2.4. Velocity Angkatan Dependent: Perlawanan cairan dan kecepatan Terminal

Sering terjadi bahwa gaya yang bekerja pada tubuh adalah fungsi dari kecepatan tubuh. Hal ini berlaku, misalnya, dalam kasus resistensi kental diberikan pada tubuh bergerak melalui cairan. Jika gaya dapat dinyatakan sebagai fungsi dari v saja, persamaan diferensial gerak dapat ditulis dalam salah satu dari dua bentuk

Berikut F0 adalah setiap gaya konstan yang tidak tergantung pada v. Setelah memisahkan variabel, hasil integrasi baik t atau x sebagai fungsi dari v. Sebuah integrasi kedua kemudian dapat menghasilkan hubungan fungsional antara x dan t .

Untuk ketahanan cairan normal, termasuk hambatan udara, F (v) bukan merupakan fungsi sederhana dan umumnya harus ditemukan melalui pengukuran eksperimental. Namun, pendekatan yang adil untuk banyak kasus yang diberikan oleh persamaan .

di mana c1 dan c2 adalah konstanta yang nilainya tergantung pada ukuran dan bentuk tubuh. (Mutlak-nilai tanda diperlukan pada musim lalu karena gaya perlawanan cairan selalu berlawanan dengan arah v.) Jika bentuk di atas untuk F (v) digunakan untuk menemukan gerak dengan memecahkan Persamaan 2.4.1 atau 2.4.2, integral yang dihasilkan agak berantakan. Namun untuk kasus membatasi v kecil dan v besar, masing-masing, linear atau istilah kuadrat dalam F (v) mendominasi, dan persamaan diferensial menjadi agak lebih mudah dikelola.

Untuk bola di udara, nilai-nilai perkiraan untuk konstanta dalam persamaan untuk F (v) adalah, dalam satuan SI,

di mana D adalah diameter bola dalam meter. Rasio c2v jangka kuadrat I v | ke c1v jangka linear, dengan demikian,

Ini berarti bahwa, misalnya, dengan objek ukuran bisbol (D - 0,07 m), istilah kuadrat mendominasi untuk kecepatan lebih dari 0,01 m / s (1 cm / s), dan istilah linear mendominasi untuk kecepatan kurang dari nilai ini . Untuk kecepatan sekitar nilai ini, baik dari segi harus diperhitungkan. (Lihat Soal 2.15.)

Contoh 2.4.1

Gerak horisontal dengan Resistance Linear

Misalkan blok diproyeksikan dengan v0 kecepatan awal pada permukaan horizontal halus dan bahwa ada hambatan udara sehingga istilah linear mendominasi. Kemudian, dalam arah gerak, F0 = 0 pada persamaan 2.4.1 dan 2.4.2, dan F (v) = -c1v. Persamaan diferensial gerak kemudian

yang memberikan, pada mengintegrasikan,

solusi:

Kita bisa dengan mudah memecahkan v sebagai fungsi t dengan mengalikan oleh -c1 / m dan mengambil eksponensial dari kedua belah pihak. Hasilnya adalah

Dengan demikian, kecepatan berkurang secara eksponensial dengan waktu. Sebuah integrasi kedua memberikan

menunjukkan bahwa blok mendekati posisi membatasi diberikan oleh XIlm = mv0 / c1.

Contoh 2.4.2

Gerak horisontal dengan Resistance kuadrat Jika parameter seperti bahwa istilah kuadrat mendominasi, maka untuk positif atau kita dapat menulis

pemberian yang mana

solusi :Pemecahan untuk v, kita mendapatkan

di mana k = c2v0 / m. Sebuah integrasi kedua memberikan kita posisi sebagai fungsi waktu:

Dengan demikian, sebagai t -> oo, v menurun sebagai menyala, tapi posisi tidak mendekati batas seperti yang diperoleh dalam kasus perlambatan kekuatan linear. Mengapa ini terjadi? Anda mungkin menduga bahwa keterbelakangan kuadrat harus lebih efektif dalam menghentikan blok dari adalah satu linier. Hal ini memang benar pada kecepatan yang besar, tetapi sebagai kecepatan mendekati nol, gaya perlambatan kuadrat pergi ke nol jauh lebih cepat daripada linear satu-cukup untuk memungkinkan blok untuk melanjutkan di jalan gembira tersebut, meskipun pada kecepatan yang sangat lambat.

