14. Fisica-Pamer

8/9/2019 14. Fisica-Pamer

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1LIBRO UNI FÍSICA

VECTORES UNITARIOS

FÍSICA

VECTORES CARTESIANOS

I. SISTEMAS DE COORDENADAS A DERE-

CHAS

Un sistema de coordenadas a derechas se utiliza para

desarrollar la teoría que se sigue en el algebra vectoria l.

Un sistema de coordenadas es a derechas cuando

colocando el pulgar dirigido en la dirección del eje z

positivo los demás dedos de la mano derecha se cierran

del eje x positivo al eje y positivo, Fig. 1.

Además, según esta regla, el eje z en la Fig. 2 se dirige

hacia fuera, perpendicular a la página.

x

y

z

Fig 1

II. COMPONENTES RECTANGULARES DE

UN VECTOR

Un vector puede tener uno, dos, o tres componentes

rectangulares, dependiendo de cómo se orienta el

vector relativo al sistema de ejes coordenados x, y,

y z.

Por ejemplo:

– Si A

se dirige a lo largo del eje de x, Fig. 2a,

entonces

x A A

,

– Si A

se encuentra en el plano x-y, entonces las

dos componentes x A y y A , serán determinadas

usando la ley del paralelogramo, Fig. 2b, donde

x y A A A

– Si A

se dirige dentro de un octante en el marco

de x, y, y z, Fig. 2c, A

es representado por la

suma de sus tres componentes rectangulares,

x y z A A A A

……………..……………………… (1)

III. VECTORES UNITARIOS

Un vector unitario es unvector libre cuyo módulo es la

unidad. Si A

es un vector cuyo

módulo A 0 , entonces un

vector unitario teniendo la

misma dirección del A

es

representado por:

A A

u A

......................... (2)

DESARROLLO DEL TEMA



VECTORES UNITARIOS

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2LIBRO UNI FÍSICA

Reescribiendo esta expresión tenemos

A A A u

....................... (3)

Donde el vector A

es una magnitud vectorial

cualquiera, por ejemplo: un vector fuerza. Todo vector

posee pues un módulo, representado por la cantidad

escalar A y una dirección determinada por el vector

adimensional Au

, Fig. 3.

III. VECTORES UNITARIOS RECTANGU-

LARES

La manera de simplificar las operaciones en el algebra

vectorial, se hace uso de los vectores unitarios

rectangulares (versores rectangulares) ˆˆ ˆi, j y k , los

cuales serán usados para definir las direcciones positivas

de los ejes x, y y z.

z

x

yik

j

Fig 4

Haciendo uso de la ecuación (3), las componentes del

A

en la Fig. 2 se pueden expresar en función de los

Vectores Unitarios Rectangulares.

Por ejemplo:

Si A

esta dirigido a lo largo del eje x positivo se

expresara como sigue

xˆ A A i

Si A

se encuentra en el plano x - y se expresara como

sigue

x yˆ ˆ A A i A j

Si A

se dirige dentro de un octante del marco x, y y

z, se expresara como sigue

x y zˆˆ ˆ A A i A j A k

……………… (4)

También es posible representarlo así:

x y z A (A ,A , A )

IV. MAGNITUD DE UN VECTOR CARTE-

SIANO

Siempre es posible obtener la magnitud de un vector

cuando esta expresado en términos de sus

componentes rectangulares.

Por ejemplo:

Si: x y x yˆ ˆ A A i A j (A , A )

Su módulo será: 2 2x y A A A

Si: x y z x y zˆˆ ˆ A A i A j A k (A ,A , A )

Su módulo será: 2 2 2x y z A A A A

A los ángulos que forman el vector con cada uno de

los ejes rectángulares se les denomina ángulos

directores, y a los cosenos correspondientes cosenos

directores para los cuales se cumple:

Az

Z

y

Ay Ax

x

A

yx z A A A

Cos Cos Cos A A A

2 2 2Cos Cos Cos 1



VECTORES UNITARIOS

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3LIBRO UNI FÍSICA

Luego el vector se puede expresar como:

x y z x y z A A i A j A k (A ;A ;A )

A A(Cos i Cos j Cos k)

V. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

El producto escalar (punto) de dos vectores a

y b

(no nulos) se define por:

b

a

a.b | a | b | Cos

(Escalar)

Propiedades del producto escalar.

1. a . b b .a

2. a . b b .a

3. a .(b c) a .b a. c

4. 2 2 2 2x y za.a | a | a a a

5. Si: a b: a .b 0

Expresión en componentes rectangulares:

1. ˆi.i j . j k .k 1; i. j i.k j.k 0

2.

x y zx x y y z z

x y z

a a i a j a k a.b a b a b a b

b b i b j b k

VI. PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

Para dos vectores A y B

(no nulos) su producto

vectorial (aspa) es otro vector N A B

con lassiguientes características:

1 . Módulo: | N| | A B | | A ||B |Sen

2. Direccción: Perpendicular al plano definido por

A y B

3. Sentido: Determinado por la regla de la mano

derecha.

(a) El producto vectorial entre dos vectores es un

vector perpendicular a ambos vectores en la dirección

dada por la regla de la mano derecha (b). Si se cambia

el orden de los vectores en el producto vectorial, se

invierte el sentido del vector.

A

A x B

SentidoPositivo

de A a B

B

(a)

A

B

B x A A x B= –

(b)

Propiedades del producto vectorial:

1. A B –B A

2. A B C A B A C

3. A B (A B)

4. Si: A //B : A B 0

Expresión en componentes rectangulares:

1.

i i j j k k 0

i j k j k i k i j

ˆ j i –k k j –i i k –j

2.

x y z x y z

y z z y z x x z x y y x

A A i A j A k B B i B j B k

A B i A B –A B j(AB –A B ) k(A B –A B )



VECTORES UNITARIOS

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4LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1

Dado los vectores A

y B

tales que:

A B i j y A B 2i j

Hallar 2 2 A B

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

Resolución:

Como:

A B i j

A B 2i j

32A 3i A i y2

1B i j2

piden: A2 – B2

22 2

22 2 3 1 A B 12 2

9 11

4 4

Respuesta: A) 1

Problema 2

Determine el módulo del vector

resultante si:

A 8 i 5 j

B 4 i 6 j

C 9 2 j

A) 13 B) 21

C) 26 D) 29

E) 30

Resolución:

Se sabe

R A B C

(8i 5j) ( 4 6 j) ( 9i 2 j)

R ( 5i 1j) ( 5;1)

2 2|R | ( 5) (1) 26

Respuesta: C) 26

Problema 3

Determine el vactor resultante del

sistema de fuerzas mostrado.

1 3F 5 i F 6 i

2F 4i

A) 5 i

B) 6 i

C) 7 i D) 8 i

E) 9 i

Resolución:

Sabemos:

1 2 3R F F F

(5i) ( 4 i) (6i)

7 i

Respuesta: C) 7 i

problemas resueltos



5LIBRO UNI FÍSICA

CINEMÁTICA I

FÍSICA

I. CONCEPTOPodemos decir que la CINEMÁTICA, es parte de la

mecánica que estudia el movimiento mecánico de

los cuerpos, sin considerar las causas que lo originan o

la modifican, es decir estudia las características geo-

métricas del movimiento mecánico.• ¿Qué es el movimiento mecánico?

Es el cambio continuo de posición de un cuerpo

con respecto a otro.

Por ejemplo observemos el movimiento del balón

mostrado en la figura, este realiza movimiento me-cánico, por que cambia de posición respecto al

jugador "A".

• ¿Por qué decimos que el movimiento mecáni-co es relativo?Porque depende del observador o cuerpo de refe-

rencia. Por ejemplo en el gráfico vemos que para

el observador "A" el foco realiza movimiento me-cánico pero para el observador "B" no, porque no

cambia de posición respecto a él.

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

(A)(B)

V

foco

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

(A)

(B)

V

foco

El fococambia deposición

El foco nocambia deposición

II. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁ-

NICO

El movimiento mecánico posee los siguientes elementos:

A. Vector posición ( r )

Nos indica la posición del móvil en un instante detiempo.

• Ar : Vector posición en (A).

• Br : Vector posición en (B).

B. Vector desplazamiento (r)

Es aquel vector que nos indica el cambio de posi-

ción del móvil.

B Ar r r

UnidadS.I.(metros :m)

C. Espacio (e)

Es la longitud de la trayectoria entre 2 puntos cual-

quiera. Esun escalar que se expresa en cualquier

unidad de longitud.

D. Distancia (D)

Es la longitud o módulo del vector desplazamiento.

d | r |

DESARROLLO DEL TEMA



CINEMÁTICA I Exigimos más!

6LIBRO UNI FÍSICA

III. MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO Velocidad ( V )

Es una magnitud física vectorial que nos expresa me-

diante su valor la rapidez con que un cuerpo cambia

de posición y además nos indica en qué dirección se

mueve el cuerpo.

Además la velocidad se puede medir en un intervalode tiempo (velocidad media) o en un instante

(velocidad instantánea).

Velocidad media ( M V )

Se define:

B AM

r r r V UnidadS.I.m /st t

El módulo de la velocidad media se calcula:

Mdd | r | V UnidadS.I.m/st

d: distancia (metros: m)

t: tiempo (segundos: s)

También se define la rapidez media (m) como:

e UnidadS.I.m/st

e : espacio (metros: m)

t : tiempo (segundos: s)

Velocidad instantánea ( V )

Determinada para cada instante de tiempo. Se repre-

senta por un verctor tangente a la trayectoria en el

punto considerado, indicando su módulo la distancia

que recorrería el móvil en la unidad de tiempo.

Distancia Recorrida V

Unidadde tiempo

Rapidez media (R. M)

Cantidad escalar que se relaciona con la distancia reco-

rrida por el móvil durante un intervalo de tiempo, se

determina por:

Dist ancia RecorridaR.M.

Tiempoempleado

La rapidez media mas representa el valor de la veloci-

dad con la cual debería moverse el móvil para recorrer

con movimiento uniforme y en el mismo tiempo la dis-

tancia que ha recorrido con movimiento variado.

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME(MRU)Es aquel movimiento rectilíneo en el que el móvil reco-

rre distancias iguales en tiempos iguales, es decir su

velocidad permanece constante.

Se cumple: d vt

donde: d: distancia (m – km)

v: velocidad (módulo) (m/s – km/h)

t: tiempo (s – h)

• Tiempo de encuentro (te)

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

te V A VB

d

A B

dte Unidad(s) V V

• Tiempo de alcance (ta)

=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/

ta V

A Va

d

A B

dta Unidad(s) V V



7LIBRO UNI FÍSICA

CINEMÁTICA II

FÍSICA

I. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFOR-MEMENTE VARIADO (MRUV)

Es aquel movimiento rectilíneo con aceleración cons-tante, es decir el móvil varía su velocidad en la misma

proporción en intervalos de tiempos iguales. Por ejem-

plo, si un cuerpo acelera con 3 m/s2, decimos que

cada segundo su velocidad varía en 3 m/s.

a = 3m/s2

A. Elementos del MRUV

• v0 : Velocidad inicial (m/s)

• vF : Velocidad final (m/s)

• a : aceleración (m/s2)

• t : t iempo (s)

• d : distancia (m)

B. Ecuaciones

20

0 F

F 0

2 2F 0

11. d v t at2

v v Cada cantidad viene con su2. d t2 respectivo signo el cual depende

3. v v at del sentido tomado como positivo

4. v v 2ad

Desplazamiento en el enésimo segundo (dn)

n 01d v a(2n 1)2

• n : enésimo segundo• a : aceleración (m/s2)

• v0: velocidad inicial (m/s)

II. MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBREEs aquel movimiento con aceleración constante de tra-

yectoria vertical, donde la única fuerza que actúa es la

fuerza de la gravedad (Es decir no se considera la

resistencia del aire)

• Elementos y Ecuaciones del MVCL

v0

vF

t

g

(A)

(B)

h

1. h = v0t +12

gt2 2. h = 0 Fv vt

2

3. vF = v0 + gt 4. vF2 = v0

2 + 2gh

Donde:

• v0 : Velocidad inicial (m/s)

• vF : Velocidad final (m/s)

• g : aceleración de la gravedad (m/s2)

• h : altura (m)

• t : tiempo (s)

Análisis del MVCL

(A)

v0

(B)

vM

vN NM

P

g HMAX

DESARROLLO DEL TEMA



CINEMÁTICA II Exigimos más!

8LIBRO UNI FÍSICA

• Se cumple:

i) tSUB = tBAJ = g

v0

t VUELO = tSUB + tBAJ = g

v20

ii) H MAX =

g2

v2

0

iii) v A = vB y vM = vN

(A alturas iguales rapideces iguales)

iv)

NMB A v v y v v

(A alturas iguales las velocidades no son iguales)

v) vp = 0m/s (En el punto más alto la rapidez es nula)

Los números de Galileo

Considerando g = 10 m/s2, se cumple:

1s

v0=0 m/s

g=10m/s2

10sm

1s

20sm

1s

30sm

1s

40sm

5m

15m

25m

35m

Nota: Para el movimiento rectilínio las diferentes cantidades vectoriales se convierten en cantidades

algebraicas cuyo signo depende de como se oriente el eje elegido.

