari titik ke

titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat, sehingga bentuk persamaan suatu

aliran uniform dinyatakan sebagai:

(s

v

) = 0


UNJ/16/04/2010 18

3.3 Aliran Non Uniform

jika kecepatan fluida berubah dari titik ke titik sepanjang alirannya dalam waktu

singkat, maka bentuk persamaan aliran non uniform dinyatakan sebagai:

(s

v

) 0

3.4 Aliran Satu, Dua dan Tiga Dimensi

Berbagai karakteristik aliran massa fluida seperti kecepatan, tekanan,

kerapatan, temperatur dan sebagainya pada umumnya adalah merupakan fungsi ruang

dan waktu dimana hal ini dapat berubah-ubah sesuai arah koordinat pada setiap titik x,

y dan z serta waktu dan kondisi ini dikatakan berada pada aliran tiga dimensi. Bila

setiap karakteristik dari aliran fluida tidak berubah menurut perubahan waktu saja,

maka kondisi ini menjadi aliran steady tiga dimensi.

Suatu aliran fluida dikatakan dua dimensi bila merupakan fungsi dari dua

koordinat saja dan waktu t, sedang karakteristiknya pada salah satu koordinat tidak

berubah. Dan bila kondisi aliran tidak berubah menurut waktu t, maka aliran dikatakan

aliran steady dua dimensi, dan jika karakteristik aliran massa fluida merupakan fungsi

dari satu arah koordinat saja serta waktu, maka aliran berada pada kondisi satu

dimensi dan bila tidak berubah menurut perubahan waktu, maka dikatakan aliran

steady satu dimensi.

Sebagai contoh, bila kita ambil salah satu karakteristik aliran massa fluida

misalnya V, maka dapat dibuat pernyataan sebagai berikut:

Jenis aliran Unsteady Steady

Tiga dimensi V = f (X, Y, Z) V = f (X, Y, Z, t)

Dua dimensi V = f (X, Y, t) V = f (X, Y)

Satu dimensi V = f (X, t) V = f (X )

3.5 Aliran laminar

Jika berbagai partikel fluida mengalir bergerak berlapis-lapis seperti bentuk

lembaran-lembaran tipis, dimana antara lapisan-lapisan partikel fluida ini saling

menggelincir satu sama lian, maka aliran seperti ini dikatakan aliran laminar.


UNJ/16/04/2010 19

dydu

=

Pada aliran laminar partikel fluida bergerak sepanjang alirannya berupa garis

lurus yang sejajar dalam lapisan-lapisan fluida, sebab itu garis-garis laluannya tidak

akan bersilangan satu dengan lainnya dan ini terjadi pada kecepatan alir yang rendah

dan menyebabkan gaya yang timbul akibat kekentalan (viscosity) fluida ini menjadi

sangat menonjol. Kekentalan suatu fluida menyebabkan terjadinya gerakan relatif pada

alirannya antara lapisan-lapisan fluida yang bergerak dengan kecepatan masing-

masing dan secara bergantian memberikan kenaikan tegangan geser yang timbul.

Besar tegangan geser yang terjadi bervariasi dari titik ke titik pada penampang

aliran dan menjadi maksimum pada batasan fluida dan perlahan-lahan menurun

dengan naiknya jarak lapisan dari boundary layer. Tegangan geser menyebabkan

hambatan pada aliran suatu fluida, sehingga menyebabkan terjadinya penurunan

tekanan sepanjang penampang aliran (Pressure Drop) sehingga terdapat gradien

tekanan.

3.6 Aliran Turbulen

Suatu aliran massa fluida dikatakan turbulen, bila partikel fluida bergejolak

sedemikian, sehingga kecepatannya berfluktuasi tak menentu dengan aliran yang

bergulung-gulung yang mengembang dengan cepat.

3.7 Fluida Newtonian dan Non Newtonian

Sebagaimana diketahui, fluida digolongkan atas aliran fluida yang mengikuti

hukum Newton tentang aliran fluida dan yang tidak patuh pada hukum ini.

Dimana: = Tegangan geser pada fluida

dydu

= Gradien kecepatan fluida

= Kekentalan fluida Banyak jenis fluida mengikuti hukum ini seperti air, beberapa jenis minyak,

berbagai jenis gas, dimana kekentalannya tidak berubah seiring perubahan waktu.

Namun kebanyakan fluida yang terdapat di alam tidak tunduk kepada hukum Newton

ini, misalnya cat, tinta, minyak pelumas, lumpur, bubur kayu, sejumlah produk

makanan cair, maupun obat-obatan cair dan sebagainya. Sebagai contoh pada cairan


UNJ/16/04/2010 20

dydu

oy +=

dydu

=

cat, bila diaduk atau dicatkan pada suatu permukaan, dengan segera cat ini akan

menurun kekentalannya.

Dari segi tegangan geser, aliran fluida digolongkan atas beberapa golongan,

diantaranya :

1. Aliran fluida yg tegangan gesernya tidak tergantung waktu, seperti a. Newtonian Fluida b. Bingham Plastics

c. Pseudo Plastics = k 1

n,

n

dydu

2 . Aliran fluida yang tegangan gesernya tergantung waktu a. Thixo tropics menurun dengan perubahan waktu b. Rheopectic naik dengan perubahan waktu

c. Viscoelastic dtdo

dydu

o

+=

Dimana = rigidity modulus

Type aliran fluida dapat diilustrasikan menurut gambar berikut ini.

Gambar 7 . Tipe aliran fluida

Pseudoplastics

Newtoniannnnn

Dilatant

Thyxotropic Rheopectic Viscoelastic

Visco plastic

yu

yu


UNJ/16/04/2010 21

Kurva aliran suatu fluida adalah kurva hubungan antara Shear stress Vs Shear rate

fluida yg menunjukkan kelakuan fluida selama mengalir .

Sebelum membentuk kurva aliran ini , terlebih dahulu diperhitungkan besar Pressure

drop (p) yg terjadi dalam pipa kapiler ; Tegangan geser w sepanjang aliran

(sebagai fungsi massa hasil pengukuran yg selanjutnya dapat dibentuk kurva yang

menghubungkan persamaan :

..k

Dv

n

W

=

8 ................................................ (28)

Pada kondisi steady ,Shear rate suatu aliran fluida dapat diperhitungkan berdasarkan

hubungan persamaan Rabyno Mooney sebagai berikut ini .

)8(4

1.3)(Dv

n

n

drdU

W+

= ................................. (29)

Dengan mensubsitusi nilai Power law index ( n ) yg diperoleh dr kurva w Vs 8v/D

kedalam persamaan ( 29 ) , maka nilai shear rate (du/dy)w dapat dihitung pd nilai

8v/D yg bervariasi yg selanjutnya dapat diplot kurva w Vs )dy

dU( .

Aliran fluida yang tergantung pada perubahan waktu, tegangan gesernya

berubah menurut waktu pada v

u

yang konstan.

Fluida Bingham plastics merupakan fluida yang gardien velocitynya tidak ada,

sampai tercapai tegangan geser yang besarnya tertentu (y), setelah itu aliran akan

terjadi dimana tegangan geser merupakan fungsi linear dari gradien kecepatan yu

.