Jatuh vertikal Melalui Fluid : Terminal Velocity

kasus (a) Linear. Untuk benda jatuh secara vertikal dalam cairan menolak, F0 berlaku di Persamaan 2.4.1 dan 2.4.2 adalah berat benda, yaitu, -mg untuk sumbu x positif dalam arah ke atas. Untuk kasus linear resistensi cairan, kami kemudian memiliki untuk persamaan diferensial gerak.

Memisahkan variabel dan mengintegrasikan, kita menemukan

di mana v0 adalah kecepatan awal pada = 0. Setelah mengalikan dengan -c1 / m dan mengambil eksponensial, kita dapat memecahkan v:

Istilah eksponensial menurun ke nilai diabaikan setelah waktu yang cukup (t >> rn / c1), dan kecepatan yang mendekati membatasi nilai -mg / c1. Kecepatan membatasi dari tubuh jatuh disebut kecepatan terminal; itu adalah bahwa kecepatan di mana kekuatan perlawanan hanya sama dan berlawanan dengan berat tubuh sehingga gaya total adalah nol, sehingga akselerasi adalah nol. Besarnya kecepatan terminal adalah kecepatan terminal.Mari kita menunjuk terminal kecepatan mg / c1 dan membiarkan kami menulis (yang mungkin kita sebut karakteristik waktu) bentuk / c1. Persamaan 2.4.6 kemudian dapat ditulis dalam bentuk yang lebih signifikan

Kedua istilah mewakili dua kecepatan: kecepatan terminal yang eksponensial "memudar di," dan v0 kecepatan awal, yang secara eksponensial "memudar" karena aksi dari gaya drag kental. Secara khusus, untuk suatu benda jatuh dari sisa waktu t = 0, v0 = 0, kita menemukan

Dengan demikian, setelah satu kali karakteristik kecepatan 1 - e 'kali kecepatan terminal, setelah dua kali karakteristik itu adalah faktor 1 - e2 dari v dan sebagainya. Setelah selang waktu kecepatan dalam 1% dari nilai terminal, yaitu, (1 - = 0.993vt.

(B) kasus kuadrat. Dalam hal ini, besarnya F (v) sebanding dengan v2. Untuk memastikan bahwa kekuatan tetap resistif, kita harus ingat bahwa tanda yang mendahului (V) jangka F tergantung pada apakah atau tidak gerakan objek adalah atas atau ke bawah. Ini adalah kasus untuk setiap kekuatan resistif sebanding dengan bahkan kekuatan kecepatan. Sebuah solusi umum biasanya melibatkan mengobati gerakan ke atas dan ke bawah secara terpisah. Di sini, kita menyederhanakan hal-hal yang agak dengan mempertimbangkan hanya situasi di mana tubuh baik turun dari sisa atau diproyeksikan ke bawah dengan v0 kecepatan awal. Kami meninggalkan sebagai latihan bagi siswa untuk mengobati kasus ke atas-pergi. Kami mengambil arah ke bawah menjadi arah y positif. Persamaan diferensial gerak adalah

persamaan 2.4.9 memberikan t sebagai fungsi dari v,

pemecahan untuk v, kita memperoleh.

jika tubuh dilepaskan dari sisa pada waktu t = 0

Kecepatan terminal diperoleh setelah selang beberapa kali karakteristik; misalnya, pada t = kecepatan 0,99991 Vt. Grafik kecepatan terhadap waktu jatuh untuk linear dan kasus kuadrat ditunjukkan pada Gambar 2.4.1.

