20120315_BahanAjarRO

Diktat Mata Kuliah Riset Operasi STMIK AMIKOM Yogyakarta

Minarwati, ST @@@@@Ajuj, Syafi dan Mary@@@@@

BAHAN AJAR

RISET OPERASI

Oleh : Minarwati, ST

SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER AMIKOM

YOGYAKARTA 2012

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)



Pengantar Perkembangan Riset Operasi Akar dari perkembangan riset operasi dapat ditelusuri kembali dalam beberapa dekade, dimana penggunaan pendekatan ilmiah dimulai. Bagaimanapun juga, permulaan dari kegiatan yang disebut riset operasi telah mulai dikembangkan penggunaannya pada permulaan perang dunia kedua. Pada saat itu dirasa perlu untuk mengalokasikan sumber daya-sumber daya yang terbatas dan langka untuk bermacam-macam operasi militer, dan kegiatan-kegiatan dalam setiap operasi harus dilakukan dengan cara efektif untuk memenangkan perang. Setelah perang dunia kedua berakhir, dengan melihat sukses penggunaan riset operasi dalam militer, kalangan industri menjadi tertarik pada bidang baru ini. Pertumbuhan industri setelah perang berakhir terjadi sangat pesat, sehingga tim-tim riset operasi menjadi sangat dibutuhkan dalam dunia bisnis, karena masalah-masalah yang timbul pada dasarnya sama walaupun konteksnya berbeda dengan yang telah dihadapi kalangan militer. Tim-tim riset operasi dalam lingkungan dunia bisnis ini menandai kemajuan teknik-teknik riset operasi. Kemajuan teknologi computer juga telah menandai kemajuan teori riset operasi dan banyak membantu pengambilan keputusan pemecahan masalah yang optimum dalam berbagai bidang dan permasalahan. Perkembangan komputer-komputer elektronik digital dengan kemampuannya untuk melakukan perhitungan-perhitungan aritmetik ribuan atau bahkan jutaan kali lebih cepat dari kemampuan manusia, merupakan perkembangan dahsyat riset operasi. Arti Riset Operasi Arti riset operasi telah banyak didefinisikan oleh beberapa ahli, 1. Morse dan Kimball

Riset Operasi sebagai metode ilmiah (scientific method) yang memungkinkan para manajer mengambil keputusan mengenai kegiatan yang mereka tangani dengan dasar kuantitif.

2. Churcman, Arkoff dan Arnoff Riset operasi sebagai aplikasi metode-metode, teknik-teknik, dan peralatan-peralatan ilmiah dalam menghadapi masalah-masalah yang timbul di dalam operasi perusahaan dengan tujuan ditemukannya pemecahan optimum masalah-masalah tersebut.

3. Miller dan M.K. Starr Riset Operasi sebagai peralatan manajemen yang menyatukan ilmu pengetahuan, matematika, dan logika dalam kerangka pemecahan masalah-masalah yang dihadapi sehari-hari, sehingga akhirnya permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal.

Dari ketiga definisi diatas dapat disimpulkan bahwa : Riset Operasi berkenaan dengan pengambilan keputusan optimal dalam dan penyusunan model dari, sistem-sistem baik deterministik maupun probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata. Aplikasi-aplikasi ini, yang terjadi dalam pemerintahan, bisnis, teknik, ekonomi serta illmu pengetahuan alam dan sosial ditandai dengan kebutuhan untuk mengalokasikan sumberdaya-sumberdaya yang terbatas. Riset Operasi yang mengandung baik pendekatan maupun bidang aplikasi, sangat berguna dalam menghadapi masalah-masalah bagaimana mengarahkan dan mengkoordinasi operasi-operasi atau kegiatan-kegiatan dalam suatu organisasi dengan segala batasan-batasannya melalui prosedur-prosedur Search for Optimality. Kontribusi Pendekatan-pendekatan Riset Operasi

1. Pentusunan situasi kehidupan nyata ke suatu model matematis, dan pemisahan elemen-elemen pokok agar supaya suatu penyelesaian yang relevan dengan sasaran atau tujuan pengambil keputusan dapat tercapai. Ini melibatkan pandangan pada masalah dalam konteks keseluruhan system.

2. Pencarian struktur penyelesaian-penyelesaian dan pengembangan prosedur-prosedur sistematis untuk mendapatkannya.

3. Pengembangan suatu penyelesaian, termasuk atau teori atau model matematika, bila perlu, yang menghasilkan suatu nilai optimal dari sistem sesuai tingkat yang diinginkan (atau perbandingan alternative-alternatif kegiatan yang dinilai dengan tingkat yang diinginkan), biasanya dalam dunia bisnis diukur dengan biaya dan laba.




BAB I LINEAR PROGRAMMING

Linear programming Merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal, mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasaran tertentu yang paling baik (menurut model matematis) di antara alternatif-alternatif yang mungkin, dengan menggunakan fungsi linear. Model Linear Programming Model matematis perumusan masalah umum pengalokasian sumberdaya untuk berbagai kegiatan, dalam model LP dikenal 2(dua) macam fungsi: 1. Fungsi Tujuan (Objective Function)

Adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran didalam permasalahan LP yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-cumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Nilai yang dioptimalkan dinyatakan sebagai Z .

2. Fungsi Batasan (Contraint Function) Merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Agar memudahkan pembahasan model LP ini, digunakan simbol-simbol sbb: m = macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia. n = macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut. i = nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia (i = 1, 2, 3, .., m). j = nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang

tersedia ( j = 1, 2, 3, ., n). xj = tingkat kegiatan ke j (j = 1, 2, 3,.., n) aij = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran

(output) kegiatan j. ( i = 1, 2, 3,..,m; j = 1, 2, 3,.., n) bi = banyaknya sumber ( fasilitas) i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan ( i = 1,

2, 3,.., m). Z = nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum) Cj = kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (xj) dengan satu satuan (unit);

atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap nilai Z. Keseluruhan simbol-simbol diatas selanjutnya disusun kedalam bentuk tabel standar LP sbb: Kegiatan Sumber

Pemakaian sumber per unit kegiatan (keluaran)

1 2 3 . n

Kapasitas Sumber

1

2

3 . . . 4

a11 a12 a13 . a1n a21 a22 a13 . a2n a31 a32 a33 . a3n . . . . . . . . . . . . am1 am2 am3 . amn

b1

b2

b3 . . .

bm

Z pertambahan tiap unit Tingkat kegiatan

C1 C2 C3 . Cn X1 X2 X3 .. Xn

Tabel 1.1. Data untuk model Linear Programming




Atas dasar tabel diatas dapat disusun suatu model matematis yang digunakan untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sbb : Fungsi tujuan : Maksimumkan Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + . + CnXn Batasan-batasan : 1). a11X1 + a12X2 + a13X3 + + a1nXn b1 2). a21X1 + a22X2 + a23X3 + + a2nXn b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m). am1X1 + am2X2 + am3X3 + + amnXn bn dan X1 0, X2 0, .. Xn 0 Bentuk model LP diatas merupakan bentuk standar bagi masalah-masalah Lp yang akan dipakai selanjutnya. Dengan kata lain bila setiap masalah dapat diformulasikan secara matematis mengikuti model diatas, maka masalah tersebut dapat dipecahkan dengan teknik LP. Fungsi batasan dapat dikelompokan menjadi dua(2) macam : a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m. b. Fungsi batasan non negatif, yaitu fungsi-fungsi batasan yang dinyatakan dengan Xi 0. Dalam praktek tidak semua masalah dapat persis mengikuti model diatas, terdapat masalah-masalah sbb: 1. Masalah minimisasi