Para el caso de un M.R.U.V. se tiene por ejemplo:

Movimiento

Acelerado

V

aumentado

Movimiento

Desacelerado

V

disminuye

V(–) V(+) X

a(–) a(+)

(–) (+) X

a(+) a(–)



9LIBRO UNI FÍSICA

CINEMÁTICA III

FÍSICA

GRÁFICAS DEL MRU - MRUV

I. GRÁFICAS EN CINEMÁTICAEn el estudio de las magnitudes cinemáticas es co-

mún encontrar una relación entre dos o más magni-

tudes, de tal manera que si aumenta el valor de una

de ellas, entonces cambia el valor de la otra (aumen-

tando o disminuyendo); por lo tanto se afirma que

entre ellas existe una proporción (directa o inversa)

a una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc, en ge-

neral se dice que una de ellas está en función de la

otra.

Cuando una magnitud es función de otra, entonces

se puede construir una gráfica que relacione a dichasmagnitudes y para ello se emplean los ejes rectangu-

lares x – y, en cinemática encontramos que la veloci-

dad, la aceleración y la posición de móviles se pue-

den expresar en función del tiempo, por lo tanto se

pueden construir los gráficos correspondientes.

Relaciones básicas

A. Proporción Directa

y

xO

MagnitudDependiente

xMagnitud

Independiente

y k(Cons tante)x

y kx

k Tg (pendiente)

B. Variación Lineal

y

xO x

V0

0y kx y

C. Variación Cuadrática

y

xO x

y Semiparábola

2

2

y k(Constante)x

y kx

II. EN EL MRUV

A. Gráfica V - t

En este caso la gráfica es una línea horizontal para-lela al eje del tiempo, esta se debe a que la veloci-dad es constante y no depende del tiempo trans-currido.

DESARROLLO DEL TEMA

V

tO t

V



CINEMÁTICA III Exigimos más!

10LIBRO UNI FÍSICA

Propiedad:

d Área

Observación:

(a) Primer cuadrante área (+)

Desplazamiento hacia la derecha

(b) Cuarto cuadrante área (–)

Desplazamiento hacia la izquierda

Nota 1.

Así por ejemplo

V

tO

k

d(+)

d

Movimiento haciala derecha (d = 0)

V

k

O

d(–)

t

dMovimiento haciala izquierda (d = 0)

V

Propiedades

1. El área comprendida entre la recta representati-va y el eje temporal nos da la distancia recorrida.

d = Área

2. La sumatoria algebráica de las áreas considerando

signos positivos para los ubicados encima del eje

positivo y signo negativo para los ubicados por

debajo, nos da el desplazamiento efectuado.

arriba debajo

del eje t del eje td S – S

Otro ejemplo:

yx1

O

x2

t1

t2t

V+V1

O

–V2

t1 t2t

V2

x2

V1

O x

1

2. Gráfica x – t

En este caso la gráfica es una línea recta inclina-

da la cual no necesariamente pasa por el origen

de coordenadas, esto se debe a que el móvil va

cambiando de posición durante el transcurso del

tiempo.

x

t

x

x0

0t

Propiedad.

V Tg




11LIBRO UNI FÍSICA

Importante:(a) Desplazamiento hacia la derecha.

x

x0

0t

V

0 x0x

V tg (positivo)

(b) Desplazamiento hacia la izquierda.

x0

0t

V

0 x0x

. . .

V Tg Tg

(c) Cuerpo en reposo.

x

x0

Ot

t

0

1. Gráfica a – t

En este caso la gráfica es una línea horizon-

tal paralela al eje del tiempo, esto se debe a

que la aceleración es constante y no de-

pende del tiempo transcurrido.

a

0 t t

a

Propiedad:

F 0 V – V área

2. Gráfica V – t

En este caso la gráfica es una línea rectainclinada cuya pendiente puede ser positivao negativa, esto se debe a que la velocidaddel móvil va cambiando continuamente ya

sea aumenta o disminuyendo asó comotambien cambiando su dirección.

V

0 tt

Vt

Vi

Propiedad:

a Tg d área

Observaciones:

Si el móvil parte del reposo la gráfica es:

V

t

V1

t0

Si el móvil desacelera la gráfica es:




12LIBRO UNI FÍSICA

V V1

0

a = Tg

t

t

Pero:

Tg Tg a Tg

3. Gráfica x – t.

En este caso la gráfica es un arco de pará-

bola cuyo eje es vertical paralelo al eje de

coordenadas (x), si el móvil parte del repo-so la gráfica es una semiparábola, cumplién-

dose que en cada punto de la gráfica la pen-

diente nos da la velocidad instantánea del

móvil.

x

x0

Ot

t

x Arco deparábola

Propiedad:

V Tg

Para recordar:

(a) Área debajo de la gráfica (MRU).

1020304050

60

1 2 3 4 5 6t(s)

V(m/s)

Área Área = (6 – 2)(40) = 160 d = 160 m

(b) Área debajo de la gráfica (MRUV).

510152025

30

2 4 6 8 10t(s)

a(m/s )2

Área Área = (8 – 2)(25) = 150 d = 150 m/s

0

Para recordar:

(a) Área de triángulo

b

b

b.h Área2




13LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1

Una partícula se muestra a lo largo del

eje x de acuerdo a la gráfica posición

(x) - tiempo (t).

Hállese su velocidad media entre. t1 = 5s

y t2 = 15s.

20

108

–10

5

15 t

25(s)

x(m)

O

A) 3 m/s

B) – 1,5 m/s

C) –3 m/s

D) 2 m/s

E) 1,5 m/s

Resolución:

Recordemos que la velocidad media sedetermina por:

2 1m

2 1

x – xx Vt t – t

De la gráfica: 1 1t 5s x 20m y

2 2t 15s x 10m .

m m(–10) – (20) m V V –3(15) – (5) s

Respuesta: C) –3 m/s

Problema 2

Dos móviles A y B recorren la misma

recta, variándo sus velocidades según

indica la gráfica v-t. Si en el instante

en que sus velocidades se igualan, el

desplazamiento de A es el triple del

desplazamiento de B, obtener la ace-

leración de B (en m/s2).

V(m/s)

10

10

B A

Ot(s)

A) 2

B) 4

C) 0,2

D) 0,4

E) 5

Resolución:

Recordemos que en la gráfica v-t eldesplazamiento (distancia) está indica-

da por el área que encierran la gráfica

con el eje de los tiempos.

Las velocidades se igualan cuando las

gráficas se cortan, luego hallando el

instante cuando se igualan.

10

10

B A

Ot

A2A

t

10(t –10) A2

..........(1)

10t3A2

.................(2)

(1) en (2):

103

(t –10)

2

10

t

2t 15s

Luego la aceleración de B:

10a a 2t–10

Respuesta: A) 2

Problema 3

Un móvil de mueve a lo largo del eje

x, y su velocidad varía con el tiempo

de acuerdo a la gráfica que se mues-

tra. Señale la veracidad (V) o falsedad

(F) de las siguientes proposiciones.

( ) El desplazamiento durante los pri-

meros 15 es –750m.

( ) La velocidad media durante los pri-

meros 10 s es 25 m/s.

( ) La longitud total recorrida duran-

te los 15 s es 1250 m

50

0

–100

5 15t(s)

A) VVV

B) FFF

C) VFV

D) FFV

E) VFF

problemas resueltos




14LIBRO UNI FÍSICA

Resolución:

50

0

–100

5 15

V

A2 A3

10 t A1

(V) Desplazamiento ( x)

1 2 3 1 2 3x A – A – A A – (A A )

x 50(5) –100(10)x –750m

(F) velocidad media (0; 10 s):

1 2m

A – A 5(50) – 5(100) V10 10

Vm = –25 m/s

(V) Longitud recorrida:

1 1 2 3L A A A L 50 (5) 100 (10)

L 1250 m

VFV

Respuesta: C) VFV



15LIBRO UNI FÍSICA

CINEMÁTICA IV

FÍSICA

I. MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACE-LERACIÓN CONSTANTEEn este movimiento se tiene que la aceleración media

es igual a la aceleración instantánea, es decir no interesa

el intervalo de tiempo en el cual se determina.

Considerando 0t 0 tenemos que la velocidad se

puede expresar como:

V V aT

Ecuación vectorial

la cual expresada en componentes cartesianas nos da:

x 0x x y 0y y V V a T V V a T Ecuaciones escalares

Y (+)

y

0 x

(+)X

a=const.

V

Estas últimas ecuaciones nos sugiere que este

moviminto se puede considerar como la combinación

de dos movimientos rectilineos con aceleración

constante a lo largo de cada uno de los ejes. Luego

las ecuaciones para cada una de los movimientos

tenemos:

Luego el vector posición se determina por:

en forma analoga tenemos que:

Nota:

(1) Cada una de las cantidades que intervienen en las

diferentes ecuaciones escalares tienen un signo quedepende de su orientación con respecto a los ejes

coordenados

(2) En general la trayectoria recorrida por el móvil es

una parabola. En el caso particular que la velocidad

inicial sea paralela a la aceleración, la trayectoria sera

una línea recta.

DESARROLLO DEL TEMA

EJE X EJE Y

xa cte: M.R.U.V. ya cte :M.R.U.V.

x ox x V V a t y oy y V V a t

2o ox x

1x x V t a t2

2o oy y

1y y V t a t2

x oxo

V Vx x t

2

y oyo

V Vy y t

2

2 2 2 2x y o x y V V V V 2a x 2a y

2 2x ox x V V 2a x 2 2

y oy y V V 2a y

2o o

1ˆ ˆr Xi yj r V t at2

o o oˆ ˆr X i y j

o ox oyˆ ˆ V V i V j

o x yˆ ˆa a i a j

2 2o V V 2a. r

ˆr x2 yj

ox x x oy y y



CINEMÁTICA IV

16LIBRO UNI FÍSICA

II. MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAI-DA LIBRE (MPCL)

A. Concepto

Es aquel movimiento con aceleración constante,

cuya trayectoria es una línea curva denominada

parábola. También podemos decir que este es un

movimiento compuesto porque está formado por:

Eje x: MRUsi : g // ejeY

Eje y: MVCL

B. Elementos

Donde:

• : ángulo de elevación

• L: alcance horizontal

• tv: tiempo de vuelo• HMax: altura máxima

Análisis del movimiento

HMAX

(A)

V0y

Vx

V

Vy V

Vx

V =VP x

Vx

Vy V g

V0y

Vx

V

y

x

Se cumple:

1. V : permanece constante

V : varía debido a la aceleración de la gravedad

x

y

2.oy

v SUB BAJ

2Vt t t

g

3.2

oyMAX

VH

2g

4. 2 2x y V V V

5. VM = VN (a alturas iguales rapideces iguales).

6. VP = Vx (no es cero).

C. Fórmulas del MPCL Para resolver un problema de MPCL, no hay fórmu-

las, se utilizan las ya conocidas del MRU (en el eje x)

y las del MVCL (en el eje y), teniendo en cuenta

que el tiempo es común en ambos ejes.

Eje x: x = Vx . t

Eje y: 20

1y V t gt2

0 F(V V )ty

2

y yF 0 V gt

y y

2 2F o V V 2gy

D. Propiedades

1.

MAX4HTan

L

2.

90

3. Alcance horizontal máximo: (LMAX):

2

MAX VL cuando 452g

4.

h hTana b

ya g



CINEMÁTICA IV

17LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1

El gráfico muestra la velocidad versus

la posición x de una partícula que parte

del origen de coordenadas en el

instante t = 0 s con una aceleración

constante. Dadas las siguientes

proposiciones:

I. La aceleración de la partícula es de

8 m/s2.

II. La partícula pasa por x = 4,0 m en

el instante t = 1,0 s.

III. La velocidad de la partícula en elinstante t = 5,0 s es de 20,0 m/s.

Señale la alternativa que presenta la

secuencia correcta después de

determinar si la proposición es

verdadera (V) o falsa (F).

UNI 2009 - II

A) FFF B) FFV

C) VFV D) FVF

E) VVV

Resolución:

Del gráfico:

2 2f V Vo 2ad 36 = 4 + 2a(4)

a = 4 m/s2

Ecuación posición x = xo + Vot +12

at2

x = 2t + 2t2 V = 2 + 4t

I. Falso a = 4m/s2

II. Verdadero para t = 1s; x = 4m

III. Falso en t = 5s; V = 22m/s

Respuesta: D) FVF

Problema 2

Un cuerpo es soltado desde una altura

de 180 m. Hallar la rapidez final cuando

este llega al suelo. (g = 10 m/s2

)

180mt g

Vi=O

A) 50 m/s B) 20 m/s

C) 60 m/s D) 30 m/s

E) 10 m/s

Resolución:

Aplicamos: 2

i

1h V t gt

2

21180 (0)t (10)t2

t 6 s

Ahora: usamos VF = Vi + gt

VF = 0 + (10)(6)

VF = 60 m/s

Respuesta: C) 60 m/s

Problema 3

Un proyectil es lanzado verticalmente

hacia arriba con una rapidez de 20 m/s,si el proyectil choca contra el techo con

una rapidez de 10 m/s, calcular a que

altura está el techo. (g = 10 m/s2)

A) 20 m B) 10 mC) 5 m D) 15 m

E) 30 m

Resolución:

Aplicaciones 2 2F i V V 2gh

Reemplazando valores:

(10)2 =(20)2 – 2(10)H

H = 15 m

Respuesta: D) 15 m

problemas resueltos



18LIBRO UNI FÍSICA

MCU

FÍSICA

I. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

(M.C.U.)

En este movimiento el móvil recorre una circunferen-cia o un arco de cincunferencia con una rapidez cons-tante. En este movimiento se tiene los siguientes ele-mentos:

A. Desplazamiento angular (

)

Ángulo que barre el radio cuando el móvil pasa deuna posición a otra, se expresa en radian.