Dalam banyak kasus kita ingin tahu kecepatan mencapai pada jatuh jarak tertentu. Kita bisa menemukan hal ini dengan mengintegrasikan persamaan 2.4.13, mendapatkan y sebagai fungsi waktu, dan kemudian menghilangkan parameter waktu untuk menemukan kecepatan dibandingkan jarak. Solusi yang lebih langsung dapat diperoleh dengan modifikasi langsung dari persamaan diferensial dasar gerak sehingga variabel independen adalah jarak bukan waktu. Misalnya, karena

Persamaan 2.4.9 dapat ditulis ulang menganjal sebagai variabel independen:

Kami menyelesaikan persamaan ini sebagai berikut:

Dengan demikian, kita melihat bahwa kuadrat dari kecepatan awal dan kecepatan terminal eksponensial memudar masuk dan keluar dalam panjang karakteristik VT2 / 2g.

Contoh 2.4.3.

Jatuh Raindrops dan bola basket

Menghitung kecepatan terminal di udara dan karakteristik waktu untuk (a) hujan bola yang sangat kecil dari diameter 0,1 mm = m dan (b) bola basket dari diameter 0,25 m dan massa 0,6 kg.

solusi:

Untuk menentukan jenis kekuatan hukum untuk menggunakan, kuadrat atau linier, kita ingat ekspresi yang memberikan rasio kuadrat dengan gaya linear untuk hambatan udara, yaitu 1,4 x saya v ID. Untuk hujan yang ini 0.14v, dan untuk basket itu adalah 350V, numerik, dimana v adalah dalam meter per detik. Dengan demikian, untuk hujan, ay harus melebihi 1 / 0,14 = 7,1 m / s untuk kekuatan kuadrat mendominasi. Dalam kasus basket, v harus melebihi hanya 1/350 = 0,0029 rn / s untuk kekuatan kuadrat mendominasi. Kami menyimpulkan bahwa kasus linear harus terus untuk hujan jatuh, sementara kasus kuadrat harus benar untuk basket. (Lihat juga Soal 2.15.)

Volume hujan adalah irD3 / 6 = 0.52 x 10_12 m3, sehingga, mengalikan dengan kepadatan air, 103 kg / rn3, memberikan massa m = 0,52 x kg. Untuk koefisien drag yang kita dapatkan c1 = 1,55 x = 1,55 x N. s / m. Hal ini memberikan kecepatan terminal

Karakteristik waktu

Untuk basket hambatan konstan c2 = 0.22D2 = 0.22 = 0.034s x (0,25) 2 = 0,0 138 N. s2 / m3, dan kecepatan terminal

dan waktu karakteristik adalah

Dengan demikian, hujan praktis mencapai kecepatan terminal dalam waktu kurang dari 1 s ketika memulai dari yang lain, sedangkan dibutuhkan beberapa detik untuk basket untuk datang ke dalam 1% dari nilai terminal.

Untuk informasi lebih lanjut tentang drag aerodinamis, pembaca disebut sebuah artikel oleh C. Frohlich di Am. J. Phys., 52, 325 (1984) dan daftar ekstensif referensi dikutip di dalamnya.

2.5. Jatuh vertikal Melalui Fluid a: Solusi Numerik

Banyak masalah dalam mekanika klasik dijelaskan oleh persamaan yang cukup rumit gerak yang tidak dapat diselesaikan secara analitis dalam bentuk tertutup. Ketika seseorang menemukan masalah seperti itu, satu-satunya alternatif yang tersedia adalah untuk mencoba untuk memecahkan masalah numerik. Setelah satu memutuskan bahwa tindakan tersebut diperlukan, banyak alternatif membuka. Penyebaran luas penggunaan komputer pribadi (PC) dengan jumlah besar memori dan kapasitas penyimpanan hard-disk telah memungkinkan untuk menerapkan berbagai macam alat pemecahan masalah dalam bahasa tingkat tinggi tanpa rasa bosan pemrograman. Alat yang digunakan paling luas di kalangan fisikawan termasuk paket software Mathcad, Mathematica (lihat Lampiran I), dan Maple, yang dirancang khusus untuk memecahkan masalah matematika numerik (dan simbolis).

