15.ProgramLinear2003

8/3/2019 15.ProgramLinear2003

1/5

PROGRAM LINEAR

A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

1. Menentukan Persamaan Garisa. Garis yang sejajar dengan sumbuYdan memotong sumbu X di titik (a,0) adalah

x = ab. Garis yang sejajar dengan sumbu X dan memotong sumbuYdi titik (0,b) adalah y

= bc. Garis yg memotong sb.X di titik (a,0) dan memotong sb.Y di titik (0,b) adalah

b.x+a.y = a.b

d. Garis yang melalui titik A(xA,yA) dan titik B(xB,yB) adalah :AyBy

Ayy

=AB

A

xx

xx

A(xA,yA)

B(xB,yB)

Contoh :Tentukan persamaan garis-garis pada gambar berikut :

A(2,4)B(5,3)

Jawab :

a. x = 4

b. y = 3

c. 3x + 6y = 3(6) kedua ruas dibagi 3 shg x + 2y = 6

d.43

4y

=25

2x

1

4y

=3

2x

3(y 4) = 1(x 2)

3y 12 = x + 2

x + 3y = 2 + 12

x + 3y = 142. Menggambar garis lurus

Langkah-langkah :a. Menentukan dua titik yang dilalui (jika mudah titik potong dengan sumbu X dan

titik potong dengan sumbuY)b. Hubungkan dua titik tersebut dan diperpanjang

Contoh : Gambarlah garis 4x + 5y = 100x = 0 maka y = 20 sehigga melalui (0,20)y = 0 maka x = 25 sehingga melalui (25,0)

3. Menentukan Daerah PenyelesaianLangkah-langkah :a. Gambar garis batas (jika > atau < dgn garis putus-putus, jikaatau dgn garis

kontinyu)b. Ambil salah satu titik diluar garis dan substitusikan pada pertidaksamaan

jika betul merupakan daerah penyelesaian danjika salah bukan daerah penyelesqian.

Contoh : Tentukan daerah penyelesaian 2x+3y 24x = 0 maka y = 8 shg melalui (0,8)y = 0 maka x = 12 shg melalui (12,0)

O X

bx+ay = ab

a

b

O X

Yy = b

b

O X

Yx =

a

aO X

Y

4x+5y = 100

Y

XO 25

20

8

12O

O X6

3

O X

Y

3

O X

Y

4O X

Y


2/5

Uji titik (0,0) sehingga 2(0) + 3(0) 24 ( betul )jadi daerah yang memuat (0,0) adalah daerah penyelesaian

4. Menentukan Sistem Pertidaksamaan dari Daerah PenyelesaianLangkah-langkah :a. Tentukan persamaan garis-garis batasnyab. Ambil salah satu titik yang jelas terletak pada daerah penyelesaianc. Ujilah titik tersebut pada persamaan garis batas dan berilah tanda atau Contoh :

Batas-batas ambil titik uji (3,1) Kesimpulany = 0 10 y05x+3y=15 5(3)+3(1) 15 5x+3y154x+7y=28 4(3)+7(1) 28 4x+7y28

5. Menentukan Nilai Maksimum atau Nilai Minimum pada Daerah PenyelesaianLangkah-langkah :a. Gambar daerah penyelesaiannya (daerah bersih merupakan daerah

penyelesaian).b. Tentukan koordinat titik-titik sudut dari daerah penyelesaianc. Substitusikan ke bentuk obyektif,

nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilaiminimum.

Contoh :1. Tentukan nilai maksimum 10x + 20 y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x

0, y 0, x+y 175 dan 3x+4y 600Jawab :

Nilai obyektif 10x + 20 y

O(0,0) maka 10(0) + 20(0) = 0A(175,0) maka 10(175) + 20(0) = 1750B(0,150) maka 10(0) + 20(150) = 3000C(100,75) maka 10(100) + 20(75) = 2500

Jadi nilai maksimum adalah 3000 dipenuhi untuk x = 0 dan y = 150

Contoh :2. Tentukan nilai maksimum 10x + 20 y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x

0, y 0, x+y 175 dan 3x+4y 600Jawab :