Banyak jenis fluida yang berkelakuan seperti ini, misalnya lumpur, cairan

plastik, dan lain sebagainya.

Pada fluida Thyxotropic, tegangan gesernya berkurang sejalan dengan

perubahan waktu sedangkan fluida Rheopectic, menunjukkan terjadi pemadatan

setelah stressing dalam waktu 2400 detik bila tidak ada gangguan dan hanya dalam

waktu 20 detik fluida jenis ini akan memadat bila dialirkan secara perlahan-lahan.


UNJ/16/04/2010 22

Fluida Viscoelastic adalah jenis fluida non Newtonian yang menunjukkan sifat-

sifat elastis, seperti sifat-sifat kekentalan. Salah satu demonstrasi untuk

mengetahuinya adalah bila jenis fluida ini disemburkan dari sebuah tube (pipa), maka

fluida ini tidak menunjukkan penciutan penampang sebagaimana akan terjadi pada

fluida Newtonian, tetapi mengembang oleh tegangan normalnya.

3.8 Persamaan Gerak; Persamaan Gerak Euler Untuk Fluida Invisid

Kelakuan dinamis dari gerak fluida diatur oleh satu kelompok persamaan yang

disebut persamaan gerak. Persamaan ini diperoleh dengan menggunakan hukum

Newton dengan cara yang sesuai untuk aliran fluida. Untuk menurunkan persamaan

gerak tersebut dapat ditempuh dengan dua cara yaitu cara diferensial yang merupakan

peninjauan elemen massa fluida infinitesimal, dan cara peninjauan integral dengan

menggunakan volume atur yang besarnya terbatas, masing-masing dengan

selanjutnya menerapkan persamaan mekanika yang sesuai. Dalam mekanika,

persamaan gerak Newton dinyatakan sebagai:

F = m a

Dengan komponen: Fx = m ax

Fy = m ay

Fz = m az

Atau: F = D/Dt (m v)

Dimana F adalah gaya yang dialami oleh benda, m massa benda, a percepatannya dan

v kecepatannya.

Kita tinjau suatu keadaan di mana efek gesekan dapat diabaikan. Gaya yang

bekerja pada elemen massa terdiri dari gaya badan dan gaya permukaan. Gaya badan

misalnya gaya gravitasi, gaya magnetik, gaya Lorentz dan sebagainya. Sedangkan

gaya permukaan misal diakibatkan oleh tekanan pd permukaan elemen massa fluida.

Gaya badan besarnya sebanding dengan massa dari elemen massa fluida.

Komponen gaya badan per satuan massa dalam arah x, y, dan z adalah fx, fy dan fz.

Gaya yang bekerja pada suatu elemen massa yang berbentuk kubus diperlihatkan

pada Gbr.8 dengan elemen kubus yang berdimensi dx, dy, dz.


UNJ/16/04/2010 23

Gbr.8 Gaya Pada Elemen Fluida Berbentuk Kubus Tanpa Gesekan

Dengan menggunakan persamaan gerak Newton, diperoleh dalam arah x:

M ax = dx dy dz Du/Dt = Fx = - p/x dx dy dz + fx dx dz

Atau: Du/Dt = - 1/ p/x + fx ..................................................................... (30)

Dalam arah y: Dv/Dt = - 1/ p/y + fy ........................................................... (31)

Dalam arah z: Dw/Dt = - 1/ p/z + fz ...........................................................(32)

Persamaan (30), (31), (32) menyatakan gerakan suatu fluida sempurna di dalam suatu

sistem koordinat inersial. Tidak ada pemisalan apapun mengenai massa jenisnya,

sehingga persamaan di atas berlaku baik untuk fluida inkompresibel maupun

kompresibel. Persamaan di atas pertama kali diturunkan oleh Euler, oleh karena itu

disebut persamaan Euler.


UNJ/16/04/2010 24

BAB 4

KINEMATIKA FLUIDA

4.1 Metoda Langrange Dan Metoda Euler

Disini akan diuraikan hubungan antara kedudukan berbagai partikel fluida

dengan waktu, dimana fluida dianggap sebagai kontinuum. Hal ini berlaku selama

ukuran dari partikel yang kita perhatikan jauh lebih besar dari jarak lintasan bebas

rata-rata dari molekul.

Ada dua cara dalam menerangkan gerak fluida atau bentuk persamaan medan

dalam fluida, yaitu metoda Lagrange dan metoda Euler. Perbedaannya terletak pada

cara penentuan kedudukan dalam medan. Yang satu bersangkutan dengan apa yang

terjadi pada partikel fluida dengan identitas tetap selama waktu yang tertentu,

bagaimana lintasannya, berapa besar kecepatan dan percepatannya dan sebagainya.

Metoda yang lain mencoba mengetahui apa yang terjadi pada suatu titik di

dalam ruang yang diisi fluida dan berapa kecepatan, percepatannya dan seterusnya,

pada titik yang berbeda tempat dalam ruang.

Dalam metoda Lagrange, variabel seperti lintasan, kecepatan, percepatan dan

variabel fisika lainnya dituliskan untuk partikel fluida dengan identitas tetap. Cara

demikian biasa dipergunakan pada dinamika partikel dan dinamika benda padat.

Koordinat (x, y, z) adalah koordinat dari elemen fluida, dan karena elemen

fluida yang ditinjau identitasnya tetap dan bergerak pada lintasannya, maka koordinat

tersebut merupakan fungsi dari waktu. Koordinat (x, y, z) dengan demikian merupakan

variabel dependen dalam bentuk Lagrange. Metoda Lagrange jarang dipergunakan

dalam mekanika fluida karena jenis informasi yang diinginkan bukanlah harga variabel

fluida yang dialami oleh suatu partikel fluida sepanjang lintasannya, tetapi hanya

variabel fluida pada suatu titik tetap di dalam ruang.

Metoda Euler membrikan harga variabel fluida pada suatu titik pada suatu

waktu. Dalam bentuk fungsionil, medan kecepatan dapat dituliskan sebagai:

v = v (x, y, z, t) .................................................................... (33)

Dimana x, y, z dan t semuanya merupakan variabel beban. Untuk suatu titik

tertentu (x1, y1, z1) dan waktu t1, persamaan (33) menyatakan kecepatan fluida pada

kedudukan (x1, y1, z1) pada saat t1.

Metoda Lagrange dapat dihubungkan dengan metoda analisa berdasarkan

sistem (sistem adalah sekumpulan partikel yang mempunyai identitas tetap yang


UNJ/16/04/2010 25

dibatasi oleh suatu permukaan batas sistem, yang dapat berubah bentuk; partikel

dalam sistem tidak dapat menembus batas sistem),sedangkan metoda Euler dapat

dihubungkan dengan metoda analisa dengan volume atur.