B. Desplazamiento lineal (S)

Arco recorrido por el móvil al pasar de una posición

a otra, se expresa en metro. Se cumple la rela-ción:

S AB R

C. Velocidad Tangencial(V)

Determina la rapidez con la cual el móvil recorre sutrayectoria:

ArcoRecorrido V

Unidad detiempo

unidad: m/s; km/h; ....

D. Velocidad angular( )

Determina la rapidez con la cual varía la posición

angular. Se representa por un vector perpendicu-lar al plano de la trayectoria cuyo sentido se deter-mina por la regla de la mano derecha.

Ángulo barridoUnidad de tiempo

Unidad rad/s

R V V WR

E. Aceleración centrípeta c(a )

Determina el cambio en dirección del vector velo-cidad. Se representa por un vector perpendicular

al vector velocidad y siempre indica hacia el centrode la trayectoria:

c

22

c

a V

Va R

R

Una propiedad del MCU es la de ser un movimientoperíodico, es decir, se repite a intervalos regularesde tiempo. Debido a esto se tienen las siguientescantidades:

DESARROLLO DEL TEMA



MCU

19LIBRO UNI FÍSICA

a. Periodo (T,P)

Tiempo mínimo al cabo del cual se repite elmovimiento

b. Frecuencia (f)

Rapidez con la cual se repite el movimiento.

Cumpliéndose:T 1f

Nota:

(1) Recordar que el ángulo se puede expresar en grado sexagesimales, radian o vueltascumpliendose la relación:

1 vuelta 360 2 rad.

(2) En el caso que el ángulo se exprese en vueltas o revoluciones la rapidez angular y lafrecuencia son numericamente iguales.



20LIBRO UNI FÍSICA

MCUV

FÍSICA

I. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME-MENTE VARIADO (M.C.U.V)

A. Conceptos previos

1. Aceleración tangencial o lineal ( Ta )

Si un cuerpo se desplaza por una curva y el valor

o módulo de su velocidad tangencial cambia, en-

tonces aparece la aceleración tangencial cuya di-

rección será tangente a la circunferencia y su sen-

tido coincidirá con el de la velocidad tangencial si

el movimiento es acelerado y será de sentido

opuesto a ella, si el movimiento es desacelerado.

Unidades: 2 2

m cm; ;etcs s

F o

T V V

a ctet

a

V

R

Movimiento acelerado

a

V

R

Movimiento desacelerado

2. Aceleración angular ( )

Si un cuerpo se desplaza por una curva y su

velocidad angular cambia, entonces aparece laaceleración angular cuya dirección es

perpendicular al plano de rotación y su sentido

coincidirá con el de la velocidad angular si el

movimiento es acelerado y será de sentido

opuesto a ella si el movimiento es desacelerado.

F o cte

t

Unidades:

2 2 2 2

rad rad rev rev; ; ; ;etcs min s min



DESARROLLO DEL TEMA



21LIBRO UNI FÍSICA

MCUV

3. Aceleración (a)

Se denomina así a la resultante de la aceleración

tangencial con la aceleración centrípeta, tam-

bién se le denomina aceleración instantánea.

V

acp

a


aT

V

acp

a


aT

Por el teorema de Pitágoras

B. Características del M.C.U

1. Ta = constante; Ta constante

2. = constante; = constante

3. cpa constante; cpa constante

4. En tiempos iguales la rapidez tangencial "V"

cambia cantidades iguales.

5. En tiempos iguales la rapidez angular " " cambia

cantidades iguales.

6. En tiempos iguales recorre arcos diferentes

realiza desplazamiento angulares diferentes.

C. Fórmulas

1. Tangenciales

aT aT

V1

V1

t

R R

S

Este gráfico es de un M.C.U.V. __________.

• f 1 T V V a t

• 2 2f 1 T V V 2a S

•2

1 T1

S V t a t

2

• n 1 T1S V a (2n 1)2

Sn = arco recorrido en el número de segundo

"n" (n-ésimo segundo)

Además: 1 f VSt 2

2. Angulares

i

R

R

f f

i

t

Este gráfico es de un M.C.U.V. _________.

• f i t

• 2 2f i 2

• 2i 1t t2

• n i1

(2n 1)2

n : ángulo descrito en el número de segundo

"n".

Además: i f

t 2

3. Relación entre la aceleración tangencial

"aT" y la aceleración angular "a"

f o f i f iT V V R R

a R t t t

Ta R

D. Movimiento de rodamiento

Cuando una rueda se mueve con rozamiento por

el piso se observa que su movimiento es el

resultado de un movimiento de traslación del centro

de la rueda y un movimiento de rotación con

respecto al centro de la rueda.

2 2T cpa a a T ca a a

T ca a



22UNI 2014 - III FÍSICA

MCUV

Exigimos más!

Resultante Traslación Rotación V V V

Velocidad resultante de cualquier punto de la rueda

Importante

Método práctico para determinar la velocidad re-

sultante V de un punto de la rueda:

V

V1

C.I. (Centro instantáneo)

1 ci V R

1 ci 1 V R

1 1

V R V R

donde:ci : es la velocidad angular con respecto al centro

instantáneo.

En un movimiento curvilíneo:

aN

V

La aceleración normal es perpendicular a la velocidad

(V):

2

Na

: Radio de curvatura

Problema 1

Una partícula se mueve en una

trayectoria circular de 4 m de radio de

tal manera que cada 4 segundos su

rapidez aumenta en 20 m/s. Si la

partícula partio del reposo, calcular el

desplazamiento angular (en rad)

después de 8 s de recorrido.

A) 30

B) 40

C) 50

D) 60

E) 70

Resolución:

Aceleración tangencial:

2T

va 5m/s

t

Luego la aceleración angular:

2TT

a 5a R .rad/s

R 4

Entonces el desplazamiento angular:

22

ott 5 8W 40rad2 4 2

Respuesta: B) 40

Problema 2 Al encender un motor eléctrico su eje

desarrolla un MCUV. Si durante el

segundo segundo logra girar 60

vueltas, determinese el número de

vueltas que logró durante el primer

segundo.

A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

Resolución:

Usando la gráfica w- t.

w

t

2h

h

0 1 2

x = ?

60

h(1)

x .........(1)2

2h(2)x 60 .......(2)

2

problemas resueltos



23LIBRO UNI FÍSICA

MCUV

(1) en (2): x + 60 = 4 . (x)

x 20

Respuesta: A) 20

Problema 3

Una partícula desarrolla un movimiento

circular. Si al pasar por el punto P tiene

una aceleración 2a (–4i 3j)m/s

calcule su rapidez angular (en rad/s)en el punto P.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 2

E) 3

Resolución:

Notemos que la aceleración centrípeta

tiene valor de:

2 2ta 4m/s w R w 1rad/s

4 m

O

y

xP

Respuesta: A) 1



24LIBRO UNI FÍSICA

ESTÁTICA I

FÍSICA

Siempre que elevas, empujas, jalas, golpeas o das un

puntapié estás aplicando una fuerza sobre algún objeto.

Sin embargo, para nuestra sorpresa, no es necesario tocar

un cuerpo para ejercer una fuerza sobre él, por ejemplo,cualquier objeto, desde un botón hasta un avión es atraído

hacia el centro de la Tierra por la gravedad sin importar que

esté en contacto o no con la superficie.

Se puede reconocer la acción de una fuerza sobre un cuerpo

porque éste causa un movimiento (si el cuerpo estaba en

reposo) o causa un cambio de su velocidad (si el cuerpo

estaba ya en movimiento), sin embargo cuando son varias

fuerzas las que actúan es posible que en conjunto, el

resultado sea distinto, el cuerpo puede permanecer en

equilibrio; en este capítulo nos concentraremos en éste

aspecto de las fuerzas, el equilibrio de los cuerpos.

I. FUERZALlamaremos así a la magnitud vectorial que representa

en qué medida dos cuerpos interactúan y que es capaz

de cambiar el estado de movimiento de los cuerpos o

producir deformaciones en ellos. En el Sistema

Internacional de unidades se expresa en newton (N).

A. Las fuerzas de acuerdo a su naturaleza

1. Fuerza gravitatoria

Es la fuerza de atracción entre 2 cuerpos

cualquiera debido a la presencia de materia.

2. Fuerza electromagnética Aparece en in teracciones en tre 2 cuerpos

cargados eléctricamente.

3. Fuerza nuclear

Es el responsable de la estabilidad del núcleo

atómico (nuclear fuerte) y los procesos de

desintegración radiactiva (nuclear débil).

B. Algunos casos particulares

1. Peso

Es la fuerza de gravedad que ejerce la Tierra

sobre cualquier objeto cercano a su superficie.

PESO Peso mg

NOTA: En el próximo capítulo veremos que el

peso es proporcional a la masa es decir.

2. Tensión

Cuando jalas un cuerpo con una cuerda muy

liviana, la cuerda transmite tu fuerza hacia el

cuerpo; esta fuerza ejercida por las cuerdassobre los cuerpos se llama tensión.

F

T

T

F

3. Compresión

Cuando una fuerza externa actúa sobre una barra

tratando de comprimirla, ésta transmite dichafuerza al cuerpo con el que está en contacto. A la

fuerza ejercida por la barra se le llama compresión.

F

C

C

F

DESARROLLO DEL TEMA



ESTÁTICA I

25LIBRO UNI FÍSICA

4. Reacción o contacto

Al poner en contacto un cuerpo con otro, las

moléculas reaccionan produciendo entre ellas una

fuerza de reacción; en general, ésta es oblicua

y tiene 2 componentes: la componente normal

y la componente de rozamiento, como se

muestra en la figura.

N R

f

FN: Reacción normal o normal

f: Fuerza de Rozamiento R: Reacción total

Se cumple: 2 2R N f = +

5. La fuerza elástica

Si una fuerza exterior actúa sobre un cuerpo

elástico (por ejemplo un resorte) produce una

deformación x; en respuesta, el resorte produce

una fuerza contraria proporcional a la deformación

sufrida, a ésta fuerza se le denomina fuerzaelástica.

x

Fe FExt

x

Fe FExt

Dentro de ciertos límites se cumple:

F K x

II. PRIMERA LEY DE NEWTON (LEY DE LAINERCIA)Basado en las observaciones de Galileo, Newton formuló

lo que se conoce como la primera Ley de movimiento.

"Un objeto en reposo o en movimiento con velocidad

constante permanecerá indefinidamente en ese estado

si ninguna fuerza actúa sobre el o si la resultante de

todas las fuerzas que actúan es nula".

Es decir sólo es posible cambiar la velocidad de un objeto

si una fuerza resultante actúa sobre él.

Se denomina inercia a la propiedad de los cuerpos de

oponerse a cualquier variación en su velocidad; el efecto

de la inercia es diferente en los cuerpos con diferente

masa. Es decir la masa es la cantidad de materia y está

asociado directamente a la inercia que los cuerpos

tienen.

III. TERCERA LEY DE NEWTON(LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN)Cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, éste

ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud,

igual dirección, pero de sentido contrario; a éste par

de fuerzas se les denomina acción y reacción .

Ejemplo:

Puedes comprobarlo fácilmente, para saltar empujas al

piso y la reacción te dá el impulso, para nadar empujas

el agua hacia atrás, la reacción te impulsa hacia

adelante.

Nota:

La acción y la reacción no se cancelan (a pesar de

ser opuestas) porque actúan sobre cuerpos

diferentes.

Nunca te olvides que las fuerzas aparecen en parejas.

IV. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.)Para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo

(en movimiento o en reposo) es útil realizar un diagrama

que represente gráficamente las diversas fuerzas que

actúan sobre un cuerpo o sobre un sistema.

Se recomienda:

1. Seleccionar el o los cuerpos que se van a estudiar.

2. Aislar el cuerpo y elegir un sistema de coordenadas,

preferentemente con uno de sus ejes orientados

en la dirección del movimiento.

3. Graficar las fuerzas externas sobre el cuerpo.

Nota:Las fuerzas internas y las que ejerce el cuerpo sobreotros cuerpos no se grafican.

V. EQUILIBRIO DE PARTÍCULASPartícula es todo cuerpo (pequeño o no) en el cual

podemos ignorar su movimiento de rotación.



ESTÁTICA I Exigimos más!


De la primera Ley de Newton podemos deducir que si

una partícula está en equilibrio sólo permanece así si la

resultante de las fuerzas es nula.

Equilibrio es el estado de reposo o de movimiento con

velocidad constante; físicamente son indistinguibles.

Es decir: matemáticamente.

F1

F2

F3

1 2 3F F F 0

+ + =

F 0

=

Analíticamente podemos descomponer las fuerzas en

los ejes coordenados, entonces.

XF 0=

Y F 0=

Nota:

1. Si sobre un cuerpo

0F se cumple:

=

=

( ) ( )

( ) ( )

F F

F F

2. Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas y la

0F dichas fuerzas pueden formar una

poligonal cerrada.

3. Si sobre un cuerpo actúan tres fuerzas y este

presenta equilibrio de traslación sin rotar, entonces

dichas fuerzas deben ser no paralelas y

concurrentes.

4. Ley de Lamy: En un cuerpo en equilibrio, sometido

a la acción de 3 fuerzas coplanares y concurrentes,

el módulo de cada fuerza es directamente

proporcional al seno del ángulo que se le opone.Formando un triángulo se tiene:

31 2 FF F

Sen Sen Sen

= =



27LIBRO UNI FÍSICA

ESTÁTICA II

FÍSICA

I. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE ( M

)

El momento de una fuerza M

, es una magnitud físicavectorial que mide el efecto de giro que produce una fuerzaal actuar en un cuerpo.Se debe tener presente que una fuerza al actuar sobre uncuerpo puede causar una serie de efectos como la deformaciónde un cuerpo cuando se estira o comprime un resorte. Tambiénpuede causar efectos de rotación, esto lo percibimos cuandouna puerta se abre o se cierra debido a una fuerza aplicada o elmovimiento del timón del automóvil debido a las fuerzas aplicadaspor las manos de un conductor.La primera condición de equilibrio asegura equilibrio de traslaciónde un cuerpo; sin embargo, no asegura que el cuerpo no rote.