Dimana seseorang dituntut untuk menentukan kombinasi (output) yang dapat diminimumkan . Dalam hal ini, fungsi tujuan dinyatakan sebagai berikut: Minimumkan Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + + CnXn

2. Fungsi batasan memiliki tanda matematis Apabila dirumuskan terlihat sebagai berikut: ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + . + ainxn bi

3. Fungsi batasan memiliki tanda matematis = Apabila dirumuskan terlihat sebagai berikut: ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + . + ainxn = bi

4. Fungsi batasan non negatif tidak ada atau tidak terbatas. Asumsi-Asumsi Dasar Linear Programming 1. Proportionality

Berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan. Misal : a. Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + + CnXn

Setiap pertambahan 1 unit X1 akan menaikkan Z dengan C1 Setiap pertambahan 1 unit X2 akan menaikkan Z dengan C2, dan seterusnya.

b. a11X1 + a12X2 + a13X3 + + anXn b1 Setiap pertambahan 1 unit X1 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan a11 Setiap pertambahan 1 unit X2 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan a12, dan seterusnya.

2. Additivity Berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain. Misal : Z = 3X1 + 5X2 dimana X1 = 10; X2 = 2; sehingga Z = 30 + 10 = 40 Andaikata X1 bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi pertama, nilai Z menjadi 40+3= 43 Jadi, nilai 3 karena kenaika X1 dapat langsung ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang diperoleh dari kegiatan 2(X2). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara X1 dan X2.

3. Divisibility Menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan, demikian nilai Z yang dihasilkan.




Misal : X1 = 6,5; Z = 10,75 4. Deterministic (Certainty)

Menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (aij, bi, Cj) dapat diperkirakan dengan pasti , meskipun jarang dengan tepat.

A. METODE GRAFIK Langkah-langkah penggunaan Metode Grafik: 1. Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikannya dalam bentuk matematis. 2. Mengidentifikasikan batasan-batasan yang berlaku dan memformulasikannya dalam bentuk

matematis. 3. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y. 4. Mencari titik yang paling menguntungkan (optimal) dihubungkan dengan fungsi tujuan. Contoh Masalah LP

1. Sebuah Perusahaan Industri mempunyai berturut-turut 260kg, 380kg, dan 200kg bahan yaitu kayu, plastik, dan baja. Perusahaan tersebut akan membuat dua macam produk yaitu P dan Q yang berturut-turut memerlukan bahan-bahan (dalam kg) sbb:

Bahan yang diperlukan Produk Kayu Plastik Baja

P Q

3 5

5 6

4 3

Harga jual tiap produk P Rp 140.000,00/unit dan Q Rp 180.000,00/unit. Berapa banyak produk P dan produk Q harus diproduksi untuk memaksimumkan laba, dengan biaya variabel produk P Rp 80.000,00/unit dan produk Q Rp 100.000,00/unit.

Penyelesaian: Data tersebut di atas dapat disusun ke dalam tabel sbb:

Produk Sumber

P Q

Kapasitas Maksimum

Kayu

Plastik

Baja

3 5

5 6 4 3

260

380

200

Sumbangan terhadap laba (RP 10.000,00)

6 8

Untuk formulasi masalah diatas maka pertama-tama tentukan simbol-simbol yang akan dipakai: X1 = jumlah produk P yang akan di buat. X2 = jumlah produk Q yang akan dibuat. Z = jumlah sumbangan seluruh produk A dan produk B yang akan diperoleh. 1&2. Memformulasikannya dalam bentuk matematika: Fungsi Tujuan: Maksimumkan Z = 6X1 + 8X2 Batasan : 1) 3X1 + 5X2 260 2) 5X1 + 6X1 380 3) 4X1 + 3X2 200 3. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y.

Batasan 1 3X1 + 5X2 260 mis : X1=0 ; 3.0 + 5X2 = 260 X2 = 52 Mis : X2=0 ; 3X1+ 5.0 = 260 X1 = 86,67 Batasan 2 5X1 + 6X2 380




mis : X1=0 ; 5.0 + 6X2 = 380 X2 = 63,33 mis : X2=0 ; 5X1 + 6.0 = 380 X1= 76 Batasan 3 4X1 + 3X2 200 mis : X1=0 ; 4.0 + 3X2 = 200 X2 = 66,67 Mis : X2=0 ; 4X1 + 3.0 = 200 X1 = 50

4. Untuk mencari nilai Z optimal dapat digunakan 2 cara:

1. Dengan menggambarkan fungsi tujuan. (cara trial and error) Caranya dengan memisalkan nilai Z pada persamaan fungsi tujuan, sehingga akan didapatkan nilai X1 dan X2. Tujuan permisalan ini adalah untuk mengetahui arah kita menggeser sampai bertemu satu titik di daerah feasible sehingga akan didapatkan nilai Z optimal baik maksimal maupun minimal. Misal : 6X1 + 8X2 = 240 X1=0; X2=30 X2=0; X1=40 Apabila permisalan tersebut digambarkan pada grafik diatas dan digeser kearah atas/kanan akan didapatkan satu titik didaerah feasible pada titik B maka titik B adalah titik optimal dengan Z maksimal. Titik B merupakan pertemuan antara persamaan I dan persamaan III maka untuk menghitung nilai Z dititik B:

3X1 + 5X2 260 dikalikan 4 menjadi 12X1 + 20X2 = 1040 4X1 + 3X2 200 dikalikan 3 menjadi 12X1 + 9X2 = 600 0 + 11X2 = 440 X2 = 40 3X1 + 5.40 = 260 3X1 = 60 X1 = 20 Maka, Z dititik B 6.20 + 8.40 = 440

2. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif. Caranya adalah dengan menghitung nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif.

Titik A X1=50; X2=0 maka Z dititik A 6.50 + 8.0 = 300

Titik B (sama dengan cara 1) X1=20; X2=40 maka Z dititik B 6.20 + 8.40 = 440




Titik C X1=0; X2=52 maka Z dititik C 6.0 + 8.52 = 416

Maka menurut cara 2 nilai Z optimal ada dititik B, sama dengan cara 1. Kesimpulan :

Maka produk P(X1) diproduksi sebanyak 20 unit dan produk Q(X2) diproduksi sebanyak 40 unit dengan laba maksimal 440 X Rp 10.000,- = Rp 4.400.000,-.

