1.5. Kemiringan & Keruncingan

Kemiringan (Skewness) & Kurtosis

Farid S Nurdin, S.Kom, M.Stat,

December, 2012

Farid S Nurdin, S.Kom, M.Stat, Kemiringan (Skewness) & Kurtosis

PendahuluanJenis - jenis Kemiringan Kurva

DefinitionUkuran Kemiringan merupakan suatu ukuran yang dapat digunakanuntuk menentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi.Kemencengan suatu distribusi data, selain dapat dilihat tampilansecara visual, tingkat kemencengan distribusi dapat diketahuimelalui besarnya koefisien kemencengan (Sk) dan melaluibesarnya koefisien moment ketiga (α3) .



1. Koefisien Kemencengan2. Alpha Ketiga (α3)

Kurva Skewed NolKurva Skewed Right dan Kurva Skewed Left

Curve B :Skewed Left

Curve A :Skewed Right




Ada tiga metode dalam menghitung besarnya koefisienkemencengan, yaitu :

Metode Karl Perason,

Sk =3× (x −Me)

Satau Sk =

(x −Mo)

S

Metode Bowley

(Q3 − Q2)− (Q2 − Q1)

Q3 − Q1=

Q3 + Q1 − 2Q1

Q3 − Q1

Metode “10 - 90 Persentil”

Sk =(P90 − P50)− (P50 − P10)

P90 − P10=

P90 + P10 − 2Q50

P90 − P10




Di mana :Sk = 0 Distribusi data simetrisSk > 0 Distribusi data menceng ke kanan ( Menceng + )Sk < 0 Distribusi data menceng ke kiri ( Menceng -)




Kasus

ExampleDiketahui distribusi frekuensi sebagai berikut :




Solusi

Berdasarkan data diperoleh :x̄ =

∑fixi∑fi

= 618080 = 77, 25

Me = 70, 5 + 1040−2320 = 79

s =

√∑f (xi−x)2

n−1 =√

1395579 =

√176.6456 = 13.29081




Solusi

Nilai kuartir dan persentil :

Q1 = 60, 5 + 10(20−8

15

)= 68, 5 P10 = 50, 5 + 10

(8−35

)= 60, 5

Q2 = 70, 5 + 10(40−23

20

)= 79 P50 = 70, 5 + 10

(40−2320

)= 79

Q3 = 80, 5 + 10(60−43

25

)= 87, 3 P590 = 90, 5 + 10

(72−6812

)= 93, 83




Solusi

Sehingga didapat koefisien kemencengan :Metode Karl Perason,

Sk =3× (x −Me)

S=

3× (77, 25− 79)

13, 29= −0, 395

Metode Bowley

Sk =Q3 + Q1 − 2Q1

Q3 − Q1=

87, 3 + 68, 5− 2 (79)

87, 3− 68, 5= −0, 117

Metode “10 - 90 Persentil”

Sk =P90 + P10 − 2Q50

P90 − P10=

93, 83 + 60, 5− 2 (79)

93, 83− 60, 5= −0, 110




Solusi

.Kesimpulannya : Dengan demikian hasil perhitungan koefisienkemencengan menurut 3 metode adalah sama, yaitu nilai Sk < 0,artinya kurva distribusi menceng ke kiri ( menceng - ).




DefinitionKoefisien alpha ketiga merupakan rata-ratapenyimpangan data darirata-rata dipangkatkan tiga, dibagi dengan simpangan bakupangkat tiga. Rumus untuk data yang belum dikelompokan adalah :

α3 =1n

[n∑

i=1

(xi − x)3

s3

]

sedangkan untuk data yang sudah dikelompokkan adalah :

α3 =1n

[n∑

i=1

fi (xi − x)3

s3

]




dimana :α3 =koefisien alpha ketigax = rata-rata sampelxi = Nilai data ke-in = jumlah datas =simpangan bakufi = Frekuensi kelas ke-i

Ketentuan :α3 = 0 Distribusi data simetrisα3 > 0 Distribusi data menceng ke kanan ( Menceng + )α3 < 0 Distribusi data menceng ke kiri ( Menceng -)




Kasus





Solusi


∑fixi∑fi

= 618080 = 77, 25

s =

√∑f (xi−x)2

n−1 =√

1395579 =

√176.6456 = 13.29081




Solusi

Maka :

α3 =1n

[n∑

i=1

fi (xi − x)3

s3

]

=180

[−53, 5371]

= −0, 6692

.Kesimpulannya : Karena α3 < 0, maka distribusi tersebut mencengke kiri ( Menceng - ).


PendahuluanJenis Kurva Kurtosis

RumusKasus

DefinitionKurtosis merupakan tingkat menggunungnya suatu distribusi, yangumumnya dibandingkan dengan distribusi normal.

Bentuk -bentuknya kurtosis, yaitu :1 Leptokurtik (Leptocurtic), yaitu distribusi yang berpuncak

tinggi dan ekornya relatif panjang,2 Platikurtik (platicurtic), yaitu distribusi yang berpuncak agak

mendatar dan ekornya relatif pendek, dan3 Mesokurtik (mesocurtic), yaitu distribusi normal, puncaknya

tidak begitu tinggi dan tidak begitu mendatar.



RumusKasus



RumusKasus

.Rumus untuk data yang belum dikelompokan adalah :

α4 =1n

[n∑

i=1

(xi − x)4

s4

]

sedangkan untuk data yang sudah dikelompokkan adalah :

α4 =1n

[n∑

i=1

fi (xi − x)4

s4

]



RumusKasus

dimana :α4 =koefisien kurtosisx = rata-rata sampelxi = Nilai data ke-in = jumlah datas =simpangan bakufi = Frekuensi kelas ke-i

Ketentuan :α4 = /mendekati 3 : Bentuk Mesokurtikα4 > 3 : Bentuk Leptokurtikα4 < 3 : Bentuk Platikurtik



RumusKasus

Kasus




RumusKasus

Solusi


∑fixi∑fi

= 618080 = 77, 25

s =

√∑f (xi−x)2

n−1 =√

1395579 =

√176.6456 = 13.29081



RumusKasus

Solusi

Maka :

α3 =1n

[n∑

i=1

fi (xi − x)4

s4

]

=180

[253, 9021]

= 3, 1737

.Kesimpulannya : Karena α34 mendekati 3, maka kurva distribusitersebut berbentuk Mesokurtik.



RumusKasus

Sujana, Metode Statistika Edisi ke-6 (Bandung : Tarsito,2002).


1.5. Kemiringan & Keruncingan

Documents

Transcript of 1.5. Kemiringan & Keruncingan