15007-12-924189581551

MODUL 12

PERMUTASI DAN KOMBINASI

PERMUTASI

Permutasi adalah susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian

dari sekumpulan data. Banyaknya permutasi n benda yang berbeda adalah n!

Contoh: banyaknya permutasi dari 3 huruf a,b, dan c adalah 3! = 3 x 2 x 1 susunan,

yaitu abc, acb, bac, bca, cab dan cba.

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda

adalah:

Contoh: banyaknya permutasi empat huruf a, b, c dan d adalah 4! = 24. Bila dari

empat huruf tersebut diambil 2 huruf, maka banyaknya permutasi menjadi:

permutasi.

Ke-12 susunan huruf tersebut yaitu: ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

Permutasi yang berasal dari penyusunan benda dalam bentuk lingkaran

disebut permutasi melingkar. Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang

disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)! Contoh: bila 4 orang bermain bridge, 1

pemain dalam posisi tetap dan 3 lainnya berpindah searah jarum jam, maka

banyaknya susunan yang berbeda dari keempat orang tersebut adalah (4-1)! = 3! =

6.

Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 di antaranya

berjenis pertama, n2 berjenis kedua,….,nk berjenis ke-k adalah :

Pada contoh yang pertama, susunan huruf a,b, dan c memiliki 6 permutasi. Andaikan

b dan c sama dengan x, maka permutasinya menjadi axx, axx, xax, xax, xxa, xxa,

yang berarti hanya ada 3 permutasi, yaitu: permutasi.

Banyaknya cara menyekat sekumpulan n benda ke dalam r sel, dengan n1

unsur dalam sel pertama, n2 unsur dalam sel kedua, dan demikian seterusnya

adalah:

sedangkan dalam hal ini, n1+n2+…+nr = n.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Sarwati Rahayu, ST.

STATISTIK DAN PROBABILITAS 1

Contoh: bila terdapat 7 orang dapat menginap dalam 1 kamar tripel dan 2

kamar dobel adalah:

Pengambilan r benda dari n benda tanpa memperhatikan urutannya disebut

kombinasi. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah:

Contoh: dari 4 orang anggota Partai Republik dan 3 orang anggota Partai Demokrat,

hitunglah banyaknya komisi yang terdiri dari 3 orang dengan 2 orang dari Partai

Republik dan 1 orang dari Partai Demokrat yang dapat dibentuk.

Jawab: Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang anggota Partai Republik:

Banyaknya cara memilih 1 orang dari 3 orang anggota Partai Demokrat:

Dengan demikian, banyaknya komisi yang dapat dibentuk dengan 2 orang Partai

Republik dan 1 orang Partai Demokrat adalah (6) (3) = 18.

Contoh : Berapa permutasi yang mungkin jika kita mengambil dua huruf dari 4

huruf yang

tersedia ? (n = 4 ; r = 2)

Jawab : 4 4 !

P2 =

( 4 – 2 )

4.3.2.1

=

2.1

= 12 cara.

Bukti : Misalkan huruf yang tersedia : a, b, c, d permutasi dari 2 huruf:

ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc (ab ba)

SOAL LATIHAN:



1. Suatu perusahaan real estate menawarkan kepada calon pembeli 3 tipe

rumah, 3 macam sistem pemanasan dan 2 bentuk garasi. Berapa macam

rancangan rumah yang tersedia bagi calon pembeli?

2. Seorang kontraktor bermaksud membangun 9 rumah yang semuanya

berbeda bentuknya. Berapa banyak cara 9 rumah itu dapat dibangun

sepanjang sebuah jalan, bila 6 rumah harus ada di satu sisi sedang 3 lainnya

sisi lain?

3. Dari 4 laki-laki dan 5 perempuan, berapa banyak kemungkinan susunan

panitia yang terdiri atas 3 orang yang dapat dibentuk:

(a) bila tidak ada syarat apa-apa?

(b) Dengan 1 laki-laki dan 2 perempuan?

(c) Dengan 2 laki-laki dan 1 perempuan, bila 1 orang laki-laki tertentu

harus duduk dalam panitia tersebut?

KOMBINASI

A. Pengertian

Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa obyek tanpa memperhatikan

urutan obyek tersebut.

Contoh :

Ada 4 obyek , yaitu A, B, C, D kombinasi 3 dari obyek itu adalah ABC, ABD, ACD,

BCD. Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan obyek yang diikutsertakan,

bukan urutannya. Oleh karena itu :

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA

ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA

ACD = CAD = ADC = CDB = DAC = DCA

BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

B. Rumus-rumus kombinasi

1. Kombinasi r dari n obyek yang berbeda

Kombinasi r dari n obyek yang berbeda dirumuskan :

C



Catatan : 0 < r < n

Contoh :

a. Tentukan nilai C !

C

b. Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang

untuk

pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk ?

