8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

1/11

  CK-FI112-03.1 

Potensial Listrik

Sebagaimana halnya medan gaya gravitasi, medan gaya

coulomb juga merupakan medan gaya konseravtif.Gerak partikel bermuatan q   dalam ruang bermedan listrikdapat dianalogikan dengan gerak partikel bermassa m  dalammedan gravitasi dekat permukaan bumi.

Gaya konservatif

Ingat bahwa untuk menguji apakah suatu gaya F merupakangaya konservatif adalah bila

0=×∇ F  

dengan ∇  adalah operator differensial parsial, yang dalam

koordinat kartesis bentuknya adalah

k jiz y x    ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇  

Medan gaya coulomb mempunyai bentuk 2−= Kr F  , dapatditunjukkan bahwa gaya coulomb merupakan gaya konservatif.

Untuk medan gaya yang bersifat konservatif ada fungsipotensial skalar (ingat kembali tentang potensial gravitasi).

Untuk gaya konservatif, usaha yang dilakukan dari suatutempat ke tempat lain hanya bergantung pada posisi awal dan

akhirnya saja.Beda energi potensial antara dua titik adalah

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

2/11

  CK-FI112-03.2 

∫   •−=−=−B 

A 

d W A U B U  sFAB)()(

Potensial listrik

Potensial listrik merupakan besaran skalar yang berkaitandengan kerja dan energi potensial pada medan listrik.

Beda energi potensial dapat dituliskan

∫   •−=−B 

A 

d q A U B U   )()( sE  →  ∫   •−=−B 

A 

d q 

U 

q 

B U sE

)()( 

Jadi beda potensial antara dua tempat adalah

∫   •−=−B 

A 

d A V B V   )()( sE  

Definisi

potensial

listrik

B

Medan listrikd s 

Eθ   

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

3/11

  CK-FI112-03.3 

Potensial listrik di sekitar muatan titik

Medan listrik yang diakibatkan oleh

muatan titik adalahr̂)( 2r 

q k r   =E  

Karena E(r ) berarah radial, maka

dr r E d r  )()(   =• sE  

Sehingga  

  

 −=−=•−=− ∫∫

A B 

B 

A 

B 

A A B  r r 

kq dr r E d r V V 11

)()( sE  

Jika dipilih V   = 0 pada r   = ∞, maka potensial listrik pada jarak r  dari suatu muatan titik adalah

r q k r V    =)(  

Besaran potensial listrik di suatu tempat hanya mempunyaimakna jika dibandingkan dengan potensial di tempat lain.Yang mempunyai makna fisis adalah beda potensial (ada titikacuannya).

Dengan mengambil posisi ∞  sebagaititik acuan yang potensialnya nol(V (∞) = 0), maka potensial di suatu

tempat akibat muatan titik q  adalah

Aq A  r 

q k V   =  

dengan q A Aq r  rr   −=  

A

B

rA  rq 

rA − rq 

A

q  

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

4/11

  CK-FI112-03.4 

Jika ada beberapa muatan titik, maka potensial di suatu titikdapat diperoleh dengan prinsip superposisi

∑=

 

 

 

 

 =

+++=++++=

n 

Aq 

Aqn 

n 

Aq Aq Aqn Aq Aq Aq A 

q k 

r q 

r q 

r q 

k V V V V V 

1i i

i

2

2

1

1321

r

......

 

Contoh bentuk potensial satu dimensi yang dihasilkan olehdua buah muatan

Untuk muatan yang terdistribusi kontinu akan diperoleh

∫=muatanseluruh r 

dq k V A   

Potensial Listrik dan Medan listrik

Bila bentuk medan listrik telah diketahui, maka dapatdiperoleh bentuk potensial listriknya dengan cara

∫  •−=−

B 

A A B    d V V  sE  

0 1 2 3 4 5 6 7 8

+q 

−−−−q 

0 1 2 3 4 5 6 7 8

+q  +2q 

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

5/11

  CK-FI112-03.5 

Sebaliknya medan listrik dapat diperoleh dari potensialdengan cara

 

  

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=−∇= k jiE

z V 

y V 

x V V   

Himpunan titik-titik dalam ruang yang mempunyai potensial yang sama dinamakan permukaan/garis equipotensial.

Plot 3 dimensi grafik potensial yang dihasilkan sebuahmuatan titik

Dalam

sistem

koordinat

Cartessian

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

6/11

  CK-FI112-03.6 

Plot 3 dimensi grafik potensial yang dihasilkan oleh suatudipol listrik

Peta kontur

potensial yang

dihasilkan

suatu dipol

muatan

positif

muatan

ne atif

Peta kontur

yang dihasilkan

muatan +q dan

+2q 

+2q 

+q 

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

7/11

  CK-FI112-03.7 

Beberapa contoh Tiga buah muatan titik q 1 = q , q 2 = −q , dan q 3 = 2q  yang

masing-masing berada di titik (0,a ), (a ,0) dan (0,0).