2. Fungsi tujuan Minimumkan Z = 6X1 + 8X2 Batasan : 1) 3X1 + 5X2 = 260 2) 5X1 + 6X2 380 3) 4X1 + 3X2 200

Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y. Batasan 1 3X1 + 5X2 = 260 mis : X1=0 ; 3.0 + 5X2 = 260 X2 = 52 Mis : X2=0 ; 3X1+ 5.0 = 260 X1 = 86,67 Batasan 2 5X1 + 6X2 380 mis : X1=0 ; 5.0 + 6X2 = 380 X2 = 63,33 mis : X2=0 ; 5X1 + 6.0 = 380 X1= 76 Batasan 3 4X1 + 3X2 200 mis : X1=0 ; 4.0 + 3X2 = 200 X2 = 66,67 Mis : X2=0 ; 4X1 + 3.0 = 200 X1 = 50

Untuk mencari nilai Z optimal dapat digunakan 2 cara:

1. Dengan menggambarkan fungsi tujuan. (cara trial and error) Caranya dengan memisalkan nilai Z pada persamaan fungsi tujuan, sehingga akan didapatkan nilai X1 dan X2. Tujuan permisalan ini adalah untuk mengetahui arah kita menggeser sampai bertemu satu titik di daerah feasible sehingga akan didapatkan nilai Z optimal baik maksimal maupun minimal. Karena daerah feasible hanya berupa satu titik, maka titik optimal berada pada titik tersebut dengan nilai Z minimal. Titik tersebut merupakan pertemuan antara persamaan I dan persamaan III maka untuk menghitung nilai Z :

3X1 + 5X2 260 dikalikan 4 menjadi 12X1 + 20X2 = 1040 4X1 + 3X2 200 dikalikan 3 menjadi 12X1 + 9X2 = 600 0 + 11X2 = 440 X2 = 40




3X1 + 5.40 = 260 3X1 = 60 X1 = 20 Maka, Z minimal 6.20 + 8.40 = 440

2. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif. Karena hanya ada satu titik alternative maka merupakan titik optimal dengan Z minimal, dan

perhitungan titik tersebut sama dengan cara 1. Kesimpulan :


Beberapa Pengertian Dalam Linear Programming Solution (Penyelesaian)

Adalah jawaban akhir dari suatu masalah Feasible Solution

Adalah penyelesaian yang tidak melanggar batasan-batasan yang ada. No Feasible Solution

Berarti tidak ada daerah fesible, artinya apabila sifat atau letak batasan-batasan sedemikian rupa sehinnga tidak memungkinkan terdapatnya daerah atau alternatif-alternatif yang feasible.

Optimal Solution Adalah feasible solution yang mempunyai nilai tujuan (nilai Z dalam fungsi tujuan) yang optimal

atau terbaik (maksimum atau minimum) Multiple Optimal Solution

Berarti terdapatnya beberapa alternatif optimal dalam suatu masalah. Boundary Equation

Terjadi apabila suatu batasan dengan tanda sama dengan Corner Point Feasible Solutions

Adalah feasible solutions yang terletak pada sudut (perpotongan) antara 2 garis. Corner Point Infeasible Solutions

Adalah titik yang terletak pada perpotongan 2 garis tetapi diluar daerah feasible. No Optimal Solution

Terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai jawaban atau penyelesaian optimal, hal ini dapat disebabkan faktor-faktor sbb: 1. Tidak ada feasible Solution 2. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z.

Ketentuan-ketentuan atau Sifat Linear Programming Ketentuan 1: a. Kalau hanya ada satu optimal solution, pasti berupa corner point feasible solution. b. Kalau multiple solutions maka terdapat lebih dari 2 titik optimal yang terletak pada garis yang

menghubungkan 2 corner solutions. Ketentuan 2: Corner point feasible solutions jumlahnya terbatas Ketentuan 3: Kalau suatu corner point feasible solution lebih baik dari 2 corner point feasible solutions yang terdekat, maka titik itu merupakan titik optimal atau terbaik diantara semua corner point fesible solutions. B. METODE SIMPLEKS Apabila suatu masalah LP hanya mengandung 2 (dua) kegiatan (atau variabel-variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi bila melibatkan lebih dari dua kegiatan maka ketode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode simpleks merupakan suatu cara yang lazim dipakai untuk menentukan kombinasi optimal dari tiga variabel atau lebih. Langkah-langkah Metode Simpleks 1. Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan

Contoh: Fungsi Tujuan: Maksimumkan Z = 6X1 + 8X2 Batasan : 1) 3X1 + 5X2 260

2) 5X1 + 6X1 380 3) 4X1 + 3X2 200

Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit, artinya semua CjXij kita geser ke kiri. Maksimumkan Z = 6X1 + 8X2 diubah menjadi Z 6X1 8X2 = 0




Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda , ketidaksamaan ini harus diubah menjadi kesamaan. Caranya dengan menambah Slack Variabel (adalah variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan). Variabel slack ini adalah Xn+1, Xn+2, .., Xn+m. Kadang-kadang Slack Variabel diberi tanda huruf lain, misalnya S1, S2, .., dan seterusnya. Fungsi batasan-fungsi batasan: 1) 3X1 + 5X2 260 menjadi 3X1 + 5X2 + X3 = 260

2) 5X1 + 6X2 380 menjadi 5X1 + 6X2 +X4 = 380 3) 4X1 + 3X2 200 menjadi 4X1 + 3X2 +X5 = 200 2. Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel

Setelah formulasi diubah kemudian disusun ke dalam tabel, tabel dalam bentuk simbol sbb: Variabel Dasar

Z X1 X2 . Xn Xn+1 Xn+2 . Xn+m NK

Z Xn+1 Xn+2 . . . . Xn+m

1 0 0 . . . . 0

-C1 -C2 . Cn 0 0 . 0 a11 a12 .. a1n 1 0 . 0 a21 a22 .. a2n 0 1 . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 .. amn 0 0 . 1

0 b1 b2 . . . .

bm NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai dibelakang tanda sama dengan (=). Variabel Dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Contoh soal diatas : Tabel Data Perusahaan Industri dalam tabel simpleks yang pertama

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z X3 X4 X5

1 0 0 0

-6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1

0 260 380 200

3. Memilih Kolom Kunci

Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel diatas. Pilihlah kolom pada baris fungsi tujuan (Z) yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar, berilah tanda segi empat pada kolom tersebut. Tabel Pemilihan kolom kunci pada tabel pertama

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z X3 X4 X5

1 0 0 0

-6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1

0 260 380 200

4. Memilih Baris Kunci

Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel tersebut diatas. Terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci. Indeks = Nilai Kolom NK Nilai Kolom Kunci

Pilihlah baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil Tabel Pemilihan Baris Kunci

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Keterangan

Z X3 X4 X5

1 0 0 0

-6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1

0 260 380 200

260/5=52 (min) 380/6=63,33 200/3=66,67




5. Mengubah nilai-nilai baris kunci Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci, gantilah variabel dasar pada baris yang terpilih dengan variabel yang terdapat dibagian atas kolom kunci.

Tabel Cara mengubah nilai baris kunci Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z X3 X4 X5

1 0 0 0

-6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1

0 260 380 200

Z X2 X4 X5

1 0 0 0

3/5 1 1/5 0 0

52

6. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci

Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sbb: Baris Baru = baris lama (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci

Untuk nilai contoh soal diatas, nilai baru baris pertama (Z) sebagai berikut: [ -6 -8 0 0 0 0 ] (-8) [ 3/5 1 1/5 0 0 52 ] (-) Nilai baru = -6/5 0 8/5 0 0 416 Baris ke X4 (batasan 2): [ 5 6 0 1 0 380 ] (6) [ 3/5 1 1/5 0 0 52 ] (-) Nilai baru = 7/5 0 -6/5 1 0 68 Baris ke X5 (batasan 3) [ 4 3 0 0 1 200 ] (3) [ 3/5 1 1/5 0 0 52 ] (-) Nilai baru = 11/5 0 -3/5 0 1 44 Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z X3 X4 X5

1 0 0 0

-6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1

0 260 380 200

Z X2 X4 X5

1 0 0 0

-6/5 0 8/5 0 0 3/5 1 1/5 0 0 7/5 0 -6/5 1 0 11/5 0 -3/5 0 1

416 52 68 44

7. Langkah 7 Ulangi langkah-langkah perbaikan-perbaikan/perubahan-perubahan Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah 6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama ( fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai negatif.