Seperti kita melanjutkan melalui bab-bab yang tersisa dalam teks ini, kita menggunakan satu atau lain dari alat ini, biasanya pada akhir bab, untuk memecahkan masalah yang ada solusi bentuk tertutup ada. Di sini kita telah menggunakan Mathcad untuk memecahkan masalah dari sebuah objek jatuh secara vertikal melalui cairan. masalah ini diselesaikan secara analitis di bagian sebelumnya, dan kami menggunakan solusi kami memperoleh sana sebagai memeriksa hasil numerik kita memperoleh sini, dengan harapan menggambarkan kekuatan dan kemudahan teknik pemecahan masalah numerik.

Linear dan kasus kuadrat ditinjau kembali. Persamaan diferensial orde pertama gerak untuk benda jatuh secara vertikal melalui cairan di mana kekuatan perlambatan linear diberikan oleh Persamaan 2.4.4:

Di sini, meskipun, kita telah memilih ke bawah arah y positif, karena kami hanya mempertimbangkan situasi di mana objek dijatuhkan dari sisa. persamaan dapat dimasukkan ke dalam bentuk yang lebih sederhana dengan mengungkapkan itu dalam hal waktu karakteristik = rn / c1 dan terminal kecepatan = mg / c1

Sekarang, dalam persamaan di atas, kita "skala" kecepatan V dan waktu jatuh t dalam satuan Vt dan masing-masing; yaitu, kita membiarkan u = V / Vt dan T = tir. Persamaan di atas menjadi

Linear:

di mana kita menunjukkan turunan pertama u oleh u '.

Sebuah analisis yang mirip dengan salah satu di atas mengarah ke "skala" persamaan diferensial orde pertama berikut gerak untuk kasus di mana gaya perlambatan adalah kuadrat (lihat Persamaan 2.4.9).

Kuadrat:

Paket perangkat lunak Mathcad dilengkapi dengan fungsi rkflxed, tujuan umum Runge-Kutta solver yang dapat digunakan pada persamaan diferensial n-order atau pada sistem persamaan diferensial yang kondisi awal diketahui. Ini adalah situasi yang kita hadapi dalam kedua kasus sebelumnya. Semua yang perlu kita lakukan, ternyata, untuk menyelesaikan dua persamaan diferensial ini adalah untuk "pasokan" mereka untuk fungsi rkfixed di Mathcad. Fungsi ini menggunakan keempat-order Runge-Kutta method1 ° untuk memecahkan persamaan. Ketika disebut di Mathcad, ia mengembalikan matriks dua kolom di mana• kiri (atau 0) kolom berisi titik data di mana solusi untuk persamaan diferensial dievaluasi (dalam kasus di sini, titik data adalah kali T2);• tangan kanan (atau pertama) kolom berisi nilai-nilai yang sesuai dari solusi (nilai-nilai uj.Sintaks panggilan ke fungsi dan argumen dari fungsi ini: rkftxed (y, x 0, Xf, npoints, D)y = vektor dari n nilai awal, di mana n adalah urutan persamaan diferensial atau ukuran sistem persamaan Anda memecahkan. Untuk persamaan diferensial orde pertama tunggal, seperti yang dalam hal ini, vektor berdegenerasi ke nilai awal tunggal, y (O) = y (x0).x0, Xf = titik akhir dari interval di mana solusi untuk persamaan diferensial yang akan dievaluasi. Nilai awal y adalah nilai-nilai di x0.npoints = jumlah titik di luar titik awal di mana solusinya adalah untuk dievaluasi. Nilai ini menetapkan jumlah baris untuk (1 + npoints) dalam matriksD (x, y) = fungsi vektor n-elemen yang mengandung turunan pertama dari yang tidak diketahui fungsi y. Sekali lagi, untuk persamaan diferensial orde pertama tunggal, fungsi vektor ini merosot ke fungsi tunggal sama dengan turunan pertama dari fungsi tunggal y.