Tentukan potensial di titik P(a ,a ).Tentukan usaha yang diperlukan untuk membawa muatansebesar Q  dari titik S(2a ,2a ) ke titik P tersebutTentukan usaha yang diperlukan untuk membawa muatansebesar Q  dari ∞ ke titik P tersebut

r1 = a j  r2 = a i r3 = 0  rP = a(i+ j)

 

 

 =

 

  

 +−=

 

  

 ++=++=

2

2

2

211 

P3

3

P2

2

P1

1P3P2P1P

a 

kq 

a a a kq 

r 

q 

r 

q 

r 

q k V V V V 

 

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari S ke

P adalah

SPPS   V V Q W    −=→  

 

  

 =

 

  

 +−=

22

282

51

51

S a 

kq 

a a a kq V   

( )    

  

 =

 

  

 −=−=

→ 222

2

2

2SPPS a 

kq Q 

a 

kq 

a 

kq Q V V Q W   

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari ∞ ke P adalah

( ) ( )    

  

 =−=−=

  ∞→∞ 2

20PPP a 

kq Q V Q V V Q W   

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

8/11

  CK-FI112-03.8 

 Dua buah keping bermuatan masing-masing dengan rapatmuatan σ    dan −σ    disusun sejajar. Keping pertamaberada di x  = 0 sedangkan keping kedua berada di x  = d .

Tentukan V(x).

Bentuk fungsi medan listrik

>−

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

9/11

  CK-FI112-03.9 

Untuk x   > d  dengan E (x ) = (−σ/2εo)i 

oo

o0 o0xo

223 

'2

'23

')(

ε 

σ  

ε 

σ  

ε 

σ  

ε 

σ  

x d 

dx dx Edx V x V x 

d 

d x 

+−=

−−−=−=− ∫∫∫

 

x V x d 

V x V o

xdoo

xo 23

)(ε 

σ  

ε 

σ  

ε 

σ  +=+

 

  

 −=  

Plot V (x )

 Fungsi potensial yang disebabkan suatu muatan titik

adalah( )   ( )   ( )2o

2o

2o

),,(z z y y x x 

kq z y x V −+−+−

=  

Tentukan fungsi medan listrik yang ditimbulkan muatantitik tersebut

 

 

 

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=−∇=

z 

V 

y 

V 

x 

V V z y x  ),,(E  

( )   ( )   ( )

( )   ( )   ( )  

 

 

 

 

−+−+−∂

∂=

 

 

 

 −+−+−∂

∂=∂

∂

2o

2o

2o

2o

2o

2o

1 

z z y y x x x kq 

z z y y x x kq 

x V 

x  

d

V xo 

V xd 

1/r 2 

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

10/11

  CK-FI112-03.10 

( )

( )( ) ( )o2/3o2/3

2/3

2

2

 

2 

x x 

r 

kq x x 

r 

kq 

r x r 

kq 

−−=−−=

∂

∂−=

 

dengan cara yang sama

( )o2/3   y y r 

kq V 

y   −−=

∂

∂ 

( )o2/3

  z z r 

kq V 

z   −−=

∂

∂ 

Jadi

( )  

 

 

 

 

−+−+−

−+−+−=

2/32o

2o

2o

ooo

)()()(

)()()(),,(

z z y y x x 

z z y y x x kq z y x 

k jiE  

 Dua kulit bola bermuatan yang jari-jarinya a  dan b   (a   <b ) masing-masing mempunyai rapat muatan σ  a  dan σ  b.Keduanya disusun sepusat (konsentrik), kulit bola yang

terluar di ground kan. Tentukan fungsi potensial di dalamdan di luar kulit bola tersebut.

Dengan hukum gauss dapat diperoleh

medan listrik yang dihasilkan olehkedua kulit bola, yaitu

0)(   =r E    untuk r  < a  

2o

2a)(r 

a r E 

ε 

σ  =   untuk a  < r  < b  

2

o

2b

2a)(

r 

b a r E 

ε 

σ  σ     +=   untuk r  > b  

Medan listrik

yang dihasilkan

oleh muatan titik

yang berada

pada ( xo, yo, zo)

baσ  b 

σ  a 

8/17/2019 2013-08-23-13-01-50_istrik

11/11

  CK-FI112-03.11 

Sehingga bentuk potensialnya

Untuk a   b →

  ∫

+−=−

r 

dr r 

b a 

b V r V  b 2o

2b

2a

''

1

)()( ε 

σ  σ  

 

 

  

 −

+=

b r 

b a r V 

11)(

o

2b

2a

ε 

σ  σ   

Plot V (r )

r  

V (r )

V a  

a   b