Tabel Pemilihan Kolom dan Baris Kunci dari table perbaikan pertama, dan nilai baru baris kunci hasil perbaikan kedua

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Indeks

Z X2 X4 X5

1 0 0 0

-6/5 0 8/5 0 0 3/5 1 1/5 0 0 7/5 0 -6/5 1 0 11/5 0 -3/5 0 1

416 52 68 44

416 52/ 53 =86,67

68/ 57 =48,57

44/ 511 =20

Z X2 X4 X1

1 0 0 0

1 0 -3/11 0 5/11

20




Nilai Baru selain baris kunci sbb: Baris pertama (Z) sebagai berikut: [ -6/5 0 8/5 0 0 416 ] (-6/5) [ 1 0 -3/11 0 5/11 20 ] (-) Nilai baru = 0 0 14/11 0 6/11 440 Baris ke 2 (batasan 1): [ 3/5 1 1/5 0 0 52 ] (3/5) [ 1 0 -3/11 0 5/11 20 ] (-) Nilai baru = 0 1 4/11 0 3/11 40 Baris ke 3 (batasan 2) [ 7/5 0 -6/5 1 0 68 ] (7/5) [ 1 0 -3/11 0 5/11 20 ] (-) Nilai baru = 0 0 -9/11 0 7/11 40

Tabel Hasil perubahan/perbaikan kedua, table pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z X2 X4 X5

1 0 0 0

-6/5 0 8/5 0 0 3/5 1 1/5 0 0 7/5 0 -6/5 1 0 11/5 0 -3/5 0 1

416 52 68 44

Z X2 X4 X1

1 0 0 0

0 0 14/11 0 6/11 0 1 4/11 0 3/11 0 0 -9/11 0 7/11 1 0 -3/11 0 5/11

440 40 40 20

Tabel-tabel yang diperoleh dari table pertama sampai perubahan terakhir :

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z X3 X4 X5

1 0 0 0

-6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1

0 260 380 200

Z X2 X4 X5

1 0 0 0

-6/5 0 8/5 0 0 3/5 1 1/5 0 0 7/5 0 -6/5 1 0 11/5 0 -3/5 0 1

416 52 68 44

Z X2 X4 X1

1 0 0 0

0 0 14/11 0 6/11 0 1 4/11 0 3/11 0 0 -9/11 0 7/11 1 0 -3/11 0 5/11

440 40 40 20

Karena pada baris fungsi tujuan (Z) sudah tidak ada yang bernilai negative (-) maka sudah optimal dengan nilai X1 = 20 X2 = 40 Z Maksimal =440 Kesimpulan:


Penyimpangan-penyimpangan dari Bentuk Standar 1. Minimisasi

Fungsi tujuan dari permasalahan linear programming yang bersifat minimisasi, harus diubah menjadi maksimisasi, agar sesuai dengan bentuk standar, yaitu maksimisasi. Caranya adalah dengan mengganti tanda positif dan negatif pada fungsi tujuan, sebagai berikut:

Minimumkan Z =

n

jCjXj

1

sama dengan




Maksimumkan (-Z) =

n

jXjCj

1

)(

Contoh : Minimumkan Z = 6X1 + 8X2 sama dengan Maksimumkan (-Z) = -6X1 - 8X2

2. Batasan dengan tanda sama dengan Kalau suatu batasan memakai tanda kesamaan, maka cara mengatasinya dengan menambahkan variabel buatan (artificial variable). Misalnya batasan ke-1 pada contoh terdahulu ( 3X1 + 5X2 260 ) diubah menjadi 3X1 + 5X2 = 260. Karena batasan tersebut bertanda = untuk dapat dikerjakan dengan metode simpleks harus ditambahkan satu variabel lagi, karena pada batasan itu belum ada variabel yang bisa merupakan variabel dasar pada tabel pertama. Variabel itu adalah variabel buatan yang bersifat tidak negatif (X3), sehingga persamaan tersebut menjadi sbb: 3X1 + 5X2 + X3 = 260 Karena adanya variabel buatan (X3) ini, maka fungsi tujuan harus disesuaikan dengan menambahkan bilangan M, sehingga fungsi tujuan menjadi : Z = 6X1 + 8X2 + MX3 Bilangan M bernilai sangat besar tetapi tidak tak terhingga, sehingga nilai Z maksimum bisa diperoleh apabila nilai X3 = 0.

3. Fungsi pembatas bertanda Bila suatu fungsi pembatas bertanda , maka harus diubah menjadi dan akhirnya menjadi = agar dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Misalnya batasan ke-3 pada contoh terdahulu kita ubah tandanya menjadi sbb: 4X1 + 3X2 200 dikalikan (-1), menjadi -4X1 3X1 -200 ditambahkan Variabel X5, menjadi -4X1 3X2 + X5 = -200

4. Bagian kanan persamaan bertanda negatif Bila bagian kanan persamaan bertanda negatif maka harus diubah menjadi positif. Caranya dengan mengubah tanda positif negatif dari tiap-tiap koefisien, kemudian ditambah dengan variabel buatan. Misanya batasan diatas menjadi sbb: -4X1 3X2 + X5 = -200 dikalikan (-1), menjadi 4X1 + 3X2 X5 = 200 Persamaan diatas sudah bertanda kesamaan dan dibagian kanan bertanda positif , tetapi slack variabel (X5) bertanda negatif (dalam hal ini slack variabel sering disebut pula surplus variabel) . Hal ini tidak memungkinkan penggunaan metode simpleks. Oleh karena itu harus ditambahkan satu variabel buatan X6, yang akan menjadi variabel dasar dalam tabel permulaan, sehingga menjadi sbb : 4X1 + 3X2 X5 + X6 = 200 Sesuai dengan penjelasan sebelumnya maka kalau ada variabel buatan harus ditambahkan nilai M pada fungsi tujuan, dan mengubahnya agar nilai variabel dasar pada fungsi tujuan sebesar 0.

Setelah kita lakukan perubahan-perubahan pada fungsi tujuan dan fungsi batasan dengan bentuk non standar, persamaan tujuan diatas tidak memungkinkan penggunaan metode simpleks tabel, sebab nilai setiap variabel dasar pada persamaan ini harus sebesar 0, padahal X5 merupakan variabel dasar pada tabel permulaan. Oleh karena itu diubah dengan cara menguranginya dengan M dikalikan dengan baris batasan yang bersangkutan. Contoh: Fungsi tujuan Minimumkan Z = 6X1 + 8X2

Batasan : 1) 3X1 + 5X2 = 260 2) 5X1 + 6X2 380 3) 4X1 + 3X2 200 Penyelesaian: 1. Mengubah fungsi tujuan dan batasan Batasan 1

3X1 + 5X2 = 260 ditambahkan variabel tambahan X3 menjadi,




3X1 + 5X2 + X3 = 260 Batasan 2

5X1 + 6X2 380 dirubah menjadi kesamaan ditambah slack variable X4 menjadi, 5X1 + 6X2 + X4 = 380