Penyelesaian :

n = 5 dan r = 2

C

2. Hubungan permutasi dengan kombinasi

Hubungan permutasi dengan kombinasi dinyatakan sebagai berikut :

P

Contoh :

Tentukan nilai dari permutasi dan kombinasi berikut !

a. P

b. C

Penyelesaian :

a. P



= 3 ! x = 6 x 4 = 24

b. C = 4

3. Kombinasi dari kombinasi

Kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian antara banyaknya kombinasi

suatu kumpulan obyek dengan banyaknya kombinasi dari kumpulan obyek yang lain.

Jika dari himpunan unsur I yang terdiri dari m unsur dan himpunan unsur II yang

terdiri dari n unsur, dibentuk suatu kombinasi yang terdiri dari x unsur I dan y unsur

II, maka banyaknya kombinasi yang dapat disusun adalah :

C . C =

Misalkan A = a,b,c,d,e,f ; kombinasi 3 huruf dari himpunan A

nA = 6; r = 3

n 6 !

Cr =

3 ! ( 6 – 3 ) !

6.5.4.3 6.5.4

= = = 20 cara

3! . 3! 3.2.1

Contoh :

Suatu perkumpulan terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita. Perkumpulan itu

akan memilih 3 orang sebagai pengurusnya.

Berapa banyak cara yang dapat dibentuk dalam pemilihan tersebut, jika :

a. Semua dapat dipilih



b. Pengurus harus terdiri dari 2 orang pria dan 1 wanita

Penyelesaian :

a. Semua dapat dipilih sebagai pengurus, maksudnya komposisi pengurus tidak

diperhatikan sehingga dalam hal ini kita mengkombinasikan 3 obyek dari 5

obyek yang ada. Jadi banyaknya kombinasi atas pemilihan pengurus itu

adalah :

C cara

b. Pengurus harus terdiri dari 2 pria dan 1 wanita, maka banyaknya kombinasi

atas pemilihan pengurus itu adalah v:

C = 3.2 = 6 cara

Enam cara kombinasi tersebut adalah :

L1 L2 W1 L1 L3 W1 L2 L3 W1

L1 L2 W2 L1 L3 W2 L2 L3 W2

4. Menghitung peluang dengan kombinasi

Peluang A dan B dengan k pengambilan

P ( A dan B ) =

Bila P ( A atau B ) tanda x ( kali) diganti dengan + ( tambah )

Contoh :

Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Kita ambil dua bola sekaligus

dari kotak itu. Berapa peluang bahwa bola yang terambil bola merah dan putih ?



P ( A dan B ) =

Peluang seorang mahasiswa lulus statistika = 0,65 dan peluang mahasiswa yang sama

untuk lulus bahasa inggris = 0,45. Peluang lulus salah satu mata kuliah tersebut =

0,80. Berapa peluang ia lulus di kedua mata kuliah tersebut ? P (AB)

Jawab :

P (AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(A) = peluang lulus statistika

P(B) = peluang lulus bahasa inggris

P (AB) = peluang lulus statistika atau bahasa inggris

P (AB) = peluang lulus kedua-duanya

P (AB) = P(A) + P(B) - P (AB)

= (0,65 + 0,45) – 0,80

= 0,30

Jadi peluang mahasiswa tersebut lulus kedua-duanya adalah 30%

A B

P (AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Latihan :



1. Suatu sekolah memberikan kesempatan kepada 3 orang siswa untuk mengikuti

lomba matematika. Siswa-siawa yang mendaftar diri dan memenuhi syarat ada 9

orang. Ada berapa carakah kepala sekolah itu dapat memilih 3 orang dari 9 orang

siswa itu ?

2. Seorang guru akan mengadakan ulangan umum. Dia akan memilih 4 soal dari 10

soal yang telah dibuatnya. Berapa macam cara susunan soal itu dapat diperoleh ?

3. Dalam sebuah kotak yang berisi 5 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola biru akan

diambil 3 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya ketiga bola tersebut

berlainan warna adalah ….

4.Sebelas pemain dipilih untuk pertandinan sepak bola . Dalam suatu kesebelasan

mempunyai 3 kiper, 6 bek, 5 penghubung, dan 6 penyerang. Dalam berapa cara

pelatih dapat menentukan tim jika diperlukan 1 kiper, 4 bek, 3 penghubung, dan 3

penyerang.

5. Ditentukan 7 warna berlainan, jika 2 warna berlainan dicampur menghasilkan

sebuah Warna baru, berapakah banyaknya kombinasi warna baru yang dapat

dihasilkan ?

6 Dalam berapa cara suatu komite yang berjumlah 11 orang dimana 4 harus dari

suku Jawa, 4 suku Sunda, dan 3 suku Batak yang dapat dipilih dari kelompok yang

terdiri dari masing-masing 5 orang untuk tiap suku ?

7. Seorang murid diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal 1 sampai 5

Harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah …

==============



15007-12-924189581551

Documents

Transcript of 15007-12-924189581551