Kami menunjukkan pada dua halaman berikutnya contoh lembar kerja Mathcad di mana kami memperoleh solusi numerik untuk persamaan di atas orde pertama diferensial (2.5.lc dan 2.5.2). worksheet diimpor ke teks ini langsung dari Mathcad. Apa yang ditampilkan harus ada cukup jelas, tapi persis bagaimana menerapkan solusi mungkin tidak. Kami membahas rincian tentang bagaimana untuk melakukannya dalam Lampiran I. Yang penting di sini adalah untuk dicatat kesederhanaan dari solusi (yang dibuktikan dengan singkatnya worksheet) dan akurasinya (seperti dapat dilihat dengan membandingkan solusi numerik ditampilkan di Gambar 2.5.1 dengan solusi analitik yang ditunjukkan pada Gambar 2.4.1). akurasi lebih rinci pada Gambar 2.5.2, di mana kita memiliki

diplot perbedaan persen antara solusi numerik dan analitik. Kesalahan terburuk, sekitar 5 x10-8 terjadi dalam larutan kuadrat. Bahkan akurasi yang lebih besar dapat dicapai dengan membagi interval kapur (0-4) menjadi titik data bahkan lebih dari 100 dipilih di sini.

Mathcad Solusi untuk Kecepatan Falling Object: Linear Retarding Force.

U0=0 Define initial value (use [to make the subscript)D(T,u):=1-u Mendefinisikan fungsi untuk pertama u derivatif 'Y:=rkfixed(u, 0,4,100D) Mengevaluasi solusi pada 100 poin antara 0 dan 4 menggunakan keempat-order Runge-Kutta.

I=0.. rows(Y)-1 Menunjukkan masing-masing pasangan elemen dalam matriks 1 '(101 x 2 matrix). Kolom pertama berisi titik data (waktu T) di mana solusi (kecepatan u) dievaluasi. Kolom kedua berisi u nilai.

uLi:=(yw)1 Mengubah nama kecepatan normal, kasus linear

Mathcad Solusi untuk Kecepatan Falling Object: kuadrat Retarding Force.

Mendefinisikan nilai awal (menggunakan [untuk membuat subscript yang)<- Menentukan fungsi untuk turunan pertama u '<- Solusi Mengevaluasi pada 100 poin antara 0 dan 4 menggunakan keempat-order Runge-Kutta.<- Tentukan waktu dalam hal elemen array<- Ganti nama kecepatan normal, kasus kuadrat

Perbedaan Antara Analytic dan Solusi numerik.

<- Analytic solusi untuk linear perlambatan kekuatan

<- Analytic solusi untuk gaya perlambatan kuadrat

<- Perbedaan, kasus linear

<- Perbedaan, kasus kuadrat

Problems

2.1. Menemukan ± kecepatan dan posisi x sebagai fungsi dari waktu t untuk sebuah partikel dengan massa m, yang dimulai dari istirahat di x = 0 dan t = 0, tunduk pada fungsi kekuatan berikut:

2.2. Cari kecepatan ± sebagai fungsi dari perpindahan x untuk partikel dengan massa m, yang dimulai dari istirahat di x = 0, tunduk pada fungsi kekuatan berikut:

2.3. Cari fungsi energi potensial V (x) untuk masing-masing angkatan pada Soal 2.2.2.4. Sebuah partikel dengan massa m dibatasi untuk berbohong sepanjang gesekan, subjek bidang horizontal untuk kekuatan yang diberikan oleh ekspresi F (x) = -kx. Hal ini diproyeksikan dari x = 0 ke kanan sepanjang arah x positif dengan awal T0 energi kinetik = 1/2 Ka2. k dan A adalah konstanta positif. Cari (a) potensi fungsi energi V (x) untuk gaya ini; (B) energi kinetik, dan (e) energi total partikel sebagai fungsi dari posisinya. (D) Cari titik

balik gerak. (E) Buatlah sketsa potensi, kinetik, dan fungsi total energi. (Opsional: Gunakan Mathcad atau Mathematica untuk plot fungsi Set k dan A masing-masing sama dengan 1..)