4.2 Medan Kecepatan Dan Percepatan Dalam Fluida

Bila r (x, y, z) menyatakan koordinat partikel fluida, maka medan kecepatan

dinyatakan sebagai:

V = v (u, v, w) = dr (x, y, z, t)/dt

Atau: u = dx/dt v = dy/dt w = dz/dt

Selanjutnya percepatan dalam arah x diturunkan sebagai berikut:

du = u/x dx + u/y dy + u/t dt

ax = du/dt = du/dx .dx/dt + du/dy.dy/dt + dudz/dzdt + du/dt

ax = u/t = du/dt + u u/x + v u/y + W u/z + u/t ........... (34)

Demikian pula:

ay = Dv/Dt = dv/dt = u v/x + v v/y + w v/t + v/t ............ (35)

az = Dw/Dt = dw/dt = u w/x + v w/y + w w/z + w/t ....... (36)

Gbr.9 Koordinat Partikel fluida


UNJ/16/04/2010 26

4.3 Sistim Referensi Dalam Menginterpretasikan Bentuk Gerakan

Pemilihan sistem koordinat sebagai referensi terhadap gerakan fluida

mempunyai kegunaan besar. Hal ini akan kita lukiskan dengan contoh. Misalnya kita

perhatikan aliran melalui tiang jembatan dengan sistem referensi (atau pengamat)

diam, atau kita perhatikan aliran melalui hidung pesawat terbang yang terbang dengan

kecepatan tetap seperti dilihat oleh seorang pengamat dalam pesawat terbang. Kedua-

duanya merupakan contoh gerakan stasioner.

Gbr.10 Garis Arus Pada Aliran Stasioner

Gbr.10 menunjukkan garis lintasan yang dalam hal ini berimpitan dengan garis

gores dan garis arus. Benda K dianggap sangat panjang sehingga pengaruh aliran di

bagian belakang benda pada aliran di bagian depan dapat diabaikan. Bila pada titik A

diteteskan suatu cairan berwarna, maka tetesan berwarna tersebut akan terletak pada

garis arus. Bila aliran tidak stasioner, keadaan berbeda. Ini terjadi misalnya bila kita

memperhatikan aliran fluida melalui suatu pesawat terbang dari suatu kedudukan yang

diam terhadap fluida yang masih belum terganggu.

4.4 Aliran Satu, Dua Dan Tiga Dimensi

Suatu garis arus yang merupakan garis matematik mempunyai satu dimensi.

Jadi aliran sepanjang satu garis, walaupun melengkung, merupakan aliran satu

dimensi.

Dalam aliran yang demikian, variasi kecepatan, tekanan dan sebagainya, hanya

mungkin sepanjang garis arus karena dimensi yang melintang terhadap garis arus

tidak didefinisikan. Beberapa aliran dua dan tiga dimensi dapat diperlakukan sebagai

aliran satu dimensi untuk keperluan praktis, bila garis arusnya hampir lurus dan sejajar


UNJ/16/04/2010 27

satu sama lain. Aliran dua dan tiga dimensi menggambarkan medan aliran, masing-

masing dalam bidang dan ruang.

Contoh aliran dua dimensi adalah aliran melalui sayap pesawat dan tiang

jembatan.

Gbr.11 Aliran Dua Dimensi

Disini kecepatan, tekanan dan sifat-sifat lainnya tidak berubah dalam arah

tegak lurus ke atas dari satu titik ke titik lainnya dalam medan aliran. Perlu

diperhatikan pula bahwa aliran dua dimensi demikian sebenarnya juga merupakan

pendekatan dari keadaan yang sebenarnya, selama pengaruh panjang dari sayap atau

tiang jembatan cukup kecil, yang dijumpai pada sayap-sayap dan tiang jembatan yang

cukup panjang.

Aliran simetris tiga dimensi dilukiskan dalam Gbr.12 berikut:

Gbr.12 Aliran Simetris Tiga Dimensi Disini garis arus membentuk permukaan arus atau tabung arus yang

berpenampang cincin. Pada bidang yang melalui sumbu aliran demikian, garis arus

dapat digambarkan menyerupai aliran dua dimensi, tetapi tidak menyatakan bahwa

aliran bersifat dua dimensi. Aliran tiga dimensi yang tidak simetrik, seperti aliran pada

rongga masuk dari mesin jet, merupakan medan aliran tiga dimensi yang bersifat

umum.


UNJ/16/04/2010 28

4.5 Sistem Dan Volume Atur Suatu sistem yang kadang-kadang juga disebut benda bebas atau benda

terisolasi, didefinisikan sebagai kumpulan zat sebarang yang mempunyai identitas

tetap. Segala sesuatu yang ada di luar sistem disebut lingkungan. Batas dari sistem

didefinisikan sebagai suatu permukaan, yang dapat berbentuk riil atau imaginer yang

memisahkan sistem dari lingkungannya.

Melalui penggunaan gagasan sistem kita memusatkan perhatian kita pada

benda atau zat dan mengamati interaksi antara sistem dan lingkungannya. Sebagai

contoh kita perhatikan hukum Newton yang kedua:

F = m a. Dalam definisi ini F adalah gaya resultan yang diadakan oleh lingkungan pada

sistem, m adalah massa sistem dan a adalah vektor percepatan yang dialami oleh titik

pusat massa sistem. Langkah yang pertama dalam menetapkan hukum kekekalan

massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan hukum termodinamika yang

kedua dalam bentuknya yang elementer adalah dengan mendefinisikan suatu sistem.

Tanpa langkah ini apa yang dinamakan gaya, massa, panas, kerja, dan sebagainya

akan kabur artinya sampai apa yang dinamakan sistem didefinisikan dengan jelas.

Fluida sangat mudah bergerak, dan karena itu agak sukar untuk menganalisa

batas dan sistem fluida untuk waktu yang agak lama. Hal yang demikian kita jumpai

dalam mesin turbo, dimana proses yang rumit berlangsung dan dimana partikel fluida

yang berbeda yang melalui mesin mengalami sejarah yang berbeda. Karena itu, untuk

fluida yang bergerak lebih mudah bila kita menggunakan suatu konsep lain, dimana

yang kita perhatikan adalah suatu volume dalam ruang yang tertentu, yang dilalui oleh

aliran fluida, dan bukan fluida yang mempunyai partikel dengan identitas tetap.

Volume Atur

Dengan pemikiran di atas kita definisikan volume atur sebagai volume yang

sebarang, yang kedudukannya tetap di dalam ruang dan fluida mengalir di dalamnya.

Identitas dari fluida yang memenuhi volume atur berubah dengan waktu. Permukaan

yang mengelilingi volume atur disebut permukaan atur, yang berhubungan tunggal

(singly connected) atau berhubungan majemuk (multiply connected).

Kadang-kadang kita gunakan volume yang ukurannya infinitesimal (kecil

sekali), kadang-kadang volume yang ukurannya tertentu, pemilihan ini didasarkan atas

hasil yang diinginkan.


UNJ/16/04/2010 29

4.6 Garis Arus Dan Fungsi Arus

Suatu garis yang pada tiap saat menyinggung vektor kecepatan pada tiap

titiknya disebut garis arus. Karena vektor kecepatan pada suatu titik tertentu

menyatakan arah gerak partikel fluida yang melaluinya, suatu garis arus juga

menyinggung lintasan fluida yang terletak padanya. Akan tetapi lintasan suatu partikel

fluida, merupakan tempat kedudukan dari gerakan partikel tersebut selama suatu

waktu tertentu, sedangkan garis arus adalah gambaran sesaat dari gerakan partikel

fluida pada berbagai titik.