F

F

F

FFF

Por ejemplo: si tenemos una barra homogénea suspendidaen su punto medio por una cuerda atada al techo.

Encontrándose en reposo se cumple: T = Fg, si ahoraaplicamos a los extremos de la barra, fuerzas verticales yopuestas tal como se demuestra:

FG

Siendo F1 = F2 la fuerza resultante sobre la barra siguesiendo nula, entonces la barra se mantiene en equilibrio detraslación. Sin embargo a causa de dichas fuerzas la barra

rota, entonces llegamos a la conclusión de que la primeracondición requiere de una segunda condición y dichacondición estará ligada con los efectos de rotación quepueden causar las fuerzas que actuan sobre un cuerpo yesto lo podemos caracterizar con una magnitud físicavectorial a la cual llamaremos (momento de fuerza).

F1

F2ROTACIÓN

El momento de una fuerza es una magnitud física vectorialque mide el efecto de rotación de una fuerza sobre uncuerpo en torno a un punto llamado centro de rotación,pero ¿de que dependerá el efecto de rotación? ¿De quédepende el momento de una fuerza?Para ello veamos un ejemplo de una puerta que puederotar en torno a sus bisagras.Si aplicamos una fuerza lejos de las bisagras, la puerta confacilidad se abre, eso es lo que hacemos diariamente; peroque sucede si ap licamos la misma fuerza pero en el mediode la puerta esta también rotará, pero con menos facilidad.

F F

DESARROLLO DEL TEMA



ESTÁTICA II Exigimos más!


Y si aplicamos la misma fuerza cerca de las bisagras la puertagira pero con mucha dificultad.De ahí notamos que la capacidad de una fuerza para producirrotación no solamente depende de su modulo, sino tambiénde como y donde esta aplicada esta fuerza, es decir.Dependerá también de una distancia denominada (brazode palanca) tal que a mayor brazo de palanca mayor

será el efecto de rotación de la fuerza, es decir mayorserá su movimiento, pero cuando aplicamos una fuerzaen el eje de rotación esta fuerza no producirá efecto derotación en otras palabras, basta que la línea de acciónde la fuerza pase por dicho eje para que no produzcarotación.Por ello, es necesario que la línea de acción de la fuerza nopase por el centro de rotación para que se produzca unefecto de rotación tal como se muestra.

Centro demomentos (c.m.)

O

P F

L

d

Mlínea deacción de

furzabrazo defuerza

En este caso, el brazo de la fuerza (d) es la distancia máscorta desde el centro de momentos hasta la línea de acciónde la fuerza, resultando que son mutuamenteperpendiculares d F

, en consecuencia, el módulo del

momento de una fuerza se evalúa así:

FOM F.d= Unidad: N . m

La notación F0M se lee: modulo del momento de la fuerza F

respecto al punto O. Donde "O" es el centro de momentos.

Propiedades• Si d = 0, la línea de acción de la fuerza pasa por el

centro de momentos y no se produce ningún efectode rotación en ese caso.

O

F

FM 0=

• El momento será máximo cuando el brazo seamáximo (dmax), esto ocurre cuando F esperpendicular a la llave.

O

F

dmáx FmaxM F d=

• Se recomienda tomar como positivos los momentosque tienen un efecto de rotación en sentidoantihorario, y negativo los que tienen efecto derotación en sentido horario.

MF

O

(+)

ROTACIÓN ANTIHORARIA

MF

O

(-)

ROTACIÓNHORARIA

II. TEOREMA DE VARIGNONSi la resultante de un sistema de fuerzas coplanares esdifernte de cero, el torque que la resultante respectoa cualquier punto situado sobre el plano de acción dela fuerza es igual a la suma algebraica de los torques delas fuerzas componontes respecto del mismo punto:

R 1 2 3Si F F F F 0

F2 F3

F1

A

R 1 2 3

A A A AF F F FM M M M

III. POR FUERZAS O CULPASistema formado por dos fuerzas paralelas, de igualmódulo y dirigidas en sentidos contrarios.

F

F

Este sistema presenta las siguientes características:1) Su resultante ses nula por lo qu eno puede producirun movimiento de treslación.

2) Se caracterisa por un torque, independiente delcentro de momentos dado por:

M Fb

3) Produce un movimiento de rotación.4) Una cupla solo puede ser equilibrada por otra cupla

de igual torque pero de sentido cotrario.

IV. TEOREMA DE VARIGNONPara que un cuerpo se encuetre en equilibrio esnecesario qu ela suma d elos torques producidos por

cada una de las fuerzas que actúan sobre el, sonrespecto a cualquier punto sea igual a cero:

Nota:

1) Las condiciones del equi l ibr io sonindependientes entre si.2) Solo en el equilibrio se deben cumplir tanto laprimera como la segunda condición del equilibrio

AFM 0

Puntoarbitrario A :



29LIBRO UNI FÍSICA

Establece la leyes generales que rigen los movimientos de

los cuerpos.

I. INERCIA

La comparación de los resultados de la acción de una

misma fuerza sobre cuerpos diferentes conduce a la

noción de la inercia de los cuerpos. La inercia carac-

teriza la propiedad de los cuerpos materiales de cam-

biar más rápido o más lentamente la velocidad de su

movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas.

La masa del cuerpo (m) es una magnitud física escalar

que es la medida cuantitativa de la inercia del cuerpo.

En mecánica se considera que la masa es constante

para cada cuerpo dado, osea no depende de la veloci-

dad del cuerpo cuando es pequeña comparada con la

velocidad de la luz.

A. 2.a ley de Newton

Toda fuerza resultante no nula que actúa sobre un

cuerpo de masa constante le comunica una acelera-

ción resultante, que tiene la misma dirección y sen-

tido que la fuerza resultante, siendo su valor direc-

tamente proporcional al valor de la fuerza resultante

e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

F4

F1

F2F

3

y

xFR

a

m

FR

F=

m

Luego: R F m a

B. Fuerza de gravedad (P)

Es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la

Tierra (planeta) sobre un cuerpo que se encuentra

en sus cercanías.

Su dirección es vertical y hacia abajo (señala hacia

el centro de la Tierra). Su punto de aplicación es

el centro de gravedad del cuerpo.

P mg

Nota: Si un cuerpo está en caída libre, la única

fuerza que actúa sobre él es su peso.

C. Aplicación de la Segunda ley de Newton

1. Movimiento rectilíneo

Para este caso la aceleración es paralela a la

trayectoria rectilínea y en éste caso se reco-

mienda descomponer las fuerzas en una com-

ponente paralela y perpendicular a la trayec-

toria rectilínea.

Luego:

x xF ma ; y yF ma

Ejemplos:

•

x x

1 2

y y

1

F ma

F Cos F ma

F ma 0

F Sen N P

DESARROLLO DEL TEMA

DINÁMICA

FÍSICA



DINÁMICAExigimos más!

30LIBRO UNI FÍSICA

•

x x

y y

F ma 0

F ma

F P ma

•

x x

y

F ma

mgSen ma

a gSen

F 0

N mgCos

Para sistemas de cuerpos que tienen la misma

aceleración en valor se puede aplicar:

(favor de a) (contra de a)F Fa

masas

Ejemplos:

•

2 1 2 1

1 2 1 2

P P (m m ) ga

m m m m

•

2

1 2

m ga

m m

2. Movimiento circular

La fuerza resultante se descompone en com-

ponentes radial (fuerza centrípeta) y tangencial

(fuerza tangencial). Las fuerzas sobre el cuerpo

también se descompone en componentes ra-

diales y tangentes.

• Eje radial (y)

cp radiales cpF F ma

2

2cp

mVF mW R R

Donde:

cp

vanhacia alejan delF F F

el centro centro

• Eje tangencial (x)

RTangencial tangencial TF F ma

Para el M.C.U.

T RTangenciala 0 F F Tangencial 0

R cpF F módulo constante

Observación:

La fuerza centrípeta (Fcp) es la componente

radial de la fuerza resultante. Su papel es des-

viar continuamente al cuerpo del camino recti-

líneo que recorrería por inercia en ausencia de

la fuerza actuante. La fuerza centrípeta es la

suma de las fuerzas radiales y genera a la acele-

ración centrípeta y por lo tanto cambia la direc-

ción de la velocidad tangencial para que el cuer-

po pueda girar. La componente tangencial

(FR Tangencial) de la fuerza resultante es la suma

de las fuerzas tangenciales y produce a la ace-

leración tangencial y por lo tanto modifica el



DINÁMICA

31LIBRO UNI FÍSICA

Exigimos más!

Problema 1

En el sistema mostrado en la figura, la

polea tiene peso despreciable. Si la

fuerza de rozamiento en la superficie

horizontal es f, determine la aceleración

del bloque de masa m, en función de

F, f y m.

UNI

Nivel fácil

A)F 2f 2m

–

B)F 2f 2m+

C)2(F f)

2m+

D)F 2f

2m

–

E) 2F f 2m –

Resolución

Asumiremos que la cuerda unida al

bloque se rompe D.C.L.:

La 2.da ley de Newton determinará la

relación:

F f F a 2a am m

–= =

Fma f

2= –

F 2f a2m –=

Respuesta: A) –F 2f 2m

Problema 2

Un ascensorista cuya masa es de 60

kg esta sobre una balanza en un

ascensor en movimiento, está le indica

que pesa 760 N.

Asumiendo g = 9,8 m/s2, la magnitud

y dirección de su aceleración será:

UNI

Nivel intermedio

A) la aceleración es hacia arriba.

B) la aceleración es hacia abajo.

C) la aceleración es hacia la derecha

D) la aceleración es hacia la izquierda.

E) No hay aceleración.

Resolución:

Debemos comparar el valor de la fuerza

con el de la reacción normal.

Fg = m.g

Fg = (60)(9,8) = 588 N

N = 760 N

FN > Fg

Por la 2.da ley de Newton

FR = m.a

N – mg = m.a

760 – 588 = 60.a

a = 2,866 m/s2

La dirección es hacia arriba pues FN > Fg.

Respuesta: A) la aceleración es

hacia arriba.

Problema 3

Si R A y R B son las reacciones entre los

bloques m y M para los casos A y B

respectivamente, calcule la relación

R A /R B. No tome en cuenta el

rozamiento (M > m)

Caso A:

Caso B:

UNI

Nivel difícil

A)Mm

B)mM

C)m

M

D)2m

M

E)mM

problemas resueltos



DINÁMICAExigimos más!

32LIBRO UNI FÍSICA

Resolución:

Al ser la misma fuerza y conjunto de

masas hallaremos las aceleraciones en

ambos casos, siendo estas iguales.

A:

FR = m.a

R A = m .a A ... (1)

B:

FR = m.a

R B = M.aB ... (2)

(1) (2)

A A

B

m aR

R =

BM a

Por lo tanto

A

B

R mR M

=

Respuesta: A) m/M



33LIBRO UNI FÍSICA

ROZAMIENTO

FÍSICA

I. ROZAMIENTO

La resistencia que se opone al resbalamiento, o a su

tendencia a resbalar, de un cuerpo sobre otro es una

fuerza tangente a la superficie de contacto, que recibeel nombre de rozamiento. Las superficies en realidad

no son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobre

otro no es normal a dicha superficie de contacto.

Si se descompone la reacción (F) en dos componen-

tes, una perpendicular (N) y otra tangente a la super-

ficie de contacto, la componente tangencial (f) a di-

cha superficie se denomina fuerza de fricción o roza-

miento. En consecuencia, los diagramas del cuerpo li-

bre para problemas donde interviene el rozamiento son

los mismos que para aquellos en que intervienen su-

perficies lisas, salvo que ha de incluirse una fuerza de

rozamiento tangente a la superficie de contacto.

2 2

F f N

f N

F f N

Se suele hablar de dos tipos de rozamiento:

• Rozamiento estático (f s): Cuando no hay movi-

miento relativo entre los cuerpos en contacto; es

decir, cuando ninguno se mueve, o ambos se despla-

zan como si fueran uno solo, oponiéndose a cualquier

intento de movimiento relativo (deslizamiento).En este caso la fuerza de rozamiento desarrollada es

exactamente suficiente para mantener el reposo relati-

vo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Esto implica que la fuerza de rozamiento estático es

una fuerza regulable o variable alcanzando un valor

máximo o límite, el cual depende de la normal y de la

aspereza de la superficies en contacto. Por lo tanto

la fuerza de rozamiento estático cumple con:

límites s0 f f

• Rozamiento cinético (f k ): Se genera cuando

los cuerpos en contacto se encuentran en

movimiento relativo. La fuerza de rozamiento

es constante y prácticamente independientedel valor de la velocidad o aceleración relativa.

A. Coeficiente de rozamiento

Constante experimental que permite comparar las

propiedades de rozamiento de pares distintos o

iguales de materiales en diferentes condiciones de

sus superficies en contacto, y con objeto de cal-

cular la fuerza de rozamiento máxima correspon-

diente a una fuerza normal cualquiera.

El coeficiente de rozamiento estático de 2

superficies cualesquiera se define como la razón

del rozamiento máximo o límite a la fuerza normalcorrespondiente:

límitess

RozamientoLímite (f )

Fuerzanormal(N)

Donde el rozamiento límite es el rozamiento que

existe cuando las superficies están a punto de em-

pezar a moverse la una con respecto a la otra (esta-

do de movimiento inminente).