Batasan 3 4X1 + 3X2 200 dirubah menjadi dengan dikalikan (-1) menjadi, -4X1 3X2 -200 dirubah menjadi kesamaan ditambah slack variable X5 menjadi, -4X1 3X2 + X5 = -200 dirubah menjadi (+) dikalikan (-1) menjadi, 4X1 + 3X2 - X5 = 200 ditambah variable buatan X6 menjadi, 4X1 + 3X2 - X5 + X6 = 200

Fungsi Tujuan Minimalkan Z = 6X1 + 8X2 ditambah nilai M menjadi, Minimalkan Z = 6X1 + 8X2 + MX3 + MX6 dirubah maksimalkan menjadi, Maksimalkan Z = -6X1 - 8X1 MX3 MX6 dirubah menjadi fungsi implisit menjadi, -Z + 6X1 + 8X2 + MX3 + MX6 =0 Variabel dasar X3 dan X6 harus bernilai 0, dilakukan pengurangan-pengurangan terhadap fungsi tujuan dengan fungsi batasan yang memiliki variabel tambahan dikalikan nilai M. X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK

Fs.tujuan 6 8 M 0 0 M 0 Batasan1 3 5 1 0 0 0 260 M Batasan3 4 3 0 0 -1 1 200 - Fs.tujuan (6 7M) (8-8M) 0 0 M 0 -460M 2. Menyusun persamaan-persamaan di dalam table

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK

Z X3 X4 X6

-1 0 0 0

(-7M+6) (-8M+8) 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1

-460M 260 380 200

3. Memilih Kolom Kunci Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel diatas. Pilihlah kolom pada baris fungsi tujuan (Z) yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar, berilah tanda segi empat pada kolom tersebut.

Tabel Pemilihan Kolom Kunci

Variabel Dasar


Z X3 X4 X6

-1 0 0 0

(-7M+6) (-8M+8) 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1

-460M 260 380 200

4. Memilih Baris Kunci Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel tersebut diatas. Terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci. Indeks = Nilai Kolom NK Nilai Kolom Kunci

Pilihlah baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil

Tabel Pemilihan Baris Kunci

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Indeks

Z X3 X4 X6

-1 0 0 0

(-7M+6) (-8M+8) 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1

-460M 260 380 200

260/5=52(min) 380/6=63,33 200/3=66,67




5. Mengubah Nilai-Nilai Baris Kunci Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci, gantilah variabel dasar pada baris yang terpilih dengan variabel yang terdapat dibagian atas kolom kunci.

Tabel Cara mengubah nilai baris kunci Variabel Dasar


Z X3 X4 X6

-1 0 0 0

(-7M+6) (-8M+8) 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1

-460M 260 380 200

Z X2 X4 X6

-1 0 0 0

3/5 1 1/5 0 0 0

52

6. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci

Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sbb: Baris Baru = baris lama (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci

Untuk nilai contoh soal diatas, nilai baru baris pertama (Z) sebagai berikut: [ (-7M+6) (-8M+8) 0 0 M 0 -460M ] (-8M+8) [ 3/5 1 1/5 0 0 0 52 ] (-) Nilai baru = (-11/5M+6/5) 0 (8/5M-8/5) 0 M 0 (-44M-416) Baris ke 3 (batasan 2): [ 5 6 0 1 0 0 380 ] (6) [ 3/5 1 1/5 0 0 0 52 ] (-) Nilai baru = 7/5 0 -6/5 1 0 0 68 Baris ke 4 (batasan 3) [ 4 3 0 0 -1 1 200 ] (3) [ 3/5 1 1/5 0 0 0 52 ] (-) Nilai baru = 11/5 0 -3/5 0 -1 0 44

Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru Variabel Dasar


Z X3 X4 X6

-1 0 0 0

(-7M+6) (-8M+8) 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1

-460M 260 380 200

Z X2 X4 X6

-1 0 0 0

(- 511 M+ 56 ) 0 (8/5M-8/5) 0 M 0 3/5 1 1/5 0 0 0 7/5 0 -6/5 1 0 0 11/5 0 -3/5 0 -1 0

(-44M-416) 52 68 44

7. Langkah 7

Ulangi langkah-langkah perbaikan-perbaikan/perubahan-perubahan Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah 6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama ( fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai negatif.




Tabel Pemilihan Kolom dan Baris Kunci dari table perbaikan pertama, dan nilai baru baris kunci hasil perbaikan kedua

Variabel Dasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Indeks

Z X2 X4

X6

-1 0 0

0

(- 511 M+ 56 ) 0 (8/5M-8/5) 0 M 0 3/5 1 1/5 0 0 0 7/5 0 -6/5 1 0 0 11/5 0 -3/5 0 -1 0

(-44M-416) 52 68

44

52/ 53 =86,67

68/ 57 =48,57 44/ 511 =20

Z X2 X4 X1

-1 0 0 0

1 0 -3/11 0 -5/11 0

20

Nilai Baru selain baris kunci sbb: Baris pertama (Z): [(-11/5M+6/5) 0 (8/5M-8/5) 0 M 0 (-44M-416) ] (-11/5M+6/5) [ 1 0 -3/11 0 -5/11 0 20 ] (-) Nilai baru = 0 0 (M -14/11) 0 6/11 0 440 Baris ke 2 (batasan 1): [ 3/5 1 1/5 0 0 0 52 ] (3/5) [ 1 0 -3/11 0 -5/11 0 20 ] (-) Nilai baru = 0 1 4/11 0 3 /11 0 40 Baris ke 3 (batasan 2) [ 7/5 0 -6/5 1 0 0 68 ] (7/5) [ 1 0 -3/11 0 -5/11 0 20 ] (-) Nilai baru = 0 0 -9/11 1 7/11 0 40

Tabel Hasil perubahan/perbaikan kedua,

table pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru Variabel Dasar


Z X2 X4

X6

-1 0 0

0

(- 511 M+ 56 ) 0 (8/5M-8/5) 0 M 0 3/5 1 1/5 0 0 0 7/5 0 -6/5 1 0 0 11/5 0 -3/5 0 -1 0

(-44M-416) 52 68

44

Z X2 X4 X1

-1 0 0 0

0 0 (M -14/11) 0 6/11 0 0 1 4/11 0 3 /11 0 0 0 -9/11 1 7/11 0 1 0 -3/11 0 -5/11 0

-440 40 40 20

Tabel-tabel yang diperoleh dari table pertama sampai perubahan terakhir :

Variabel Dasar


Z X3 X4 X6

-1 0 0 0

(-7M+6) (-8M+8) 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1

-460M 260 380 200

Z X2 X4 X6

-1 0 0 0

(- 511 M+ 56 ) 0 (8/5M-8/5) 0 M 0 3/5 1 1/5 0 0 0 7/5 0 -6/5 1 0 0 11/5 0 -3/5 0 -1 0

(-44M-416) 52 68 44

Z X2 X4 X1

-1 0 0 0

0 0 (M -14/11) 0 6/11 0 0 1 4/11 0 3 /11 0 0 0 -9/11 1 7/11 0 1 0 -3/11 0 -5/11 0

-440 40 40 20

Karena pada baris fungsi tujuan (Z) sudah tidak ada yang bernilai negative (-) maka sudah optimal dengan nilai X1 = 20 X2 = 40




Z Minimal =440 Kesimpulan:

Maka X1 = 20 ; X2 = 40 dengan Z minimal 440




METODE TRANSPORTASI Merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal. Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber ke tempat-tempat tujuan berbeda-beda, dan dari beberapa sumber ke suatu tempat tujuan yang berbeda-beda. Metode Stepping Stone Untuk menyelesaikan suatu masalah transportasi dengan menggunakan metode stepping stone diperlukan 2 langkah : 1. Menentukan jawab layak pertama dengan menggunakan metode pojok barat laut (north west

corner) . 2. Menguji penyelesaian awal sudah optimal atau belum. 3. Ulangi langkah langkah 2 hingga pada Zij variable non basis sudah 0 Menetukan jawab layak pertama Menentukan jawab layak yang memenuhi semua kendala atau sistem angkutan yang diperlukan (dengan metode north west corner) dengan langkah-langkah sbb: 1. Pengisian dimulai dari pojok barat laut pada tabel masalah transportasi, yaitu sel (1,1).