Gbr.13 Garis Arus

Walaupun kedua garis akan berimpitan pada kedudukan partikel yang

bersangkutan, pada tempat lain keduanya pada umumnya akan terpisah, karena

kecepatan berubah dengan ruang dan waktu. Hanya bila garis arus tidak berubah

bentuk dan kedudukan, garis tersebut juga merupakan garis lintasan.

Selain garis arus dan garis lintasan, masih ada garis gores yaitu suatu garis

yang menghubungkan semua partikel yang segera berurutan pada suatu waktu melalui

suatu titik tertentu yang kedudukannya dalam ruang tetap.

Definisi matematik dari garis arus (untuk aliran stasioner dan tidak stasioner)

dapat dinyatakan sebagai:

dx/u = dy/v = dz/w ............................................................ (37)

dimana dx, dy, dz adalah elemen dari potongan garis di dalam sistem koordinat

Cartesian dan u, v, w adalah komponen kecepatan. Persamaan (37) ini menyatakan

bahwa titik pada garis arus menyinggung vektor kecepatan pada titik tersebut.

Untuk aliran dua dimensi, persamaan (37) menjadi:

dy/dx = v/u .......................................................................... (38)

Perlu diingat bahwa batas dari permukaan benda padat selalu merupakan garis

arus karena fluida tidak dapat menembus permukaan tersebut.


UNJ/16/04/2010 30

BAB 5

ANALISA DIMENSIONAL & KESERUPAAN

5.1 Pendahuluan

Beberapa persoalan yang dijumpai dalam mekanika fluida telah dipecahkan

dengan menganalisa persoalan yang sudah diformulasikan secara matematis. Dalam

soal yang demikian, baik variabel yang berpengaruh maupun hubungan antara variabel

tersebut telah diketahui. Seringkali formulasi demikian diperoleh dengan menggunakan

anggapan penyederhanaan. Untuk memperhitungkan efek yang diabaikan, dalam

pendekatan selanjutnya digunakan koefisien yang ditentukan secara eksperimental.

Cara lain yang dapat digunakan sebgai penyelesaian pendekatan diperoleh

dengan cara mencoba menentukan secara umum bagaiamana koefisien yang dapat

ditetapkan secara eksperimental tersebut bergantung pada variabel yang

mempengaruhi persoalan.

Dengan analisa dimensional, gejala fisik dapat diformulasikan sebagai

hubungan antara variabel yang berpengaruh, yang telah dikelompokkan dalam

serangkaian kelompok bilangan yang tak berdimensi. Jumlah kelompok bilangan tak

berdimensi ini jauh lebih sedikit dari jumlah variabel yang semula. Cara ini sangat

berguna dalam metoda analisa persoalan secara eksperimental terutama karena

jumlah eksperimen yang harus dilakukan dapat diperkecil, dan eksperimennya sendiri

dapat lebih disederhanakan.

5.2 Kelompok Tanpa Dimensi

Variabel atau besaran fisik dinyatakan dengan dimensi yang dapat dituliskan

dalam beberapa dimensi dasar. Sebagai contoh, kecepatan secara dimensional

dinyatakan oleh hubungan dimensi (V) = (L)/(t). Beberapa variabel dapat

dikelompokkan sedemikian sehingga tidak berdimensi, dan kelompok tanpa dimensi.

Sebagai contoh, besaran Vd/ tidak berdimensi, karena:

(Vd/) = (M/L3) (L/t) (L) = 1 ................................................... (39)

(M/Lt)

yang berarti bahwa Vd/ tidak berdimensi. Besaran ini kita kenal sebagai bilangan

Reynolds, salah satu kelompok tanpa dimensi yang pebting dalam mekanika fluida.


UNJ/16/04/2010 31

5.3 Hukum Keseragaman Dimensi

Suatu persamaan dikatakan memiliki keseragaman dimensi bila bentuk

persamaan tersebut tidak bergantung pada satuan pengukuran dasar. Sebagai contoh,

persamaan untuk perioda ayunan suatu bandul sederhana, yaitu T = 2 L/g, berlaku

untuk tiap sistem satuan, misalnya apakah L diukur dalam feet, meter, atau mil, dan t

diukur dalam menit, hari atau detik. Jadi persamaan tersebut memiliki keseragaman

dimensi dan dapat dikatakan menyatakan gejala fisik. Hukum tersebut dapat diselami

mengingat bahwa gejala alami berlangsung tanpa dipengaruhi oleh satuan yang dibuat

secara sebarang oleh manusia, dan karena itu persamaan yang menjelaskan gejala

demikian harus berlaku untuk segala sistem satuan, jadi harus memiliki keseragaman

dimensi.

Dari azas keseragaman dimensi ini dapat disimpulkan bahwa suatu persamaan

yang berbentuk: x = a + b + c ..... akan seragam secara dimensional hanya bila x, a,

b, c ....... memiliki dimensi yang sama. Hukum ini sangat bermanfaat untuk

memeriksa, apakah suatu persamaan yang menyatakan gejala fisik dan yang

diturunkan secara analitik, sudah benar dan lengkap.

5.4 Teorema Pi Dari Buckingham

Bila persamaan yang berlaku untuk suatu soal tidak diketahui, diperlukan suatu

cara lain dalam penggunaan analisa dimensional. Pada awalnya, perlu diketahui atau

diduga, variabel bebas yang menentukan kelakuan dari variabel dependen yang ingin

kita ketahui. Rayleigh pertama kali menggunakan metoda ini dan hukum aljabar untuk

menggabungkan variabel yang banyak dalam suatu soal di dalam suatu kelompok yang

tak berdimensi.

Untuk menentukan kelompok tak berdimensi ini, Buckingham mengusulkan

suatu teorema yang dikenal sebagai teorema yang dikenal sebagai teorema pi, yang

secara formil dinyatakan sebagai berikut:

Bila ada n besaran fisik yang penting dan m dimensi dasar, maka terdapat

suatu bilangan n maksimum (r) yang menyatakan jumlah besaran ini yang diantara

mereka sendiri tidak dapat membentuk kelompok tak berdimensi, dimana r n2. Maka

dengan menggabungkan secara berturut-turut satu dari besaran yang selebihnya

dengan r besaran tadi, dapat dibentuk i kelompok tak berdimensi, dimana i = n-r.

Kelompok tak berdimensi yang dibentuk ini disebut suku-suku dan dikenali dengan

simbol 1, 2 ...... . n.


UNJ/16/04/2010 32

5.5 Keserupaan (Similitude)

Keserupaan dalam pengertian yang umum berarti indikasi adanya hubungan

tertentu yang diketahui antara dua fenomena. Dalam mekanika fluida hubungan ini

merupakan hubungan antara aliran sesungguhnya dengan aliran yang menyangkut

model yang batas-batasnya serupa secara geometris tetapi lebih kecil ukurannya.

Walaupun demikian perlu dijelaskan, bahwa dalam mekanika fluida berlaku pula

hukum keserupaan untuk aliran dengan batas yang tidak serupa. Misalnya, ada

hubungan keserupaan antara aliran subsonik kompresibel (M < 1) sekitar suatu benda

dengan aliran inkompresibel sekitar benda yang kedua yang bentuknya serupa dengan

benda pertama yang dideformasikan menurut cara tertentu, dan ini dikenal sebagai

aturan keserupaan Gothert.