En general, cuando las superficies en contacto se

mueven una respecto a la otra, el rozamiento dismi-

nuye. En este caso, la razón de la fuerza de rozamien-

to a la fuerza normal se define como coeficiente derozamiento cinético.

k k

RozamientoCinético (f )

Fuerzanormal(N)

El valor del coeficiente de rozamiento tiene que

determinarse experimentalmente, y es una constante para

dos materiales cualesquiera determinados, cuando las

superficies de contacto están en una condición fijada. No

obstante, varía mucho para diferentes condiciones de las

superficies y con la naturaleza de los cuerpos en contacto.

DESARROLLO DEL TEMA



ROZAMIENTO

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34LIBRO UNI FÍSICA

B. Leyes de rozamiento

Los resultados de un gran número de experiencias

sobre el rozamiento en superficies secas, publicadas

por C.A. de Coulomb en 1781, proporcionaron las

primeras informaciones sobre las leyes del rozamiento,

obteniéndose las siguientes leyes:

1. La fuerza máxima de rozamiento que puedeproducirse es proporcional a la fuerza normal

entre las superficies en contacto.

2. Esta fuerza máxima es independiente del

tamaño de la superficie de contacto.

3. La fuerza límite de rozamiento estático es ma-

yor que la fuerza de rozamiento cinético,

siempre que actúe la misma fuerza normal.

4. El coeficiente de rozamiento cinético es menor

que el coeficiente de rozamiento estático.5. La fuerza de rozamiento cinético es independiente

de la velocidad relativa de los cuerpos en contacto.

Problema 1

Si F1 = 100 N y F2 = 40 N, y además m A = 7 kg

y mB = 3 kg y no existe rozamiento, halla la

reacción entre los bloques A y B.

(g = 10 m/s2).

F1 F2

A B

UNI

Nivel fácil

A) 78 N B) 12 N C) 58 N

D) 48 N E) 56 N

Resolución:

Al igual que en el caso anterior, unanálisis de las fuerzas nos permiteafirmar que el sistema acelera hacia laderecha. Hagamos el D. C. L.:

100

N A

NB

40

70 30

a

R R

1) Para (A) 100 – R = 7a..........(1)

2) Para (B) R – 40 = 3a ..........(2)

De (1) y (2) 60 = 10a

6m/s2 = a

R – 40 = 3(6)

R = 58N

Respuesta: C) 58 N

Problema 2

Un bloque pequeño de 500 g gira enun plano horizontal, tal como semuestra. Si la cuerda mide 20 cm y lavelocidad angular es 6 rad/s, halla la

tensión en la cuerda.

W

UNI

Nivel fácil

A) 7,8 N B) 2,6 N C) 5,8 ND) 3,6 N E) 4,6 N

Resolución:

Hagamos un D. C. L.

T

N

mg

1) En dirección vertical:

Fy 0 , N m.g.

2) En dirección horizontal: R F m.a.2

CT m.a mcos R

2 1T 0,5 6

5

T 3,6N

Respuesta: D) 3,6 N

Problema 3

Una piedra de 2 kg gira en un plano

vertical mediante una cuerda de 1 m

de longitud. Si la velocidad en laposición mostrada es 10 m/s, halla la

tensión de la cuerda en dicha posición.

(g = 10 m/s2).

UNI

Nivel fácil

A) 148 N B) 220 N C) 108 N

D) 260 N E) 36 N

Resolución:

Hacemos un D. C. L.:

T

V

mg

R CF m.a

2v

T m.g. mR

210T – 2 10 21

T 220N

Respuesta: B) 220 N

problemas resueltos



35LIBRO UNI FÍSICA

TRABAJO

FÍSICA

I. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE

( F W )

Sea una fuerza constante y paralela al desplazamiento,el trabajo que esta fuerza desarrolla sobre el bloque aldesplazarlo una distancia "d" viene dado por:

F

A BW = F d

Donde:F : fuerza que realiza el trabajo (en N).d : desplazamiento (en m).

FW : Trabajo de la fuerza "F".El trabajo se calcula como el producto escalar de F y d .

II. UNIDAD DEL TRABAJOLa unidad del trabajo que utilizamos con mayor fre-cuencia es el "Joule" que es el trabajo desarrollado poruna fuerza de un newton al mover su punto de apli-cación un metro en su propia dirección, esto es:

Joule = Newton x metro; 1 J = 1 N x mEl nombre de Joule se adoptó en honor del físico inglés James Prescott Joule (1818-1869), cervecero de profesión,pero a quien su acomodada posición económica, permitió hacer notables investigaciones en la física.

Al ubicar un eje de coordenadas (eje x) en la direccióndel movimiento, se puede observar como varía "F" enrelación a su posición "x" para luego graficar "F" vs "X".En nuestro caso, F es constante y presenta el mismo valoren cualquier posición, siendo su gráfico (F vs X) el siguiente:

Al calcular el trabajo obtenemos:

1 2

Fx x 2 1

desplazamiento

W = F x – x

Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos: Área: 2 1F x – x .¡El área bajo la gráfica "F vs X" es numéricamente igualal trabajo!

1 2Fx xW Áreabajo lagráfica F x

A. Y ¿qué sucede si la fuerza no es constante?,

¿sigue siendo el área bajo la gráfica igual al

trabajo?

Si la fuerza es de módulo variable pero de direcciónconstante, entonces, el área bajo la gráfica "F vs X"sigue siendo igual al trabajo, aunque en este casopuede que el área no sea de una región conocida.Los detalles de su demostración tienen que vercon una rama de la matemática llamada cálculo

diferencial e integral , que no son motivo de nuestroestudio.En este caso el módulo de la fuerza toma distintosvalores para cada posición, sin embargo, el áreabajo la curva "F vs X" sigue siendo igual al trabajo.

variable1 3

Fx xW = Área

DESARROLLO DEL TEMA



TRABAJO

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36LIBRO UNI FÍSICA

Para el caso de una dependencia lineal de "F" res-

pecto de "X" se puede utilizar el concepto de fuerza

media.

1 22 1

media

F +F Área = x - x

2

Área = F . d

B. Y ¿qué sucede si varía su dirección?

Respuesta: Si la fuerza es variable en dirección, el

problema es muy complejo y aún mayor si lo es

también en módulo, el análisis de este tipo de pro-

blemas requiere del ya mencionado cálculo dife-

rencial e integral para su solución. Pero no temas

tigre dentro de muy poco ingresarás a la universidad

y aprenderás a usar estas herramientas.

Sin embargo hay un caso más, el cual es muy sencillo,

se trata del trabajo que desarrolla una fuerza cons-

tante en módulo, dirección variable, pero tangente

a la trayectoria (colineal con la velocidad).

En el gráfico, F es siempre tangente a la trayectoria,

varía en dirección pero su módulo siempre es el mismo.

El trabajo que desarrolló F al trasladar su punto deaplicación de A hacia B se halla así:

F Const.

variableF AB A BW F

III. TRABAJO TOTAL O NETO (Wneto)El trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo sobre el cualactúan varias fuerzas es la sumatoria de los trabajos realizadospor cada fuerza independientemente de las demás:

NETO F F F2 31 A B A B A B A BW W W W ...

Nótese que esta suma es escalar, los sumandos pueden

ser positivos, negativos o cero, lo mismo ocurre con el

resultado.

También se puede hallar el trabajo neto como el trabajo

de la fuerza resultante, así, si:

2 3R 1F = F +F +F +...

Nótese que es una suma vectorial, para obtener R Fhay que tener bastante cuidado con las direcciones ylos módulos de cada fuerza.

R FNETO A B A B

NETO A B R

W W

W F d Cos

• Si R F 0 (cuerpo en equilibrio) NETOW = 0

• Si el movimiento del bloque es uniforme (movimiento

a rapidez constante).

F V

90ºR

=

NETOW = 0

Reflexión

Cuando se trata de hallar el trabajo hay que espe-

cificar muy bien quién es el que realiza el trabajo y

sobre quién se realiza. Así por ejemplo, si un joven

empuja un cajón sobre una superficie horizontal apli-

cándole una fuerza de 10 N y desplazándolo 3 m se

puede evaluar fácilmente el trabajo que éste desarrolla

sobre el bloque jovensobreelbloqueW 30 J , sin embargo por la

tercera ley de Newton, durante el proceso, el cajón

ejerce una fuerza sobre el joven que tiene la misma

magnitud y de sentido opuesto a la que ejerce el joven,

tal es así que si hallamos el trabajo que realiza el cajón

sobre el joven sería jovensobreelbloqueW 30 J .



TRABAJO

37LIBRO UNI FÍSICA

Exigimos más!

FCajón FCajón

d

Jovensobrecajón

Cajónsobre joven

W = –WFJoven = –FCajón

En general cuando un cuerpo "A" realiza un trabajo "W"sobre un cuerpo "B"; el cuerpo "B" realiza sobre el cuerpo"A" un trabajo "W" de signo contrario (por la fuerza dereacción, que tiene un sentido opuesto a la de acción).

IV. POTENCIA

La definición de trabajo no mencionó el tiempo em-pleado, por ejemplo, si se quiere desplazar un bloque

una distancia horizontal de 5 m mediante una fuerza

horizontal de 10 N el trabajo que se tiene que desarro-

llar sería: FW = F d=10 N (5 m) =50 J independiente-

mente de cuanto tiempo nos tardemos, pues podría

ser 1 s, 1 día, 1 año, etc. Pero muchas veces necesita-

mos conocer la rapidez con la cual se efectúa un traba-

jo, esto se describe en términos de potencia que es el

trabajo efectuado en la unidad de tiempo, esto es:

mTrabajo F dPotenciamedia= F V

Tiempo t

En general la potencia se puede expresar:

P F ... (**)

m m

instantánea instantánea

P P

P P

Si se tiene un mecanismo cuya potencia es determi-

nada, la ecuación (**) muestra que cuanto menor

sea mayor será la fuerza ejercida.

Eficiencia de una máquina ( )

Toda máquina necesita de un suministro de potencia

para realizar algún tipo de trabajo, esto es, para desa-

rrollar una potencia útil. Así se define la eficiencia de

una máquina como la razón entre las potencias útiles a

la entregada a la máquina.

útil

entregada

PP

Note que la eficiencia es un número adimensional y

que < 1 pues:

entregada útilP P

Esto es, toda la potencia que se entrega a una máqui-

na no es aprovechada íntegramente por esta para rea-

lizar trabajo, pues hay pérdidas por rozamiento que

normalmente se presencia en forma de calor (la má-

quina se calienta). Por ejemplo, cuando conectas una

licuadora al toma-corriente (suministro de potencia),

se entrega potencia a la licuadora y esta realiza trabajo

al mover sus cuchillas, sin embargo notarás que el motor

se calienta advirtiendo que hay pérdidas de potencia.Sin embargo se cumple:

entregada perdidaútilP P P

Observación

La eficiencia se suele expresar también en términosde tanto por ciento esto es:

útil

entregada

P100%

P



TRABAJO

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38LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1

Un arandele puede deslizar por un eje

sin fricción; hallar el trabajo realizadopor F desde A hasta B. (AB = 10 m)

Nivel intermedio

A) 140 J B) 150 J C) 160 JD) 170 J E) 180 J

Resolución :

De la definición

FW F.AB Cos=

F4W 20 10 160 J5

= =

Respuesta: C) 160 J

Observa que la solución es equivalentea descomponer la fuerza o el

desplazamiento con tal que rF //

.

Problema 2

Hallar el trabajo del peso cuando la masa

m = 5 kg se dirige de "A" a "B" por latrayectoria mostrada. (g = 10 m/s2)

y =101

y =42

x =11 x =62

y

x

(m)

Nivel intermedio

A) 190 J B) 250 J C) 230 JD) 300 J E) 180 J

Resolución:

Siendo la gravedad constante; eldesplazamiento en la dirección del pesoes 10 – 4 = 6 m.

mg 1 2W mg y y 5 10 6= – =

mgW 300J=+

Este resultado es general eindependiente de la trayectoria. mg 1 2W mgy mgy= –

Respuesta: D) 300 J

Problema 3

Si solo el 20% de la potencia de un

motor fuera aprovechable, dicho motoreleva el bloque (m = 100 kg) convelocidad constante de 0,5 m/s. ¿Cuáles la potencia nominal que indica laetiqueta del motor?

Nivel intermedio

A) 1 090 W B) 2 500 WC) 2 300 J D) 3 000 WE) 1 800 J

Resolución:

• Sea P. Entregada = 100 K Como sólo se aprovecha el 20%

P. Útil = 20 k yP. Perdida = 80 k • Sabemos: P.útil = F . V

20 k = F . 12

F = 40 k; pero1 000 N = F = mg1 000 N = 40k

k = 25 P.Nominal = P.Entrega= 100k = 100(4) P.Nominal = 2 500 w

Respuesta: B) 2500 W

problemas resueltos



39LIBRO UNI FÍSICA

ENERGÍA

FÍSICA

Capacidad que posee un cuerpo o sistema de efectuar

trabajo bajo ciertas condiciones.

I. ENERGÍA MECÁNICA

A. Concepto

Capacidad para desarrollar trabajo mecánico, esto

es transmitir movimiento mecánico.

B. Tipos de energía mecánica

1. Energía cinética (EK )

Es la energía asociada al movimiento de los cuerpos.

2K

1E mV2

Donde:

m : masa del cuerpo (en kg)

V : rapidez del cuerpo (en m/s)

EK : energía cinética (en J)

2. Energía potencial (Ep)

Es la energía que tienen los cuerpos y que está

asociada a la interacción con otros cuerpos, esto

es, depende de su ubicación o posición frente

a otros cuerpos. Estudiaremos las siguientes

clases de energía potencial.