Nilai obyektif 10x + 20 y

A(200,0) maka 10(200) + 20(0) = 2000B(0,175) maka 10(0) + 20(175) = 35000

Y

X

O 3

4

7

5

Perpotongan 3x+4y = 600 dan x + y = 1753x + 4y = 6003x + 3y = 525

y = 75x = 100

Perpotongan 3x+4y = 600 dan x + y = 175

3x + 4y = 6003x + 3y = 525

y = 75x = 100

C

Y

X

175

O 200

175150

A

B

C

Y

X

175

150

200

175

OA

B


3/5

C(100,75) maka 10(100) + 20(75) = 2500

Jadi nilai minimum adalah 2000 dipenuhi untuk x = 200 dan y = 0


4/5

B. MODEL MATEMATIKA dan BENTUK OBYEKTIFModel matematika adalah merupakan sistem pertidaksamaan linear yang merupakanbentuk matematika dari permasalahan sehari-hariBentuk obyektif adalah bentuk ax+by yang merupakan tujuan dari program linearFungsi sasaran adalah bentuk f(x,y) = ab+by yang merupakan tujuan dari programlinear

1. Menentukan Model Matematika dan Bentuk Obyektif

a. Perhatikan tujuan dari soal cerita (mencari maksimum/minimum)b. Dari tujuan akan ada dua jenis maka jenis pertama banyaknya dimisalkan x dan

jenis kedua banyaknya dimisalkan yc. Dari tujuan dapat ditentukan bentuk obyektifnyad. Dari kalimat yang lain dapat ditentukan model matematikanya

Contoh :Suatu home industri membuat dua jenis roti, setiap jenis besar memerlukan 700gram tepung dan 500 gram mentega. Sedang setiap riti jenis kecil memerlukan 600gram tepung dan 500 gram mentega. Bahan yang tersedia 20 kg tepung dan 15 kgmentega, sedang bahan-bahan yang lain mencukupi. Tiap roti besar dijuarRp.10.000,- dan yang kecil dijual Rp.5.000,-. Buatlah model matematika dan bentuk

obyektifnya agar dapat memproduksi roti yang harga jualnya setinggi-tingginya.

Jawab :1. Tujuan : harga jualnya maksimum2. Dari harga jual terlihat bahwa yang dijual ada dua jenis yaitu roti jenis besar dan

jenis kecil.Banyaknya roti besar = x dan banyaknya roti kecil = y

3. Dari tujuan menjual roti dengan harga maksimum padahal tiap roti besar dijuarRp.10.000,- dan yang kecil dijual Rp.5.000,- sedangkan banyaknya roti besar = xdan banyaknya roti kecil = y maka harga jualnya adalah 10000x + 5000yBentuk 1000x + 5000y adalah merupakan bentuk obyektif

4. Kalimat lain :

Tepung yang tersedia 20 kg = 20000 gram padahan jenis besarmemerlukan 700 gram dan jenis kecil memerlukan 600 gram sedangbanyaknya roti besar = x dan banyaknya roti kecil = y makapertidaksamaannya adalah 700x + 600y 20000 disederhanakan menjadi 7x+ 6y 200

Mentega yang tersedia 15 kg = 15000 gram padahal jenis besarmemerlukan 500 gram dan jenis kecil memerlukan 500 gram sedangbanyaknya roti besar = x dan banyaknya roti kecil = y makapertidaksamaannya adalah 500x + 500y 15000 disederhanakan menjadi x +y 30

Banyaknya roti jenis besar tidak boleh negatif maka x 0

Banyaknya roti jenis kecil tidak boleh negatif maka y 0 Banyaknya roti tidak boleh pecahan maka x,y harus bulat

Jadi :Bentuk obyektif adalah 10000x + 5000yModel matematika adalah 7x+6y 200, x+y 30, x 0, y 0 dan x,y B

2. Menyelesaikan Program Lineara. Buat model matematika dan bentuk obyektifnya ( lebih mudah dibuat tabel terlebih

dahulu)b. Gambarlah daerah penyelesaian ( daerah bersih merupakan daerah penyelesaian )

c. Tentukan koordinat titik-titik sudut dari daerah penyelesaiand. Substitusikan pada bentuk obyektif,

nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan

nilai terkecil merupakan nilai minimum


5/5

Sukardi

15.ProgramLinear2003

Documents

Transcript of 15.ProgramLinear2003