Dua aliran yang mempunyai garis arus yang serupa disebut aliran yang serupa

secara kinematis. Karena batas benda merupakan garis arus, tentunya aliran yang

serupa kinematis harus pula serupa secara geometris. Akan tetapi hal sebaliknya belum

tentu benar, seperti ditunjukkan dalam Gbr.14. Disini digambarkan garis arus sekitar

benda yang berbentuk belah ketupat dalam aliran dua dimensi. Gbr.14a menunjukkan

aliran subsonik M < 1, sedangkan Gbr.14b aliran supersonik M > 1. Dapat dilihat

bahwa garis arusnya tidak serupa.

Gbr.14 (a) Aliran Subsonik (b) Aliran Supersonik


UNJ/16/04/2010 33

Selanjutnya dua aliran dikatakan serupa secara dinamis, bila distribusi gaya

pada kedua aliran adalah sedemikian sehingga pada titik yang berkorespondensi, gaya

yang sejenis (misalnya gaya geser, tekanan dan sebagainya) saling sejajar, dan

mempunyai perbandingan yang sama dengan pada pasangan titik yang

berkorespondensi lainnya.

Akan ditunjukkan bahwa keserupaan dinamis mensyaratkan dipenuhinya

keserupaan kinematik, dan syarat bahwa distribusi massa adalah sedemikian sehingga

perbandingan massa jenis pada titik dalam aliran yang berkorespondensi mempunyai

harga yang sama untuk setiap pasang titik. Aliran yang memenuhi syarat terakhir ini

disebut aliran dengan distribusi massa yang serupa. Syarat keserupaan kinematis

bahwa kecepatan dan percepatan pada titik yang berkorespondensi adalah sejajar dan

perbandingan besar harga mutlaknya adalah konstan. Aliran yang serupa secara

kinematis dan mempunyai distribusi massa yang serupa, dari hukum Newton, juga

mempunyai gaya resultan yang perbandingan harga mutlaknya sama untuk titik yang

saling berkorespondensi. Selain itu pada titik yang berkorespondensi juga sejajar. Jadi

aliran yang serupa secara kinematis dan distribusi massanya serupa memenuhi syarat

keserupaan dinamik.


UNJ/16/04/2010 34

BAB 6

ALIRAN FLUIDA DI DALAM PIPA

6.1 Pendahuluan

Pada umumnya aliran dapat dibedakan atas (1) aliran dalam saluran, yaitu

aliran yang dibatasi oleh permukaan-permukaan keras, dan (2) aliran sekitar benda

yang dikelilingi oleh fluida yang selanjutnya tidak terbatas. Perbedaan demikian

hanyalah untuk memudahkan peninjauan saja, karena gejala dasar dari kelakuan fluida

berlaku pada kedua keadaan tersebut.

Selanjutnya pengertian kita tentang kelakuan fluida riil memerlukan pembedaan

antara lapisan batas, dimana efek-efek tegangan geser terkonsentrasikan, dan daerah

aliran potensial, dimana hipotesa aliran ideal dipenuhi.

Pengertian lain yang akan dibahas adalah tentang dua macam aliran yaitu

aliran laminar dan aliran turbulen. Karena aliran-aliran yang umum sifatnya akan lebih

rumit untuk diuraikan, kita akan membatasi tinjauan pada geometri yang sederhana,

terutama tentang aliran-aliran melalui pipa berpenampang lingkaran dan selanjutnya

aliran melalui pelat-pelat datar sejajar arah aliran.

6.2 Aliran laminer dan aliran Turbulen

Koefisien gesek untuk pipa silindris merupakan fungsi dari Re (bilangan

Reynolds). Kenyataan ini ditunjang oleh hasil-hasil eksperimen. Diagram f terhadap Re

untuk pipa-pipa silinder ini menunjukkan karakter yang demikian (Gbr.15):

Gbr.15 Diagram f Terhadap Re Untuk Pipa Silinder


UNJ/16/04/2010 35

Pada bilangan Reynolds yang rendah f berkurang dengan bertambahnya Re

sebagai kebalikan harganya. Sedangkan di sekitar harga Re yang tertentu (sekitar

3000) terdapat perubahan harga f, yaitu yang menunjukkan ketergantungan f pada Re

yang lebih kecil.

Untuk menyelidiki sebab perubahan tersebut perlu kita periksa alirannya secara

langsung. Untuk tujuan ini kita rencanakan suatu eksperimen dengan mengalirkan air

melalui suatu pipa yang transparan. Bilangan Reynoldsnya dapat diubah-ubah dengan

mengubah laju aliran massa. Untuk membuat aliran terlihat, kita dapat menyuntikkan

cairan warna sepanjang tengah-tengah pipa seperti terlihat pada Gbr.16.

Gbr.16 Penyuntikan Zat Warna Ke Dalam Pipa Untuk Menentukan Apakah

Aliran Laminar Atau Turbulen

Untuk mudahnya akan kita anggap bahwa aliran diamati pada suatu kedudukan

yang cukup jauh dari penampang masuk pipa sedemikian sehingga profil kecepatan

tidak berubah dengan jarak. Aliran demikian dikatakan telah mencapai kesetimbangan,

atau sudah berkembang penuh (fully developed flow).

Bila kita mulai dengan laju aliran mssa yang kecil, maka terlihat bahwa aliran

zat warna akan mengikuti suatu garis lurus yang jelas yang sejajar dengan sumbu

pipa. Goresan zat warna tetap lurus pada waktu laju aliran secara perlahan-lahan

diperbesar.

Akan tetapi, setelah laju aliran massa melebihi suatu harga tertentu, secara

tiba-tiba garis warna yang di atas akan bergelombang, dan bila laju aliran massa

diperbesar lebih lanjut, garis yang tegas akan hilang dan zat warna akan menyebar

secara seragam pada seluruh pipa. Dalam modus yang pertama partikel-partikel fluida

(air) mengikuti garis lurus yang sejajar pipa, akan tetapi dalam modus yang kedua tiap


UNJ/16/04/2010 36

partikel fluida rupanya mengikuti suatu lintasan yang sebarang di seluruh pipa, hanya

gerakan rata-ratanya yang mengikuti sumbu pipa. Modus pertama disebut aliran

laminar, sedangkan modus yang kedua disebut aliran turbulen.

6.3 Distribusi Tegangan Geser Dalam Pipa Berpenampang Lingkaran

Kita akan menganalisa aliran dalam pipa bulat (berpenampang lingkaran) dan

pertama-tama akan menurunkan persamaan yang umum yang menghubungkan

tegangan geser, penurunan tekanan dan jari-jari, dan tidak menggunakan persamaan

Navier-Stokes secara langsung. Untuk ini kita perhatikan suatu bagian dari pipa bulat

dengan penampang tetap, yang mengalirkan fluida dengan massa jenis yang tetap.