• Energía potencial gravitatoria (Epg)

Si dicha posición es una altura respecto a

la tierra o a cualquier nivel de referencia,donde se asume dicha energía como nula.

N.R.

Epg = 0

h

g = cteE = mgh

pg

Donde:

m: masa del cuerpo (en kg)

h: altura (en m)

g: aceleración de la gravedad (en m/s2)

Epg: energía potencial gravitatoria (en J)

Observación:

La "Epg" es relativa; pues depende del nivel

de referencia que se tome como cero.

• Energía potencial elástica (Epe)

Si dicha posición es una desviación respecto

a una posición de equilibrio, la presentan

co-múnmente los cuerpos elásticos cuando

son deformados.

DESARROLLO DEL TEMA



ENERGÍAExigimos más!

40LIBRO UNI FÍSICA

21Ep Kx2

Donde:

x: deformación del resorte (en m).

K: constante de fuerza del resorte en (N/m).

Epe: energía portencia elástica (en J).

En conclusión

La energía mide las diversas formas de movi-

miento e interacción de las partículas que

conforman un sistema.

C. Relación entre el trabajo y la energía

El joven realizó trabajo (+) sobre el bloque y este ad-

quirió energía cinética.

La " k f " realiza sobre el bloque trabajo (–) reduciendo

su energía cinética.

Sea en el ejemplo anterior: WJoven = 100 J y f k = –30 J.

La "EK " que adquiere el bloque al final será EKf = 70 J,

esto es:xk Joven f E =W +W

Laf x0

K K Joven f E = W + W

Generalizando:

Teorema de la energía cinética:

Neto K W = ΔE 0Neto Kf K W = E – E

1. Fuerzas conservativas

Son aquellas fuerzas cuyo trabajo está asociado

a una función potencial, esto es, su trabajo

puede expresarse como una diferencia de ener-

gías potenciales en sus puntos final e inicial in-

dependientemente del trayecto seguido. Las

fuerzas conservativas más comunes son:

• Fuerza de gravedad asociada a la Epg.

• Fuerza elástica asociada a la Epe.

F.conservW Ep

F.conservo f W Ep Ep



ENERGÍA

41LIBRO UNI FÍSICA

Exigimos más!

2BmVm(0)2

mg(25) mg(15)2 2

+ = +

2BmVmg(25) mg(15)2

= +

2B10g2

=

B V 2.10.9,8=

Respuesta: A) V B = 14 m/s

Problema 1

Si la esfera es soltada en el punto "A",

¿con qué velocidad pasará por el punto"B"?

No considere rozamiento.

15 m25 m

A

B

Nivel dereferencia

UNI

Nivel intermedio

A) VB = 14 m/s

B) VB = 12 m/s

C) VB = 20 m/s

D) VB = 24 m/sE) VB = 10 m/s

Resolución:

Como no actúan fuerzas no

conservativas se cumple:

PG(A) C(A) PG(B) C(B)E E E E+ = +

2 2 A B

A BmV mV

mgh mgh2 2

+ = +

Observación:

A la suma de las energías cinética y potencial

en un sistema se denomina energía mecánica

total del sistema.

Esfera Esfera ResorteM K pg peE E E E

2. Casos en que se conserva "EM"

Si EM = cte solo deben realizar trabajo las

fuerzas conservativas.

A B C DM M M ME E E E

Caso especial

De la conservación de la energía mecánica:

Ahora, si sobre un cuerpo realizan trabajo fuerzas

conservativas y no conservativas tenemos:

F. conserv F. no conservK

Ep

W W E

f

F.N.conservK p

K p

M M Mo

W E E

E E

E E E

F.N.conservMW E

problemas resueltos



ENERGÍAExigimos más!

42LIBRO UNI FÍSICA

Problema 2

Determine la energía cinética del

cuerpo mostrado de 2 kg.

4 m/s

UNI

Nivel fácil

A) 14 J B) 16 J C) 12 J

D) 10 J E) 8 J

Resolución:

2C

1E mv2

= 21 .2,42

= = 16 J

Respuesta: B) 16 J

Problema 3

Hallar la mínima velocidad que se le

debe imponer al bloque para que

llegue a la parte superior del plano

inclinado liso de altura 5 m.

(g = 10 m/s2)

V0

5 m

UNI

Nivel intermedio

A) 4 m/s B) 9 m/s

C) 10 m/s D) 6 m/s

E) 8 m/s

Resolución:

Vemos que no está presente la energía

potencial elástica (¿por qué?) y como

no hay rozamiento ni otra fuerza no

conservativa, entonces la energía

mecánica se conserva.

C PG C PG1 1 2 2E E E E+ = +

20v

m 0 0 mgh2

+ = +

M0v 2gh=

0mv 2 10 5 10s

= =

Respuesta: C) 10 m/s



43LIBRO UNI FÍSICA

IMPULSO

FÍSICA

I. CANTIDAD DE MOVIMIENTOLlamada también momentum lineal, es una magni-tud vectorial que nos caracteriza el movimiento de tras-

lación una partícula, esto es, la cantidad de movimien-to, es la medi-da vectorial del movimiento de una par-tícula y se define como el producto de su masa por suvelocidad.

P

v

m P mv

Donde:m: masa de la partícula (en kg) V : velocidad de la partícula (en m/s)P : cantidad de movimiento de dicha partícula (en kg m/s)

La velocidad y la cantidad de movimiento

tienen la misma dirección

¿Cuál es el significado físico de la cantidad

de movimiento?

Para averiguarlo veamos el siguiente caso:Un ciclista y un trailer avanzan con distintas velocidadeshacia un poste. De lo d icho anteriormente, se observaque el trailer tiene una mayor cantidad de movimientoque el ciclista, pues tiene una mayor velocidad y masa.

¿Qué sucederá?

Se observa que el joven es fácilmente detenido, sinembargo, el trailer continuará su avance... ¿Continuará

con la misma rapidez?

Esto es: fue más difícil detener al trailer. ¿Por qué?Porque tenía mayor cantidad de movimiento

Exactamente, la cantidad de movimiento es

una medida de la dificultad de llevar a

una partícula, que se está moviendo,

hasta el reposo.

P Medida de la inercia

Observación

Tal vez estás pensando que este concepto parecemucho al de inercia y estás en lo cierto, pues la canti-dad de movimiento depende de la masa (esto es desu inercia), sin embargo, no confundas, todo cuerpoque posee masa tiene inercia, pues es una propiedadinherente de la materia, pero la cantidad de movi-miento sólo la poseen los cuerpos que tienen veloci-dad; así, si el trailer estuviese detenido y el ciclistamoviéndose, el ciclista tendría mayor cantidad de mo-vimiento que el trailer, pues su velocidad es nula:

P mv m(o) 0

DESARROLLO DEL TEMA



IMPULSO

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44LIBRO UNI FÍSICA

A pesar de que el trailer tiene mayor inercia por po-seer mayor masa.La resistencia que ofrece un cuerpo, en movimiento,a ser detenido, esto es, la tendencia que posee a con-servar dicho movimiento depende tanto de su masacomo de su velocidad o mejor dicho de su cantidad demovimiento.

¡No olvides!

La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial.

• AP 20i kg m / s

• BP 16i 12j kg m / s

• CP 20j kg m / s

Observamos: A B CP P P

Aunque tengan igual módulo: A B CP P P 20kg m / s

II. CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNSISTEMA DE PARTÍCULASSea el siguiente sistema de partículas.

• 1 1 1P m V

• 2 2 2P m V

• 3 3 3P m V

Sistema 1 2 3P P P P

Generalizando para "n" partículas:

nSistema 1 2 3 n

i 1P Pi P P P .... P

nSistema n1 2 3 3 n1 2

i 1P mi Vi m V m V m V .... m V

Recuerda: n1 2 n1 2CMn1 2 3

m V m V .... m V V

m m m .... m

sistema CMtotaldesistemaP M

Sabemos que la aceleración del centro de masa (CM)solo se ve afectada por las fuerzas externas al sistema.

De ello tenemos:

Si la externas 0F CM externas

totalalsistema

Fa 0M

Esto es: CM Cte

nsistema CMtotaldelsistema i i

i 1P M V m v constante

Ley de conservación de la cantidad de movimiento

"Si la fuerza externa resultante ejercida sobre unsistema es igual a cero, la velocidad del centro de masasdel sistema es constante (se conserva)".

Observación:

Se aplica a cualquier sistema aislado de sus alrededoresque por tanto está libre de fuerzas exteriores.Es más aplicable que la ley de conservación de la ener-gía mecánica debido a que las fuerzas internas ejerci-das por una partícula del sistema sobre otra, son fre-cuentemente de naturaleza no conservativas.

Así pues, pueden hacer variar la energía mecánica totaldel sistema, pero como estas no afectan al CM, la can-tidad de movimiento del sistema se conserva.

Si la externas 0F

externasCM

Totaldelsistema

Fa 0M

Esto es: CM V Cte

sistemaP Cte

III. IMPULSO ( )I

Ya hemos visto anteriormente que es posible transmitirlemovimiento mecánico a un cuerpo mediante una fuerza,la cual se mide en términos del trabajo realizado.



IMPULSO

45LIBRO UNI FÍSICA

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Pero también es posible dicha transmisión en términosdel impulso (I); una magnitud vectorial que nos mide latransmisión temporal del movimiento.

Así por ejemplo, al golpear la bola blanca con el taco,en un juego de billar, ejercemos una fuerza duranteun intervalo de tiempo, relativamente corto; el movi-miento que podemos transmitirle dependerá tanto dela magnitud y dirección en que apliquemos la fuerza,así como del tiempo que dure el contacto taco-bola.

Veamos el caso de una fuerza constante que actúasobre un cuerpo durante cierto intervalo de tipo " t ".

El impulso se define como: I F t . El impulso tienela dirección de F .

Donde:

F : fuerza constante (en N)

t : intervalo de tiempo (en s)

I : impulso de la fuerza F (en N.s)

Observación

El impulso tiene la capacidad de generarle variación enla cantidad de movimiento de un cuerpo.

Esto es, si hay una P es debido a un impulso.

P I

Observación:

El impulso tiene las mismas unidades que las de la can-tidad de movimiento:

xx2

mN s kgs

x s = kg x m/s

Esto significa que es posible expresar una magnituden función de la otra. ¡Existe una relación entre P e I !Si graficamos F vs t obtenemos:• Se observa que F es constante a través del tiempo.• Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos:

f oF t t esto es, ÁREA = F t .

¡El módulo del impulso es numéricamente igual al áreabajo su gráfica!

Aunque esta relación la hallamos para F Cte es, en

general, válida si F varía en módulo, pero no en dirección.Para una fuerza de módulo variable pero de direcciónconstante, se tiene:

Área = |Impulso|

Nota: Una fuerza media (Fm) es una fuerza constante

que genera en igual tiempo un impulso equivalente auna fuerza variable.

A. Relación entre I y P

La partícula cambia su velocidad y por tanto su cantidad

de movimiento debido a la fuerza resultante R F .

Luego: R F ma

Esto es: f oR

V VF mt

of

f oR

I P P

F t m V m V

Esto es: el impulso resultante sobre una partículaes igual al cambio en su cantidad de movimiento.



IMPULSO

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46LIBRO UNI FÍSICA

IV. TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTI-DAD DE MOVIMIENTOLuego:

R R F t I P

Observa: R PFt

Esto es equivalente a la 2.a Ley de Newton, pero esmás general.

O también:

x xf o xR m V m V F t

f o R mV mV I

Esto tiene algunas implicancias muy interesantes. Vea-

mos; si estuvieses en un auto al cual se le malograronlos frenos y al tratar de detenerte sólo tiene dos op-ciones: colisionar contra un muro de concreto o con-tra una montaña de paja, ¿cuál caso escogerías?, ¿encuál de ellos la fuerza media que recibirías sería menor?

En cualquiera de los dos casos la variación de la cantidadde movimiento sería:

0 f P P P y 0P mV

O sea, el impulso que recibirá en cualquiera de los casossería el mismo.Esto es:

muro pajaI I ....

Pero nota que la interacción del auto al chocar con lapaja es más prolongado, luego:

paja murot t por ello muro pajaF f

Observa el gráfico y la ecuación ( ):

muro pajamuro pajaF t f t

muro pajat t

muro pajaF f

Esto significa que si en un accidente de tránsito elchoque es más prolongado (dura más tiempo) la fuerzamedia que reciben los afectados es menor; es más, espor esta razón que se instalan sistemas de bolsas deaire y se usan los cinturones de seguridad en losautomóviles.

Ahora razona y responde

Si en el caso anterior solo tuvieras la opción de ir contrael muro, en qué caso te podría ir mejor si estás en unauto FORD año 50 (con chasis de acero) o en un TICOaño 2003 (con chasis de lata) ...

¿Ahora entiendes porque en los autos modernos, alser diseñado, se desea que la parte delantera sea lomás blanda posible?

Reflexión

Hasta ahora hemos medido el movimiento de dosformas:

Hemos medido la transmisión del movimiento mecánicode dos maneras.

Además observa

La transmisión de movimiento se puede expresar comouna variación de movimiento.