Bandingkan persediaan di A1 dengan kebutuhan di T1, yaitu masing-masing a1 dan b1. Buat X11 = min (a1, b1). a. Bila a1 > b1, maka X11=b1 . Teruskan ke sel (1,2) yaitu gerakan mendatar dengan X12 =

min (a1-b1, b2). b. Bila a1 0, karena tiap langkah memenuhi salah satu dari Ai (asal) atau Tj (tujuan). Harga-harga xij>0 ini disebut variabel basis dan banyaknya sama dengan m+n-1. Menguji Keoptimalan Penyelesaian Misalnya kita mempunyai jawab layak basis dari suatu masalah transportasi dengan m asal dan n tujuan. Ini berarti bahwa terdapat m+n-1 variabel basis xij yang > 0 kita tidak mengetahui apakah jawab ini sudah optimal atau tidak. Untuk menentukan apakah suatu jawab layak basis sudah optimal atau tidak, kita menggunakan metode stepping stone caranya ialah melalui tabel data transportasi yang memuat variabel basis xij > 0 dan cij. Kita menghitung zij untuk setiap sel (i,j) yang tidak memuat variabel basis xij >0. Untuk sel (I,j) kita memerlukan satu lop yang memuat sel (i,j) sendiri dan sel-sel basis. Misalkan urutan sel dalam lop tersebut ialah : {(i,r), (u,r), ., (s,w), (s,j), (i,j)}. Harga zij yang brsesuaian adalah zij = cir cur + caj cij. Untuk menghitung zij untuk tiap sel yang tidak memuat xij > 0, kita memerlukan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Tentukan sel basis pada baris yang sama sedemikian hingga sel basis lainnya terletak pada

kolom yang sama. 2. Buat gerakan mendatar kemudian gerakan tegak. 3. Ulangi gerakan ini dari satu sel basis kepada sel basis lainnya hingga satu ketika tiba pada satu

tempat atau sel yang satu kolom dengan sel yang dihitung zij nya. 4. Terakhir hubungkan sel basis ini dengan sel non basis yang dinilai sehingga terbentuklah satu

lop. 5. Jumalhkan harga semua sel basis dalam lop dengan membuat tanda berganti-ganti positif-

negatif dan hasilnya sama dengan zij. Proses ini dapat kita lakukan untuk semua sel yang bukan basis. Apabila: 1. zij 0 untuk setiap sel (i,j) maka jawab layak basis sudah optimal. 2. zij > 0 untuk suatu (i,j) maka jawab layak basis belum optimal. Sesudah zij dihitung untuk semua sel yang bukan basis, sekarang kita sudah siap menentukan jawab basis yang baru, yaitu langkah-langkah sbb: 1. Hitung atau tetapkan zst = maks zij (i,j) artinya variabel xst masuk dalam basis dan xst > 0.




2. Tentukan loop yang memuat xst. 3. Pandang c dengan koefisien 1. 4. Tetapkan xpq = Min {x dengan coef c = 1}artinya variabel xpq keluar sebagai variabel

basis. 5. Tentukan harga variabel basis untuk jawab basis yang baru dengan cara

a. xst = xpq b. Bila koefisien c = 1, maka x = x xpq. c. Bila koefisien c = -1, maka x = x + xpq.

Perhatikan bahwa x terdapat dalam loop yang memuat (s,t). Contoh: Perusahaan OKE mempunyai 3 pabrik P1, P2, P3 dan 3 Gudang G1, G2, G3. Dalam satu bulan masing-masing pabrik dapat membuat unit barang sebanyak 50, 40, 30 dan masing-masing gudang dapat menampung sebanyak 60, 20, 40 unit barang. Ongkos angkut dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang (dalam ratusan ribu Rp): P1 ke G1, G2, G3 : 3, 10, 8; P2 ke G1, G2, G3 : 7, 5, 1; P3 ke G1, G2, G3 : 9, 2, 7. Tentukan pengalokasian optimal unit barang dari pabrik P1, P2, P3 ke gudang G1, G2, G3 agar diperoleh biaya minimal dalam satu bulan. Penyelesaian: 1. Menentukan jawab layak pertama

Tujuan Asal

G1 G2 G3 Supply

A P1

3 50

10

8 50 a1

P2

7

10 5

20 1

10 40

a2 P3

9

2

7

30 30

a3 Demand

60

T b1 20

b2 40

b3 120

Menggunakan metode North West Corner Bandingkan persediaan di a1 dengan kebutuhan di b1 X11 = min(a1;b1) X23 = min(a2-30;b3)

= min(50;60) = min(40-30;40) = 50, langkah dilanjutkan ke X21 = min(10;40) X21 = min(a2:b1-50) = 10, langkah dilanjutkan ke X33 = min(40;60-50) X33 = min(a3;b3-10) = min(40;10) = min(30;40-10) =10, langkah dilanjutkan ke X22 = min(30;30) X22 = min(a2-10;b2) = 30 = min(40-10;20) = min(30;20) = 20, langkah dilanjutkan ke X23

2. Menguji Keoptimalan jawab Layak Pertama a. Menghitung Zij Variabel Non Basis

Sel (1,2) Loop (1,1) (2,1) (2,2) (1,2) Z12 = C11-C21+C22-C12 = 3-7+5-10 = -9 Sel (1,3) Loop (1,1) (2,1) (2,3) (1,3) Z13 = C11-C21+C23-C13 = 3-7+1-8 = -11

Sel (3,1) Loop (3,3) (2,3) (2,1) (3,1) Z31 = C33-C23+C21-C31 = 7-1+7-9 = 4 Sel (3,2) Loop (3,3) (2,3) (2,2) (3,2) Z32 = C33-C23+C22-C32 = 7-1+5-2 = 9




b. Menentukan Variabel yang masuk dalam Basis Maks Zst = Maks Zij (Zij variable non basis yang > 0) = Maks (4;9) = 9 = Z32 , maka X32 masuk dalam Basis

c. Menentukan Variabel yang keluar dari Basis Loop Variabel yang masuk dalam Basis (3,2) = (3,3) (2,3) (2,2) (3,2) Koefisien C (+) = (3,3);(2,2) Min Xpq = Min (X33;X22) = Min (30;20) = 20 = X22, maka X22 keluar dari basis

d. Harga Basis Baru 1. Xst = Xpq = X32 = X22 = 20 2. X33 = X33 X22 = 30 20 = 10 3. X23 = X23 + X22 = 10 + 20 = 30