Akan kita anggap bahwa aliran telah mencapai kesetimbangan (fully developed flow)

dan karena itu gradien tekanannya telah mencapai harga yang konstan. Panjang pipa l

dan jari-jari pipa r, sedangkan beda tekanan sepanjang l besarnya p

Tekanan pada tiap penampang bersifat seragam karena pipanya lurus dan

karena itu aliran rata-rata arahnya mengikuti garis-garis sejajar sumbu pipa. Untuk

silinder kecil yang tergambar dengan garis putus-putus, syarat kesetimbangan gaya-

gaya menghasilkan:

p. r2 = 2 r l .......................................................................... (40)

Dimana tegangan geser pada kulit silinder yang bersangkutan. Bila ro jari-jari pipa,

maka ( 1) menjadi:

p. ro2 = 2 ro o l ..................................................................... (41)

Dapat dilihat bahwa dari (40) dan (41) bahwa:

= o r/ro ...................................................................................... (42)

yang menyatakan bahwa tegangan geser harus berubah secara linier dengan jari-jari.

Tegangan geser dinding o tentu ada hubungannya dengan koefisien gesek f.

Koefisien gesek didefinisikan sebagai:

p = f. . v2. l/d ......................................................................... (43)

Jadi, dari (41) dan (43):

2 o.l/ro = f. . v2. l/d ..................................................................... (44)

atau

o = . f. . v2 ................................................................................ (45)


UNJ/16/04/2010 37

6.4 Jari-Jari Hidrolik

Untuk saluran dengan penampang yang bukan lingkaran, hubungan antara

tekanan dengan tegangan geser dapat dinyatakan sebagai:

p A (p + dp)A + o s d x = 0 ....................................... (46)

Dimana s adalah parameter (keliling penampang), sehingga diperoleh:

o = A/s p/l ................................................................ (47)

dimana l panjang pipa

Untuk pipa berpenampang lingkaran, dari persamaan (41)&(43)dapat

digabungkan menjadi:

o = p ro/2 l ......................................................... (48)

= f/4 .l/2 v2

atau

f = 4 o/1/2 . v2 l .................................................. (49)

Jadi bila harga eksperimental o atau f diketahui, maka besaran yang lain dapat

dihitung.

Dengan cara yang serupa, untuk saluran berpenampang bukan lingkaran dapat

diturunkan.

p = f. s l / 4A . v2/2 .................................................. (50)

Untuk empat persegi panjang dengan sisi-sisi a dan b, de = 4 ab/2(a+b) =

2ab/(a+b). Untuk annulus dengan diameter dalam d1 dan diameter luar d2, de = (d22

d12)/ (d2 + d1) = d2 d1

6.5 Aliran Laminer Stasioner Dalam Pipa

Untuk aliran laminar, eksperimen Reynolds menunjukkan bahwa tiap partikel

bergerak sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu pipa. Persamaan geraknya

dapat disederhanakan sekali, dan dapat ditunjukkan bahwa tegangan gesernya sama

dengan:

= du/dr .......................................................................... (51)

Dari persamaan ini yang menyatakan hubungan antara gaya-gaya geser

dengan profil kecepatan untuk aliran laminar dalam pipa dan dari persamaan (51)

diperoleh:

du/dr = p r/2 .l. ............................................................ (52)


UNJ/16/04/2010 38

Persamaan ini berlaku terbatas pada aliran laminar karena mencakup anggapan

bahwa aliran bersifat stasioner dan bahwa garis-garis arusnya merupakan garis-garis

lurus yang sejajar dengan sumbu. Setelah integrasi diperoleh:

u = p/2.l. . r2/2 + konst ................................................ (53)

Kecepatan fluida pada batas, yaitu dinding pipa (r = ro) sama dengan

kecepatan dinding yaitu nol, karena syarat tidak adanya pergeseran (no slip).

Konstanta integrasinya dengan demikian dapat dihitung sehingga:

u = - p/4.l. (ro2 r2) ................................................... (54)

Tanda negatip di depan p menunjukkan bahwa hanya bila tekanan pada

daerah hulu (kiri) lebih besar dari hilir (kanan), fluida mengalir ke arah hilir (kanan).

Persamaan di atas menyatakan pula bahwa untuk aliran laminar dalam pipa,

distribusi kecepatannya bersifat parabolik.

Dengan menggunakan persamaan (55)laju aliran massa melalui pipa dapat

dihitung yaitu:

Q = - p.. ro4/8.l. .......................................................... (56)

Sedangkan kecepatan rata-ratanya:

v = Q/. ro2 = - p ro

2/ 8.l. ............................................. (57)

Persamaan yang terakhir ini dapat dibandingkan dengan persamaan untuk

kerugian gesekan di dalam pipa. Untuk kasus aliran laminar:

f = 64/Re ........................................................................... (58)

yang menunjukkan bahwa f merupakan fungsi sederhana dari bilangan Reynolds.

Eksperimen menunjukkan persamaan dengan hasil di atas. Aliran laminar dengan profil

kecepatan parabolik dalam tabung silindrik ini dikenal sebagai aliran Poiseuille atau

aliran Hagen-Poiseuille.

6.6 Aliran Turbulen Melalui Pipa Licin

Untuk menentukan profil kecepatan turbulen di dalam pipa, kelihatannya

sangat logis bila kita melakukan analisa yang serupa dengan aliran laminar. Tetapi

analisa yang demikian tidak akan berhasil karena aliran tidak lagi stasioner dan lintasan

partikel-partikel fluida sangat sebarang, yang mengakibatkan tidak mungkinnya

peramalan garis-garis arus. Bentuk umum dari profil kecepatan ditunjukkan pada

Gbr.17.


UNJ/16/04/2010 39

Gbr.17 Bnetuk Umum dari Profil Kecepatan

Eksperimen Reynolds menunjukkan bahwa dalam aliran turbulen, elemen-

elemen fluida bergerak sepanjang pipa secara sebarang. Bila suatu partikel fluida

bergerak tegak lurus pada arah kecepatan rata-rata (misalnya dari A ke B dalam

Gbr.17), ia bergerak dari daerah yang momentum rata-ratanya dalam arah x yang

lebih rendah ke daerah yang momentum (dalam arah x) rata-ratanya lebih tinggi. Oleh

karena itu partikel tersebut akan mengadakan gaya tahanan pada fluida di sekitar B.

Demikian pula, bila suatu partikel bergerak menjauhi sumbu pipa, ia akan

mempercepat fluida di sekitar tempat baru yang didudukinya. Gaya-gaya ini

merupakan hasil dari gerak lintang turbulen dari partikel-partikel fluida dan merupakan

sebab dari gaya-gaya geser dalam fluida.

Yang dimaksudkan dengan pipa licin adalah pipa-pipa dengan permukaan

seperti gelas, plastik atau logam yang dihaluskan. Pipa-pipa kasar mencakup pipa-pipa

lain seperti pipa-pipa baja, pipa-pipa besi dan pipa-pipa beton.

Korelasi tentang koefisien gesek dalam aliran turbulen pertama-tama diajukan

oleh Blasius (1911), dengan melakukan survei secara kritis pada data dan

memformulasikan persamaan empirik sebagai berikut:

f = 0,316/Re1/4 ...................................................................... (59)

yang berlaku untuk pipa licin sampai bilangan Reynolds sebesar 103. Dapat dilihat

bahwa faktor gesek dalam aliran turbulen berubah pelan dengan bilangan Reynolds

dibandingkan dengan pada aliran laminar.