IMPULSO

47LIBRO UNI FÍSICA

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V. CHOQUES O COLISIONESInteracción entre dos o mas cuerpos de muy de muycorta duración, durante la cual se da un intercambiode energia y cantidad de movimiento:

A B

A

B V B

V A

V o

Características de los choques:

a) Tomando como sistema los cuerpos que chocan,las fuerzas entre ellos son fuerzas internas y por lotanto no modifican la cantidad de movimiento delsistema:

A.C D.C

P P Const.

b) Entre los cuerpos que colisionan se ejercen fuerzasque alcanzan valores muy altos durante intervalos

de tiempo muy pequeños, denominadas fuerzasimpulsivas.

c) Ley de Newton para los choques: Para un choquedierecto y central (unidimensional) la velocidadrelativa de separación después del choque, esproporcional a la velocidad relativa de acercamiento,antes del choque:

V o

A

V o

A A A

V F A

V FB A B

B A

A B

F F

o o

V Ve Const.

V V

Coeficiente de restitución (0 < e < 1)

El coeficiente de restitución depende de la naturalezade los cuerpos que chocan, teniendose los sigueintescasos:

e = 1 C. perfectamente elásticoe = 0 C. perfectamente inelástico o plástico

B AF F V V



IMPULSO

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48LIBRO UNI FÍSICA

Problema 1

Una bola de 50 g de masa moviéndo-

se con una rapidez de 10 m/s en ladirección +x, choca frontalmente con

una bola de 200 g en reposo, siendo

el choque inelástico. Si el coeficiente

de restitución es 0,5. Calcule las velo-

cidades, en m/s, de la bola incidente y

la de la bola que estaba en reposo,

después del choque.

UNI 2010 - I

A) 2i;i B) 2i;2i C) 2i;3i

D) i;3i E) i;3i

Resolución:

Operación del problema

DCH

ACH

Vrelat v1erelat 2 10

v 5m/s ............

ahora: inicial finalP P

50 10 200 50v

10 4 v ............

Relacionando y

3m/s =3 im/s

v 2 m/s v =-2 im/s

Respuesta: C) 2i;3i

Problema 2

Dos masas de plomo idénticas:

ecalC 0,03g C

que están sujetas por hilos de 2 m de

longitud de cada uno, se las deja caer

desde el reposo a partir de la posición

horizontal A. Las dos masas chocan en

la posición B de manera completamenteinelástica, quedando en reposo. Con-

siderando que toda la energía en el

choque se ha transformado en calor,

¿cuál es la temperatura de las masas

(en °C) después del choque? La tem-

peratura inicial de cada masa es 20 °C.

(1 cal = 4,18 J, g = 9,81 m/s2)

UNI 2009 - I

A) 18,15 B) 19,15

C) 20,15 D) 21,15

E) 22,15

Resolución:

Cambiando las unidades del Ce:

2e e3

4,186J JC 3.10 . C 30 4,186kgºC10

Como las masas adquieren cantidades

de movimiento de igual valor pero sen-

tidos opuestos, las masas quedan en

reposo. Toda la energía potencial se

convierte en calor:

Ep Q 2 m gh Ce 2m T

e

9, 81 2ghTC 30 4,186

TF – 20 °C = 0,15 °C

TF= 20,15 ºC

Respuesta: C) 20,15 ºC

Problema 3

Para detener un carro de 2000 kg de

masa, que se mueve en línea recta a25 m/s, se le aplica una fuerza cons-

tante durante 2 segundos, quedando

el carro en reposo. Calcule la magni-

tud del impulso que recibe el carro,

en 104 N.s, durante los 2 segundos.

UNI 2008 - II

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

Resolución:

Ubicación de incógnita

Realizamos un gráfico que nos ayude a

la solución del problema y designamos

por I el impulso que recibe el carro.

Análisis de los datos o gráficos


Del teorema del impulso y la cantidad

de movimiento tenemos:

o| I | m | V | 2000 kg 25m/s

4| I | 5 10 kg m/s

Nota:

El dato del tiempo no era necesarioser usado.

Respuesta: C) 45 10 kg m/s

problemas resueltos



49LIBRO UNI FÍSICA

MOVIMIENTO ARMÓNICO

SIMPLE

FÍSICA

I. IMPORTANCIAEl estudio del oscilador armónico constituye en Físicaun capítulo muy importante, ya que son muchos los

sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturalezay que han sido producidos por el hombre.

II. OBJETIVOS• Analizar el M.A.S. como un movimiento periódico y oscilatorio.• Analizar los valores de la energía cinética, potencial

y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuandola partícula pasa por el origen y por las posicionesde máximo desplazamiento.

• Definir e identificar las principales magnitudes físicasque intervienen en un M.A.S.

III. HISTORIASabemos que una de las propiedades más importantes de lamateria es el "movimiento" y en la naturaleza, este se pre-

senta en distintas formas; en algunos casos, bastante senci-llas de analizar como por ejemplo: el movimiento de un autoo en otros casos más complejos de analizar como por ejem-plo el movimiento de las moléculas que forman la sustancias.Con respecto a este último caso, el movimiento de las molé-culas de una sustancia sólida es un caso de mucha compleji-dad, pero esa complejidad disminuye considerablementecuando hacemos uso de un modelo que se asemeje muchoa lo que en realidad está ocurriendo y en ese sentido elmovimiento armónico simple (M.A.S.) es de gran utilidad.Los resultados teóricos que se obtienen al asumir que las mo-léculas en un sólido desarrollan un M.A.S. son muy próximos alos resultados que se obtienen en forma experimental.

Y en física, la validez y por ende la aceptación de un modelo, estáen función de cuanto se asemeje a lo que realmente ocurre y

eso lo determinan los resultados. Con esto podemos compren-der la gran importancia del estudio de este movimiento.Pero el M.A.S. no sólo sirve como modelo para explicar algunosmovimientos microscópicos sino también algu-nos macroscópicos,como los movimientos sísmicos y en general los movimientosondulatorios. Así por ejemplo: las ondas mecánicas como elsonido y las ondas que se generan al sacudir una cuerda, sonestudiados y descritos mediante el M.A.S. pero también lasondas electromagnéticas, como las ondas de radio y televisiónson descritos mediante este modelo.Por lo expuesto, el M.A.S. es de suma importancia ya quepermite comprender algunos de los movimientos oscilatoriosmás complejos que se presentan en la naturaleza.

IV. DEFINICIÓN

A. Movimiento periódico

Movimiento que se repite a intervalos regulares de tiempo.

B. Movimiento oscilatorioEs aquel movimiento en el cual el cuerpo se muevehacia uno y otro lado respecto a una posición deequilibrio, o decir efectúa un movimiento de vaivén.

C. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

Es aquel movimiento rectilíneo, oscilatorio y perió-dico donde su aceleración siempre señala hacia laposición de equilibrio.

x(-)

V=0 a Vmáx a V=0

X(+)

(-)A A(+)

Q P

P.E.

P, Q: ExtremosP. E: Posición de equilibrio o punto medio, de PQ.

1. Oscilación simple

Es el movimiento que realiza un cuerpo al ir deuna posición extrema hasta la otra (ABCD).

2. Oscilación doble o completaEs el movimiento que realiza un cuerpo en ir deuna posición extrema a la otra y luego regresara la primera (ABCDCBA).

3. Período (T)Es el tiempo que emplea un cuerpo en realizaruna oscilación completa.

4. Frecuencia (f)Es el número de oscilaciones completas que realizaun cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T).

DESARROLLO DEL TEMA



MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Exigimos más!

50LIBRO UNI FÍSICA

5. Elogación (x)Es la distancia existente entre la posición de equi-librio y el cuerpo en un instante cualquiera.

6. Amplitud (A)Es la distancia existente entre la posición de equi-librio y cualquiera de las posiciones extremas.

Propiedad

T: periodo

w = 22 f T

w: Frecuencia angular del M.A.S, w es constante.

V. ECUACIONES CINEMÁTICAS DE UNAPARTÍCULA EN M.A.S SOBRE EL EJE X

A. Posición (x)x(+) = xmáxSen (wt + )xmáx = A

B. Velocidad (v)

v(+) = vmáxCos (wt + )vmáx = wA

C. Aceleración (a)

a(+) = amáxSen (wt + )

amáx = w2

A

Donde:• (wt + ): fase, es el argumento de la función

armónica (en radianes).• : fase inicial, es un ángulo que nos indica el

punto (x) donde se empieza a medir el tiempo(t0 = 0).

Propiedades

1. x2 +2

2v Aw

2. Vmáx = wA (en la P.E. x = 0)

Vmin = 0 (en los externos, x = 4)3. amáx = w2 A (en los externos)

amin = 0 (En la P.E., x = 0)

Problema 1

Una partícula tiene un movimientoarmónico simple. Si su rapidez máxima esde 10 cm/s y su aceleración máxima esde 25 cm/s2, calcule aproximadamente

el producto de su amplitud por el períododel movimiento en (cm. s).

UNI 2012 - II

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

Resolución:

Sabemos que en el M.A.S. la velocidadmáxima y aceleración máxima se danen di ferentes posiciones delmovimiento oscilatorio.• MÁX V .A 10 A• 2 2

MÁXa .A 25 .A

Tomando las ecuaciones anteriores ydividiendolas:

10 125

rad2.5 A 4 cm....s

Pero:

2T

2 2T ...................

2.5

Nos piden el producto de el periodocon la amplitud, entonces las ecuaciones

y serán multiplicadas:

2 A.T 4.2,5 A.T. 10, 048

Respuesta: E) 10

Problema 2Un péndulo simple tiene un período de 1,5 ssobre la superficie de la Tierra. Cuando se lepone a oscilar en la superficie de otro planeta,el período resulta ser de 0,75 s. Si la masa deeste planeta es 100 veces la masa de la Tierra,el cociente entre el radio del planeta y elradio de la Tierra, (R p /R T), es:

A) 2 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

UNI 2011 - I

Resolución: R P /R T Análisis de los datos o gráficosEn la Tierra: En el planeta P:TT = 1,5s Tp = 0,75

Usando: LT 2 R

GM...(I)

Siendo: R: Radio del planetaG: Constante universalM: Masa del planetaL: Longitud del pénduloT: Período

Nos piden:

Pp

TT

T

L2 R T GMpT L2 R

GM

PT

TT

L2 R G(100M )0,751,5 L2 R

GM

P

T

R 5

R Respuesta: C) 5

Problema 3Un sistema masa-recorte oscila de maneraque la posición de la masa está dada por

x 0, 5sen(2 t), donde t se expresa ensegundos y x en metros. Halle la rapidez,en m/s, de la masa cuando x = –0,3 m.

A) 0,2 B) 0, 4 C) 0,6D) 0,8 E)

UNI 2010 - I Resolución: Ecuación de la posición: x = ASen (wt)

x = 0,5 Sen(2 t)Sabemos:

2 2 A x 2 2 V 2 0,5 (0,3) V 2 0,4 V = 0,8 m/s

Respuesta: D) 0,8 m/s

problemas resueltos



51LIBRO UNI FÍSICA

ONDAS MECÁNICAS SIMPLES -ENERGÍA DE UNA ONDA

FÍSICA

Cuando disfrutamos de las olas en una playa, estamos ex-

perimentando un movimiento ondulatorio. Los rizos en un

estanque, los sonidos musicales que escuchamos, otros so-

nidos que no podemos oír, los movimientos de un resortelargo y flojo estirado sobre el piso: todos éstos son fenó-

menos ondulatorios. Pueden ocurrir ondas siempre que un

sistema es perturbado de su posición de equilibrio y cuando

es perturbado puede viajar o propagarse de una región del

sistema a otra. El sonido, la luz, las olas del mar, la transmi-

sión de radio y televisión, y los terremotos, son fenómenos

ondulatorios. Las ondas son importantes en todas las ramas

de la física y la biología; de hecho, el concepto de onda es

uno de los hilos unificadores más importantes que corren por

toda la tela de las ciencias naturales.

En este tema se tratan las ondas mecánicas, ondas que

viajan dentro de algún material llamado medio.

No todas las ondas son mecánicas. Otra clase muy amplia es

la de las ondas electromagnéticas, que incluyen la luz, las

ondas de radio, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos

x, los rayos gamma. Las ondas electromagnéticas no nece-

sitan un medio; pueden viajar por el espacio vacio.

Otra clase más de fenómenos ondulatorios es el comporta-

miento tipo onda de las partículas atómicas y subatómicas.

Este comportamiento forma parte de los cimientos de la

mecánica cuántica, la teoría básica que se usa para analizar

la estructura atómica y molecular. Volveremos a las ondas

electromagnéticas en clases posteriores. Mientras tanto,

podemos aprender el lenguaje esencial de las ondas en el

contexto de las ondas mecánicas.

I. ONDAS MECÁNICASObservemos una pequeña piedra que cae desde cierta

altura hacia la superficie de un lago con agua tranquila.

Al incidir la piedra en la superficie del agua, vemos que

ésta experimenta una perturbación, la cual se propa-

ga en toda la superficie del agua. Por lo tanto decimos

que se ha generado una ¡Onda!Una onda mecánica es una perturbación que viaja por

un material o sustancia que es el medio de la onda. Al

viajar la onda por el medio, las partículas que forman el

medio sufren desplazamientos de varios tipos, depen-

diendo de la naturaleza de la onda.

II. TIPOS DE ONDALa Fig. 1 muestra variedades de ondas mecánicas. En

la Fig. 1a el medio es un hilo o cuerda tensado. Si

imprimimos al extremo izquierdo una pequeña sacudi-

da hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo del hilo.

Secciones sucesivas del hilo repiten el movimiento que

dimos al extremo, pero en instantes posteriores suce-sivos. Dado que los desplazamientos del medio son

perpendiculares o transversales a la dirección en que

la onda viaja por el medio, decimos que se trata de

una onda transversal.

Fig. 1 (a) La mano mueve la cuerda hacia arriba y re-

gresa, produciendo una onda transversal.