2.5. Seperti dalam masalah di atas, partikel diproyeksikan ke kanan dengan awal T0 energi kinetik tetapi dengan kekuatan F (x) = -kx + kx3 / A2, di mana k dan A adalah konstanta positif. Cari (a) potensi fungsi energi V (x) untuk gaya ini; (B) energi kinetik, dan (c) energi total partikel sebagai fungsi dari posisinya. (D) Cari titik balik dari gerakan dan kondisi energi total partikel harus memenuhi jika gerakan adalah untuk menunjukkan titik balik. (E) Buatlah sketsa potensi, kinetik, dan fungsi total energi. (Opsional: Gunakan Mathcad atau Mathematica untuk plot fungsi Set k dan A masing-masing sama dengan 1..)

2.6. Sebuah partikel dengan massa m bergerak sepanjang bidang gesekan, horisontal dengan kecepatan yang diberikan oleh v (x) = a / x, di mana x adalah jarak dari asal dan ais konstan positif. Tentukan gaya F (s) yang partikel tunduk.

2.7. Sebuah balok dengan massa M memiliki serangkaian m massa yang melekat padanya. Sebuah F gaya diterapkan ke string, dan itu menarik blok sebuah pesawat gesekan yang cenderung pada sudut 8 untuk horizontal. Tentukan gaya yang string diberikannya di blok.

2.8. Mengingat bahwa kecepatan sebuah partikel dalam gerak lurus bervariasi dengan perpindahan x menurut persamaan

di mana b adalah konstanta positif, menemukan gaya yang bekerja pada partikel sebagai fungsi dari x. (Petunjuk: F = mx dx / dx)

2.9. Sebuah bisbol (radius = 0,0366 m, massa = 0,145 kg) dijatuhkan dari sisa di atas Empire State Building (height = 1250 ft). Hitung (a) energi awal potensi bisbol, (b) energi kinetik akhir, dan (e) energi total hilang oleh bisbol jatuh dengan menghitung integral garis gaya hambatan udara di sepanjang jarak total yang bisbol jatuh . Bandingkan hasil terakhir ini dengan perbedaan antara energi potensial awal bisbol dan energi kinetik akhir. (Petunjuk: Pada bagian (c) membuat perkiraan ketika mengevaluasi fungsi hiperbolik diperoleh dalam melaksanakan integral garis.)

2.10. Sebuah balok kayu diproyeksikan sebuah bidang miring dengan kecepatan awal v0. Dari kemiringan pesawat adalah 30 ° dan koefisien gesekan = 0,1 geser, menemukan total waktu untuk blok untuk kembali ke titik proyeksi.

2.11. Sebuah balok logam massa m slide pada permukaan horizontal yang telah dilumasi dengan minyak berat sehingga blok menderita resistensi kental yang bervariasi sebagai 3 kekuatan kecepatan:

Jika kecepatan awal blok adalah v 0 pada x = 0, menunjukkan bahwa blok tidak dapat melakukan perjalanan lebih jauh dari 2mv1 / 2 / c

2.12. Sebuah pistol ditembakkan lurus ke atas. Dengan asumsi bahwa hambatan udara pada peluru bervariasi kuadratik dengan kecepatan, menunjukkan bahwa kecepatan bervariasi dengan ketinggian menurut persamaan

2.13. Gunakan hasil di atas menunjukkan bahwa, ketika peluru menyentuh tanah pada kembali, kecepatan sama dengan ekspresi

di mana Vo adalah kecepatan atas awal dan

(Hasil ini memungkinkan seseorang untuk menemukan sebagian kecil dari energi kinetik awal hilang melalui gesekan udara.)