Menyusun harga basis baru ke dalam table

Asal Tujuan

G1 G2 G3 Supply

P1

3 50

10

8 50 a1

P2

7

10 5 1

30 40

a2 P3

9

2

20

7

10 30

a3 Demand

60

b1 20

b2 40

b3 120

3. Ulangi langkah langkah 2 hingga pada Zij variable non basis sudah 0 Menguji Keoptimalan Jawab Layak Pertama

a. Menghitung Zij Variabel Non Basis Sel (1,2) Loop (1,1) (2,1) (2,3) (3,3) (3,2) (1,2)

Z12 = C11-C21+C23-C33+C32-C12 = 3-7+1-7+2-10 = -18 Sel (1,3) Loop (1,1) (2,1) (2,3) (1,3) Z13 = C11-C21+C23-C13 = 3-7+1-8 = -11 Sel (2,2) Loop (2,3) (3,3) (3,2) (2,2) Z22 = C23-C33+C32-C22 = 1-7+2-5 = -9

Sel (3,1) Loop (3,3) (2,3) (2,1) (3,1) Z31 = C33-C23+C21-C31 = 7-1+7-9 = 4

b. Menentukan Variabel yang masuk dalam Basis Maks Zst = Maks Zij (Zij variable non basis yang > 0) = Maks (4) = 4 = Z31 , maka X31 masuk dalam Basis

c. Menentukan Variabel yang keluar dari Basis Loop Variabel yang masuk dalam Basis (3,1) = (3,3) (2,3) (2,1) (3,1) Koefisien C (+) = (3,3);(2,1) Min Xpq = Min (X33;X21) = Min (10;10) = 10 = X33, maka X33 keluar dari basis

d. Harga Basis Baru a. Xst = Xpq = X31 = X33 = 10 b. X23 = X23 + X33 = 30 + 10 = 40 c. X21 = X21 X33 = 10 - 10 = 0




Menyusun harga basis baru ke dalam table Asal Tujuan

G1 G2 G3 Supply

P1

3 50

10

8 50 a1

P2

7

0 5 1

40 40

a2 P3

9

10 2

20

7 30 a3

Demand

60 b1

20 b2

40 b3

120

Menguji Keoptimalan Jawab Layak Pertama a. Menghitung Zij Variabel Non Basis

Sel (1,2) Loop (1,1) (3,1) (3,2) (1,2) Z12 = C11-C31+C32-C12 = 3-9+2-10 = -14 Sel (1,3) Loop (1,1) (2,1) (2,3) (1,3) Z13 = C11-C21+C23-C13 = 3-7+1-8 = -11 Sel (2,2) Loop (2,1) (3,1) (3,2) (2,2) Z22 = C21-C31+C32-C22 = 7-9+2-5 = -5

Sel (3,3) Loop (3,1) (2,1) (2,3) (3,3) Z31 = C31-C21+C23-C33 = 9-7+1-7 = -4 Karena Zij variable non basis sudah 0 maka sudah optimal Biaya = 50X3 + 0X7 + 40X1 + 10X9 + 20X2 = 150 + 0 + 40 + 90 + 40 = 320 = 320 X Rp 100.000,00 = Rp 32.000.000,00 Kesimpulan:

Maka pengalokasian unit barang dari pabrik P1, P2, P3 ke gudang G1, G2, G3 dalam satu bulan optimal dengan biaya minimal Rp 32.000.000,00.

Metode MODI (Modified Distribution) Merupakan perkembangan dari metode stepping stone, karena penentuan segi empat kosong yang bisa menghemat biaya dilakukan dengan prosedur yang lebih pasti dan tepat serta metode ini dapat mencapai hasil optimal lebih cepat. Langkah-langkah sbb: 1. Isilah tabel pertama dari sudut kiri atas kekanan bawah 2. Menentukan nilai baris dan kolom

Nilai baris dan kolom ditentukan berdasarkan persamaan (Ri + Kj = Cij). Baris pertama selalu diberi nilai 0, dan nilai nilai baris-baris yang lain dan nilai semua kolom ditentukan berdasarkan hasil-hasil hitungan yang telah diperoleh, maka nilai kolom yang dihubungkan dengan segi empat batu dapat dicari dengan rumus Ri + Kj = Cij.

3. Menghitung Indeks Perbaikan Indeks perbaikan adalah nilai dari segi empat air (segi empat yang kosong), mencarinya dengan rumus Cij Ri Kj = indeks perbaikan

4. Memilih titik tolak perubahan Segi empat yang mempunyai indeks perbaikan negatif berarti bila diberi alokasi (diisi) akan dapat mengurangi jumalh biaya pengangkutan. Bila nilainya positif berarti pengisian akan menyebabkan kenaikan biaya pengangkutan. Segi empat yang merupakan titik tolak perubahan adalah segi empat yang indeksnya bertanda negatif dengan angka terbesar.

5. Memperbaiki alokasi Berilah tanda positif (+) pada segi empat yang terpilih. Pilihlah satu segi empat terdekat yang isi dan sebaris, satu segi empat yang isi terdekat dan sekolom; berilah tanda negatif (-) pada dua segi empat ini. Kemudian pilihlah satu segi empat yang sebaris atau sekolom dengan 2 segi




empat yang bertanda negatif (-) tadi, dan berilah segi empat ini tanda positif (+). Selanjutnya pindahkanlah alokasi dari segi empat yang bertanda negatif (-) ke yang bertanda positif (+) sebanyak isi terkecila dari segi empat yang bertanda negatif (-).

6. Ulangilah langkah-langkah tersebut diatas, mulai langkah 2 sampai diperoleh biaya terendah. Bila masih ada indeks perbaikan yang bernilai negatif berarti alokasi tersebut masih dapat diubah untuk mengurangi biaya pengangkutan. Bila sudah tidak ada indeks yang bernilai negatif berarti sudah optimal.

Contoh: Kita gunakan contoh diatas yang sudah dikerjakan menggunakan metode stepping stone. 1. Mengisi table dari sudut kiri atas kekanan bawah

Asal Tujuan

G1 G2 G3 Supply

P1

3 50

10

8 50 a1

P2

7

10 5

20 1

10 40

a2 P3

9 2

7

30 30

a3 Demand

60

b1 20

b2 40

b3 120

2. Menentukan nilai baris dan kolom Rumus : Ri + Kj = Cij

Asal Tujuan

G1=3 G2=1 G3=-3

Supply

P1=0

3 50

10

8 50 a1

P2=4

7

10 5

20 1

10 40

a2 P3=10

9

2

7

30 30

a3 Demand

60

b1 20

b2 40

b3 120

3. Menghitung Indeks Perbaikan Rumus : Cij Ri Kj = Indeks Perbaikan

Segi Empat

Cij Ri - Kj Indeks Perbaikan

P1G2 10 0 1 9 P1G3 8 0 (-3) 11 P3G1 9 10 3 -4 P3G2 2 10 1 -9

4. Memilih titik tolak perubahan Memilih indeks perbaikan dengan nilai negative terbesar = -9 = P3G2

5. Memperbaiki alokasi Asal Tujuan

G1=3 G2=1 G3=-3

Supply

P1=0

3 50

10

8 50 a1

P2=4

7

10 5

20 _ 1

+ 10 40

a2 P3=10

9 2

+ 7

_ 30 30

a3 Demand

60

b1 20

b2 40

b3 120




3

Asal Tujuan

G1 G2 G3

Supply

P1

3 50

10

8 50 a1

P2

7

10 5 1

30 40

a2 P3

9 2

20

7

10 30

a3 Demand

60

b1 20

b2 40

b3 120

6. Ulangilah langkah-langkah tersebut diatas, mulai langkah 2 sampai diperoleh biaya terendah . 2. Menentukan nilai baris dan kolom Rumus : Ri + Kj = Cij