(b) El pistón comprime el líquido o gas y regresa, pro-

duciendo una onda longitudinal.

(c) La tabla empuja a la derecha y regresa, producien-

do una suma de ondas longitudinal transversal.

DESARROLLO DEL TEMA



52LIBRO UNI FÍSICA

ONDAS MECÁNICAS SIMPLES - ENERGÍA DE UNA ONDA

En los 3 casos la onda solitaria se propaga a la derecha.

En la Fig. 1b el medio es un líquido o gas de un tubo

con un pared rígida en el extremo derecho y un pis-

tón móvil en el izquierdo. Si damos al pistón un solo

movimiento hacia adelante y hacia atrás, el desplaza-

miento y las fluctuaciones de presión viajarán a lo largo

del medio. Esta vez los movimientos de las partículas

del medio son en la misma línea en que viaja la onda y

decimos que se trata de una onda longitudinal.

En la Fig.1c el medio es agua en un canal, como una

zanja de irrigación. Si movemos la tabla plana de la

izquierda hacia delante y hacia atrás una vez, una alte-

ración ondular viajará a lo largo del canal. En este caso

los desplazamientos del agua tienen componentes tanto

longitudinal como transversal.

Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equi-

librio. Para la cuerda estirada, es el estado en que el

sistema está en reposo, tendido en línea recta. Para el

fluido en un tubo, es un estado en que el fluido está

en reposo con presión uniforme, y para el agua en

una zanja es una superficie lisa y plana de agua. Encada caso el movimiento ondulatorio es una alteración

del estado de equilibrio que viaja de una región del

medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a

restablecer el sistema a su posición de equilibrio cuan-

do se le desplaza, al igual que la gravedad tiende a

llevar un péndulo hacia su posición de equilibrio cuan-

do se le desplaza.

Estos ejemplos tienen tres cosas en común. Primera,

la perturbación siempre viaja o se propaga por el me-

dio con una rapidez definida llamada rapidez de propa-

gación o simplemente rapidez de la onda, determina-

da en cada caso por las propiedades mecánicas del

medio. Usaremos el símbolo "V" para esta rapidez. (Larapidez de la onda no es la rapidez con que se mueven

las partículas cuando con movidas por la onda).

Segunda, el medio mismo no viaja por el espacio; sus

partículas individuales realizan movimientos alrededor de

sus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es la configura-

ción global de la perturbación ondulatoria. Tercera, para

poner en movimiento cualquiera de estos sistemas, de-

bemos aportar energía realizando trabajo mecánico so-

bre el sistema. La onda transporta esta energía de una

región del medio a la otra. Las ondas transportan ener-

gía, pero no materia, de una región a otra.

III. ELEMENTOS DE UNA ONDA

A

x

V

P y

x

Y: Desplazamiento

A: Amplitud (Y max)

: Longitud de onda

T : Periodo

f : Frecuencia

T: s

f : hertz

1f T

Velocidad de propagación

V f T

IV. ECUACIÓN DE UNA ONDASi las partículas del medio tienen movimiento armónico,

entonces la onda se rige por la siguiente ecuación:

t x Y Asen2

T

Y Asen (wt kx)

(–) Si la onda se propaga a la derecha.

(+) Si la onda se propaga a la izquierda.

Cuando una onda choca con la frontera de su medio,

se reflejan parcial o totalmente. Si gritamos hacia la pa-

red de un edificio o un alcantarillado que ésta a cierta

distancia, la onda sonora se refleja la superficie rígida, y

regresa un eco. Si sacudimos el extremo de una cuerdacuyo otro extremo está atado a un soporte rígido, un

pulso viaja a lo largo de la cuerda y se refleja hacia noso-

tros. En ambos casos la onda inicial y reflejada se solapan

en la misma región del medio. Este solapamiento de

ondas puede producir una interferencia.

Si hay dos puntos o superficies de frontera, como en

una cuerda de guitarra que ésta sujeta por ambos ex-

tremos, obtenemos reflexiones repetidas.

En tales situaciones observamos que solo pueden ocu-

rrir ondas seniodales para ciertas frecuencias especiales

determinadas por las propiedades y dimensiones delmedio. Estas frecuencias especiales y las correspondien-

tes configuraciones de ondas se denominan modos

normales. Los tonos de la mayor parte de los instru-

mentos musicales están determinados por las frecuen-

cias de los modos normales también explica por qué

sentimos que cantamos mejor en la ducha y por qué la

voz amplificada de un cantante profesional puede rom-

per una copa de cristal si canta la nota correcta.

V. INTERFERENCIAS DE ONDASEs un fenómeno que consiste en el reforzamiento o

destrucción de las ondas cuando se superponen.

Dos trenes de ondas distintos procedentes de diferen-tes centros de vibración que concurren simultáneamente

en cierta región, se superponen propagándose como si

no hubieran superpuestos (principio de superposición).



53LIBRO UNI FÍSICA


Superposición de los dos pulsos. El desplazamiento del pulso

combinado es la suma de los desplazamientos individuales.

La superposición de dos pulsos iguales y opuestos.

(A) antes de la anulación completa.

(B) anulación completa.

VI. VELOCIDAD DE LAS ONDAS EN UNACUERDAPara el caso de las ondas lineales, la velocidad de las ondas

mecánicas solo depende de las propiedades del medio

por el que se propaga la perturbación.

Nosotros enfocaremos la atención en la determinación de

la rapidez de un pulso que viaja sobre una cuerda estirada.

Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad de

longitud es la rapidez V de la onda está dada por:

V T M

L

M T VL

T : Tensión (N)

: Densidad Lineal (kg/m)

¡No olvidemos!

Una onda es una perturbación, del equilibrio que viaja,o sea propaga, de una región del espacio a otra. La

rapidez de propagación se denomina rapidez de la onda.Las ondas pueden ser transversales, longitudinales ouna combinación de ambas.

En una onda periódica, la perturbación en cada puntoes una función periódica del tiempo, y la configuraciónde la perturbación es una función periódica de la dis-tancia. Una onda periódica tiene una frecuencia y lon-gitud de ondas definidas. En las ondas periódicas se-noidales cada partícula del medio oscila en movimientoarmónico simple.La función de onda sitúa cada punto en el medio en

que se propaga la onda en cualquier instante.

VII.ENERGÍA DE ONDAS

A. Velocidad de las ondas

La velocidad de propagación de las ondas mecáni-

cas depende de las propiedades del medio en el

cual se propaga la onda. En el caso de una onda

que viaja en una cuerda tensada, el valor de su

velocidad depende de la tensión (F) y de su masa

por unidad de longitud ( ).

F masa V ;longitud

Cuando una onda viaja a través de un medio, trans-

porta energía capaz de realizar un trabajo. La po-

tencia transmitida por una onda está dada por la

siguiente ecuación:

2 21Potencia A v2

B. Superposición de ondas

Es un hecho experimental que, en muchas clases

de ondas dos o más de ellas pueden propagarse

en un mismo medio en forma independiente, es

decir, ninguna onda afecta a la otra. El hecho que

las ondas actúen independientemente quiere de-

cir que todo punto que sea alcanzado simultánea-

mente por dos o más ondas sufrirá un desplaza-

miento igual a la suma vectorial de los desplaza-

mientos individuales que las ondas proporcionan.

Este proceso de adición vectorial de los desplaza-

mientos de una partícula se llama superposición.

C. Interferencia

La palabra interferencia se refiere a los efectos físi-

cos que resultan al superponer dos o mas trenes

de onda. Para que se dé una interferencia que no

varíe con el tiempo (estacionaria) se requieren las

siguientes condiciones:

1. Las ondas deben ser la misma naturaleza.

2. Las ondas deben poseer la misma frecuencia

(velocidad).

F1

F2

d2

d1

P

Consideremos dos ondas de la misma amplitud "A" y

frecuencia "f" al cabo de un cierto tiempo recorriendo

la misma distancia. La suma de las elongaciones Y = y +

y' en la figura muestra que se obtiene una onda sinusoidal

de la misma frecuencia, pero de amplitud "2A".

Esto implica que la intensidad de la onda resultante es

el cuádruple de una cualquiera de las ondas que se

superponen.



54LIBRO UNI FÍSICA


A y

d1

d2

d2

d1

2A

A y'

Y

Notemos que se obtiene el mismo resultado si las

dos ondas tienen entre sí una diferencia de caminod , igual a un número entero de longitud de onda

: d N N = 0, 1, 2, 3, ...

En este caso se dice que las ondas llegan en fase al

punto "P" y que se produce una interferencia cons- tructiva .

A y

d1

d2

d2

d1

2A

A y'

Y

Si las 2 ondas tienen entre sí una diferencia de

caminos iguales a / 2 , la suma de las elongaciones

es siempre cero. Luego la intensidad de la onda

resultante es nula. Observemos que el mismo efecto

se obtiene si la diferencia de camino es un número

impar de / 2 , es decir: d (2N 1) / 2 .

(N = 1, 2, 3, ...)

A y

d1

d2

d2

d1

A y'

Y

/2

En este caso se dice que las ondas llegan al punto

"P" en oposición de fase y que se produce una

interferencia destructiva .

A y

d1

d2

d2

d1

A y'

Y

d=(2 /2+1)

Si las amplitudes de las ondas son diferentes, se

obtiene una onda de igual frecuencia pero de am-

plitud igual a la diferencia de las amplitudes de las

ondas.

VIII. ONDAS ESTACIONARIASEstas ondas se obtienen mediante la superposición de

2 ondas de igual frecuencia y amplitud que se propagan

en direcciones opuestas. Las ondas estacionarias

presentan las siguientes características:

1. No todos los puntos vibran, existen puntos cuyo

movimiento es nulo. Denominados nodos.

2. La distancia entre dos nodos consecutivos es una

semi-longitud de onda ( / 2) .

3. Todos los puntos vibran con la misma frecuencia y

fase pero con diferentes amplitudes. La amplitudde la partícula correspondiente depende de su po-

sición, llamándose antinodos a los puntos de máxi-

ma amplitud.

4. Las ondas estacionarias se establecen para ciertas

frecuencias, las cuales dependen de las caracterís-

ticas del sistema oscilante.

Para el caso de una cuerda vibrante de longitud "L"

cuyos extremos se encuentran fijos los posibles va-

lores de la longitud de onda estan dados por:

2LN

=

Por lo que las correspondientes frecuencias son:

vf N

2L=

donde: N = 1, 2, 3, ...

Cuando N = 1, se obtiene la frecuencia conocida

como, frecuencia fundamental (f 1).




Problema 1

Se tiene una onda armónica que viaja

hacia la derecha; Y max e Y min son los

puntos más altos y más bajos de la onda;se observa que Y máx – Y min = 4 m;

para "t" fijo se observa que la distan-

cia entre crestas consecutivas es 2 m

y para x fijo se observa que la onda

oscila con una frecuencia de 3 Hz.

Determine la ecuación de la onda sa-

biendo además que Y(0,0) = 0.

UNI 2011 - I

A) 1 Y(x, t) 4sen x t3

B) Y(x, t) 4sen x – 3t

C) x 1 Y(x, t) 2sen – t3 2

D) Y(x, t) 2sen x – 6t

E)x

Y(x, t) 2sen t3 2

Resolución


Ecuación de la onda: Y(x; t)


Del texto:

0

2m

f 3Hz


y(x, t) = Asen(kx – cot + )

Conclusión y respuesta

y(x, t) = 2sen( x –6 t)m

Respuesta: D) y(x, t) = 2sen( x –6 t)m

Problema 2

En la figura se muestran 2 fotos tomadas

en los instantes t1 = 10 m/s y t2 = 15 m/s,

a una onda viajera que se desplaza a

través de una cuerda a lo largo del eje

x. Si se sabe que t2 – t1 < T, siendo T

el periodo de oscilación de la onda, de-

termine su rapidez de propagación (en

m/s). (1 m/s = 10 –3 s)

UNI 2010 - II

A) 15 B) 20

C) 30 D) 40

E) 50

Resolución:


Rapidez de la onda V.


–32 1

2 1

• t – t 5 10 s

• t – t T

• 20 cm


2 1

–3

VT

T 2 t – t

T 10 x10 s

Problema 3

Las ecuaciones de 3 ondas viajeras es-

tán representadas por:

A

B

C

Y (x, t) A sen (kx t)

Y (x, t) A sen(kx t)

Y (x, t) A sen(kx t )

Con respecto a estas ondas se hacen

las siguientes proposiciones:

I. La superposición de Y A e Y B da co-

mo resultado una onda estaciona-

ria de amplitud 2A.

II. La superposición de Y A e Y C da

como resultado otra onda estacio-

naria.

III. La superposición de Y B e Y C da co-

mo resultado una onda de ampli-

tud cero.

Señale la alternativa que representa la

secuencia correcta después de deter-

minar si la proposición es verdadera (V)

o falsa (F).

UNI 2010 - I

A) VVV B) VVF C) VFV

D) FFV E) FFF

Resolución:

I. Y R = Y A + Y B

Y R = A sen (Kx – wt) + Asen(Kx + wt)

R Y 2A Sen(Kx)Cos(wt)

Es una onda estacionaria de ampli-

tud "máxima" 2A.

II. Y R = Y A + Y C

R Y ASen(Kx wt) ASen(Kx wt )

R Y 2A Sen Kx Cos wt2 2

R Y 2A Cos (Kx)Sen (wt)

Sigue siendo una onda estaciona-ria.

III. Y R = Y B + Y C

R Y ASen(Kx wt) ASen(Kx wt )

problemas resueltos

14. Fisica-Pamer

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