UNJ/16/04/2010 40

Bila dianggap bahwa pada Re = 2300 baik aliran laminar maupun turbulen

dapat terjadi, maka untuk aliran laminar, f ~ 64/Re~0,0278, sedangkan untuk yang

terakhir, f = 0,0447. Dalam kenyataannya, dalam aliran turbulen Re harus sama

dengan 17.000 supaya faktor geseknya sama kecil dengan faktor gesek aliran laminar

pada Re = 2300. Jadi aliran turbulen menghasilkan kerugian-kerugian yang lebih besar

daripada aliran laminar pada bilangan Reynolds yang ekivalen.

Untuk bilangan Reynolds lebih besar dari 103, persamaan Blasius tidak lagi

sesuai, karena faktor gesek yang diramalkannya lebih rendah. Selain faktor gesek,

distribusi kecepatan pada penampang pipa mempunyai arti yang penting.

Eksperimen menunjukkan bahwa distribusi kecepatan untuk aliran turbulen

lebih datar daripada untuk aliran laminar, akan tetapi gradien kecepatannya lebih

curam daripada aliran laminar.


UNJ/16/04/2010 41

BAB 7

LAPISAN BATAS 7.1 Teori Lapisan Batas (Boundary Layer)

Konsep lapisan batas pertama kali dikemukakan pada tahun 1904 oleh Ludwig

Prandtl, seorang ahli aerodinamika Jerman. Sebelumnya, analisa aliran fluida terbagi

menjadi dua konsep dasar yaitu aliran tanpa pengaruh gesekan yang dikemukakan

oleh Leonhard Euler seorang ahli hidrodinamika pada tahu 1755. Analisa aliran tanpa

gesekan dinyatakan dalam persamaan Euler. Dengan banyaknya kontradiksi pada hasil

eksperimen aliran fluida, persamaan Euler dijabarkan lebih rinci untuk kondisi aliran

bergesekan oleh Navier pada tahun 1827 dan oleh Stokes pada tahun 1845, yaitu

persamaan Navier-Stokes.

Persamaan Navier-Stokes ini adalah persamaan matematis yang amat sulit

dicari penyelesaiannya. Dengan konsep yang diungkapkan Prandtl ini analisa gerak

aliran fluida umumnya dapat dibagi menjadi dua bagian yang pengaruh gesekannya

besar yaitu di daerah lapisan batas dan di luarnya adalah aliran yang tanpa pengaruh

gesekan.

Pada aliran fluida bergesekan, pengaruh gesekan akan menimbulkan lapisan

batas. Lapisan Batas adalah daerah yang melingkupi permukaan aliran, dimana tepat

di bawah lapisan batas terdapat hambatan akibat pengaruh gesekan fluida dan tepat di

atas lapisan batas aliran fluida adalah tanpa hambatan, sehingga untuk menganalisa

pengaruh gesekan fluida, penting untuk diketahui konsep tentang lapisan batas

tersebut.

Lapisan batas pada aliran internal akan berkembang terbatas sampai dapat

meliputi seluruh penampang aliran fluida dan hanya terjadi pada daerah di sekitar

lubang masuk aliran sehingga pada umumnya dapat diabaikan dan aliran dianggap

seragam. Namun pada aliran eksternal pertumbuhan lapisan batas tidak terbatas

sehingga umumnya pembahasan perkembangan lapisan batas menjadi sangat penting.

Pada Gbr.18 ditampilkan perkembangan lapisan batas pada aliran internal dan aliran

eksternal. Pada gambar tersebut skala sumbu y jauh lebih besar dari sumbu x untuk

memperoleh gambar yang lebih jelas, karena lapisan tersebut sangat tipis.

Dari gambar terlihat bahwa untuk aliran internal, fluida pada saat bergesekan

dengan permukaan solid, akan mulai membentuk lapisan batas. Lapisan batas ini akan


UNJ/16/04/2010 42

berkembang terus sampai suatu panjang tertentu yang disebut sebagai panjang

masukan (entrance length) kemudian lapisan batas tidak dapat berkembang lagi (Fully

developed flow). Untuk aliran internal dan laminar yaitu dengan Re< 2300 maka

panjang masukan, LE adalah fungsi angka Reynold yaitu:

LE/D 0,06 v D/

LE 0,06 x Re x D 138D

Sedangkan untuk aliran internal turbulen, dari hasil percobaan, panjang

masukannya adalah antara 25D atau 40D.

Pada aliran eksternal, angka Reynold dihitung tidak dari diameter penampang

namun dari panjang karakteristik masukan atau tebal lapisan batasnya. Kondisi aliran

laminar, transisi dari laminar ke turbulen dan aliran turbulen pada aliran eksternal tidak

sejelas pada aliran internal.

Untuk aliran diatas plat datar seperti pada lambung kapal atau kapal selam,

pada sayap pesawat udara ataupun pada dataran, kondisi transisi aliran tercapai pada

angka Reynold Re = 5 x 105. Untuk kondisi udara bakuangka Re ini tercapai pada

kecepatan 30 m/s berkorelasi dengan jarak x 0,24 m. Sedangkan perkembangan

tebal lapisan batasnya, pada aliran laminar lebih lambat dibandingkan dengan

perkembangan tebal lapisan batas pada aliran turbulen.

Ketebalan lapisan batas pada aliran laminar:

= 5x/Rex ............................................................................. (60)

dimana: = tebal lapisan batas

x = jarak dari masukan ke lokasi tebal lapisan batas

Beberapa parameter lapisan batas yang penting adalah:

Tebal lapisan batas, yang didefinisikan sebagai jarak dari permukaan solid ke

lapisan di daerah yang mengalami hambatan karena gesekan. Namun

kenyataannya karena pengaruh gesekan terjadi terus menerus, pada

perhitungan, dipergunakan definisi tebal lapisan batas adalah jarak dari

permukaan penampang ke titik yang u = 0,99 U.

Tebal perpindahan * didefinisikan sebagai tebal aliran tanpa gesekan yang laju

massa alirannya sama dengan pengurangan laju massa aliran fluida

bergesekan. Sehingga perhitungan tebal perpindahan ini didasarkan pada laju

massa aliran sebelum bergesekan dengan permukaan solid dikurangi laju aliran

setelah bergesekan.


UNJ/16/04/2010 43

Tebal perpindahan ini dinyatakan dalam:

* =

=

00

)1()(1 dyUu

dyuUU

......................................................... (61)

Tebal momentum , didefinisikan sebagai ketebalan dari lapisan batas dengan

kecepatan yang laju perubahan momentumnya sama dengan kekurangan laju

momentum aliran bergesekan yang melalui lapisan batas. Tebal momentum dinyatakan

dalam:

U =

0

)( udyuU ....................................................................... (62)

=

0

)1( dyUu

Uu

........................................................................... (63)

7.2 Lapisan Batas Konsep-konsep Umum

Kalau pada bab sebelumnya ditinjau aliran pada bagian pipa dimana telah

diperoleh profil kecepatan yang tidak berubah dengan jarak, maka pada bab ini kita

akan meninjau bagian pipa dekat penampang masuk, dimana profil kecepatannya

masih berkembang dengan jarak dari penampang masuk. Disini pola alirannya bukan

merupakan pola aliran yang setimbang atau terkembang penuh. Sebagai contoh, bila

lubang masuk pipa terletak pada suatu tangki atau reservoir, profil kecepatan awal

pada penampang pipa akan terbentuk seragam, dan fluida mengalir ke arah hilir dan

mengalami perubahan profil kecepatan sampai gaya-gaya gesekan telah

memperlambat fluida di dekat dinding dan profil kecepatan akhir (yang terkembang

penuh) dicapai.