2.14. Sebuah partikel dengan massa m dilepaskan dari sisa jarak b dari asal tetap gaya yang menarik partikel menurut hukum kuadrat terbalik:

Menunjukkan bahwa waktu yang dibutuhkan untuk partikel untuk mencapai asal adalah

2.15. Menunjukkan bahwa kecepatan terminal benda bulat jatuh diberikan oleh

ketika kedua linear dan istilah kuadrat dalam gaya drag diperhitungkan.

2.16. Gunakan hasil di atas untuk menghitung kecepatan terminal dari gelembung sabun massa 10-7 kg dan diameter 10_2 m. Bandingkan nilai Anda dengan nilai yang diperoleh dengan menggunakan persamaan 2.4.10.2.17. Mengingat: Gaya yang bekerja pada sebuah partikel adalah produk dari fungsi jarak dan fungsi dari kecepatan: F (x, v) = f (x) g (v). Menunjukkan bahwa persamaan diferensial gerak dapat diselesaikan dengan integrasi. Jika gaya adalah produk dari fungsi jarak dan fungsi waktu, dapat persamaan gerak diselesaikan dengan integrasi sederhana? Hal itu dapat diselesaikan jika gaya adalah produk dari fungsi waktu dan fungsi dari kecepatan?2.18. Gaya yang bekerja pada partikel mis massa diberikan oleh

F=kvxdi mana k adalah konstanta positif. partikel melewati asal dengan kecepatan v0 pada waktu t = 0 Cari X sebagai fungsi dari t.

2.19. Sebuah proyektil permukaan akan diluncurkan secara horizontal di laut dari sebuah kapal perang-diam, dengan kecepatan awal v0. Asumsikan bahwa sistem propulsi telah gagal dan diperlambat oleh gaya perlambatan diberikan oleh F (v) = Ae (a) Cari kecepatan sebagai fungsi waktu, v (t). Cari (b) waktu berlalu dan (c) jarak yang ditempuh saat proyektil akhirnya datang untuk beristirahat. A dan adalah konstanta positif.2.20. Asumsikan bahwa tetesan air yang jatuh meskipun suasana lembab mengumpulkan up massa pada tingkat yang sebanding dengan luas penampang yang A. menganggap bahwa tetesan dimulai dari yang lain dan bahwa radius awal R0 adalah sangat kecil sehingga tidak menderita kekuatan resistif. Menunjukkan bahwa (a) radius dan (b) kecepatan meningkat secara linear dengan waktu.

Masalah computerC 2.4 penerjun massa 70 kg melompat dari pesawat pada ketinggian 32 km di atas permukaan bumi. Sayangnya, parasut gagal untuk membuka. (Di bagian selanjutnya, gerak horizontal mengabaikan dan menganggap bahwa kecepatan awal adalah nol.)

(A) Hitung waktu jatuh (akurat untuk 1 s) sampai dampak tanah, mengingat tidak ada hambatan udara dan nilai konstan g.

(B) Hitung waktu jatuh (akurat untuk 1 s) sampai dampak tanah, mengingat konstan g dan kekuatan hambatan udara yang diberikan oleh

yang c2 0.5 dalam satuan SI untuk seorang pria jatuh dan konstan.

(C) Hitung waktu jatuh (akurat untuk 1 s) sampai dampak tanah, timbangan c2 diberikan dengan atmos- kepadatan pheric sebagai

di mana H = 8km adalah tinggi skala atmosfer andy adalah ketinggian di atas tanah. Selain itu, menganggap bahwa g tidak lagi konstan tetapi diberikan oleh

di mana Re adalah jari-jari Bumi dan 6370 km.(D) Untuk kasus (c), plot percepatan, kecepatan, dan ketinggian penerjun sebagai fungsi waktu. Jelaskan mengapa percepatan menjadi positif sebagai penerjun jatuh.