18. VEKTOR

A. Vektor Secara Geometri

1. Ruas garis berarah = b – a

2. Sudut antara dua vektor adalah

3. Bila AP : PB = m : n, maka:

B. Vektor Secara Aljabar

1. Komponen dan panjang vektor: a = = a1i + a2j + a3k;

|a| =

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

a b = = ;ka = k =

C. Dot Product

Apabila diketahui a = dan b = , maka:

1. a · b = |a| |b| cos

= a1b1 + a2b2 + a3b3

2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3

3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos = |a|2 + |b|2 + 2 a · b

4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos = |a|2 + |b|2 – 2 a · b

5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0

D. Proyeksi Vektor1. Proyeksi skalar ortogonal

Panjang vektor proyeksi b pada a

|p| =

2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a

p =

SOAL PENYELESAIAN1. UN 2004

Diketahui a = i + 2j + 3k,

SOAL PENYELESAIANb = – 3i – 2j – k, dan c = i – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …a. 2i – 4j + 2kb. 2i + 4j – 2kc. –2i + 4j – 2kd. 2i + 4j + 2ke. –2i + 4j + 2kJawab : e

2. UN 2005Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah …a.b.c.d. 3e. 9Jawab : d

3. EBTANAS 2002Diketahui a + b = i – j + 4k dan| a – b | = . Hasil dari a · b = … a. 4b. 2c. 1d.e. 0Jawab : c

4. EBTANAS 2002Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … a. 5b. 6c. 10d. 12e. 13Jawab : b

5. UN 2008 PAKET A/BJika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …

SOAL PENYELESAIANa. –2 atau 6b. –3 atau 4c. –4 atau 3d. –6 atau 2e. 2 atau 6

Jawab : a

6. UN 2006Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = … a. –58i – 20j –3kb. –58i – 23j –3kc. –62i – 20j –3kd. –62i – 23j –3ke. –62i – 23j –3kJawab : b

7. UN 2012/A13

Diketahui vektor

dan . Jika

tegak lurus , maka hasil dari · adalah…

A. 171 D. –111B. 63 E. –171C. –63 Jawab : E

8. UN 2012/B25Diketahui vektor ,

, dan . Jika tegak lurus , maka ( + )· ( – ) adalah ...A. –4B. –2C. 0D. 2E. 4Jawab : C

SOAL PENYELESAIAN9. UN 2012/D49

Diketahui vektor , dan . Jika

tegak lurus maka 2 · adalah….A. – 20 B. – 12 C. – 10 D. – 8 E. – 1 Jawab : A

10. UAN 2003

Diberikan vektor a =

dengan p Real dan vektor b =

. Jika a dan b

membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah … a.

b.

c.

d.

e.

Jawab : d

11. UN 2012/A13Diketahui vektor dan . Besar sudut antara vektor dan adalah….A. 30B. 45C. 60D. 90E. 120Jawab : A

SOAL PENYELESAIAN12. UN 2012/C37

Diketahui vektor

dan . Sudut antar

vektor dan adalah …A. 135B. 120C. 90D. 60E. 45Jawab : C

13. UN 2012/E52Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1, –1), C (2, 0, –3). Sudut antara vektor

dengan adalah….A. 30B. 45C. 60D. 90E. 120Jawab : D

14. UN 2011 PAKET 46Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili

dan v mewakili , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …a. 30b. 45c. 60d. 90e. 120Jawab : b

15. UN 2010 PAKET ADiberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan …a. 30ºb. 45ºc. 60ºd. 90ºe. 120ºJawab : c

16. UN 2009 PAKET A/B

SOAL PENYELESAIANDiketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika wakil vektor u dan wakil adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah …a. 0b. 30c. 45d. 60e. 90

Jawab : e17. UN 2011 PAKET 12

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …A. D.

B. E. 0

C. Jawab : B

18. UN 2008 PAKET A/BJika vektor a = –3i – j + xk dan vektorb = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …a. –7b. –6c. 5d. 6e. 7

Jawab : e

19. UN 2004Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …a.

b.

c.

d.

e.Jawab : c

SOAL PENYELESAIAN20. UN 2012/A13

Diketahui dan . Proyeksi orthogonal

vektor pada adalah….A.B. C. D. E. Jawab : D

21. UN 2012/B25Diketahui vektor dan

. Proyeksi orthogonal vektor pada adalah ...A.B.C.D.E.Jawab : C

22. UN 2012/E52Proyeksi orthogonal vektor

= 4 + + 3 pada = 2 + + 3 adalah….A. (2 + +3 )

B. (2 + +3 )

C. (2 + +3 )

D. (2 + +3 )

E. 4 +2 +6Jawab : D

23. UN 2011 PAKET 12Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …a. i – j + k b. i – 3j + 2kc. i – 4j + 4kd. 2i – j + ke. 6i – 8j + 6kJawab : b

24. UN 2011 PAKET 46Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan

SOAL PENYELESAIANvector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j – 8kc. –2i + 2j – 4kd. –i + 2j + 3ke. –i + j – 2kJawab : e

25. UN 2010 PAKET ADiketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika wakil vector u, wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …a. 3i – j + k

b. 3 i – j + k

c. (5i – 2j + 4k)

d. (5i – 2j + 4k)

e. (5i – 2j + 4k)Jawab : d

26. UN 2010 PAKET BDiketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor pada adalah …a. (3i + j – 2k)

b. (3i + j – 2k)

c. (3i + j – 2k)

d. (3i + j – 2k)

e. (3i + j – 2k)Jawab : c

27. UN 2009 PAKET A/BDiketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika wakil vektor u dan wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah …a. –3i – 6j – 9kb. i + 2j + 3kc. i + j + kd. –9i – 18j – 27ke. 3i + 6j + 9kJawab : a

28. UN 2007 PAKET ADiketahui segitiga ABC dengan titik

SOAL PENYELESAIANA(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor pada

adalah … a. –12i + 12j – 6kb. –6i + 4j – 16kc. –4i + 4j – 2kd. –6i – 4j + 16ke. 12i – 12j + 6k

Jawab : c

29. UN 2007 PAKET BDiketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor terhadap adalah … a. 2i – 4j + 2kb. 2i – 4j – 2kc. 2i + 4j – 2kd. i – 2j – ke. i + 2j – k

Jawab : b

30. UN 2007 PAKET ADiketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor pada adalah … a. –12i + 12j – 6kb. –6i + 4j – 16kc. –4i + 4j – 2kd. –6i – 4j + 16ke. 12i – 12j + 6kJawab : c

31. UN 2007 PAKET BDiketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor terhadap adalah … a. 2i – 4j + 2kb. 2i – 4j – 2kc. 2i + 4j – 2kd. i – 2j – ke. i + 2j – kJawab : b

32. UAN 2003Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari vektor v =

SOAL PENYELESAIAN

terhadap vektor

u = , maka w = …

A. D.

B. E.

C. Jawab : d

33. EBTANAS 2002Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …A. – (2 1 1) D. ( 1 1)B. –(2 1 1) E. (2 1 1)C. (2 1 1) Jawab : C