Gbr.19 Pola Aliran Terkembang Penuh Di dalam Pipa


UNJ/16/04/2010 44

Pada daerah masuk, fluida dekat tengah-tengah pipa tampaknya tidak

dipengaruhi oleh gesekan, sedangkan fluida dekat dinding telah dipengaruhi oleh

gesekan. Daerah dimana efek gesekan terlihat dengan jelas disebut lapisan batas.

Sewaktu fluida ke hilir, lapisan batas ini tumbuh dan akhirnya memenuhi seluruh pipa.

Yang akan kita perhatikan selanjutnya adalah lapisan batas yang tumbuh, yang

belum terkembang sempurna. Pada ujung depan (leading edge) dari pelat profil

kecepatan fluida masih seragam, akan tetapi mengalami perubahan dalam arah hilir.

Mula-mula waktu lapisan batas masih tipis, aliran di dalam lapisan ini bersifat laminar.

Tetapi waktu lapisan batas ini telah tumbuh dan mencapai suatu tebal tertentu, maka

aliran dapat bersifat turbulen.

Kriteria transisi adalah bilangan Reynolds yang disini didasarkan atas jarak dari

ujung depan pelat dan kecepatan aliran bebas uo. Setelah transisi berlangsung, aliran

pada sebagian besar lapisan batas bersifat turbulen, akan tetapi harus ada sesuatu sub

lapisan laminar dekat dinding. Analisa lapisan batas pada dasarnyadapat berhasil bila

lapisan tersebut tipis dibandingkan dengan dimensi-dimensi yang penting seperti

misalnya jarak dari ujung depan pelat. Syarat ini umumnya dipenuhi bila bilangan

Reynolds melebihi angka 104. Di luar lapisan batas, aliran dapat dianggap tidak viskos

dan dapat dianalisa berdasarkan anggapan tersebut.

Gbr.20 Pembentukan Lapisan Batas


UNJ/16/04/2010 45

7.3 Lapisan Batas Laminar Penyelesaian Eksak Untuk Aliran Dua Dimensi

Suatu kontribusi pada ilmu pengetahuan tentang gerak fluida dilakukan oleh

Ludwig Prandtl dalam tahun 1904, sewaktu ia menjelaskan tentang pengaruh

viskositas yang penting pada bilangan Reynolds yang tinggi dan menunjukkan bahwa

persamaan Navier-Stokes dapat disederhanakan untuk memperoleh penyelesaian

pendekatan.

Lebih dahulu kita tinjau aliran dua dimensi dari fluida dengan viskositas rendah

melalui suatu benda silindris yang langsing, seperti tergambar (Gbr.21)

Gbr.21 Aliran Lapisan Batas Sepanjang Suatu Dinding

Dengan mengecualikan daerah yang sangat dekat dengan permukaan,

kecepatan fluida mempunyai derajat kecepatan yang sama dengan kecepatan aliran

bebas Uo, dan pola dari garis-garis arus dan distribusi kecepatan hanya berbeda sedikit

dengan aliran potensial (tak bergesekan). Perubahan dari kecepatan nol pada dinding

hingga kecepatan yang penuh pada suatu jarak tertentu dari dinding terjadi pada

suatu lapisan tipis yang di atas telah disebut lapisan batas.

Karena pada batas antara lapisan dan aliran potensial gaya-gaya gesekan ini

harus mempunyai orde yang sama dengan gaya-gaya inersia, maka:

.U/2 ~ U2/l

atau: ~ l/ U

atau: /l ~ v/U.l = 1/Re ............................................................................. (64)


UNJ/16/04/2010 46

7.4 Pemecahan Pendekatan Untuk Lapisan Batas

Untuk mempelajari metoda pendekatan untuk menghitung pertumbuhan

lapisan batas melalui pelat datar dan tegangan gesernya pada permukaan, digunakan

suatu model sederhana, yaitu dimana kita anggap bahwa kecepatan mencapai harga

aliran bebas yang tepat pada jarak dari pelat. Tebal lapisan batas ini berubah

sepanjang pelat, jadi = (x).

Gbr.22 Volume atur Untuk Pendekatan Untuk Aliran Lapisan Batas

Di luar garis batas yang menyatakan tebal lapisan batas, kecepatan fluida

dianggap sama dengan kecepatan aliran bebas Uo, dan dalam lapisan batas

kecepatannya perlahan-lahan turun dari Uo pada y = sampai nol pada dinding.

Selanjutnya kita tinjau suatu elemen volume atur yang dibatasi oleh pelat, garis batas

dan dua garis vertikal sejajar dx. Lebar volume dapat diambil satu satuan.

Hukum momentum untuk aliran stasioner menyatakan bahwa jumlah semua

gaya yang bekerja pada volume atur pada arah tertentu harus sama dengan jumlah

aljabar flux momentum keluar dari volume ini dalam arah yang sama. Jadi:

/x { Uo2 0

1 (1 u/Uo) u/Uo dy/} = o .................................. (65)


UNJ/16/04/2010 47

7.5 Lapisan Batas Laminar

Untuk aliran laminar yang sejajar pelat, tegangan gesernya adalah:

= u/y

CD = D/1/2 Uo2 .l = 2 2 .............................................. (66)

Re.l

Dengan memilih profil kecepatan yang sesuai maka persamaan di atas dapat

diselesaikan dan hasilnya dapat dibandingkan dengan penyelesaian eksak. Hasil-hasil

metoda pendekatan di atas untuk aliran laminar menunjukkan jawaban yang

memenuhi persyaratan teknik.

7.6 Lapisan Batas Turbulen

Dalam menghitung karakteristik lapisan batas turbulen kita dapat menggunakan

prosedur yang serupa untuk aliran laminar. Untuk aliran laminar, kita hitung tegangan

geser fluida permukaan dan gradien kecepatan du/dy, dan untuk itu kita gunakan

suatu profil kecepatan yang kita misalkan. Untuk aliran turbulen dijumpai kesukaran,

salah satu sebabnya adalah karena adanya sub-lapisan laminar dan transisi

CD = 0.118 (/Re .l )1/5 ........................................................ (67)

= 01 (1 u/Uo) u/Uo d(y/) ..............................................(68)


UNJ/16/04/2010 48

BAB 8

ALIRAN MELALUI SALURAN TERBUKA

8.1 Persamaan Sederhana Dalam Aliran Saluran Terbuka Stasioner

Kita perhatikan suatu aliran stasioner di dalam suatu saluran terbuka, seperti

terlihat pada Gbr.23

Gbr.23 Aliran Melalui saluran Terbuka

Distribusi tekanan sebagai fungsi kedalaman saluran memenuhi kondisi

hidrostatik. Anggapan yang pertama menyatakan bahwa V merupakan suatu besaran

rata-rata dari distribusi kecepatan. Dengan menerapkan dalil momentum pada volume

atur yang dibatasi oleh dasar saluran, dinding-dinding samping , permukaan

3-Mekanika-Fluida

Documents

Transcript of 3-Mekanika-Fluida