Asal Tujuan

G1=3 G2=-8 G3=-3

Supply

P1=0

3 50

10

8 50 a1

P2=4

7

10 5 1

30 40

a2 P3=10

9

2

20

7

10 30

a3 Demand

60

b1 20

b2 40

b3 120


Segi Empat


P1G2 10 0 (-8) 18 P1G3 8 0 (-3) 11 P2G2 5 4 (-8) 9 P3G1 9 10 3 -4

4. Memilih titik tolak perubahan Memilih indeks perbaikan dengan nilai negative terbesar = -4 = P3G1 5. Memperbaiki alokasi

Asal Tujuan

G1=3 G2=-8 G3=-3

Supply

P1=0

3 50

10

8 50 a1

P2=4

7

10 - 5 1

+ 30 40

a2 P3=10

9

+ 2

20

7

- 10 30

a3 Demand

60

b1 20

b2 40

b3 120




Asal Tujuan

G1 G2 G3

Supply

P1

3 50

10

8 50 a1

P2

7

0 5 1

40 40

a2 P3

9

10 2

20

7 30 a3

Demand

60 b1

20 b2

40 b3

120

6. Ulangilah langkah-langkah tersebut diatas, mulai langkah 2 sampai diperoleh biaya terendah . 2. Menentukan nilai baris dan kolom Rumus : Ri + Kj = Cij

Asal Tujuan

G1=3 G2=-4 G3=-3

Supply

P1=0

3 50

10

8 50 a1

P2=4

7

0 5 1

40 40

a2 P3=6

9

10 2

20

7 30 a3

Demand

60 b1

20 b2

40 b3

120


Segi Empat


P1G2 10 0 (-4) 14 P1G3 8 0 (-3) 11 P2G2 5 4 (-4) 5 P3G3 7 6 (-3) 4

Karena Indeks Perbaikan sudah memenuhi 0 maka sudah optimal Biaya = 50X3 + 0X7 + 40X1 + 10X9 + 20X2 = 150 + 0 + 40 + 90 + 40 = 320 = 320 X Rp 100.000,00 = Rp 32.000.000,00 Kesimpulan:


Metode Vogels Approximation Merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk dapt mengatur alokasi dari beberapa sumber ke beberapa daerah pemasaran. Dengan langkah-langkah:

1. Susunlah kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber, dan biaya pengangkutan ke dalam matriks.

2. Carilah perbedaan dari dua biaya terkecil, yaitu biaya terkecil dan biaya terkecil kedua untuk tiap baris dan kolom pada matriks (Cij).

3. Pilihlah 1 nilai perbedaan-perbedaan yang terbesar diantara semua nilai perbedaan pada kolom dan baris.

4. Isilah pada salah satu segi empat yang termasuk dalam kolomatau baris terpilih, yaitu pada segi empat yang biayanya terendah diantara segi empat lain pada kolom/baris itu. Isiannya sebanyak mungkin yang bisa dilakukan.

5. Hilangkan baris/kolom yang sudah diisi sepenuhnya (kapasitas penuh) sehingga tidak mungkin diisi lagi. Kemudian perhatikan kolom dan baris yang belum terisi/teralokasi.




6. Tentukan kembali perbedaan (selisih) biaya pada langkah ke-2 untuk kolom dan baris yang belum terisi. Ulangi langkah 3 sampai dengan langkah 5, sampai semua baris dan kolom sepenuhnya teralokasi.

7. Setelah terisi semua, hitung biaya transportasinya. 8. Bila nilai perbedaan biaya ada 2 yang besarnya sama, lihatlah segi empat yang masuk

dalam kolom maupun baris yang mempunyai nilai terbesar. Bila segi empat ini mempunyai biaya terendah diantara segi empat pada baris atau kolomnya, maka isikan alokasi maksimum pada segi empat ini. Bila biayanya tidak terendah, maka pilihlah segi empat yang akan diisi berdasarkan salah satu, baris terpilih atau kolom terpilih.

Contoh: Kita gunakan contoh diatas yang sudah dikerjakan menggunakan metode stepping stone

dan MODI.

Asal Tujuan

G1 G2 G3 Supply

P1

3 10

8 50 a1

P2

7 5 1 40 a2 P3

9

2

7

30 a3 Demand

60

b1 20

b2 40

b3 120

1. Susunlah kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber, dan biaya pengangkutan ke dalam

matriks.

Tujuan Asal

G1 G2 G3 Supply Perbedaan Baris

P1 P2 P3

3 10 8 7 5 1 9 2 7

50 5 40 4 30 5

Demand Perbedaan Kolom

60 20 40 4 3 6

Pilihan : P2G3 = 40 Hilangkan : Kolom G3

Tujuan Asal

G1 G2 Supply Perbedaan Baris

P1 P2 P3

3 10 7 5 9 2

50 7 0 2 30 7

Demand Perbedaan Kolom

60 20 4 3

Pilihan : P3G2 = 20 Hilangkan : Kolom G2

Tujuan Asal

G1 Supply

P1 P2 P3

3 7 9

50 0 10

Demand

60

Pilihan : P1G1 = 50 P2G1 = 0 P3G1 = 10




Menyusun alokasi ke dalam table

Asal Tujuan

G1 G2 G3 Supply

P1

3 50

10

8 50 a1

P2

7

0 5 1

40 40

a2 P3

9

10 2

20

7 30 a3

Demand

60 b1

20 b2

40 b3

120

Menurut metode Vogel's penyelesaian tersebut sudah optimal, tetapi belum tentu menurut metode yang lain harus diuji terlebih dahulu menggunakan metode : 1. Stepping Stone a. Menghitung Zij Variabel non Basis Sel (1,2) Loop (1,1) (3,1) (3,2) (1,2) Z12 = C11-C31+C32-C12 = 3-9+2-10 = -14 Sel (1,3) Loop (1,1) (2,1) (2,3) (1,3) Z13 = C11-C21+C23-C13 = 3-7+1-8 = -11 Sel (2,2) Loop (2,1) (3,1) (3,2) (2,2) Z22 = C21-C31+C32-C22 = 7-9+2-5 = -5 Sel (3,3) Loop (3,1) (2,1) (2,3) (3,3) Z31 = C31-C21+C23-C33 = 9-7+1-7 = -4

Karena Zij variable non Basis sudah memenuhi 0 maka sudah optimal

2. MODI Menentukan nilai baris dan kolom Rumus : Ri + Kj = Cij

Asal Tujuan

G1=3 G2=-4 G3=-3

Supply

P1=0

3 50

10

8 50 a1

P2=4

7

0 5 1

40 40

a2 P3=6

9

10 2

20

7 30 a3

Demand

60 b1

20 b2

40 b3

120


Segi Empat


P1G2 10 0 (-4) 14 P1G3 8 0 (-3) 11 P2G2 5 4 (-4) 5 P3G3 7 6 (-3) 4

Karena Indeks Perbaikan sudah memenuhi 0 maka sudah optimal Biaya = 50X3 + 0X7 + 40X1 + 10X9 + 20X2




= 150 + 0 + 40 + 90 + 40 = 320 = 320 X Rp 100.000,00 = Rp 32.000.000,00 Kesimpulan:



20120315_BahanAjarRO

Documents

Transcript of 20120315_BahanAjarRO